¿Por qué DEBES APRENDER ecuaciones diferenciales? | ¿QUÉ es una ECUACIÓN DIFERENCIAL?

Summary

Este guion explora el poder de las ecuaciones diferenciales, fundamentales en la modelación de sistemas complejos y en la comprensión de las leyes del universo. Desde la trayectoria de proyectiles hasta la expansión del cosmos, estas ecuaciones son esenciales para la física, ingeniería y tecnología. La narrativa también destaca su aplicación en la epidemiología y electromagnetismo, mostrando cómo estas herramientas matemáticas transforman nuestra vida cotidiana y nuestro entendimiento del universo.

Takeaways

• 🧮 Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en matemáticas y tienen aplicaciones en áreas como la física, ingeniería y economía.
• 🌌 Estas ecuaciones permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA.
• 🚀 Sin ecuaciones diferenciales, muchas tecnologías clave, como satélites y sistemas de transporte, no serían posibles.
• 🤔 Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender conceptos fundamentales del universo, como la propagación de ondas electromagnéticas y procesos cuánticos.
• 🔍 La ecuación diferencial logística es un ejemplo de cómo las ecuaciones diferenciales pueden describir fenómenos del mundo real, como el crecimiento de poblaciones.
• 🎯 Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) son dos tipos clave que se utilizan para modelar diferentes situaciones.
• 📉 La segunda ley de Newton es una ecuación diferencial que describe la relación entre fuerza, masa y aceleración, y es crucial para la física clásica.
• 🌡 La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que modela cómo la temperatura de un objeto cambia con el tiempo al interactuar con su entorno.
• 🌐 Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo y describen cómo se comportan y se relacionan los campos eléctricos y magnéticos.
• 🌌 Las ecuaciones de Schrödinger son la base de la mecánica cuántica y describen el comportamiento de partículas en el ámbito microscópico.

Q & A

¿Qué es un enigma fascinante que ha desconcertado a los pensadores a lo largo de los siglos según el guion?

El enigma fascinante mencionado en el guion es el mundo oculto bajo la aparente simplicidad de las fórmulas matemáticas, que es el núcleo de nuestro progreso tecnológico y comprensión de las leyes del universo.

¿Cuál es la función de las ecuaciones diferenciales en la vida cotidiana?

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de Inteligencia Artificial, impactando así en nuestra vida cotidiana.

¿Qué es una ecuación diferencial y cómo se diferencia de una ecuación normal?

Una ecuación diferencial es una que relaciona una función con sus derivadas. A diferencia de las ecuaciones normales, cuya solución es un número, las soluciones de una ecuación diferencial son funciones o una familia de funciones.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y cómo se diferencian de las ecuaciones en derivadas parciales?

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son aquellas donde la incógnita es una función de una sola variable. Por otro lado, las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) son aquellas cuya incógnita es una función de dos o más variables.

¿Cómo se relaciona la Segunda ley de Newton con las ecuaciones diferenciales?

La Segunda ley de Newton establece una relación entre la fuerza, la masa y la aceleración, siendo la aceleración la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, lo que la convierte en una ecuación diferencial fundamental para la física clásica.

¿Qué son las condiciones iniciales en el contexto de las ecuaciones diferenciales y qué papel desempeñan?

Las condiciones iniciales son valores conocidos de la función y/o sus derivadas en un punto de partida, que se utilizan para determinar el valor de constantes en las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

¿Cómo se describe el movimiento de una pelota lanzada con una ecuación diferencial?

El movimiento de una pelota lanzada se describe mediante ecuaciones diferenciales que toman en cuenta la fuerza de gravedad y, en algunos casos, la resistencia del aire, permitiendo calcular la trayectoria, velocidad y posición de la pelota en cualquier instante.

¿Qué es la ley de enfriamiento de Newton y cómo se representa matemáticamente?

La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la temperatura de un objeto a medida que pierde calor al entorno, y se representa como dT/dt = -K * (T - T_a), donde K es la constante de enfriamiento y T_a es la temperatura ambiente.

¿Cuál es la importancia de las ecuaciones de Maxwell en el ámbito de la electromagnetismo?

Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo, ya que describen cómo se comportan los campos eléctricos y magnéticos y cómo interactúan con las cargas y corrientes eléctricas, siendo esenciales para el desarrollo de tecnologías como telecomunicaciones y electrónica.

