Combinaciones - Ejercicios resueltos

Summary

En este video, el presentador explica conceptos de combinatoria matemática, particularmente la diferencia entre combinaciones y variaciones. Se ilustra con ejemplos cómo formar grupos de elementos sin repetición, como en un torneo de fútbol donde 32 países juegan partidos entre sí. También se discuten combinaciones con repetición, demostradas con un ejemplo de seleccionar botellas de vino. El video es educativo y práctico, utilizando ejemplos concretos para aclarar conceptos matemáticos.

Takeaways

• 😀 Las combinaciones son grupos de elementos que se pueden formar sin importar el orden, a diferencia de las variaciones que sí consideran el orden.
• 🎓 Se pueden formar grupos de n elementos, donde cada grupo tiene r elementos, y esto se conoce como combinación.
• 🔢 En combinaciones sin repetición, no se puede repetir ningún elemento en un mismo grupo, y la fórmula para calcularlas es n! / (r! * (n-r)!).
• 🌐 Se utiliza la combinación para calcular la cantidad de partidos en un torneo de fútbol con todos contra todos, donde cada partido es un grupo de dos países.
• 🏆 En el ejemplo del mundial de fútbol, se demuestra cómo calcular la cantidad de partidos necesarios para un torneo de 32 países utilizando combinaciones sin repetición.
• 📚 La fórmula para combinaciones con repetición es n^r, donde n es el número de elementos y r es el tamaño del grupo que se está formando.
• 🍾 En combinaciones con repetición, se permite elegir el mismo elemento varias veces, como en el ejemplo de elegir 4 botellas de 5 tipos diferentes.
• 🧮 Se abordan dos tipos de combinaciones: sin repetición y con repetición, cada una con sus propias fórmulas y aplicaciones prácticas.
• 📝 Se enfatiza la importancia de la precisión en la notación matemática, ya que diferentes notaciones pueden representar la misma fórmula.
• 🎓 La clase termina con un resumen de los conceptos aprendidos y se invita a los estudiantes a la próxima clase.

Q & A

¿Qué son las combinaciones en matemáticas?

Las combinaciones son los diferentes grupos que se pueden formar con un total de n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos, sin importar el orden.

¿Cómo se diferencian las combinaciones de las variaciones?

Las variaciones se toman de un grupo sacando de a uno, dos, tres, etc., y se ven cuántas variaciones se pueden hacer, mientras que las combinaciones buscan cuántos grupos se pueden formar dentro de un conjunto.

¿Cuál es la fórmula para calcular las combinaciones sin repetición?

La fórmula para combinaciones sin repetición es n! / (r! * (n - r)!), donde n es el total de elementos y r es el tamaño del grupo que se está formando.

¿Cómo se calcula el número de partidos en un torneo de fútbol con 32 equipos usando combinaciones?

Para calcular el número de partidos en un torneo de fútbol con 32 equipos, se usa la combinación de 32 elementos tomados dos a dos, ya que un partido se juega entre dos países. La fórmula es (32 * 31) / 2, resultando en 496 partidos.

¿Qué significa combinaciones con repetición?

Las combinaciones con repetición son aquellas en las que se permite que un elemento se repita en el mismo grupo, lo que aumenta la cantidad de posibles grupos que se pueden formar.

¿Cuál es la fórmula para combinaciones con repetición?

La fórmula para combinaciones con repetición es (n + r - 1)! / (r! * (n - 1)!), donde n es el total de elementos y r es el tamaño del grupo que se está formando.

¿Cuántas formas se pueden elegir 4 botellas de un total de 5 tipos diferentes si se permite repetición?

Si se permite repetición, se usa la fórmula de combinaciones con repetición, lo que da (5 + 4 - 1)! / (4! * (5 - 1)!), resultando en 70 formas diferentes de elegir 4 botellas.

¿Qué sucede si se intenta simplificar la fórmula de combinaciones con repetición para el ejemplo de las botellas?

Al simplificar la fórmula para el ejemplo de las botellas, se llega a (8 * 7 * 6 * 5) / (4 * 3 * 2 * 1), lo que se reduce a 70 combinaciones posibles.

¿Cómo se puede interpretar el resultado de 70 combinaciones para elegir 4 botellas de 5 tipos?

El resultado de 70 combinaciones significa que hay 70 formas diferentes de seleccionar 4 botellas de 5 tipos diferentes, permitiendo repetir botellas del mismo tipo.

¿Qué se aprende al final de la clase sobre combinaciones?

