PS1 - Le problème des anniversaires
Summary
TLDRThe video explores the famous 'birthday paradox,' which examines the probability that, in a group of people, at least two share the same birthday. The presenter explains the assumptions used, such as independent birthdays, a non-leap year, and each day being equally likely for birth. Through intuitive reasoning and mathematical calculations, it's revealed that in a group of 23 people, there is over a 50% chance of a shared birthday. The paradox highlights the surprising nature of probability, contrasting it with common intuition and offering real-world examples like the World Cup to validate the theory.
Takeaways
- 🎉 The script discusses a probability puzzle based on the 'birthday paradox,' where the aim is to find the likelihood of two people sharing the same birthday in a group.
- 📊 The main question is to determine the number of people required for the probability of at least two sharing a birthday to be greater than or equal to 50%.
- 🎯 A key assumption is that each day of the year is equally likely as a birthday, and leap years are ignored for simplicity.
- 🤔 For a group of 23 people, the probability of two sharing a birthday is slightly over 50% (around 50.7%).
- 🔍 The script explains that with two people, the probability of a shared birthday is very low (1/365), and this probability increases as more people are added.
- 📈 By the time there are 366 people, the probability of two sharing a birthday is 100% due to the 'pigeonhole principle,' since there are only 365 days in a year.
- 🔄 The discussion highlights how computing the probability becomes more complex as the number of people increases, but calculating the inverse (the probability of no shared birthdays) simplifies the task.
- 💡 The counterintuitive nature of the birthday paradox is emphasized, as people often underestimate how quickly the probability increases with larger groups.
- ⚽ The example of the World Cup is used to illustrate real-world scenarios where groups of 23 players are likely to include two people with the same birthday.
- 📚 The script concludes by pointing out that this probability puzzle is an example of how intuition can sometimes be misleading in probability theory, offering both theoretical and practical insights.
Q & A
What is the main topic of the video?
-The video discusses the 'birthday paradox,' which explores the probability that, in a group of people, at least two individuals share the same birthday.
What assumptions are made in the problem?
-The assumptions made include: birthdays are independent, every year has 365 days (ignoring leap years), and each day of the year is equally likely for a birthday.
What is the goal of the 'birthday paradox' problem?
-The goal is to determine the minimum number of people required in a group for there to be a 50% or higher probability that at least two people share the same birthday.
Why is the 'birthday paradox' considered a paradox?
-It's considered a paradox because the result (only 23 people needed for a 50% chance) is counterintuitive to most people's initial intuition, which often expects a much larger number.
What is the principle of the pigeonhole used in the explanation?
-The pigeonhole principle states that if you have more items (people) than containers (days in a year), at least one container must hold more than one item. Applied here, with 366 people and 365 possible birthdays, at least two people must share a birthday.
How does the video calculate the probability for small groups, like two or three people?
-For two people, the probability that they share the same birthday is calculated as 1/365. For three people, the configurations where at least two share a birthday are considered, taking into account combinations of shared birthdays.
At what number of people does the probability of shared birthdays exceed 50%?
-The probability exceeds 50% when there are 23 people in the group.
Why is it easier to calculate the probability that no two people share a birthday?
-It's easier to calculate the probability that no two people share a birthday because you can multiply the probabilities of each successive person having a unique birthday, given the birthdays already taken.
How does the probability change as the number of people increases?
-The probability that at least two people share a birthday increases rapidly as the number of people in the group grows. For example, with 57 people, the probability is over 99%.
What real-world example does the video use to illustrate the birthday paradox?
-The video uses the FIFA World Cup as an example, where each team has 23 players, demonstrating that it's common for teams to have at least two players sharing a birthday.
Outlines
🎉 Understanding the Birthday Problem
In this opening, the speaker sets the stage with a scenario: you're at a party, and someone proposes a bet about shared birthdays. The challenge is to figure out how many people need to be present for there to be a 50% chance that at least two share the same birthday. Several assumptions are clarified: birthdays are independent, years have 365 days, and each day has an equal probability of being someone's birthday. With these assumptions, the speaker explores when the odds tip in favor of a shared birthday.