¿Qué son las ecuaciones de Schrödinger y cómo contribuyen al entendimiento del comportamiento cuántico?

Las ecuaciones de Schrödinger son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que describen la evolución del tiempo de la función de onda, permitiendo calcular las propiedades observables de partículas a nivel microscópico, y son la base matemática de la teoría cuántica.

¿Qué revelan las ecuaciones de Friedman sobre la evolución del universo?

Las ecuaciones de Friedman describen la evolución del universo en el marco de la relatividad general de Einstein, estableciendo la relación entre la geometría del universo y su contenido de materia y energía, y son fundamentales para entender la expansión del universo y el concepto del Big Bang.

Outlines

00:00

🧮 El poder de las ecuaciones diferenciales

Este párrafo introduce el mundo fascinante de las ecuaciones diferenciales, destacando su importancia en la tecnología y la comprensión de las leyes del universo. Se menciona que estas ecuaciones son fundamentales para modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA. Además, proporcionan una ventana a las leyes fundamentales del universo, permitiendo entender fenómenos como los movimientos de los cuerpos celestes y los procesos cuánticos. Se destaca la importancia de las matemáticas en general, y las ecuaciones diferenciales en particular, para explorar lo desconocido y abrir nuevas fronteras en la ciencia y la tecnología.

05:02

📚 Concepto de ecuación diferencial

En este párrafo se explica qué es una ecuación diferencial y su relación con las ecuaciones ordinarias. Se presenta un ejemplo sencillo para ilustrar la diferencia entre una ecuación de primer grado y una ecuación diferencial. Se resalta que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son funciones, a diferencia de las ecuaciones ordinarias que tienen soluciones numéricas. Además, se introduce la noción de condiciones iniciales como herramienta para determinar la constante en las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Se clasifican las ecuaciones diferenciales en 'ordinarias' y 'en derivadas parciales', dependiendo de si la función incógnita depende de una o más variables.

10:04

📉 La ecuación diferencial logística y su aplicación

Este párrafo se enfoca en la ecuación diferencial logística, que describe el crecimiento de una población. Se explica que las ecuaciones diferenciales ordinarias, como la logística, son aquellas donde la incógnita es una función de una sola variable. Se contrasta con las ecuaciones en derivadas parciales, donde la función incógnita depende de dos o más variables. Se presentan ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes, como la segunda ley de Newton, que relaciona la fuerza con la aceleración y cómo esta ley se aplica en física clásica para determinar trayectorias y movimientos, como en el lanzamiento de una pelota.

15:05

🚀 Aplicación de la segunda ley de Newton en el lanzamiento de una pelota

Este párrafo detalla cómo se aplica la segunda ley de Newton en el cálculo del movimiento de una pelota lanzada a un ángulo. Se describen las fuerzas involucradas, como la gravedad, y cómo estas fuerzas afectan la trayectoria de la pelota. Se resuelven las ecuaciones diferenciales para obtener las velocidades y posiciones en los ejes x e y, considerando inicialmente la ausencia de resistencia del aire. Luego, se introduce la resistencia del aire como una fuerza adicional que influye en el movimiento de la pelota, y se presentan las ecuaciones modificadas para incluir este factor. Se realiza una comparación entre la trayectoria de la pelota con y sin considerar la resistencia del aire.

20:06

🌡 Ley de enfriamiento de Newton y otros modelos matemáticos

Este párrafo explora la ley de enfriamiento de Newton, una ecuación diferencial que modela cómo la temperatura de un objeto disminuye con el tiempo debido a la pérdida de calor al entorno. Se explica cómo la rapidez del enfriamiento depende de la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente. Además, se mencionan aplicaciones de esta ley en termodinámica, ingeniería, meteorología y medicina. Se introducen otros modelos matemáticos importantes, como el modelo SIR de epidemiología, las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo, la ecuación de Schrödinger en física cuántica y las ecuaciones de Friedman en cosmología. Cada uno de estos modelos demuestra la amplitud y el poder de las ecuaciones diferenciales en diversas áreas del conocimiento.

🌌 Las ecuaciones diferenciales y su impacto en la vida cotidiana

En este final párrafo, se reflexiona sobre el impacto de las ecuaciones diferenciales tanto en la exploración del cosmos como en el desarrollo tecnológico que mejora la vida cotidiana. Se destaca cómo estas ecuaciones son esenciales para diseñar y optimizar sistemas complejos, predecir la propagación de ondas electromagnéticas, modelar el comportamiento de fluidos y entender circuitos eléctricos. Se concluye enfatizando la importancia de las ecuaciones diferenciales como herramienta valiosa para científicos y ingenieros, y como fundamento del entendimiento del universo y del progreso tecnológico.

