Método Simplex (2) Ejemplo Maximizar
Summary
TLDREste vídeo ofrece una explicación detallada del método simplex para resolver problemas de programación lineal. Se destaca el manejo de operaciones con fracciones y la importancia de seguir un procedimiento ordenado para llegar a la solución óptima. El presentador, un ingeniero, guía a los espectadores a través de la creación de la tabla simplex, selección de filas y columnas pivote, y la realización de operaciones de Gauss-Jordan para maximizar la función objetivo, culminando con la obtención de la solución que maximiza la utilidad.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre la resolución de problemas de programación lineal utilizando el método simplex en su versión primal.
- 🔢 Se enfatiza el manejo de operaciones con fracciones durante el proceso de resolución.
- 📝 Se describen las etapas iniciales de la preparación de las ecuaciones, incluyendo la adición de variables de holgura para las restricciones de tipo 'menor o igual'.
- ✅ Se explica cómo despejar la función objetivo, estableciendo que los elementos de la parte derecha de las ecuaciones se mueven a la izquierda.
- 📊 Se detalla el proceso de armado de la tabla simplex, incluyendo la ubicación de la función objetivo y la forma en que se manejan las variables y las holguras.
- 🎯 Se selecciona la columna y la fila pivote basándose en el elemento más negativo y el proceso de reducción de la columna.
- 🔄 Se describen las operaciones de reducción de la columna y las filas mediante el método de Gauss para alcanzar la solución.
- 📉 Se enfatiza la importancia de mantener el elemento pivote como 1 y la reducción de los demás elementos de la columna para facilitar la siguiente iteración.
- 🏁 Se menciona que una vez que no queden elementos negativos en la función objetivo, se ha alcanzado la optimización.
- 📚 Se invita a los espectadores a comentar sobre la metodología y a suscribirse al canal para recibir más contenido similar.
Q & A
¿Qué método se utiliza para resolver el problema de programación lineal presentado en el guion?
-Se utiliza el método simplex en su versión primal para resolver el problema de programación lineal.
¿Cuál es el objetivo principal al inicio del procedimiento simplex?
-El objetivo principal al inicio del procedimiento simplex es despejar la función objetivo, estableciendo que los elementos de la parte derecha de las restricciones pasen a la izquierda y equilibrar la ecuación a cero.
¿Cómo se manejan las restricciones menores o iguales en el método simplex?
-Las restricciones menores o iguales se manejan añadiendo una variable de holgura a cada una, transformándolas así en igualdades para facilitar el proceso de optimización.
¿Qué se hace con la función objetivo una vez que se han establecido las restricciones como igualdades?
-Una vez establecidas las restricciones como igualdades, la función objetivo se despeja y se iguala a cero, preparando el terreno para el armado de la tabla simplex.
¿Qué estrategia se sigue para seleccionar la columna pivote en el método simplex?
-Se selecciona la columna pivote basándose en el elemento más negativo de la función objetivo, ya que se busca maximizar la función objetivo.
¿Cómo se determina la fila pivote una vez seleccionada la columna?
-La fila pivote se determina tomando el elemento de la columna seleccionada que resulte en el cociente más pequeño y positivo al dividir por los elementos de la misma columna en la restricción, excluyendo el renglón de la función objetivo y los que tengan valores negativos o cero.
¿Qué significa el proceso de reducción de la columna en el método simplex?
-La reducción de la columna implica hacer que el elemento pivote valga 1 y eliminar los demás elementos de la columna para que valgan cero, a través de operaciones de filas de Gauss.
¿Cuál es la importancia de las operaciones con fracciones en el procedimiento simplex descrito?
-Las operaciones con fracciones son importantes en el procedimiento simplex porque permiten manejar de manera precisa los cocientes y las divisiones necesarias para el proceso de selección de pivote y reducción de filas y columnas.
¿Cómo se determina si se ha alcanzado la solución óptima en el problema de programación lineal?
-Se ha alcanzado la solución óptima cuando no queden elementos negativos en la función objetivo y no haya más columnas con valores negativos que puedan ser seleccionadas como pivote, lo que indica que no se puede mejorar la función objetivo sin violar las restricciones.
¿Qué se debe hacer con la columna de la función objetivo 'z' una vez que se han completado las operaciones de reducción?
-Una vez que se han completado las operaciones de reducción y no queden elementos negativos en la función objetivo, se debe incluir nuevamente la columna 'z' para interpretar la solución final del problema.