📊 Calculating Probability for Small Groups
This section walks through simple cases with few people. For two people, the probability of sharing a birthday is nearly zero, and for three people, it remains low. The speaker explains how to calculate the number of birthday configurations using probabilities, eventually showing that the odds of a shared birthday are still quite slim with just a few individuals. The explanation uses examples involving Alice, Bob, and Camille to explore possible birthday overlaps.
🔢 Probability for Larger Groups
The focus here shifts to larger groups. As the group size approaches 365, the probability of two people sharing a birthday rises sharply, reaching 100% with 366 people due to the pigeonhole principle. The speaker provides a formula to calculate the probability of no shared birthdays in a group, highlighting that as more people are added, the chances of shared birthdays increase rapidly. They explain that at 23 people, the probability of a shared birthday surpasses 50%, a surprising result for many.
📉 Graphing the Birthday Paradox
In this part, the speaker presents a graph showing how the probability of a shared birthday increases with group size. The probability jumps quickly, crossing 50% with 23 people and reaching over 99% with 57 people. This visual demonstrates how counterintuitive the birthday paradox is, as people often underestimate the likelihood of shared birthdays in small groups.
🧮 Breaking Down the Formula
The speaker revisits the formula used to calculate birthday probabilities, emphasizing its complexity. They discuss how the formula is easier to understand when focusing on the probability of no shared birthdays, which leads to quicker and more manageable calculations. This section also touches on how different interpretations of the problem can lead to various outcomes.
⚽ Real-World Example: FIFA World Cup
To provide a real-world application, the speaker mentions the FIFA World Cup, where 32 teams, each with 23 players, replicate the birthday problem. Historical data from past World Cups shows that in around half the teams, at least two players share a birthday, further validating the theoretical results. This example highlights how probability plays out in real life, offering an engaging connection between theory and reality.
👋 Wrapping Up and Final Thoughts
The video concludes with a thank you to viewers, encouraging them to share and subscribe. The speaker hints that probability and statistics will be recurring themes in future videos, and leaves the audience with a teaser for upcoming content. The tone is engaging and invites further discussion on the surprising and often counterintuitive results of the birthday paradox.
Mindmap
Keywords
💡Probability
💡Birthday Paradox
💡Independent Events
💡365 Days Assumption
💡Factorial
💡Configurations
💡Pigeonhole Principle
💡Intuition vs. Reality
💡Exponential Growth
💡Real-World Applications
Highlights
The speaker presents a scenario where a person proposes a bet about shared birthdays in a group of people at a party.
The problem is to determine from what number of people the probability of at least two people sharing the same birthday exceeds 50%.
Hypotheses: Birthdays are independent of each other, there are 365 days in a year, and all days are equally probable for a person's birth.
With zero or one person, the probability of shared birthdays is zero because there are not enough people to compare.
For two people, the probability of them sharing the same birthday is 1/365, approximately zero.
For three people, the probability slightly increases, but remains close to zero due to the small number of people.
If there are 366 people, it's certain that at least two share the same birthday due to the 'pigeonhole principle.'
With 365 people, the probability of two people sharing the same birthday is very close to one.
The speaker calculates the probability of no shared birthdays and subtracts that from one to find the probability of at least two shared birthdays.
The result is that with 23 people, the probability of shared birthdays exceeds 50%, reaching about 50.7%.
The speaker refers to this problem as the 'birthday paradox,' where the result is counterintuitive.
As the number of people increases to 57, the probability of shared birthdays exceeds 99%.
The speaker explains how intuition can be misleading in this problem due to the complexity of the number of possible comparisons between people.
A comparison is made with another problem where only one specific person's birthday is compared to others, requiring 254 people for a 50% probability.
The speaker gives the example of the FIFA World Cup, where each team has 23 players, and in 2010 and 2014, roughly half of the teams had players with shared birthdays.