Keywords

💡Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta matemática fundamental que relaciona una función con sus derivadas. Son cruciales para modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, como se describe en el video, permitiendo entender y predecir fenómenos desde la propagación de ondas electromagnéticas hasta los procesos cuánticos. En el guion, se mencionan como motor detrás de avances en tecnología y comprensión del universo.

💡Innovación y descubrimiento

El término 'innovación y descubrimiento' se refiere a los avances y hallazgos que impulsan el progreso científico y tecnológico. En el video, se destaca cómo las ecuaciones diferenciales son un pilar de la innovación, permitiendo el desarrollo de tecnologías revolucionarias que transforman la vida cotidiana.

💡Tecnología revolucionaria

La 'tecnología revolucionaria' implica avances significativos que cambian radicalmente la forma en que se hace algo o se abordan problemas. En el contexto del video, se hace referencia a cómo las ecuaciones diferenciales son esenciales en el diseño de tecnologías que han revolucionado nuestra vida, como sistemas de inteligencia artificial y redes de comunicación.

💡Leyes del universo

Las 'leyes del universo' son principios fundamentales que gobiernan la física y el comportamiento de la materia y la energía. El video menciona que las ecuaciones diferenciales son una ventana a estas leyes, permitiendo que se comprendan fenómenos como los movimientos de los cuerpos celestes y la realidad cuántica.

💡Modelado de sistemas complejos

El 'modelado de sistemas complejos' se refiere a la creación de representaciones matemáticas que permiten analizar y predecir el comportamiento de sistemas con muchos componentes interconectados. En el video, se explica cómo las ecuaciones diferenciales son esenciales para modelar sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA.

💡Integración y derivación

La 'integración' y la 'derivación' son conceptos fundamentales del cálculo que se utilizan en ecuaciones diferenciales. Mientras que la derivación se refiere a la tasa de cambio de una cantidad con respecto a otra, la integración es el proceso de encontrar una función de la cual se conoce su derivada. El video destaca su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales.

💡Condiciones iniciales

Las 'condiciones iniciales' son valores conocidos de una función o sus derivadas en un punto específico de tiempo, que son necesarios para resolver una ecuación diferencial. En el guion, se menciona cómo estas condiciones son cruciales para determinar la constante en una solución de ecuación diferencial, permitiendo encontrar la única función que satisface la ecuación.

💡Ecuaciones ordinarias y en derivadas parciales

Las 'ecuaciones ordinarias' (EDO) y las 'ecuaciones en derivadas parciales' (EDP) son dos tipos de ecuaciones diferenciales. EDO relacionan una función con sus derivadas respecto a una sola variable, mientras que EDP lo hacen con derivadas respecto a múltiples variables. El video los clasifica y da ejemplos de cada uno, destacando su aplicación en diferentes contextos.

💡Segunda ley de Newton

La 'Segunda ley de Newton' establece que la fuerza sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. En el video, se utiliza esta ley para derivar ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un proyectil, mostrando cómo las ecuaciones diferenciales se aplican en la física clásica.

💡Ley de enfriamiento de Newton

La 'Ley de enfriamiento de Newton' es una ecuación diferencial que describe cómo la temperatura de un objeto disminuye con el tiempo cuando está en contacto con un ambiente más frío. El video la utiliza para ilustrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden modelar procesos de enfriamiento y su aplicación en diversas disciplinas.

Highlights

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para comprender las leyes del universo y han desconcertado a los pensadores a lo largo de los siglos.

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA.

Sin las ecuaciones diferenciales, no existirían tecnologías como satélites, redes de comunicación eficientes o sistemas de transporte avanzados.

Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender fenómenos como los movimientos de los cuerpos celestes y los procesos cuánticos.

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas, lo que permite encontrar soluciones en forma de funciones, no solo números.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) son dos tipos clave de ecuaciones diferenciales.

La ecuación diferencial logística describe el crecimiento de una población y es un ejemplo de EDO.

La ecuación diferencial de onda es un ejemplo de EDP y describe la propagación de ondas electromagnéticas.

La segunda ley de Newton es una ecuación diferencial que relaciona la fuerza, la masa y la aceleración, y es fundamental para la física clásica.

