axiomas de los numeros reales
Summary
TLDREl guion del video explica los axiomas de los números reales, que son proposiciones consideradas verdaderas y que sirven de base para demostrar teoremas. Se discuten tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma de extremo superior o completitud. Se describen las propiedades algebraicas como la conmutativa, asociativa, distributiva y la existencia de elementos neutros e inversos. Además, se exploran los axiomas de orden, incluyendo la tricotomía, la propiedad del cero y la suma y multiplicación de números positivos. Se demuestran teoremas como la ley de cancelación de la adición y la multiplicación por cero. Finalmente, se introduce el axioma de completitud, que afirma la existencia de un extremo superior para cualquier conjunto no vacío de números reales acotados superiormente.
Takeaways
- 📐 Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas que sirven de base para demostrar teoremas.
- 🔢 Existen tres tipos de axiomas en los números reales: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior de continuidad.
- ➕ La propiedad conmutativa afirma que el orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma.
- ✖️ La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden de los factores no afecta el producto.
- 🔄 La propiedad asociativa permite agrupar sumandos o factores de diferentes maneras sin alterar el resultado.
- 🔄 La propiedad distributiva permite multiplicar un número por la suma de otros dos números, manteniendo el resultado igual al de sumar las multiplicaciones individuales.
- 🕊️ La propiedad del elemento neutro en adición indica que el cero mantiene constante el valor de cualquier número al sumarlo.
- 🎯 La propiedad del elemento neutro en multiplicación establece que el número uno mantiene el valor de cualquier número al multiplicarlo.
- 🔄 La propiedad de existencia de inversos garantiza que todo número tiene un opuesto aditivo (inverso) que sumado al número original da cero.
- 🔄 En el caso de la multiplicación, todo número tiene un inverso multiplicativo que al multiplicarlo con el número original da como resultado uno.
- ➡️ La propiedad tricotómica de los números reales establece que para cualquier par de números, uno es mayor, menor o igual al otro.
- 🔝 El axioma del extremo superior de continuidad asegura que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo.
Q & A
¿Qué es un axioma en matemáticas?
-Un axioma es una proposición o afirmación que se considera verdadera y que no necesita ser demostrada, sirviendo como referencia para demostrar otras afirmaciones llamadas teoremas.
¿Cuáles son los tres tipos de axiomas en los números reales?
-Los tres tipos de axiomas en los números reales son: axiomas de cuerpo, que corresponden a las propiedades algebraicas; axiomas de orden; y el axioma del extremo superior de continuidad o de completitud.
¿Qué propiedad indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma?
-La propiedad conmutativa indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma, es decir, para todo par de números a y b, a + b es igual a b + a.
Explique la propiedad asociativa en la suma de números reales.
-La propiedad asociativa en la suma de números reales establece que para todos los números A, B y C, la suma de A con el resultado de sumar B + C es lo mismo que el resultado de sumar A + B con el número C, permitiendo agrupar los sumandos de distintas maneras sin cambiar el resultado.
¿Qué significa la propiedad distributiva en el contexto de los números reales?
-La propiedad distributiva en los números reales establece que para todo número A y cualquier par de números B y C, la multiplicación de A por la suma de B + C es igual a la suma de la multiplicación de A por B y la multiplicación de A por C.
Describe la propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales.
-La propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales establece que para todo número a, existe un número cero tal que la suma de a con 0 es igual al número a, indicando que al sumar cero con cualquier número, se obtiene el mismo número.
¿Qué es el inverso aditivo y cómo se relaciona con la propiedad de existencia de inversos?
-El inverso aditivo, también llamado opuesto, es un número B que, al sumarse a un número a, da como resultado cero. La propiedad de existencia de inversos afirma que para todo número a, existe un número B (el inverso aditivo) tal que a + B es igual a cero.
Explique la propiedad tricotomía en los números reales.
-La propiedad tricotomía establece que para todo par de números reales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a es mayor que b, a es menor que b, o a es igual a b.
¿Qué implica el axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos?
-El axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos indica que cero es un elemento neutro en la adición, ni es positivo ni negativo, sirviendo como límite entre los números positivos y negativos.
Describe el axioma del extremo superior de continuidad o completitud en los números reales.
