05. Posición y velocidad en 2 dimensiones
Summary
TLDREl guion explica cómo calcular la velocidad instantánea de un objeto conociendo su posición en función del tiempo. Se ilustra con ejemplos en dos dimensiones, derivando la función de posición para obtener la velocidad en un momento específico. Además, se destaca la diferencia entre velocidad (vector) y rapidez (magnitud del vector de velocidad), y se menciona la importancia de las unidades de medida en el cálculo final. El vídeo agradece el apoyo de suscriptores y patrocinadores.
Takeaways
- 📐 Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, se necesita conocer su posición en función del tiempo.
- 🕒 La posición del objeto se puede representar como un vector en el plano cartesiano para cada instante del tiempo.
- 📉 La trayectoria del objeto se obtiene sustituyendo valores de tiempo en la función de posición.
- 🔍 La velocidad del objeto en un tiempo específico se calcula derivando la función de posición y sustituyendo ese valor de tiempo.
- 📌 La derivada de la función de posición da el vector de velocidad en un punto específico del tiempo.
- 📍 El vector de velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el punto considerado.
- 🔄 La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad, que se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado.
- 📏 La rapidez se mide en función de las unidades de la posición y el tiempo, como metros por segundo o pies por segundo.
- 🔢 La magnitud de un vector bidimensional se calcula usando el teorema de Pitágoras, y es aplicable para vectores tridimensionales también.
- 🙏 El script concluye agradeciendo a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.
Q & A
¿Cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto?
-Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, necesitamos conocer su posición en función del tiempo. Esto se hace derivando la función que describe la posición del objeto en términos del tiempo.
Si la posición de un objeto se describe por la función \( t^2 \), ¿cuál es la posición en t=0 y t=1?
-En t=0, la posición es \( 0^2 = 0 \). En t=1, la posición es \( 1^2 = 1 \).
Si la posición de un objeto se describe por la función \( t^2 \), ¿cuál es la posición en t=2?
-En t=2, la posición es \( 2^2 = 4 \).
¿Cómo se representa la trayectoria de un objeto en un plano cartesiano si se conoce su posición en función del tiempo?
-Se puede representar trazando los puntos correspondientes a diferentes valores de tiempo en el plano cartesiano, donde los ejes x e y representan las coordenadas de la posición del objeto.
Si la función de posición es \( t^2 \), ¿cuál es la velocidad del objeto en t=1?
-La velocidad se calcula derivando la función de posición, lo que nos da \( 2t \). Sustituyendo t=1, la velocidad es \( 2 \cdot 1 = 2 \).
¿Cómo se interpreta el vector de velocidad en relación con la trayectoria del objeto?
-El vector de velocidad es tangente a la trayectoria en el punto correspondiente al tiempo t, indicando la dirección y magnitud de la velocidad instantánea del objeto en ese instante.
¿Cuál es la rapidez instantánea si la velocidad es el vector (1, 2)?
-La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad, que se calcula como \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).
¿Cómo se calcula la magnitud de un vector en términos de sus componentes?
-La magnitud de un vector se calcula sumando el cuadrado de cada componente y luego tomando la raíz cuadrada del resultado, basado en el teorema de Pitágoras.
¿Cómo varía la unidad de medida de la velocidad si la posición se mide en metros y el tiempo en segundos?
-Si la posición se mide en metros y el tiempo en segundos, la unidad de medida de la velocidad será metros por segundo (m/s).
¿Qué diferencia hay entre la velocidad y la rapidez en el contexto del script?
-La velocidad es un vector que indica tanto la magnitud como la dirección de un objeto en movimiento, mientras que la rapidez es la magnitud del vector de velocidad, es decir, la velocidad sin considerar la dirección.
Outlines
📐 Cálculo de Velocidad Instantánea
Este párrafo explica cómo calcular la velocidad instantánea de un objeto a partir de su posición en función del tiempo. Se menciona que para obtener la velocidad en un momento específico, es necesario derivar la función que describe la posición del objeto. Se utiliza el ejemplo de una función t^2 para ilustrar cómo se calcula la derivada, obteniendo 2t, y se aplica este resultado para el tiempo t=1, resultando en una velocidad de (2*1, 2*1) o (2, 2) metros/segundo. Además, se destaca que la velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el plano cartesiano, y se menciona que el concepto se puede extender a tres dimensiones. Finalmente, se hace una distinción entre la velocidad (vectorial) y la rapidez (magnitud de la velocidad), y se explica que la rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad en un momento dado.
Mindmap
Keywords
💡Velocidad instantánea
💡Función de posición
💡Derivada
💡Vector de posición
💡Tiempo
💡Trayectoria
💡Velocidad
💡Rapidez instantánea
💡Teorema de Pitágoras
💡Unidades de medida
Highlights
Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, se necesita conocer su posición en función del tiempo.
La posición del objeto se puede representar como un vector de posición en función del tiempo.
Se puede obtener la trayectoria del objeto sustituyendo valores de tiempo en la función de posición.