Las ecuaciones de movimiento para el lanzamiento de una pelota se pueden obtener a partir de la segunda ley de Newton y describen su trayectoria.

La resistencia del aire puede ser modelada matemáticamente y afecta la trayectoria de un proyectil.

La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la temperatura de un objeto a medida que pierde calor.

El modelo SIR es una aplicación de ecuaciones diferenciales que ayuda a predecir la propagación de enfermedades en una población.

Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo y describen cómo se comportan los campos eléctricos y magnéticos.

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que describe el comportamiento de las partículas a nivel microscópico y es central en la teoría cuántica.

Las ecuaciones de Friedman describen la evolución del universo en el marco de la relatividad general y son clave para entender la expansión del universo.

Las ecuaciones diferenciales son esenciales para el diseño y la optimización de sistemas y procesos complejos en la tecnología actual.

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para el entendimiento del universo y el progreso tecnológico.

Transcripts

en un mundo oculto bajo la aparente

simplicidad de las fórmulas matemáticas

se encuentra un Enigma fascinante que ha

desconcertado a los más grandes

pensadores a lo largo de los siglos en

un mundo impulsado por la innovación y

el descubrimiento existe una poderosa

herramienta matemática que se encuentra

en el corazón de nuestro Progreso

tecnológico y nuestra comprensión de las

leyes del universo ya que son el motor

que impulsan al desarrollo de

tecnologías revolucionarias que

transforman nuestra vida cotidiana estas

fórmulas nos permiten modelar y predecir

el comportamiento de sistemas complejos

desde las redes eléctricas hasta los

algoritmos de Inteligencia artificial

pero no solo eso sino que también nos

brindará una ventana a las leyes

fundamentales del universo a través de

ellas podremos comprender los

movimientos de los cuerpos celestes la

propagación de ondas electromagnéticas y

los procesos cuánticos que dan forma a

la realidad misma todo esto Gracias a

una herramienta muy poderosa las

ecuaciones diferenciales

[Música]