Outlines
📚 Introducción al Método Simplex en Programación Lineal
Este párrafo introduce el Método Simplex, una técnica utilizada en la resolución de problemas de programación lineal. Se enfoca en el enfoque primal y en la manipulación de restricciones de tipo 'menor o igual'. Se menciona la incorporación de variables de holgura para transformar las restricciones en igualdades, y se describe el proceso de despejar la función objetivo, estableciendo la base para la construcción de la tabla simplex.
🔢 Construcción de la Tabla Simplex y Selección de Pivote
Se detalla el proceso de creación de la tabla simplex, incluyendo la función objetivo y las restricciones trasformadas. Se describe cómo se ubican los coeficientes de la función objetivo y las variables de holgura dentro de la tabla. Además, se explica cómo se selecciona la columna y la fila pivote basándose en el elemento más negativo y los cocientes necesarios para llevar a cero los demás elementos de la columna pivote.
➗ Operaciones con Fracciones en el Método Simplex
Este párrafo se centra en las operaciones con fracciones que se realizan durante el proceso del Método Simplex. Se describen las operaciones de reducción de la columna pivote y la eliminación de los elementos debajo del pivote, utilizando fracciones para mantener la precisión en los cálculos. Se enfatiza la importancia de manejar correctamente las operaciones con fracciones para avanzar en la solución del problema.
🏁 Conclusión y Optimización del Problema Lineal
Finalmente, se llega a la conclusión del proceso de optimización, donde se ha alcanzado la condición de optimización ya que no quedan elementos negativos en la función objetivo. Se integran nuevamente las columnas de la función objetivo que habían sido omitidas temporalmente y se interpreta la solución final, obteniendo los valores óptimos para las variables y la utilidad máxima. Se resalta la importancia de seguir un método ordenado para resolver problemas de programación lineal.
Mindmap
Keywords
💡Programación lineal
💡Método simple
💡Restricciones menores o iguales
💡Variables holgura
💡Función objetivo
💡Elemento pivote
💡Reducción de columna
💡Operaciones con fracciones
💡Optimización
💡Solución óptima
Highlights
Introducción al método simple para la resolución de problemas de programación lineal.
Manejo de restricciones menores o iguales en el método simple primal.
Inclusión de variables holgura para restricciones menores o iguales.
Despeje de la función objetivo z igual a 0.
Construcción de la tabla simple inicial con las ecuaciones de restricciones.
Selección de la columna pivote basada en el elemento más negativo de la función objetivo.
Selección de la fila pivote y proceso de eliminación de filas.
Reducción de la columna pivote para normalizar el elemento pivote a 1.
Eliminación de los elementos de la columna pivote en otras filas mediante operaciones de Gauss.
Iteración del proceso de selección de pivote y reducción para avanzar en la solución.
Uso de fracciones en operaciones y su cuidado en el método simple.
Estrategia para manejar fracciones en la reducción de columnas y filas.
Determinación de la siguiente columna y fila pivote en cada iteración.
Escalado de filas para normalizar el elemento pivote y proceder con la reducción.
Eliminación de la columna pivote y alineación de los elementos en la columna.
Conclusión de la optimización y obtención de la solución final del problema lineal.
Inclusión de la columna z en la solución final ya que no sufrió cambios.
Interpretación de la solución para determinar los valores óptimos de x1 y x2.
Valor de la función objetivo máximo alcanzado en la solución.
Reflexión sobre la metodología utilizada y su efectividad en problemas con fracciones.
