axiomas de los numeros reales

Summary

El guion del video explica los axiomas de los números reales, que son proposiciones consideradas verdaderas y que sirven de base para demostrar teoremas. Se discuten tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma de extremo superior o completitud. Se describen las propiedades algebraicas como la conmutativa, asociativa, distributiva y la existencia de elementos neutros e inversos. Además, se exploran los axiomas de orden, incluyendo la tricotomía, la propiedad del cero y la suma y multiplicación de números positivos. Se demuestran teoremas como la ley de cancelación de la adición y la multiplicación por cero. Finalmente, se introduce el axioma de completitud, que afirma la existencia de un extremo superior para cualquier conjunto no vacío de números reales acotados superiormente.

Takeaways

• 📐 Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas que sirven de base para demostrar teoremas.
• 🔢 Existen tres tipos de axiomas en los números reales: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior de continuidad.
• ➕ La propiedad conmutativa afirma que el orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma.
• ✖️ La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden de los factores no afecta el producto.
• 🔄 La propiedad asociativa permite agrupar sumandos o factores de diferentes maneras sin alterar el resultado.
• 🔄 La propiedad distributiva permite multiplicar un número por la suma de otros dos números, manteniendo el resultado igual al de sumar las multiplicaciones individuales.
• 🕊️ La propiedad del elemento neutro en adición indica que el cero mantiene constante el valor de cualquier número al sumarlo.
• 🎯 La propiedad del elemento neutro en multiplicación establece que el número uno mantiene el valor de cualquier número al multiplicarlo.
• 🔄 La propiedad de existencia de inversos garantiza que todo número tiene un opuesto aditivo (inverso) que sumado al número original da cero.
• 🔄 En el caso de la multiplicación, todo número tiene un inverso multiplicativo que al multiplicarlo con el número original da como resultado uno.
• ➡️ La propiedad tricotómica de los números reales establece que para cualquier par de números, uno es mayor, menor o igual al otro.
• 🔝 El axioma del extremo superior de continuidad asegura que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo.

Q & A

¿Qué es un axioma en matemáticas?

Un axioma es una proposición o afirmación que se considera verdadera y que no necesita ser demostrada, sirviendo como referencia para demostrar otras afirmaciones llamadas teoremas.

¿Cuáles son los tres tipos de axiomas en los números reales?

Los tres tipos de axiomas en los números reales son: axiomas de cuerpo, que corresponden a las propiedades algebraicas; axiomas de orden; y el axioma del extremo superior de continuidad o de completitud.

¿Qué propiedad indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma?

La propiedad conmutativa indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma, es decir, para todo par de números a y b, a + b es igual a b + a.

Explique la propiedad asociativa en la suma de números reales.

La propiedad asociativa en la suma de números reales establece que para todos los números A, B y C, la suma de A con el resultado de sumar B + C es lo mismo que el resultado de sumar A + B con el número C, permitiendo agrupar los sumandos de distintas maneras sin cambiar el resultado.

¿Qué significa la propiedad distributiva en el contexto de los números reales?

La propiedad distributiva en los números reales establece que para todo número A y cualquier par de números B y C, la multiplicación de A por la suma de B + C es igual a la suma de la multiplicación de A por B y la multiplicación de A por C.

Describe la propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales.

La propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales establece que para todo número a, existe un número cero tal que la suma de a con 0 es igual al número a, indicando que al sumar cero con cualquier número, se obtiene el mismo número.

¿Qué es el inverso aditivo y cómo se relaciona con la propiedad de existencia de inversos?

El inverso aditivo, también llamado opuesto, es un número B que, al sumarse a un número a, da como resultado cero. La propiedad de existencia de inversos afirma que para todo número a, existe un número B (el inverso aditivo) tal que a + B es igual a cero.

Explique la propiedad tricotomía en los números reales.

La propiedad tricotomía establece que para todo par de números reales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a es mayor que b, a es menor que b, o a es igual a b.

¿Qué implica el axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos?

El axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos indica que cero es un elemento neutro en la adición, ni es positivo ni negativo, sirviendo como límite entre los números positivos y negativos.

Describe el axioma del extremo superior de continuidad o completitud en los números reales.

El axioma del extremo superior de continuidad o completitud, también llamado axioma de completez, establece que todo conjunto no vacío de números reales acotados superiormente posee un extremo superior, es decir, existe un número real que es el menor de todos los números mayores o iguales a los elementos del conjunto.