imagina cómo sería el mundo sin las

ecuaciones diferenciales sin las

derivadas o sin las integrales o de

forma general sin las matemáticas No

tendríamos satélites que orbitan la

tierra ni redes de comunicación

eficientes ni los sistemas de transporte

que tanto utilizamos como autos o

aviones que nos transportan grandes

distancias En tan poco tiempo no

entenderíamos completamente cómo

funciona nuestro cerebro ni tendríamos

la capacidad de diseñar medicamentos que

salvan vidas las ecuaciones

diferenciales y las matemáticas en sí

nos permiten explorar lo desconocido

resolver problemas complejos y abrir

nuevas fronteras en la ciencia y la

tecnología Pero qué es una ecuación

diferencial y Por qué es tan importante

pero antes de hablar de qué es una

ecuación diferencial tenemos que

entender el concepto de ecuación para

ello imagina el siguiente problema Cuál

es el número que sumado con 5 es igual a

8 y todos responderemos que el número

desconocido debe ser igual a 3 ya que si

sumas 3 + 5 obtenemos 8 y la igualdad es

válida y esto que acabamos de ver es una

ecuación simplemente es una igualdad

entre dos términos donde existe un

número desconocido y la meta es

encontrar cuál es este número

desconocido para que se cumpla la

igualdad en álgebra a este número

desconocido se le conoce como incógnita

y se representa mediante una letra o un

símbolo la letra típica que se suele

utilizar es la letra X que hace el papel

de ese número desconocido que debemos

encontrar y como vimos para que se

cumpla la igualdad el valor de X debe

ser igual a 3 y esta ecuación que vimos

se conoce como ecuación de primer grado

y tiene una única solución que es un

número bien Ahora veamos Qué es una

ecuación diferencial una ecuación

diferencial será una ecuación que

relaciona una función con sus derivadas

es decir en este tipo de

la incógnita es una función veamos un

ejemplo sencillo supongamos que tenemos

que la derivada de una función FX con

respecto a x es igual a 4 lo que tenemos

que hacer es encontrar Qué función FX

hace que se cumpla la igualdad nosotros

podemos utilizar lo que ya conocemos de

las reglas de derivación y con ello

saber que la función F de X tiene que

ser igual a 4x + C donde se representa

una constante si es que derivas esta

función obtendrás que su derivada es

igual a 4 por lo tanto la solución para

esta ecuación diferencial es F de X es

igual a 4x + c como vemos A diferencia

de las ecuaciones normales donde la

solución es un número en este caso las

soluciones una función O mejor dicho una

familia de funciones pero mejor veamos

esto en más detalle y vimos que la

solución de nuestra ecuación diferencial

sencilla era F de X es igual a 4x + C

donde c es una constante que puede ser

cualquier número real es decir tenemos

una familia infinita de funciones

lineales que se diferencian por el

término c y todas estas funciones serán

soluciones de nuestra ecuación

diferencial sin embargo usualmente

cuando resolvamos una ecuación

diferencial el problema nos dará las

llamadas condiciones iniciales y con

estas condiciones podremos determinar el

valor de la constante c y con ello

nuestra solución sólo será una única

función pero veremos esto en más detalle

en los ejemplos posteriores estas

ecuaciones diferenciales podríamos

clasificarlas en dos grupos las

ecuaciones diferenciales ordinarias de

manera abreviada hedo y la ecuación

diferencial en derivadas parciales de

forma abreviada edp muy bien empecemos

por las ecuaciones diferenciales

ordinarias pero para eso pongamos mejor

Un ejemplo te presento a la ecuación

diferencial logística que describe el

crecimiento de una población en el

tiempo en esta ecuación podemos ver que

la variable es y que es igual a FX que

es una función de una sola variable

entonces las ecuaciones diferenciales

ordinarias son ecuaciones diferenciales

donde la incógnita es una función de una

sola variable y ese tipo de ecuaciones

son bastante comunes por otro lado en

las ecuaciones en derivadas parciales

tenemos como ejemplo a la ecuación

diferencial de onda donde podemos ver

que la variable es u que es una función

que depende de dos variables de x y de T

por lo tanto las ecuaciones en derivadas

parciales son ecuaciones diferenciales

cuya incógnita es una función de dos o

más variables y ahora que tenemos una

mejor idea de cómo clasificar a estas

ecuaciones veamos algunos ejemplos de

ecuaciones diferenciales muy

interesantes la segunda ley de Newton

establece una relación entre la fuerza

aplicada a un objeto y la aceleración

que experimenta dicho objeto es decir la

fuerza es igual un producto de la masa

por la aceleración sin embargo la

aceleración es la segunda derivada del

vector posición con respecto al tiempo

por lo tanto es una ecuación diferencial

que al resolverla podremos obtener las

velocidades y las posiciones para cada

instante de tiempo y por ello la segunda

ley de Newton es una ley fundamental

para la física clásica y tiene una

importancia en varios aspectos veamos