-El axioma del extremo superior de continuidad o completitud, también llamado axioma de completez, establece que todo conjunto no vacío de números reales acotados superiormente posee un extremo superior, es decir, existe un número real que es el menor de todos los números mayores o iguales a los elementos del conjunto.
Outlines
📐 Axiomas de los números reales
Este párrafo introduce los axiomas de los números reales, que son proposiciones consideradas verdaderas y que no requieren demostración. Se mencionan tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma del extremo superior de continuidad o completitud. Dentro de los axiomas de cuerpo, se discuten propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de elementos neutros y la existencia de inversos. Cada propiedad se explica con ejemplos específicos para la suma y la multiplicación, proporcionando una base para demostrar teoremas a partir de estas afirmaciones.
🔢 Demostraciones a partir de axiomas algebraicos
En este párrafo se presentan demostraciones de teoremas utilizando las propiedades algebraicas de los números reales. Se demuestra la ley de cancelación de la adición, que establece que si a + b = a + c, entonces b = c, partiendo del axioma de existencia de inverso aditivo. También se demuestra que a * 0 = 0 para cualquier número real a, utilizando la propiedad modulativa y la conmutatividad. Estos ejemplos ilustran cómo se aplican los axiomas para llegar a conclusiones lógicas.
📉 Axiomas de orden y propiedades
Este párrafo explora los axiomas de orden en los números reales, que definen cómo se relacionan dos números reales entre sí. Se explica la propiedad de tricotomía, que establece que para cualquier par de números reales, uno es mayor, menor o igual al otro. También se discuten las propiedades del cero como elemento neutro en la adición y la multiplicación, y se muestra cómo la suma y la multiplicación de números positivos producen resultados positivos. Se introducen ejemplos que aplican estos axiomas para demostrar la propiedad transitiva de las desigualdades.
🔑 Axioma de completitud y su aplicación
El último párrafo se centra en el axioma de completitud, también conocido como axioma del extremo superior de continuidad. Se define una cuota superior y se explica que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un extremo superior. Se proporciona un ejemplo con un conjunto de números reales entre 0 y 15, demostrando que 15 es la mínima cuota superior y, por lo tanto, el extremo superior del conjunto. Este axioma es fundamental para entender la estructura de los números reales y asegurar que cualquier conjunto bien definido tenga una propiedad de completitud.
Mindmap
Keywords
💡Axiomas de los números reales
💡Propiedades algebraicas
💡Propiedad conmutativa
💡Propiedad asociativa
💡Propiedad distributiva
💡Elemento neutro
💡Inversos
💡Axiomas de orden
💡Axioma del extremo superior de continuidad o completitud
💡Cota superior
Highlights
Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas que sirven como base para demostrar teoremas.
Existen tres tipos de axiomas en los números reales: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior de continuidad.
Axiomas de cuerpo incluyen propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, distributividad y la existencia de elementos neutros y inversos.
La propiedad conmutativa establece que el orden de los operandos no altera el resultado en la suma y multiplicación.
La propiedad asociativa permite agrupar sumandos y factores de diferentes maneras sin cambiar el resultado.
La propiedad distributiva permite multiplicar un número por la suma de otros dos números sin alterar el resultado.
Existe un elemento neutro para la suma (cero) y otro para la multiplicación (uno) en los números reales.
Cada número real tiene un inverso aditivo (opuesto) que, sumado al número, da cero.
La ley de cancelación de la adición se demuestra a partir de las propiedades algebraicas.
La multiplicación de un número real por cero da cero, lo que se demuestra con las propiedades algebraicas.
Los axiomas de orden definen la relación tricotómica entre dos números reales, estableciendo que uno es mayor, menor o igual al otro.
El cero no es un número real positivo y actúa como un elemento neutro en la adición.
La suma y multiplicación de dos números positivos son positivas, según el tercer axioma de orden.
La propiedad transitiva de la desigualdad se demuestra con los axiomas de orden.
Un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene una cuota superior.
El axioma del extremo superior de continuidad establece que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un extremo superior.
El ejemplo del conjunto de números reales entre 0 y 15 ilustra la existencia de una cuota superior y un extremo superior.