Transcripts
hola bienvenidos a continuación vamos a
ver un ejemplo de resolución de
problemas de programación lineal por el
método simple seguimos todavía con el
método simples en su movilidad primal
para que conozcamos el procedimiento
nuevamente vamos a tener solamente
restricciones que son menores o iguales
a cero vamos a analizar este caso lo que
va a resaltar en este ejemplo es el
manejo de uso de operaciones con
fracciones en las operaciones así que
iniciamos lo que es el procedimiento y
deseamos preparándolo las ecuaciones de
simples como tenemos tres decisiones y
las de revisiones indican menores igual
no igual vamos a plantear las ecuaciones
sumándoles una variable holgura a cada
una por ser menor igual
ya nuestra función objetivo vamos a
despejar la igualando la 0 es decir los
elementos que están en la parte de la
derecha van a pasar a la parte izquierda
es igual tenemos que dos están sumando
va a pasar a restando al igual que 3
están sumando pasa a restando yo tenemos
que así tenemos despejado la función
objetivo z es igual a 0
prosiguiendo con el armado de nuestra
tablas simples en la primera línea y
señora yo estaré utilizando primero para
ubicar la función objetivo z veo que z
tiene uno tiene z 1 x1 y x2 tiene menos
2 y menos tres sus holguras dicho esta
actuación no tiene ningún proceso de
hecho las figuras valen 0 y está la
función igualada a cero es la rescisión
en un por cierto las recesiones y éstas
no tienen z sino que tienen acá que x1
entonces tenemos uno tenemos tres y de
varias segura 1 y además no tiene sus
maneras de holgura y es igual a 20 en la
decisión número 2 nuevamente a que se
nos llegó a cero tenemos 5 y 25 y 20 la
bread alguna es la segunda variable de
holgura porque la tercera figura y es
igual a 48 y finalmente tenemos para la
recisión número 3 aquí no tiene x 1
solamente tiene un valor de x 2 que será
1 y la variable de holgura que hemos
ajustado
y es igual a 16
proseguimos a seleccionar la columna y
la fila pivote la columna pivote sanz
donde sale el elemento más negativo
desde donde la función anti objetivo en
este caso del -3 es la columna de x2 es
nuestra columna pívot y para
seleccionarlas y la pivote vamos a tomar
quiter vamos a vivir cada elemento valor
de k entre los elementos de la columna
pivote no participan recuerden no
participan el renglón de la función
objetivo ni tampoco si esos fueron ceros
o suenen negativos los vamos a obtener
los interesados y de resultados de esos
cocientes en menores 6.66 que apuntan al
renglón 2 de la rescisión número 1 esta
va a ser nuestra fila pivote el objetivo
de seleccionar la columna al fila pivote
es el elemento es insertado ese va a ser
nuestro elemento pivote
y para proseguir el siguiente paso que
va a ser la reducción de la columna es
elemento pivote valer 1 y en este
momento no tiene valor de 1 pero este
este valor 3 este elemento 3 es parte
del reglón en ese dentro del doctor duro
como regla un mundo entonces de la
recisión 1 así que vamos a hacer una
operación la donde sr1 no tengo cómo
darle una masa x un tercio todos los
elementos del renglón es que esto nos va
a generar la siguiente matriz
la matriz que generaremos la siguiente
integral para esa transformación por
cierto a partir de este momento vamos a
omitir por el momento la columna zeta
porque ésta no va a cambiar nada más
recuerden que al final la vamos a volver
a integrar y observemos la
transformación que lo estamos haciendo
en este renglón donde indica la
restricción número uno la hace esta seta
queda igual así que ésta prosigue igual
y multiplicando los elementos de este
renglón por un tercio empezamos con esta
posición y sostenemos uno por un tercio
sabemos que es igual a un tercio tres
por un tercio pues es igual a 11 punter
zio es igual a un tercio mostrados los
elementos de los siguientes son cero por
un tercero de entonces los siguientes
van a ser cero y finalmente tenemos
veinte por un tercio es igual a veinte
tercios los siguientes renales no
indican ninguna transformación por tanto
van a proseguir igual
una vez que hemos hecho efectivamente
que la nación porque ahora el elemento
pivote es igual a 1 vamos a realizar la
reducción de esta columna por través de
líneas de gauss de orden y la dimensión
consiste que ese elemento pivote vamos a
reducir la columna pivote este elemento
va a eliminar que pertenece a verlo uno
va a eliminar a los demás elementos de
esta columna vamos a empezar con este
este menos 3 lo va a eliminar y elimina
de la siguiente forma si está el
elemento lo que va a ser este reglón se
los vamos a sumar a ese terreno pero
miren si acá este menos tres positivos
en el caballete lo va a multiplicar por
tres nada más con sino contrarios menos
tres aquí multiplicará por tres y eso va
se va a generar la siguiente iteración
pero decidiremos a realizar la persona
con la indicación es de que este reglón