algunos ejemplos de su aplicación si

tenemos una pelota y la arrojamos con

una cierta velocidad inicial y formando

un ángulo con respecto a la horizontal

la trayectoria de este proyectil seguirá

una curva definida por una ecuación

diferencial que se obtiene a partir de

la Segunda ley de Newton y ahora vamos a

obtener las ecuaciones de movimiento

para el lanzamiento de una pelota en

ausencia de resistencia del aire si

lanzamos la pelota con una velocidad

inicial B sub 0 y un ángulo de

lanzamiento igual a teta la pelota se

moverá siguiendo esta trayectoria y

podemos analizar las fuerzas intervienen

en este instante de tiempo la única

fuerza que interviene es la fuerza de

gravedad o peso que es una fuerza de

atracción que tira hacia abajo a la

pelota y que es igual al producto de la

masa por la aceleración de la gravedad G

la segunda ley de Newton Establece que

la fuerza es igual al producto de la

masa por la aceleración Y esta es una

ecuación vectorial dado que el

movimiento se den dos dimensiones

podemos separar este ecuación en dos

ecuaciones más la fuerza en dirección

del eje x es igual a la masa por la

aceleración en el eje x y la fuerza en

el eje y es igual a la masa por la

aceleración en el eje y sin embargo la

fuerza en el eje x es igual a cero por

lo tanto podemos deducir que la

aceleración en el eje x también es igual

a cero por otra parte la fuerza en el

eje y es igual al peso mg y de aquí

podemos obtener que la aceleración en el

eje y es igual a g que es la aceleración

de la gravedad la primera ecuación nos

dice que la aceleración en el eje x es

igual a cero y que la aceleración sea 0

significa que la velocidad En esa

dirección es constante es decir con un

movimiento rectilíneo uniforme y por

otro lado la aceleración en el eje y es

igual a la gravedad que es un valor

constante esto significa que la pelota

se moverá con movimiento rectilíneo

uniformemente variado en el eje y ahora

a partir de estas aceleraciones

obtendremos las velocidades y posiciones

en ambos ejes y empecemos analizando

para el eje x la aceleración es igual a

cero por otro lado la aceleración en el

eje x es igual a la derivada de la

velocidad en x con respecto al tiempo

tomando la condición inicial de que la

velocidad al inicio es B sub 0 y

resolviendo esta ecuación diferencial

obtendremos que la velocidad en x es

igual a V Sub Zero multiplicado por el

coseno de el ángulo teta y por otra

parte la velocidad en el eje x es igual

a la derivada de la posición x con

respecto al Tiempo al resolver esta otra

ecuación diferencial obtendremos que el

desplazamiento en x es igual a V Sub

Zero multiplicado por el coseno de teta

por el tiempo t y ahora veamos para el

eje y sabemos que la aceleración es

igual a g además la aceleración en y es

igual a la derivada de la velocidad en

el eje y con respecto al Tiempo al

resolver esta ecuación diferencial

obtenemos que la velocidad en y es igual

a v0 por el seno de teta más G por t

ahora obtengamos la posición en el eje y

sabemos que la velocidad en el eje y es

igual a la derivada de y con respecto al

Tiempo al resolver esta ecuación

diferencial obtenemos que y es igual a

v0 multiplicado por el seno de teta por

el tiempo más un medio por la gravedad

por el tiempo al cuadrado por lo tanto

ya tenemos las ecuaciones que describen

Cómo se despla la pelota a lo largo del

eje x y del eje Y con estas ecuaciones

podemos formar El par ordenado x,y que

nos dará las coordenadas de la pelota a

lo largo de toda la trayectoria por lo

tanto podemos predecir exactamente su

posición para cada instante de tiempo y

ahora utilicemos las ecuaciones de

movimiento que obtuvimos para poder

simular el lanzamiento de una pelota en

ausencia de resistencia del aire para

ello tenemos que establecer las

condiciones iniciales de este problema

Por ejemplo la velocidad de lanzamiento

será de 9 metros por segundo el ángulo

de lanzamiento será de 45 grados la

aceleración de la gravedad es 9.8 metros

por segundo al cuadrado y tomando en

cuenta estos datos y reemplazando en las

ecuaciones de movimiento para x y para y

podemos obtener las coordenadas de la

trayectoria parabólica que seguirá la

pelota en cada instante de tiempo tal

como podemos ver aquí en la animación y

tal vez pienses que es poco realista

simular lanzamiento de una pelota sin

considerar la resistencia del aire Ya

que en la vida real la resistencia del

aire juega un papel muy importante y

afectará al movimiento de la pelota sin

embargo podemos modelar la resistencia

del aire matemáticamente y con ello

obtener la trayectoria de este

movimiento con resistencia de aire para

ello supongamos que lanzamos la pelota

con un ángulo de lanzamiento igual a

teta ahora la trayectoria de la pelota

se verá influenciada por dos fuerzas la

fuerza de gravedad que tira la pelota

hacia abajo y la fuerza de resistencia

que está en contra del movimiento de la

pelota y que llamaremos F sub r y esta

fuerza de resistencia es igual a menos

