Polinomial (Bagian 4) - Teorema Sisa dan Teorema Faktor
Summary
TLDRThe video script is a comprehensive tutorial on polynomial division and factor theorems. It introduces the Remainder Theorem and Factor Theorem, explaining how to find the remainder of a polynomial division without performing the actual division process. The script provides step-by-step examples, including substituting values to simplify calculations. It also covers how to determine factors of a polynomial when the remainder is zero upon division. The tutorial aims to make polynomial division more efficient and understandable for viewers.
Takeaways
- 📚 The video is part of a series discussing polynomials, specifically focusing on the fourth part which covers the Remainder Theorem and Factor Theorem.
- 🔍 The Remainder Theorem states that the remainder of the division of a polynomial f(x) by x - k is f(k), and the video explains how to find this remainder without full division.
- 📝 An example is provided to illustrate the Remainder Theorem, showing the process of substituting the value that makes the divisor zero into the polynomial to find the remainder.
- 📉 The video also explains the second form of the Remainder Theorem, which involves dividing by x + b and finding the remainder by substituting -b into the polynomial.
- 🔢 A detailed example is given for dividing a cubic polynomial by a linear binomial, demonstrating the step-by-step process of finding the remainder.
- 📈 The third form of the Remainder Theorem is introduced for dividing by a quadratic polynomial, resulting in a remainder that is a first-degree polynomial.
- 🔑 The Factor Theorem is discussed, which states that a polynomial f(x) is a factor of another polynomial if the remainder is zero when f(x) is divided by it.
- 🌰 An example polynomial is factored using the Factor Theorem, showing that x - 1 is a factor and then finding the other factor by dividing the polynomial by x - 1.
- 📚 The video concludes with a brief mention of the next topic, which will be polynomial equations, indicating a continuation of the series.
- 👋 The video ends with a sign-off greeting, wishing the viewers well in Arabic, which is a common practice in educational content to maintain cultural relevance.
Q & A
What is the main topic discussed in the fourth part of the polynomial series video?
-The main topic discussed in the fourth part of the polynomial series video is the Remainder Theorem and Factor Theorem.
What is the Remainder Theorem in the context of the video?
-The Remainder Theorem, as discussed in the video, is a method to find the remainder of a polynomial division without performing the actual division process.
How can one find the remainder of a polynomial division using the Remainder Theorem?
-To find the remainder of a polynomial division using the Remainder Theorem, one can substitute the value that makes the divisor zero into the polynomial and evaluate it.
What is an example of using the Remainder Theorem as shown in the video?
-An example given in the video is to find the remainder of the polynomial \( x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 5 \) divided by \( x - 1 \). By substituting \( x = 1 \) into the polynomial, the remainder is found to be -2.
What is the second Remainder Theorem mentioned in the video?
-The second Remainder Theorem mentioned in the video states that the remainder of a polynomial \( f(x) \) divided by \( x + k \) is \( f(-k) \).
Can you provide an example of the second Remainder Theorem from the video?
-An example from the video is to find the remainder of the polynomial \( x^3 - 2x^2 + 3 \) divided by \( 2x + 3 \). By setting \( 2x + 3 = 0 \) and solving for \( x \), we get \( x = -\frac{3}{2} \). Substituting this value into the polynomial gives the remainder.
What is the third Remainder Theorem discussed in the video?
-The third Remainder Theorem discussed in the video is for dividing a polynomial by a quadratic polynomial, where the remainder is a linear polynomial \( S = P(x) + Q \) with \( Fa = p + q \) and \( Fb = pb \) plus a constant \( K \).
How does the Factor Theorem relate to the Remainder Theorem?
-The Factor Theorem is closely related to the Remainder Theorem. A polynomial \( f(x) \) is a factor of another polynomial if the remainder is zero when the latter is divided by the former.
What is an example of using the Factor Theorem from the video?
-An example from the video is the polynomial \( x^3 + x^2 + x - 3 \). By testing \( x = 1 \) and finding that the remainder is zero, it is concluded that \( x - 1 \) is a factor of the polynomial.
What is the significance of the Remainder Theorem and Factor Theorem in polynomial division?
-The Remainder Theorem and Factor Theorem are significant as they provide a quick way to determine the remainder of a polynomial division and to identify factors of a polynomial without performing long division.