Transcripts
bonjour à tous imaginez que vous êtes en
soirée vous discutez avec quelqu'un et
cette personne vous propose un Paris
elle parie qu'il n'y a pas de personnes
dans l'assemblée qui ont leur
anniversaire le même jour si vous
acceptez vous gagnerez si au contraire
il y a au moins deux personnes qui ont
leur anniversaire le même jour alors
vous regardez autour de vous et vous
comptez 29 personnes la question est ce
Paris est-il à votre avantage donc en
fait le problème ici est déterminer à
partir de quel nombre de personnes la
probabilité qu'au moins deux d'entre
elles et leur anniversaire le même jour
est supérieur ou égal à 50 %. alors vous
pouvez bien sûr dès à présent mettre la
vidéo en pause pour réfléchir par
vous-même mais avant ça moi je vais
donner quelques hypothèses qui
permettent de bien spécifier le problème
une première hypothèse c'est que les
anniversaires sont indépendants
c'està-dire que savoir qu'une certaine
personne est née un certain jour
n'influent en rien sur les probabilités
qu'une autre personne soit née tel ou
tel jour une deuxième hypothèse c'est
que toutes les années ont 365 jours donc
on néglige la présence des années bexyle
et des personnes qui seraient né en 29
février ça ne ferait que rendre les
calculs plus compliqué ça changerait pas
grand-chose la troisième hypothèse c'est
que pour chaque personne on considère
que chaque jour est également probable
comme jour de naissance donc pour chaque
personne et pour chaque jour la
probabilité que la personne soit né ce
jour là est égal à 1/ 365 toutes les
configurations sont également probables
alors voilà ces hypothèses étant dites
maintenant on peut répondre à la
question à partir de combien de
personnes la probabilité qu'il y ait au
moins deux anniversaires en commun est
supérieur au ég à 50 %. je vais donner
la réponse exacte mais ce qui est
intéressant dans ce problème c'est
d'essayer d'estimer intuitivement le
résultat alors bien sûr à la louche he
mettons à ne serait-ce que 25 ou 50
personnes près vous vous diriez combien
avant de commencer à traiter le cas d'un
nombre général de personnes commençons
d'abord par regarder ce qui se passe
dans les cas extremmos c'estd quand il y
a très peu de personnes ou au contraire
quand il y a beaucoup de personnes
premièrement quand il y a zéro ou une
personne c'est facile la probabilité
cherché rigoureusement égale à zé en
effet il y a même pas deux personnes
donc il est pas possible que deux
personnes et leur anniversaire commun
regardons ce qui se passe maintenant
dans le cas où il y a deux personnes
d'après les hypothèses qu'on a faites
toutes les configurations où la première
personne n un premier jour et la
deuxième personne est née un 2uxième
jour toutes ces configurations ont la
même probabilité qui est égale à 1/ 365
x 365 c'est-à-dire 1 sur 365 au carré
maintenant ce qu'il faut c'est compter
les configurations où il y a un
anniversaire en commun c'est-à-dire où
les deux personnes sont nées le même
jour et là encore c'est pas trop
difficile il y a 365 possibilités soit
elles sont toutes donné le premer jour
de l'année soit sont toutes les données
le 2è jour de l'année ou le 3è et cetera
jusqu'au dernier jour donc au total la
probabilité qu'il y ait au moins deux
anniversaires en commun est égal à
365/ 365 au carré c'est-à-dire 1/ 365 et
ça c'est à peu près égal à zéro
regardons ce qui se passe maintenant
quand il y a trois personnes mettons
Alice Bob et Camille pour Alice il y a
365 jours possibles pour son
anniversaire pour Bob de même et pour
Camille de même donc au total on a un
nombre de configuration qui est égal à
365 x 365 x 365 c'est-à-dire 365 au cube
et toutes ces configurations ont la même
probabilité maintenant ce qu'il faut
c'est dénombrer les configurations qui
nous intéressent c'est-à-dire celle où
il y a au moins deux anniversaires un
même jour alors il faut d'abord compter
les configurations où alice et Bob ont
leur anniversaire un même jour et qui
mis un autre jour dans ce cas-là il y a
365 possibilités pour le jour de