Al final de la clase, se aprende la diferencia entre combinaciones con y sin repetición, cómo se aplican estas en situaciones prácticas como torneos deportivos y cómo se calculan las fórmulas correspondientes.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Combinaciones en Matemáticas

Este primer párrafo presenta el tema de las combinaciones en matemáticas, explicando que son grupos de elementos que se pueden formar sin importar el orden. Se menciona la similitud con las variaciones, pero se enfatiza la diferencia fundamental: las combinaciones no consideran el orden, mientras que las variaciones sí. Se da un ejemplo práctico con 16 personas y se busca cuántos grupos de dos se pueden formar. Además, se introduce la fórmula para calcular las combinaciones sin repetición, que es n! / (r! * (n-r)!), y se aplica a un ejemplo de un torneo de fútbol con 32 países, calculando cuántos partidos se jugarían en una modalidad todos contra todos.

05:00

🏆 Aplicación de Combinaciones en un Mundial de Fútbol

Este segundo párrafo profundiza en el ejemplo del torneo de fútbol, explicando cómo se aplican las combinaciones para calcular el número total de partidos que se jugarían en una competencia de 32 países. Se detalla el proceso de cálculo paso a paso, llegando a la conclusión de que se jugarían 496 partidos. Además, se introduce el concepto de combinaciones con repetición, donde se permite elegir el mismo elemento más de una vez, y se proporciona una fórmula para calcularlo: n^r. Se aplica este concepto a un ejemplo de seleccionar 4 botellas de 5 tipos diferentes, explicando cómo se calcula y qué resultados se obtienen.

Keywords

💡Combinaciones

Las combinaciones son grupos de elementos que se pueden formar de una muestra sin considerar el orden. En el video, se explica que las combinaciones son diferentes grupos que se pueden formar con un total de n elementos, donde cada grupo tiene r elementos. Este concepto es fundamental para entender la diferencia entre combinaciones y variaciones, y se ejemplifica con una situación de seleccionar grupos de personas o países en un torneo deportivo.

💡Variaciones

Las variaciones son similares a las combinaciones, pero sí consideran el orden en que se presentan los elementos. Aunque el video no profundiza en variaciones, menciona que a menudo se confunden con las combinaciones. Se utiliza el ejemplo de seleccionar un equipo deportivo para diferenciar entre ambas, donde las variaciones incluirían diferentes órdenes de selección.

💡Factorial

El factorial de un número n, denotado como n!, es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. En el video, el factorial se utiliza para calcular las fórmulas de las combinaciones, ya que es fundamental en la combinatoria para determinar la cantidad de grupos posibles. Se menciona en la fórmula de combinaciones sin repetición como n! / (r! * (n-r)!).

💡Combinaciones sin repetición

Este concepto se refiere a la selección de elementos de un conjunto de tal manera que cada elemento se puede elegir solo una vez. En el video, se utiliza el ejemplo de un torneo de fútbol donde cada país juega contra todos los demás exactamente una vez, y se calcula el número total de partidos utilizando la fórmula de combinaciones sin repetición.

💡Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición permiten elegir el mismo elemento más de una vez. En el video, se ejemplifica con la selección de botellas de vino, donde se pueden elegir varias botellas del mismo tipo. La fórmula para estas combinaciones es n + r - 1! / (r! * (n - 1)!), y se usa para calcular la cantidad de maneras en que se pueden elegir cuatro botellas de cinco tipos diferentes.

💡Torneo

Un torneo es un tipo de competencia donde cada participante se enfrenta a todos los demás en una serie de encuentros. En el video, se utiliza el ejemplo de un torneo de fútbol para ilustrar cómo se calculan las combinaciones sin repetición, donde cada país juega contra todos los demás, y se calcula el número total de partidos que se jugarán.

💡Seleccionar

Seleccionar en el contexto del video significa elegir un subconjunto de elementos de un conjunto mayor para formar un grupo. Se destaca cómo la selección se realiza de dos maneras diferentes: con y sin repetición, lo que afecta la cantidad de grupos posibles que se pueden formar.

💡Repetición

La repetición en combinatoria se refiere a la capacidad de elegir el mismo elemento más de una vez al formar un grupo. Es un concepto clave en las combinaciones con repetición, donde se pueden formar grupos con elementos duplicados, como se muestra en el ejemplo de las botellas de vino.

💡Grupos

En el video, un grupo es una selección de elementos que se forman de un conjunto mayor. Los grupos son el resultado final de la combinación de elementos, y el video se centra en cómo calcular la cantidad de grupos posibles tanto con como sin repetición.