What is the next topic to be covered after the Remainder and Factor Theorems in the polynomial series video?
-The next topic to be covered after the Remainder and Factor Theorems in the polynomial series video is polynomial equations.
Outlines
📚 Introduction to Polynomial Division Theorems
This paragraph introduces the topic of polynomial division, specifically focusing on the Remainder Theorem and Factor Theorem. The speaker, Dini, encourages viewers to watch previous videos for foundational knowledge and then explains the concept of the remainder when a polynomial is divided by another polynomial. The Remainder Theorem is introduced as a method to find the remainder of a polynomial division without performing the actual division process. An example is given to illustrate how to apply the theorem by substituting the divisor into the polynomial to find the remainder.
🔍 Detailed Explanation of Remainder Theorems
The second paragraph delves deeper into the Remainder Theorems, explaining two variations. The first theorem is reiterated with an example of dividing a polynomial by \( x - 1 \) and finding the remainder by substituting \( x = 1 \) into the polynomial. The second theorem is introduced with an example of dividing by \( 2x + 3 \), where the process involves finding the zero of the divisor and substituting it into the polynomial to calculate the remainder. The explanation includes step-by-step calculations and simplifications to arrive at the remainder.
📘 Polynomial Division by Quadratics and Factor Theorem
This paragraph discusses the third Remainder Theorem, which applies when a polynomial is divided by a quadratic expression. The theorem states that the remainder will be a polynomial of degree one less than the divisor. An example problem is presented where given remainders from divisions by \( x + 2 \) and \( x - 4 \), the task is to find the remainder when the polynomial is divided by \( x^2 - 2x - 8 \). The solution involves setting up equations based on the given remainders and solving for the unknown coefficients using the Remainder Theorem. The paragraph concludes with finding the specific values of the coefficients and the remainder.
🔑 Factor Theorem and Identifying Polynomial Factors
The final paragraph introduces the Factor Theorem, which is used to determine if a polynomial is a factor of another polynomial by checking if the remainder is zero when the polynomial is divided by the potential factor. The theorem is illustrated with an example where the polynomial \( x^3 + x^2 - x - 3 \) is tested for divisibility by \( x - 1 \). The process involves substituting \( x = 1 \) into the polynomial and verifying that the result is zero, confirming \( x - 1 \) as a factor. The paragraph concludes with a brief mention of the next topic, polynomial equations, to be covered in subsequent videos.
Mindmap
Keywords
💡Polynomial
💡Remainder Theorem
💡Factor Theorem
💡Division
💡Quotient
💡Polynomial Degree
💡Substitution
💡Zeroes of a Polynomial
💡Factorization
💡Horner's Method
Highlights
Introduction to the fourth part of the polynomial series video, focusing on the Remainder Theorem and Factor Theorem.
Explanation of the Remainder Theorem, stating that the remainder of a polynomial divided by (x - a) is equal to the polynomial evaluated at x = a.
Demonstration of how to find the remainder of a polynomial division without performing the actual division process.
Use of the Remainder Theorem to simplify the process of finding remainders, making it faster and more efficient.
Example problem: Finding the remainder of the polynomial \( x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 5 \) when divided by \( x - 1 \).
Step-by-step substitution of x = 1 into the polynomial to find the remainder.
Introduction of the second Remainder Theorem, which deals with dividing by (x + a).
Method to find the remainder when dividing by (x + a) by substituting the value that makes the divisor zero.
Example problem: Determining the remainder of the polynomial \( x^3 - 2x^2 + 3 \) when divided by \( 2x + 3 \).
Explanation of the third Remainder Theorem, which involves dividing by a quadratic polynomial of the form (x - a)(x - b).
How to find the remainder when dividing by a quadratic polynomial by using the first two Remainder Theorems.
Example problem: Finding the remainder of a polynomial when divided by \( x^2 - 2x - 8 \) using previously found remainders.
Use of algebraic manipulation to solve for the unknown coefficients in the remainder polynomial.
Introduction to the Factor Theorem, which states that a polynomial has a factor if the remainder is zero when divided by that factor.
Illustration of the Factor Theorem with an example polynomial and its factors.
Method to determine additional factors of a polynomial by dividing the polynomial by a known factor.