MB por la velocidad el signo menos se

debe a que es una fuerza en contra de la

dirección del movimiento y esta fuerza

como vemos es proporcional a la masa a

la velocidad con la cual se mueve la

pelota y a un parámetro llamado b y esto

significa que mientras más tenga el

objeto y más velocidad tenga mayor será

la fuerza de resistencia por otro lado

el parámetro B se conoce como

coeficiente de arrastre o de resistencia

y este número tomar en cuenta la

interacción del objeto en movimiento con

el medio que es el aire de tal manera

que mientras más grande sea el valor de

B mayor será la resistencia del aire y

esta fuerza de resistencia de aire se

puede descomponer en sus dos componentes

vertical y horizontal es decir en una

fuerza de resistencia en dirección del

eje x que es igual a menos MB por la

velocidad en el eje x y otra en

dirección del eje y que es igual a menos

m por B por la velocidad en el eje y

tomando en cuenta estas componentes de

la fuerza de resistencia podemos obtener

las ecuaciones de movimiento utilizando

la segunda ley de Newton para ello

graficamos la pelota en el instante que

vimos en la animación y analizamos

cuáles son las fuerzas a las que está

sometida la pelota tenemos el peso mg

que apunta hacia abajo la fuerza de

resistencia en el eje y en ese instante

también apunta hacia abajo y la fuerza

de resistencia en el eje x está en

dirección opuesta al eje positivo de las

x recordando que la segunda ley de

Newton es fuerza es igual a masa por

aceleración al Separar en sus

componentes en el eje x y en el eje y

obtenemos las siguientes ecuaciones

diferenciales al resolverlas obtendremos

la velocidad en el eje x y la velocidad

en el eje y Cómo podemos ver al incluir

la fuerza de resistencia las ecuaciones

para la velocidad Son más complejas que

en el caso sin resistencia de aire

Tomando estas expresiones para la

velocidad y resolviendo las ecuaciones

diferenciales obtendremos las ecuaciones

de movimiento para la pelota y estas

ecuaciones describen Cómo cambiará la

posición de la pelota en cada instante

de tiempo y ahora veamos una simulación

del movimiento parabólico con

resistencia del aire para ello

utilizaremos de movimiento que obtuvimos

junto a las siguientes condiciones

iniciales la velocidad inicial de

lanzamiento V Sub Zero es igual a 9

metros por segundo el ángulo será igual

a 45 grados el coeficiente de arrastre

será igual a 0.2 y la gravedad es 9.8

metros por segundo al cuadrado y al

realizar la animación podemos ver cuál

es la trayectoria de la pelota pero tal

vez no notas la diferencia Pero ha

recorrido menos distancia comparada con

el primer caso donde no se tomó en

cuenta a la resistencia del aire la

Gráfica de rojo muestra la trayectoria

si no se toma en cuenta la resistencia

del aire como vemos con las ecuaciones

de movimiento podemos determinar la

posición la velocidad y la aceleración

en cada instante de tiempo Y esta es la

importancia de la Segunda ley de Newton

al conocer la fuerza que actúa sobre un

objeto esta ley nos permite obtener la

trayectoria que seguirá en cada instante

de tiempo y todo esto Gracias al

resolver las ecuaciones diferenciales de

movimiento y ahora veamos otra

aplicación llamada la ley de

enfriamiento de Newton Y esta es una

ecuación diferencial que describe Cómo

cambia la temperatura de un objeto a

medida que pierde calor al entorno la

ecuación dice que la derivada de la

temperatura con respecto al tiempo es

igual a menos K multiplicado por t menos

t sub a donde K es la constante de

enfriamiento y t sub a es la temperatura

del ambiente la derivada de la

temperatura con respecto al tiempo nos

indica qué tan rápido cambia la

temperatura y el signo menos indica que

la temperatura irá disminuyendo Mientras

más grande sea la diferencia entre t y t

sub a lo hará con mayor rapidez y para

entender mejor veamos un ejemplo

supongamos que tienes una tasa de café

muy caliente por lo tanto la temperatura

del café será mayor a la temperatura

ambiente la ley de enfriamiento de

Newton nos dice que el café se enfriará

rápidamente al inicio debido a que la

diferencia entre la temperatura de café

y el ambiente es mayor Pero a medida que

pasa el tiempo la diferencia de

temperatura entre el café y el aire se

reduce por lo que el enfriamiento del

café Se volverá cada vez más lento y

algunas aplicaciones de la ley de

enfriamiento de Newton son las

siguientes en termodinámica se utiliza

para estudiar y comprender los procesos

de transferencia de calor en ingeniería

se usa para el diseño de sistemas de

refrigeración y calefacción en

meteorología se utiliza para el estudio

del enfriamiento de la atmósfera en

medicina para el estudio de cómo se

enfrían los tejidos corporales y también

tiene aplicación en las Ciencias

forenses y otra aplicación interesante

es el modelo sir el cual es un modelo

básico de epidemiología que sirve para

comprender y predecir la propagación de

enfermedades infecciosas en una

población y este es un modelo básico que