se lo vamos a sumar al siguiente renglón
y nos apoyamos con esos papelitos
obviamente les recomiendo esta técnica
si estás enseñando métodos simples te
recomiendo la siguiente
y empezando de la operación recordemos
partimos aquí de pivote es un tercio por
tres más menos 2 s es igual a menos
11 por 3 más menos 3 - 3 - 3 es igual a
0 dicho lo que queríamos era decir no
estamos eliminando
generamos lo que es el 0 un tercio por 3
1 0 es igual a 1 los elementos de ambos
son celos porque a 0 3 0 0 es igual a
cero
al igual que los elementos de la
siguiente operación ambos son ceros
obviamente aquí queda es igual a cero y
llegamos a la final la que es 20 tercios
por 320 más 0 es igual a 20
el siguiente redondel iteración donde
está la restricción número 1 es donde
está el pivote ese no tiene ningún
cambio así que va a proseguir igual en
la siguiente iteración
continuando con la reducción del renglón
vamos ahora el pivote va a eliminar este
2
es de la restricción 12 y creación fácil
que cual es que la dimensión siempre lo
hace el pivote el pivote ese renglón se
lo vamos a sumar y en taller también si
acá es 2 positivo en el trayecto lo va a
multiplicar por menos dos saben lo de
signo contrario y vamos a empezar a
realizar las operaciones un texto por
menos dos menos dos tercios más cinco es
igual aquí a trece tercios uno por menos
dos menos dos más dos es igual a cero de
hecho no quieren hacer eliminar este
elemento un tercio por menos 20 es igual
a menos dos tercios
pero por menos 201 es igual a 1 haga los
dos elementos son 00 x menos 200 es
igual a cero
veinte tercios por menos dos menos
cuarenta tercios más 48 es igual a 104
tercios que tenemos ciento cuatro
tercios y para concluir la línea
eliminación de esta columna hay que
eliminar a ese elemento no vamos a hacer
la reducción la línea se lo realizamos a
partir del pivote si de este tipo tras
aéreo lo vamos a hacer lo vamos a sumar
y lo cual es sacar uno positivo aquí va
con signo encontrará será uno negativo
entonces va a pasar por este trayecto
bueno vamos iniciar la operación un
tercio por menos uno menos un tercio más
cero es igual a menos un tercio uno por
menos uno menos uno más uno es igual a
cero estudiante lo queríamos eliminar un
tercio por menos uno menos un tercio más
cero es igual a menos un tercio aquí
observamos que ambos son 0 0 por 100
igual a 0 0 por menos 10 más uno es
igual a 1
y finalmente hallamos veinte tercios por
menos uno menos 20 tercios más 16 es
igual a 28 tercios
y aplicamos los criterios y en esta fila
todavía negativos desde lo alto de
negativos continuamos con nuestros
procedimientos simples es decir vamos a
determinar la columna y la fila pívot
el único elemento negativo es aquí en x1
por tanto está en nuestra columna pivote
para determinar las filas la fila pivote
vamos a alinear vamos a abrir cada
elemento de acá entre el movimiento de
la columna pivote recordemos quiénes no
van a participar no participan el
renglón z tercera fase objetivo y
tampoco donde hayan elementos negativos
o ceros en este caso no va a participar
participa en estos dos o hacer el
cociente de acá entre esos elementos
y viviendo 20 terceras entre un tercio
de 2013 entre un tercio serán aquí es 3
por 20 y 1 por 3 aquí 3 gusta
multiplicando y está dividiendo
finalmente nos da ese es igual a 20
dividendos 104 tercios entre 104 tercios
entre 313 tercios aquí va a saber la 13
por ciento 4 entre 13 por 3 aquí te
están multiplicando y está viviendo
finalmente es que a 104 entre 13 es
igual a 8 es elemento menor por tanto
ese va a ser nuestra fila pívot
y en la columna de final pivote queda
exactamente es muy importante este
elemento acá debe ser 1s siempre a cada
elemento de acá debe ser uno o sea debe
para ser desde cero para hacer la
siguiente alineación por tanto a este
renuncien delante de rescisión y número
dos vamos a escalar esta forma puede
escalar que lo convierta a uno y para
que 13 tercios sea igual a 1 bastaría de
multiplicar su acá inversamente si es 13
tercios lo multiplicamos por 13 decíamos
es aplicar esto va a dar entonces como
hacer de 2 muy importante en la
operación que vamos a realizar a rd este
renglón lo vamos a multiplicar por 33 y
agost cada uno de los elementos de ese
renglón
proseguimos con nuestras operaciones a
la siguiente iteración observe que lo
único que vamos a transformar la
rescisión del rededor renglón de la
restricción 2 tanto renglón de zr1
bambas van a pasar igual y proseguimos
cuanto a kina bases r2 r3 aéreas los
administrando por 13 tercios y admitamos
no 13 33 por 33 ya dos por tres
investigados esto es igual a una
siguiente 313 a dos por cero es igual a
cero al multiplicar 332 por menos 23
aquí tenemos sobre el hecho que el que
está multiplicando está viviendo nos
queda menos
23 seamos 313 a 2 por 1
133 ya vos 33 ya dos por cero es igual a
cero y por último tenemos de 104 tercios
los publicados por 332 que son se