naissance commun ice et Bob et il reste
364 possibilités pour Camille maintenant
il faut aussi compter les configurations
Alice et Camille ont leur anniversaire
le même jour et Bob à are jour et enfin
les configurations Bob et Camille ont
leur anniversaire le même jour et Alice
a son anniversaire à autre jour donc là
on vient de compter 3 fois 365 x 364 à
ça il faut rajouter les 365
configuration où Alice Bob et Camille
sont nés le même jour donc au total la
probabilité qui nous a intéresse la
probabilité que deux personnes au moins
soi le même jour est donné par la
formule qui est à l'écran et le résultat
est là encore à peu près
zéro alors avant de passer au cas avec
quatre personnes qui est un peu plus
compliqué allons tout de suite à l'autre
extrémité le cas où il y a beaucoup de
personnes le cas qui est facile c'est
s'il y a 366 personnes ou plus en effet
dès qu'il y a au moins 366 personnes vu
qu'il n'y a que 365 jours dans l'année
il y a forcément un jour où deux
personnes sont nées ça c'est le principe
p des tiroirs maintenant qu'est-ce qui
se passe dans le cas où il y a
exactement 365 personnes et bien ici ce
qui va être beaucoup plus facile c'est
de calculer la probabilité qu'il n'y ait
pas deux anniversaires en commun c'est
la probabilité que chaque personne soit
la seule à être né le jour où elle est
née donc pour la première personne il y
a 365 jours possibles pour son
anniversaire pour la 2uxe personne il
reste 364 jours possibles pour la 3è
personne 363 joursibles et ainsi de
suite jusqu'à la dernière personne pour
qui il ne reste plus qu'un jour possible
donc le nombre de configurations qui
nous intéresse est égal à 365 x 364 x
363 et cetera x 3 x 2 x 1 maintenant il
y a un nombre de configuration totale
qui est égale à 365 x 365 x 365 et ainsi
de suite x 365 en fin de compte la
probabilité qu'il y ait deux
anniversaires au moins un même jour est
égale à 1- la probabilité qu'il n'y ait
pas de anniversaires en commun et ça
c'est égal à 1-in une fraction dont le
numérateur est 365 x 364 x 363 et cetera
x 3 x 2 x 1 et Don le dénominateur est
365 x 365 et cetera x 365 il y a en haut
et en bas 365 facteurs dans les produits
voilà et donc ça numériquement c'est
très très proche de 1 comme on pouvait
s'en douter donc pour résumer quand il y
a 0 ou une personne la probabilité qu'on
cherche est égale à é0 quand il y a deux
ou trois personnes cette probabilité est
toujours très faible au contraire quand
il y a 366 personnes ou plus cette
probabilité est exactement égal à 1
tandis que quand il y a 365 personnes C
probabilité est très proche de 1 alors
de 0 à 366 cette probabilité va
augmenter avec le nombre de personnes et
la question c'est à partir de combien de
personnes elle dépasse le seuil des 50 %
est-ce que vous diriez à peu près 365 /
2 soit grosso modo 180 ou plutôt de
l'ordre de 100 ou de 250 là encore he à
la louche et au
pipomètre alors voilà je suis maintenant
sur le point de donner la réponse dans
le cas général donc si vous voulez faire
pause et réfléchir par vous-même que ce
soit pour le calcul ou pour essayer de
trouver intuitivement la solution ça
commence à être plus ou moins le dernier
moment sur ce en fait avant de donner la
réponse je vais expliquer comment on y
arrive bon je voudrais pas non plus
créer le suspense inutilement he la
réponse c'est 23 voilà ceci étant dit
maintenant voyz comment on y arrive
alors voilà maintenant dans le cas
général où il y a un nombre grandain de
personnes le nombre total de
configuration est égal à 365 x 365 x 365
et cetera x 365 c'est-à-dire 365
exposant n alors si on veut déterminer
la probabilité qu'il y ait au moins deux
anniversaires en commun il faut
dénombrer toutes les configurations qui
nous sont favorables et ça ça devient
très vite très compliqué pour s'en
convaincre il suffit de regarder le cas
avec quatre personnes il va falloir
compter toutes les configur
configuration où deux personnes ont leur
anniversaire un même jour et la 3ème et
la 4è personnes ont leur anniversaire