es muy utilizado desde hace muchos años

el modelo zir divide a la población en

tres grupos los susceptibles que son

personas no infectadas y que pueden

contraer la enfermedad los infectados

que son las personas que actualmente ya

están enfermas y pueden transmitirlas a

otras personas y los recuperados que son

las personas que se recuperan de la

enfermedad y desarrollan inmunidad de

manera general los susceptibles pasarán

a ser infectados y los infectados a ser

recuperados y estos tres grupos Irán

evolucionando en el tiempo y esta

evolución está dada por el siguiente

conjunto de ecuaciones diferenciales

donde los grupos s y r son funciones que

dependen del tiempo y dadas las

condiciones iniciales podremos resolver

este conjunto de ecuaciones

diferenciales y analizar la evolución de

cada uno de los grupos a lo largo del

tiempo y otro conjunto de ecuaciones

diferenciales muy importantes son las

ecuaciones de Maxwell que son un

conjunto de cuatro ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales muy

importantes en electromagnetismo y estas

ecuaciones diferenciales des Cómo se

comportan los campos eléctricos y

magnéticos y Cómo interactúan entre sí

con las cargas y corrientes eléctricas

están compuestas de las siguientes

ecuaciones la ley de gauss para el campo

eléctrico que establece que el flujo de

campo eléctrico a través de una

superficie cerrada es proporcional a la

carga eléctrica neta encerrada por esa

superficie la ley de gauss para el campo

magnético que establece que el flujo del

campo magnético a través de una

superficie cerrada es siempre igual a

cero y esto significa que no existen

monopolos magnéticos la ley de faraday

que establece que un cambio en el campo

magnético a lo largo de una trayectoria

cerrada induce un campo eléctrico

alrededor de esa trayectoria la ley de

amper Maxwell que relaciona la

circulación del campo magnético

alrededor de una trayectoria cerrada con

la corriente eléctrica en esa

trayectoria y la variación temporal del

campo eléctrico las ecuaciones de

Maxwell son para el desarrollo de

tecnologías como las telecomunicaciones

la generación de energía eléctrica y la

electrónica y otra ecuación diferencial

importante es la ecuación de schrödinger

que es una ecuación diferencial en

derivadas parciales que describen Cómo

evolucionan el tiempo la función de onda

lo que a su vez permite calcular las

propiedades observables de una partícula

como su posición su momento y su energía

y esta ecuación es la base matemática de

la teoría cuántica que describe el

comportamiento de las partículas a nivel

microscópico permite modelar una amplia

variedad de sistemas cuánticos desde

partículas individuales hasta sistemas

más complejos como átomos moléculas y

materiales sólidos y para terminar

tenemos las ecuaciones de friedman que

son ecuaciones fundamentales para la

cosmología ya que describen la evolución

del universo en el marco de la teoría de

la relatividad general de Einstein y

esta ecuación fue formulada por

Alexander friedman en la década de 1920

se deriva a de las ecuaciones de campo

de Einstein y establece la relación

entre la geometría del universo y Su

contenido de materia y energía las

ecuaciones de friedman son muy

importantes debido a que muestran como

el universo puede expandir o contraerse

y proporciona la base teórica para el

concepto de expansión del universo y

también es fundamental en el desarrollo

de la teoría del Big Bang y

definitivamente las ecuaciones

diferenciales son una ventana al vasto y

maravilloso Cosmos que nos rodea a

través de ellas hemos logrado entender

los patrones y las leyes que gobiernan

los movimientos de los cuerpos celestes

desde el lanzamiento de una pelota las

órbitas planetarias y hasta la expansión

del propio universo nos ha permitido

explorar los secretos del espacio

profundo y desvelar fenómenos

fascinantes como los agujeros negros y

las ondas gravitacionales pero las

ecuaciones diferenciales no solo nos

conectan con el cosmos también impulsan

el desarrollo tecnológico que mejora

nuestra vida cotidiana estas ecuaciones

son esenciales para diseño y la

optimización de sistemas y procesos

complejos gracias a ellas podemos

predecir y controlar la propagación de

ondas electromagnéticas modelar y

comportamiento de fluidos en

aerodinámica y entender los circuitos

eléctricos que alimentan a todos

nuestros dispositivos electrónicos Así

que tanto si eres un científico

explorando los misterios del universo

como un ingeniero creando soluciones

innovadoras las ecuaciones diferenciales

son tus aliadas más valiosas son la

llave que nos Abre a las puertas del

conocimiento y el progreso son mucho más

que fórmulas raras y símbolos

matemáticos son los cimientos de nuestro

entendimiento del universo y Los pilares

de nuestro desarrollo tecnológico nos

inspiran a explorar descubrir y

transformar nuestro entorno Muchas

gracias por tu atención y nos vemos en

el próximo video

[Música]

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