lanzaron desde 13 están multiplicando
bien o nos quedan 104 dividido entre 3
en que eso es igual a 8
el siguiente reloj r3 no tiene ninguna
transformación por tanto si se va a
pasar igual
de esta forma vamos a proceder ahora con
la eliminación de la columna conectivo
te va a reducir toda la columna por las
operaciones de gauss jordan de este
ejemplo se está resaltando más como
operaciones con fracciones por eso me
interesaba que vienen cómo cuidar la
metodología de las operaciones vamos a
proseguir aquí vamos a eliminar vamos a
alinear a este elemento elemento siempre
lo elimina lo que es el el pivote de la
mayoría acá este pivote nos va se los
vamos a sumar a este renglón y observe
si acá es menos 1 negativa que cambiamos
en el signo y va a haber menos 1 para
generar la siguiente iteración
iniciado la operación este lo vamos a
eliminar por tanto va a ser cero no
porque uno por uno uno más
uno es igual a cero
observamos que los bienes ambos son
celos entonces aquí es igual a cero
menos 23 y ambos por 1 menos 23 ya dos
más uno es igual a 11 3 ya 233 ya 2 por
13 13 años más pero es 3 13 a 24 sólo
tienes 11 por 10 por 100 es igual a 0 y
finalmente llegamos 8 por 18 + 20 es
igual a 28 continuamos con la reducción
de la columna aquí este es un tercio
vamos a alinearlos actuar en la
alineación viene de hipótesis de este
renglón es el 2 de xàtiva te lo vamos a
sumar en el trayecto o sea sí que es un
tercio positivo en el trayecto x menos
un personaje sino contrario vamos a
realizar las operaciones para este
renglón claro no queremos alinear o
hacer cero no porque uno por menos un
tercio menos un tercio más un tercio
éste es igual a cero cero por menos un
tercio cero más uno es igual a uno
la siento placeres menos 23 y ambos por
menos un tercio más un tercio un
saludable si nos menos por lo menos más
aquí tenemos dos de 39 más uno un tercio
es igual a 5
3
recordamos que en inflación mucho
énfasis en operaciones con unos con
fracciones de hecho si estás en si te
está gustando esta forma de hacer las
operaciones comentan con comentarios
ponen los comentarios se te está
gustando si tienes a este procedimiento
y de igual forma se agradecería a
suscribirte a este canal
multiplicando 313 ambos por menos un
tercio obtenemos menos un tercio de esta
casa multiplican dividiendo por los que
nos queda menos 13 ya en el siguiente
los dos son ceros desde su publicación
va a dar igual a 0 y al final este león
8 por menos un tercio menos 8 tercios
más 20 es igual a 4
el siguiente reloj es el reloj desactivo
ts no tienen cambio así que va a
proseguir a pasar igual y nuevamente nos
restaría no besaría el reducir a este
elemento de esta para que contemos la
alineación reducción de la columna
siempre la alineación lo hace a partir
del pivote si de pivote se lo vamos a
sumar y recuerden que acá es menos un
tercio porque es negativo vale por si no
encontrar el dispositivo va por un
tercio vamos a realizar estas últimas
operaciones
aquí viene la animación miren este le
vamos a eliminar por tangshan silva
linear va a ser cero en la siguiente
posición los ambos son ceros por tanto
este rotado a hacer cero
menos dos deseados por un tercio menos
un tercio vamos a tener que es menos 5
303 decíamos por un t un tercio más cero
vamos a ver que es un 13 a 28 capturamos
que te están utilizando y viviendo nos
queda
y un 13 agua
pero por un tercio 01 es igual a 1
y finalmente llegamos 8 por un tercio y
ocho tercios más veintiocho tercios esto
es igual a doce
una vez regresado ya en la reducción de
esta columna observado en quien arregló
se tardan siete de primer reloj y
entonces está la función objetivo aquí
ya no hay negativos ya los elementos
negativos por tanto hemos llegado a la
optimización
recuerden que cuando empezamos y les
comenté acabe una columna de zz vamos a
volver a incluirla porque ésta no cambió
sin dudar unos 0 0
ya la integramos nuevamente
e interpretamos la solución observemos
que la solución de esa optimizando ez el
pero aquí tenemos x1 y x1 de acuerdo a
eso apunta a y es igual a 8
y en la x 2 observamos que hemos
reducido igual su columna hemos hecho la
reducción de su columna y eso va
indicando que x2 es igual a 4 y esto
para
maximizar u obtener una utilidad máxima
cuanto más calidad de la utilidad máxima
de cerca por el centro apunta receta es
igual a 28
de esta forma llegamos a la solución de
este problema de programación lineal
aquí resaltamos mucho las operaciones
por las operaciones no se crearon a
partir de operaciones con fracciones si
hacen las operaciones correctamente de
hecho comenta la metodología que les
pareció si te fue claro siempre y cuando
siga una metodología ordenada vas a
llegar a lo que es la solución muchas
gracias por ese vídeo soy un ingeniero
ya y espero verte en otras lecciones de
este tema de investigación de
operaciones
[Música]
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