💡Elementos

Los elementos son los objetos o individuos que se combinan para formar grupos. En el video, se habla de elementos en el contexto de seleccionar personas para grupos, países en un torneo deportivo, o botellas de vino, y se explica cómo la cantidad y la naturaleza de estos elementos (con o sin repetición) afectan las combinaciones posibles.

Highlights

Introducción a las combinaciones en matemáticas.

Definición de las combinaciones como grupos de elementos sin importar el orden.

Diferenciación entre combinaciones y variaciones.

Ejemplo práctico de combinaciones con personas y grupos.

Tipos de combinaciones: sin repetición y con repetición.

Fórmula para combinaciones sin repetición: n! / (r!(n-r)!).

Importancia de la notación en la fórmula de combinaciones.

Ejemplo de combinaciones aplicado al fútbol: partidos en un torneo.

Cálculo de la cantidad de partidos en un torneo de fútbol con 32 equipos.

Explicación de la combinatoria sin repetición en un contexto deportivo.

Fórmula para combinaciones con repetición: n^r.

Ejemplo de combinaciones con repetición: elección de botellas de vino.

Cálculo de la cantidad de combinaciones posibles para elegir botellas de vino.

Importancia de la simplificación en el cálculo de combinaciones.

Resultado final de la cantidad de grupos de botellas que se pueden elegir.

Conclusión de la clase y resúmen de los conceptos aprendidos.

Transcripts

[Música]