The use of Horner's method for efficient polynomial division to find factors.
Conclusion of the video with a summary of the three Remainder Theorems and the Factor Theorem.
Announcement of the next video in the series, which will cover polynomial equations.
Transcripts
Hai assalamualaikum warahmatullahi
wabarakatuh Masih bersama saya Dini
Handayani di channel map ini adalah
video bagian keempat kita membahas
materi polinomial pada video ini kita
akan belajar teorema sisa dan teorema
faktor sebelum temen temen Lihat
videonya sebaiknya teman-teman atau
pelajari dulu tiga video Sebelumnya
link-nya saya serangan di deskripsi Oke
Langsung aja kita bahas materinya cukup
[Musik]
OK pada video ini kita akan belajar
polinomial bagian keempat pada video
bagian keempat ini kita akan belajar
teorema sisa dan teorema faktor dan pada
video sebelumnya kita udah belajar bahwa
efek ini = PX dikali hx ditambah SX
dimana efek ini adalah polinomial yang
dibagi PX ini
tak membagi hak sini ada hasil bagi dan
efeknya sisa jadi yang dibagi ini sama
aja dengan pembagi kali hasil ditambah
sisa nah pada video ini kita akan
belajar bagaimana cara mencari sisa
pembagian tanpa melakukan proses
pembagian tentu ini akan lebih mudah
lebih cepat dibanding kita melakukan
proses pembagian seperti yang udah kita
lakukan di video sebelumnya Nah kita
akan menggunakan beberapa teorema yang
pertama teorema sisa satu teoremanya
seperti ini sisa pembagian polinomial FX
oleh x + k adalah es Atau sisa ini = FX
minca jadi cara mencari sisa ini gampang
kita tinggal substitusi nilai pembuat
nol dari pembaginya Jadi kalau x tambah
Kak berarti pembuat nol nya adalah
negatif Kak kita subtitusi ke polinomial
FX Biar lebih jelas teman-teman
perhatikan contoh berikut ini Tentukan
sisa pembagian polinomial x pangkat
Faith dikurangi 2x pangkat 3 ditambah 4
x kuadrat min 5 oleh x min 1 nah kita
akan mencari sisa pembagiannya kita
gunakan teorema pertama teorema sisa
pertama polinomial nya yang ini x
pangkat 4 min dua x pangkat 3 ditambah 4
x kuadrat min 5 oleh x min satu langkah
pertama tempat mencari pembuat nol dari
pembaginya inikan pembagi membuat maunya
berapa gampang aja gini aja x min 1 = 0
maka X berapa ini maka esnya akan
positif satu nah ini teman-teman
substitusi kesini Maka hasilnya itulah
sisa yang kita cari Oke kita substitusi
kita ganti nilai x dengan satu jadi
sisanya adalah izinkan x ^ 4 berarti 1/4
mint dua kali x pangkat 3 XL kita ganti
dengan satu jadi mint dua kali satu
pangkat 3 ditambah empat kali x kuadrat
X yang kita ganti dengan 14 kali satu
kuat
kemudian dikurangi 5 gampang kan satu
dipangkatkan 4 itu kan 11 dipangkatkan
tiga juga satu kemudian dikalikan mint
dua tetap Min 21 dikuadratkan satu kali
empat tetap 4 kemudian dikurangi 5 satu
ditambah empat dan lima kemudian
dikurangi 5 habis maka tinggal negatif
dua Ini hasilnya maka sisa pembagian
polinomial x pangkat 4 min dua x pangkat
3 ditambah 4 x kuadrat min 5 adalah
negatif dua Ini sisanya gampang kan Oke
sekarang kita lanjut ke teorema sisa
yang kedua sisa pembagian polinomial FX
oleh X + B adalah es Atau sisa = F min b
per acaranya sebenarnya intinya sama aja
teman-teman cari pembuat nol dari
pembaginya ya kemudian pembuat nonya
kita subtitusi ke efeknya itu adalah
sisanya contoh
Hai Tentukan sisa pembagian polinomial x
pangkat 3 min 2 x kuadrat + 3 oleh 2x +