deux autres jours différents puis toutes
les configurations ou deux personnes ont
leur anniversaire le même jour et les
deux autres personnes ont leur
anniversaire le même jour mais un autre
jour ensuite toutes les configurations
ou trois personnes ont leur anniversaire
le même jour et la 4ème à son
anniversaire un autre jour et enfin
toutes les configurations ou les quatre
personnes ont leur anniversaire le même
jour et ça ce n'est que le cas N = 4
donc ce qui va être beaucoup plus simple
ici c'est de compter plutôt les
configurations qui ne sont pas
favorables c'estàdire les configurations
où toutes les personnes sont nées un
jour différent en fait c'est exactement
ce qu'on a vient de faire dans le cas
avec N = 365 personnes et ici on va
trouver que le nombre de configurations
où toutes les personnes ont un
anniversaire différent est égal à 365 x
364 x 363 et ainsi de suite jusqu'à 365-
grand n + 1 donc maintenant la
probabilité qui nous intéresse est égale
à 1 moins la probabilité qui n'y ait pas
des anniversaires le même jour et ça
c'est donné par la formule qui est
affichée à l'écran donc voilà maintenant
qu'on a la formule il suffit d'évaluer
le membre de droite pour toutes les
valeurs de grand N allant de 0 à 366 je
vous les tracer en rouge sur le
graphique qui s'affiche à l'écran en
ordonnée c'est-à-dire l'axe vertical
vous avez la probabilité qu'on cherche
et en abscisse c'est-à-dire l'axe
horizontal vous avez le nombre de
personnes comme on le voit ici il va
falloir moins de 30 personnes pour
passer au-dessus de la barre des 50 %.
en fait si si on zoome entre 20 et 26 on
va voir que dès qu'on a n = 23 personnes
on a franchi ce seuil et en fait plus
précisément pour n = 23 personnes est à
peu près à 50,7 % de chance que deux
personnes au moins aent leur
anniversaire le même jour dzomons
maintenant un peu pour regarder ce qu'il
se passe quand n varie de 0 à 366
personnes comme vous le voyez sur ce
graphique la probabilité augmente très
vite vers 1 en fait dès qu'il y a 57
personnes dans l'assemblée il y a déjà
plus de 99 % de chance que deux
personnes au moins et leur anniversaire
le même jour alors ce résultat est un
peu surprenant je sais pas si vous vous
l'aviez trouvé mettons même à 25 ou à 50
personnes près mais la première fois
qu'on l'entend le faible nombre requis
23 est assez déroutant d'ailleurs le
problème des anniversaires est aussi
connu sous le nom de paradoxe des
anniversaires plus précisément c'est un
paradoxe de type véridique c'est-à-dire
que le problème a met une réponse qu'il
est possible d'établir rigoureusement
mais cette réponse vient se heurter à
l'intuition et ici en l'occurrence c'est
l'intuition qui perd bon alors il faut
bien reconnaître que c'est un problème
qui n'est pas du tout facile comme on
l'a vu quand on veut calculer la
probabilité que deux personnes au moins
aent leur anniversaire le même jour il
faut dénombrer les cas favorables et ça
c'est pas du tout facile ce qui était un
peu plus facile en revanche c'était de
dénombrer les cas favorables et ça ça
nous produit une belle formule mais bon
voilà pour quelqu'un qui n'a pas l'œil
aguéri il n'est pas du tout évident de
lire sur cette formule le fait que la
probabilité augmente très vite vers
1 de plus une chose qui peut nous
induire en erreur en tout cas au niveau
intuitif c'est la confusion avec un
autre problème celui où on cherche la
probabilité que deux personnes aent leur
anniversaire le même jour l'une de ces
deux personnes étant fixée à l'avance ça
peut être vous ou votre interlocuteur ou
n'importe quelle autre personne fixée
mettons Alice si on s'intéresse à ce
problème le résultat est très différent
comme vous pouvez voir sur ce graphique
où j'ai tracé la probabilité en bleu ici
il faut 254 personnes pour que la
probabilité franchisse le seuil des 50
%. et à ce stade-là il est déjà
quasiment certain qu'il y a deux
personnes dans l'assemblée qui ont leur
anniversaire le même jour ça n'inclu pas
forcément
Alice la différence c'est que dans le