hola muy buenas tardes bienvenidos de

hace más de matemáticas hoy día con una

clase sobre lo que son combinaciones en

matemáticas en lo que son las

combinaciones vamos a verlo de inmediato

dice son los diferentes grupos que se

pueden formar con un total de n

elementos de modo que cada grupo tenga r

elementos es decir esto se parece mucho

a lo que son las variaciones y muchos

tienden a confundir las porque me habla

de algo muy parecido el tema es cómo

diferenciar uno de otro veamos en las

variaciones tomadas de un grupo iba

sacando de a3 desde a2 de un grupo y

veías cuántas variaciones podías hacer

en cambio acá tú estás viendo cuántos

grupos puedes formar dentro de un cojo

acá dice son los diferentes grupos que

se pueden formar por un total de n

elementos de modo con un total de n

elementos de modo que cada grupo tenga

ere elementos es decir supongamos que

tengo

tengo 16 personas tengo un 23

cuatro personas mediaron horrible sonido

pero una combinación sería hoy es

cuántos grupos de dos personas distintos

podemos formar mira yo podría ponerle

nombre a b c d podría formar un grupo

que sea con be o podría ser un second é

o también podría formar un grupo a con c

y b con con d b con de medio rible sbs

de vamos a corregirlo mejor

pero también podría formar otro que

fuese con abs con d y b con c y así eso

es un grupo que estoy formando con n

elementos que tengo disponibles ya que

no es lo mismo que una variación son

cosas distintas ya vamos a borrar eso

existen distintos tipos de combinación

al igual que la variaciones tenía sin

repetición y con repetición acá es

exactamente lo mismo entonces tenemos

sin revisión dado un conjunto de

elementos la cantidad de conjuntos de

elementos que se puede obtener sin

repetición está dado por la combinación

de

de un conjunto de elementos tomado de rn

r sería la fórmula que está acá n

factorial sobre r factorial por n

r factorial ojo una observación esto a

veces en la prueba selección

universitaria del buen escribir así o te

lo pueden escribir de esa manera y es

exactamente bueno representan

exactamente lo mismo de hecho yo podría

escribirlo de esa manera o podría

escribirlo de esa manera y quiero

indicar exactamente lo mismo ya quiero

indicar esto que está acá de esa es la

fórmula para combinaciones sin

repetición ahora veamos un ejemplo tú

sabes que no solamente explicó el

contenido sino que también lo vemos en

este ejemplo entonces para un mundial de

fútbol de brasil clasificaron 32 países

ok es en mi n

ese es mi n es el número de elementos

que tiene el conjunto siento de nuevo

hacer jugar a modalidad todos contra

todos cuantos partidos se tendrían que

jugar a ver qué significa esto todo

contrato a lo mejor te va complicar lo

único que no sabes a lo mejor de fútbol

pero significa que por ejemplo chile ya

convocamos que incurrió 6 de chile más

un cambio en este vídeo de otros países

pero supongamos que chile va a jugar

contra todos contra todos entonces chile

va a tener que jugar contra los otros 31

países cierto y cada país va a tener que

jugar contra los otros 31 países porque

31 porque son 32 evidentemente un país

va a tener que jugar con otros 31 ya

entonces éste es esperar la movilidad

todos contra todos cuantos partidos se

tendrían que jugar ok en total me están

preguntando cuántos partidos se tendrían

que jugar es decir cuántos partidos va a

tener este mundial entonces esto sería

una combinatoria de 32 elementos tomados

de dos en dos y por qué de dos en dos

porque un partido se juega entre los dos

países entonces yo quiero ver cuántos

grupos distintos al igual como lo estaba

haciendo con las personas arriba juego

formal

tomando el grupo de dos en dos no se

aplicó justamente esta fórmula donde voy

a poner acá es en el factorial heres n

entonces es 32 factores dividido en

quien ya ha vivido en quien veamos en r

factorial por n - r actores quienes ere

el 2 es tierra ya que no atacará k r

igual 2 porque hacer el número de países

que va a componer este grupo con 2

factorial x n - r factoría veamos la

fórmula tiene menos r factorial es decir

me queda 32 32 menos 2 factorial ok me

quedan 32 factorial dividido en quien en

2 factoriales x 32 menos 2 media 30

factorías

veamos sigamos 'no me queda 32 por 31

por 30 factorial dividido en dos

factorial 2 factoriales 2 porque me

quedan dos por uno y eso es 2 así que

todos pero el 2

ya por 30 factorial entonces si yo hago

alguna simplificación me queda de esta

manera por lo tanto el resultado es

bueno y acabo de simplificar 32 divido

en dos estos 16

16 y 16 por 31

y 16 x 31 me da un resultado de 496

es decir cuántos partidos se tendrían

que jugar se tendrían que jugar 496

partidos eso sería una combinatoria

justamente sin repetición ya aquí hace

referencia sin repetición en que un

conjunto no podría tener al mismo país

dos veces decir yo no puedo jugar un

partido de chile contra chile no no no

puedo repetir no puede en un conjunto

estar en el mismo equipo dos veces no

puede siempre tiene que ser contra otro

adversario

y tenemos las combinaciones con

repetición es decir dado un conjunto de

elementos la cantidad de conjuntos de

elementos que se pueden obtener con

repetición está dada por la en este caso

si se puede ya es una combinatoria ya al

igual que municiones variaciones es una

combinatoria con repetición de un

conjunto de elementos que va a ser

tomado de rn ya y su modelo matemático

está determinado de esa manera que está

ahí porque entonces n cr - 1er factorial

por n 1 factorial y tenemos un ejemplo

ahora lo voy a subir para que nos quede

la fórmula más arriba y así la puedas ir

viendo y no de manera tanto subir y

bajar como un taller en una bodega en

una bodega hay cinco tipos diferentes

botellas de cuántas formas se pueden

elegir cuatro botellas es decir es una

combinatoria con repetición donde n es 5

vino para acá n es 5 y las voy a tomar

de como dicen acá

de 4 botellas voy a tomar grupos de

cuatro entonces es 5 sobre 4 ahora en

ninguna parte el ejercicio dice que no

puedo repetir la botella es decir qué

pasa si quiero sacar 4 días del mismo

vino esto puedo hacerlo si puedo hacerlo

entonces en este caso se considera que

tú puedes repetir el objeto entonces

sería n que es 5 +

r que es 4 -1 y eso es factorial sobre r

factorial que es 4 actuarial x n que es

5 -1 factorial 549 menos 188 factorial

me queda 4 factorial por 5 menos uno por

4 factoriales desarrollamos esto tengo 8

x

7 x 6 x 5 x 4 factorial ya este 4

factorial lo voy a desarrollar 4 x 3 x 2

x 1 s 4 factorial lo voy a dejar tal

cual porque porque ese 4 factorial lo

quiero eliminar con el acá y porque

desarrolle los otros porque mira fíjate

bien

8 4 ya es 2 y el 2 con el dos décadas se

va bueno ya lo vimos cierto por 48 y se

elimina cierto el 6 con el 3 me queda 2

ya y el 1 es neutro de neutro así que lo

mismo vamos a mérida 7 por 2 por 5

cierto 7 por 5 36 voy a multiplicar a 7

por 5 35 y 35 por 270 entonces me quitas

70 es decir puedo tener 70 combinaciones

disponibles para poder elegir grupos de

cuatro botellas ya lo que ya estaría qué

significa eso de sacar cuatro días de un

mismo tipo o tres de un mismo tipo y una

diferente o dos de un mismo tipo de dos

diferentes y así y voy a tener 77 pero

no 70 grupos

para poder elegir ok dejamos la clase

destaca espero te haya gustado y nos

vemos en una siguiente

[Música]