Transcripts
axiomas de los números reales un axioma
Es una proposición enunciado o
afirmación que se considera verdadero
que no necesita ser demostrado y sirve
como referencia para demostrar otras
afirmaciones llamadas
teoremas en los números reales hay tres
tipos de axiomas axiomas de cuerpo que
corresponden a las propiedades
algebraicas axiomas de orden y el axioma
del extremo superior de continuidad o de
completitud también llamado axioma de
completez dentro de los axiomas de
cuerpo o propiedades algebraicas tenemos
las propiedades de las operaciones la
primera propiedad es la propiedad
conmutativa que nos dice para el caso de
la suma que para todo par de números a y
b que pertenecen a los Reales la suma de
a + b es igual a b + a es decir el orden
de los sumandos no altera el resultado
de la suma para el caso de la
multiplicación para todo a que pertenece
a Los Reales a * b es = a b * a en este
caso se dice que el orden de los
factores no altera el producto que es el
nombre que recibe el resultado de la
multiplicación la propiedad asociativa
para la suma Establece que para todos
números A B y C que pertenecen a los
Reales la suma de a con el resultado de
sumar b + c es lo mismo que el resultado
de sumar a + b con la el número c es
decir que en este caso podemos agrupar
de distintas maneras los sumandos y el
resultado de la suma no va a variar para
el caso de la multiplicación tendríamos
que para todo número A B y C que
pertenece a Los Reales el producto de a
por el resultado de multiplicar b * c es
lo mismo que el resultado de multiplicar
a * B por el número
c también en este caso nos está
indicando que podemos agrupar de
diferentes maneras los factores y el
resultado de la multiplicación no va a
cambiar la propiedad
distributiva Establece que para todo
número A B y C que pertenece a Los
Reales si vamos a multiplicar a por la
suma de b + c podemos multiplicar a * b
y sumarlo con el resultado de la
multiplicación de a por
c la propiedad de existencia de elemento
neutro módulo o propiedad modulativa
para el caso de la adición o de la suma
Establece que para todo número a que
pertenece a Los Reales existe el cero
que también pertenece a Los Reales tal
que al sumar el valor de a con 0 nos da
lo mismo que al sumar el valor de 0 con
a que es igual al número a es decir que
al sumar cer0 con cualquier númer número
nos da el mismo
número en el caso de la multiplicación
tendríamos que para todo a que pertenece
a Los Reales existe uno que pertenece
también a Los Reales tal que al
multiplicar a por 1 obtenemos lo mismo
que al multiplicar 1 por a que sería el
número a en este caso uno es el módulo
de la multiplicación así como en el
anterior cer0 es el módulo de la
suma la propiedad de la existencia de
inversos en el caso del inverso aditivo
también llamado opuesto se dice que para
todo número que pertenece a Los Reales
si ese es el número a existe otro número
B que también pertenece a Los Reales tal
que al sumar a + b nos da lo mismo que
al sumar B + a que nos da 0 es decir es
la suma de un número y su opuesto o su
inverso aditivo que nos da como
resultado el módulo de la suma que es el
en este caso se tiene que B es igual a -
a - a es el opuesto o inverso aditivo de
a si sumamos a con - a nos da 0 para el
caso de la multiplicación tendríamos que
para todo número a que pertenece a Los
Reales existe un B que también pertenece
a Los Reales tal que al multiplicar a
por B sin importar el orden en que
hagamos la multiplicación obtenemos como
resultado uno que es el módulo de la
operación multip
en este caso se tiene que B es igual a 1
sobre a que sería llamado El recíproco o
el inverso multiplicativo de
a vamos a ver ahora unos ejemplos en los
cuales vamos a demostrar algunas
afirmaciones que se podrían llamar
teoremas a partir de las afirmaciones
que hemos llamado axiomas o propiedades
de los números reales vamos a utilizar
inicialmente las propiedades algebraicas
que hemos son las que acabamos de ver
vamos a demostrar la ley de cancelación
de la adición esta ley Establece que si
a + b es = a a + c entonces B es = a
C para ello partimos del axioma de