deuxième problème on compare uniquement
les anniversaires d'Alice et disons de
Bob de Camille Daniel Elena et ainsi de
suite mais dans le premier problème il
faut aussi comparer les anniversaires de
Bob et de Camille de Bob et d'Elena mais
aussi les anniversaires triple par
exemple Bob Camille et Elena et ainsi de
suite bref il y a très vite beaucoup
plus de
possibilités de fait le nombre total de
configurations et le nombre de
configurations qui n' sont favorables
deviennent très tellement grand que si
on ne fait pas attention à ce qu'on
demande de calculer un ordinateur est
très vite dépassé et oui il y a toujours
une limite au nombre qu'un ordinateur
peut manipuler en effet pour pouvoir les
manipuler il faut que ces nombres
puissent être stockés en mémoire de la
même façon que nous quand on veut
manipuler des nombres par exemple pour
faire une addition à la main il faut
d'abord qu'on puisse les écrire sur une
feuille de papier alors imaginons que
vous vouliez faire une addition sur une
feuille qui comporte mettons 20 carreaux
par ligne et mettons encore qu'on se
garde une dizaine de carreaux à droite
et à gauche pour faire de la mar pour
écrire le signe d'addition et cetera
puis peut-être aussi pour mettre des
espaces entre les groupes de trois
chiffres bon ben dans ce cas-là il nous
reste 10 carreaux et si on se dit qu'on
utilise maximum un chiffre par carreau
pour que ce soit encore lisible on peut
écrire des nombres qui au maximum a 10
chiffre donc là le plus grand nombre
qu'on va pouvoir écrire sur une telle
feuille de papier ça va être
9ard999li999999 et bien sur un
ordinateur c'est la même chose qui se
passe alors pour la petite anecdote
parce que ça serait dommage de pe avoir
une anecdote il existe un moyen
absolument fantastique pour tester
expérimentalement ce résultat ce moyen
c'est la Coupe du monde de football et
oui dans une coupe du monde de football
on regroupe 32 équipes et chaque équipe
possède exactement 23 joueurs donc à
chaque coupe du monde on réalise 32 fois
l'expérience qui consiste à prendre 23
personnes et à déterminer si oui ou non
parmi elles il y en a deux qui ont
anniversaire en commun alors 32 c'est
pas forcément un grand nombre mais si on
estime que la loi des grands nombres
peut commencer à s'appliquer on s'attend
à en trouver à peu près 16 disons entre
14 et 18 équipes dans lequel c'est le
cas et bien en 2010 il y avait 15 des 32
équipes dans lesquelles deux joueurs
avaient leur anniversaire en commun et
en 2014 il y avait précisément 16 des 32
équipes dans lesquelles c'était le cas
pour être un peu plus précis il y avait
même cinq équipes dans lesquelles il y
avait deux paires de joueurs ayant leur
anniversaire le même jour tandis qu'en
2010 il y avait même une équipe dans
laquelle trois joueurs avaient leur
anniversaire le même jour donc voilà une
coupe du monde de football c'est
probablement organisée principalement
pour d'autres raisons et ça permet aussi
de tester expérimentalement ce résultat
théorique cette vidéo est maintenant
terminée merci de l'avoir regardé si
vous l'avez aimé n'hésitez surtout pas à
la partager ce sera le meilleur moyen de
faire connaître la chaîne bien sûr vous
pouvez aussi vous abonner pour être
informé quand la prochaine vidéo sortira
enfin si vous le souhaitez vous pouvez
laisser des commentaires notamment
techniques sous la vidéo je suis preneur
le thème des probabilités statistiques
est un thème qui reviendra régulièrement
sur la chaîne notamment un peu la
prochaine fois mais la prochain e vidéo
sera principalement dédiée à une autre
rubrique en attendant je vous dis bonne
soirée ou bonne journée et à la fois
prochaine
Посмотреть больше похожих видео
Birthday Attack in Cryptography | How to attack a Person | Explained In Hindi | AR Network
Probability of an Event
Probability of Independent and Dependent Events (6.2)
The Two Envelopes Paradox : Math And Probability
10 Amazing Math Facts You Never Learned In School
"Mutually Exclusive" and "Independent" Events (...are VERY different things!)
5.0 / 5 (0 votes)