La derivada de la función de posición da la velocidad del objeto en cada instante.
La derivada de la posición cuadrada de t es 2t, que representa la velocidad en el tiempo t.
La velocidad en el tiempo t=1 se calcula sustituyendo t=1 en la derivada, dando como resultado un vector de velocidad.
El vector de velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el tiempo t.
La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad instantánea.
La magnitud de un vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado.
La rapidez instantánea se mide en la unidad de longitud dividida por la unidad de tiempo.
La posición en metros y el tiempo en segundos da velocidad en metros por segundo.
La posición en pies y el tiempo en segundos da velocidad en pies por segundo.
La función de posición puede tener tres componentes para representar la posición en tres dimensiones.
La velocidad del objeto en tres dimensiones se calcula como un vector tridimensional.
La diferencia entre velocidad y rapidez se enfatiza en el contexto de velocidad instantánea.
El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la magnitud de un vector bidimensional.
El agradecimiento se dirige a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.
Transcripts
para calcular la velocidad instantánea
de un objeto necesitaremos conocer cuál
es su posición en función del tiempo o
sea en cada instante cada para cada
valor del tiempo saber dónde se
encuentra el objeto si nosotros sabemos
que un objeto tiene una posición dada
por esta función de combate cuadrada
vean que estoy aquí nos dice el vector
de posición de un objeto con respecto
del tiempo en función del tiempo por
ejemplo si el tiempo es cero quiere
decir que aquí la posición va a ser cero
cero cuadrado o sea cero se si el tiempo
vale uno puedo hacer 1-1 al cuadrado o
sea 11 si el tiempo vale 2 pues va a ser
2,2 al cuadrado o sea 2,4 si todos estos
de aquí son puntos que nosotros
podríamos representar en el plano
cartesiano el punto cero punto cero
necesite de aquí que se obtuvo entre
igual a cero el 11 es este de aquí
cuenta igual a 1 y el 2,4 estaría por
acá un tiempo de igualados
podríamos ir sustituyendo más valores
del tiempo e ir obteniendo más puntitos
y obtendríamos que la trayectoria del
objeto es de esta manera
entonces ya que conocemos la trayectoria
del objeto podemos responder por ejemplo
esto de aquí cuál es la velocidad del
objeto en el tiempo t igual a 1
bueno pues simplemente tendríamos que
derivar esta función la derivada de esta
función se calcula derivando cada
componente la derivada de 3-1 la
derivada de t cuadrada es 2 t
y luego sustituir te iguala 1 entonces
va a quedar aquí 12 por 12 con lo cual
obtenemos un vector que es el 12 este
vector es la velocidad en el 1
si la quisiéramos dibujar por aquí
tendríamos que dibujarla aquí en el
punto t igual a 1 un vector 12 pues
sería 1 en x 2 en y el vector sería este
de aquí
y aquí podemos observar qué
el vector de velocidad es tangente a la
trayectoria que también es precisamente
lo que mencionaba por aquí alguien
de hecho eso no siempre va a ocurrir el
vector de velocidad va a ser tangente a
la trayectoria que sigue un objeto y se
puede demostrar eso ya lo dejaremos
pagar para luego pero bueno así es como
podemos nosotros calcular la velocidad
de un objeto si conocemos su su posición
esto de aquí pero yo lo hice en dos
dimensiones está el vector de posición
el bidimensional pero igual podríamos
tener una función con tres componentes
verdad eso nos estaría diciendo la
posición de un objeto en tres
dimensiones y podríamos calcular la
velocidad del objeto como un vector
tridimensional
este bueno ya de eso iremos hablando más
adelante
y qué tal si quisiéramos saber cuál es
la rapidez nada más para volver a
resaltar la diferencia entre velocidad y
rapidez en este caso estamos hablando de
velocidad instantánea y rapidez
instantánea así que la rapidez
instantánea simplemente será la magnitud
del vector de velocidad instantánea o
sea la magnitud del vector 1,2 y la
magnitud de un vector recuerden que
simplemente va a ser la raíz cuadrada de
cada una de sus componentes al cuadrado
y eso se puede deducir a partir del
teorema de pitágoras es la longitud de
esta línea aquí mide 1 aquí y mide 2
pues tenemos un triángulo rectángulo con
cateto 1 cateto 2 y queremos la
hipotenusa aplicando teorema de
pitágoras es raíz cuadrada de hipotenusa
al cuadrado más y podemos al cuadrado
era uno más 45 está en todo esto no he
puesto unidades de medida pero por
supuesto que sí
si nos dan acá que la posición está dada
en metros y que el tiempo está dado en
segundos pues la velocidad será metro
sobre segundo si la posición está dada
en pies y el tiempo en segundos serán
pies sobre segundo etcétera ya dependerá
de las unidades que nos dan acá eso esas
no las tendrían que dar desde el
principio para poder indicar las
unidades al final muchísimas gracias a
todas las personas que me apoyan con su
membresía en youtube y en page jon de
verdad infinitas gracias por todo su
apoyo
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