existencia de inverso aditivo es decir
que para a sabemos que existe un número
y que pertenece también a Los Reales tal
que al sumar a + y sin importar el orden
en que esta suma se haga nos da como
resultado cero que es el módulo de la
suma entonces podemos sumar a los dos
lados de la expresión que nos dan
inicialmente que es a + b = a + c el
valor de y quedando la expresión y + a +
b = y + a +
c aplicamos la propiedad asociativa de
la adición que ya sabemos que se cumple
por los axiomas o las propiedades
algebraicas de los números reales
tenemos entonces que podemos agrupar al
lado izquierdo y + a y el resultado
sumarlo con b y nos da lo mismo que si
agrupamos al lado derecho y + a y el
resultado lo sumamos con c por lo que
hemos definido en el punto 1 y es el
inverso aditivo o el opuesto de a eso
quiere decir que y + a es = a 0 por lo
tanto la expresión del punto 3 se puede
escribir como 0 + B = 0 +
C A partir de la propiedad modulativa o
el axioma correspondiente a esta
propiedad podemos decir que B es igual a
c puesto que a sumar c a cualquier
número real nos da como resultado el
mismo número real hemos entonces
demostrado que si a + b es ig a a + c
entonces B es igual a
c veamos ahora otro ejemplo vamos a
demostrar que para todo número real a se
cumple que a por cer0 es igual a
0 para ello vamos a partir de la
aplicación de la propiedad modulativa
para el cero sabemos por esta propiedad
que cualquier número sumado con 0 nos da
el mismo número por lo tanto podemos
decir que 0 + 0 es = 0 ahora vamos a
multiplicar a los dos lados de la
igualdad que acabamos de escribir por a
tendríamos entonces que 0 + 0 * a es = 0
* a aquí hay que tener cuidado de
escribir entre paréntesis la suma de 0 +
0 para tener en cuenta jerarquía de
operaciones y para indicar que es el
resultado de la suma que está al lado
izquierdo El que se multiplica por
a si aplicamos la propiedad distributiva
tendríamos que el primer sumando del
paréntesis que es 0 lo multiplicamos por
a y le sumamos el resultado de
multiplicar el segundo sumando que
también es 0 multiplicado por a Entonces
nos queda la expresión 0 * a + 0 * a = 0
* a
por propiedad modulativa nuevamente
sabemos que al sumar cer0 a cualquier
expresión nos da como resultado la misma
expresión por lo tanto al lado derecho
de la igualdad podemos sumar 0 quedando
la expresión 0 * a + 0 * a = a 0 * a +
0 ahora bien por el ejemplo que acabamos
de demostrar en el caso anterior es
decir la ley de cancelación de la
adición tenemos que podemos Cancelar a
los dos lados C por a y nos quedaría 0 *
a es = a 0 como la multiplicación es
conmutativa por los axiomas o las
propiedades algebraicas que vimos
tendríamos que 0 * a es lo mismo que a *
0 Y en este caso nos da 0 por lo tanto
hemos demostrado la afirmación que
aparece en el
ejemplo veamos ahora los axiomas de
orden los números reales el primer
axioma tiene que ver con la relación que
se puede establecer entre dos números si
yo tengo por ejemplo los números 5 y TR
yo puedo decir que 5 es Mayor que 3 pero
no puedo decir ni que 5 es menor que 3
ni que 5 es igual a 3 esta propiedad se
conoce con el nombre de propiedad de
tricotomía y Establece que para todo par
de números reales a y b se cumple una y
solo una de las siguientes relaciones o
a Es mayor que b o a es menor que b o a
es igual a b
el segundo axioma Establece que el cero
no pertenece a Los Reales positivos cer0
es un elemento neutro ni es positivo ni
es
negativo el tercer axioma dice que si x
Es mayor que 0 y y es mayor que 0
entonces x * y es mayor que 0 y x + y es
mayor que 0 En otras palabras este
axioma Establece que si yo sumo dos
números positivos me da un número
positivo y si multiplico dos números
positivos también el resultado va a ser
un número positivo
el cuarto axioma Establece que si x es
menor que Y entonces para cada Z que
pertenece a Los Reales se tiene que x +
Z es menor que B + Z es decir que a los
dos lados de una desigualdad yo puedo
sumar la misma expresión o el mismo
valor y la desigualdad no va a
cambiar veamos un ejemplo en el cual
aplicamos los axiomas de orden vamos a
demostrar la propiedad transitiva esta
propiedad Establece que si a es menor
que b y b es menor que c entonces a es
menor que c partimos de la hipótesis qu
es lo que está antes de la palabra
Entonces si a menor que b y b es menor
que c y buscamos aplicando los axiomas
llegar a la tesis que sería a men que
c partimos de que a es menor que b y b
menor que C A la primera desigualdad
vamos a sumarle a los dos lados - a
aplicando el último axioma que vimos los
números reales ahorita en la parte de
acciom má de orden es decir restamos a -
a men que b - a y en el caso de la
desigualdad B men que c a los dos lados
vamos a restar el valor de B Es decir
queda b - b menor que c -
b al resolver operaciones por la
propiedad del opuesto o del inverso
aditivo sabemos que a + - a es = 0 y que
b - b es también igual a 0 por por lo
tanto la primera desigualdad nos queda 0
menor que B men a y la segunda
desigualdad nos queda 0 menor que c men
B aplicando el axioma 3 de orden que
vimos anteriormente podemos sumar las
dos desigualdades tendríamos entonces
que al sumar los lados izquierdos 0 + 0
nos da 0 y al sumar los lados derechos
nos queda B - a + c - b por lo tanto
podemos decir que 0 es menor que b - a +
c - b
ahora vamos a aplicar las propiedades
asociativa y conmutativa démonos cuenta
que no estamos cambiando el signo a los
términos solamente estamos cambiando el
orden y la manera como se agrupan
podemos agrupar B - B y C - A nos queda
entonces que 0 es menor que b - b + c -
a por propiedad del inverso aditivo o
del opuesto sabemos que b - b es ig a
por lo tanto la desigualdad quedaría 0
menor que C - A B - B es lo mismo que B
+ men
B si sumamos a los dos lados de la
expresión a nos quedaría que 0 + a es ig
a c - a + a esto lo podemos hacer
gracias al axioma 4 de orden que vimos
anteriormente nuevamente agrupamos y por
propiedades modulativa y de existencia
de inverso tendríamos que al lado
izquierdo al aplicar propiedad
modulativa 0 + a es a y al lado derecho
al agrupar el a y el menos a y aplicar
la propiedad del inverso aditivo a + - a
me da 0 por lo tanto c - a + a Me
quedaría c Hemos llegado la expresión a
- c que corresponde a la tesis de la
afirmación que aparece en la propiedad
es decir a lo que deberíamos
llegar para poder entender el el axioma
de completez es importante definir
primero Qué es una cuota superior si
tenemos un conjunto no vacío de números
reales y existe un número B tal que
todos los elementos del conjunto
llamados x son menores que B se tiene
que B es una Cota superior de s y que s
está acotado superiormente todo número
real mayor que B también se puede
considerar una Cota superior del
conjunto
s si la Cota Superior es un elemento del
conjunto se tiene que B es el máximo
elemento del conjunto y se simboliza
como B = a Max Max entre paréntesis el
nombre del conjunto
s qué es lo que establece la axioma del
extremo superior de continuidad o de
completitud también llamado axioma de
completez Establece que todo conjunto no
vacío de número reales acotados
superiormente posee un extremo superior
es decir que existe un número real a tal
que a es igual al sub que simboliza
Superior y entre paréntesis el nombre
del conjunto en este caso
s veamos ahora un ejemplo para
representar y entender un poco más el
axioma de
completez si tenemos el conjunto s que
es un subconjunto de Los Reales definido
de la siguiente manera s es el conjunto
de las x tales que x pertenece a Los
reales y x está entre 0 y 15 eso lo
representamos con la desigualdad 0 men
que X Men que 15 este conjunto está
acotado superiormente ya que podemos
encontrar un número real que sea mayor
que todo elemento del conjunto
s por ejemplo 17 es una Cota superior de
s cualquier número entre 0 y 15 es menor
que 17 además podemos decir que
cualquier número mayor que 15 es una
Cota superior del conjunto dado la
mínima Cota superior de del conjunto Ese
es 15 ya que todos los números de Ese
Conjunto son menores que 15 puesto que
el conjunto no incluye al 15 al estar
acotado superiormente el axioma de
completez nos indica que tiene un
extremo
Superior m
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