3 oke langkah pertama kita cari pembuat
no dari sini ya 2x + 3 = 0 maka 2x =
negatif 3 SM berapa negatif 3 per 23 ini
kita subtitusi ke sini teman-teman jadi
sisanya adalah XL kita ganti dengan
negatif 3/2 negatif 32 dipangkatkan tiga
dikurangi 2 x kuadrat dikurangi dua kali
min 3 atau 2 dipangkatkan 2 ditambah 3 =
negatif 3/2 dipangkatkan tiga kan
negatif 27/8 ya kemudian negatif 3/2
dikuadratkan itu kan positif 9/4 positif
9/4 kali mint dua itu Min 9 berdua
kemudian ditambah tiga Nah biar ini bisa
kita jumlahkan kita samakan penyebutnya
kita jadikan penyebutnya semuanya
fun Min 27 28 dikurangi 90/2 biar jadi
per 8in kali empat ini kali empat maka
atasnya pun kali 49 kali empat 36/2 kali
48 nah yang ini tiga kita kalikan dengan
8483 kali 8-24 kemudian per delapan nah
ini penyebutnya udah sama semua sekarang
tinggal kita operasikan negatif 27/8
dikurangi 36/8 ditambah 24/8 biar
gampang gini aja ini Min 27 ditambah 24
kan min 3 ya Min 38 dikurangi 36/8 = Min
39/81 ini adalah sisa pembagian
polinomial x pangkat 3 min 2 x kuadrat +
3 oleh 2x + 3 simbol ya Oke kita lanjut
ke teorema sisa yang ketiga
hai oke sang kita bahas teorema sisa
yang ketiga sisa pembagian polinomial FX
oleh x min akar x min b adalah S = PX +
Q dengan Fa = p + q dan FB = p b
ditambah Ki jadi gini Ketika suatu
polinomial dibagi oleh polinomial
berderajat dua jadi ini kalau kita
kalikan X min akar x min b ini akan
menjadi suatu polinomial yang berderajat
dua atau X Y ^ 2 nah jika polinomial
dibagi oleh polinomial berderajat dua
maka Sisanya adalah polinomial
berderajat satu kita misalkan di sini PX
+ Q Oke Biar lebih jelas teman-teman
perhatikan contoh berikut ini nah ini
jenis soal yang paling sering keluar ya
Diketahui suatu polinomial FX jika
dibagi oleh X + akan bersisa 8 jika
polinomial FX dibagi oleh x min
saat akan bersisa Min 4 Tentukan sisa
pembagian polinomial FX jika dibagi oleh
x kuadrat min 2 x min 8 oke nah
perhatikan informasi yang kita peroleh
dari sini jika diketahui folino Mi FX
dibagi x + 2 nah ketika dibagi x + 2
sisanya akan 8 kita gunakan teorema sisa
yang pertama ini pembuat nol dari SMA 2
akan menduakan maka kita peroleh F min 2
= 8 jelas ya kita gunakan teorema sisa
yang pertama ini juga sama FX dibagi
oleh x min 4 ini pembuat nolnya berapa
membuat nonya adalah x = 4 Sisanya
adalah negatif 4 maka berdasarkan
teorema sisa yang pertama kita peroleh
F4 = negatif 4 nah sekarang kita akan
mencari sisa polinomial FX dibagi oleh x
kuadrat min 2 x min 8 nah x kuadrat min
2 x min 8 ini bisa kita faktorkan yang
Hai Edward min dua x min 8 ini sama aja
dengan x + 2 kali x min 4 jadi sama aja
kita mencari sisa FX dibagi oleh ini ya
misal susah pembagian FX oleh x + 2 kali
x min 4 nah ini sama dengan ini ya
adalah S = PX + Q ingat berdasarkan
teorema 3 suatu polinomial dibagi
polinomial berderajat dua Sisanya adalah
polinomial berderajat satu jadi disini
sisanya saya misalkan sebagai PX + Q mau
teman-teman misalkan jadi AX + B boleh
ya MX + n boleh apa aja intinya nanti
kita akan mencari nilai P dan Q maka
sisanya kita peroleh Nah sekarang kita
akan lanjut mencari nilai P dan Q kita
gunakan informasi ini ya ingat sisanya
itu delapan ketika X min 2 jadi aksinya
kita ganti dengan negatif 2 dan sisanya
kita ganti dengan
Hai jadi pxp kali min 2 + Q =
sisa-sisanya disini 8 ketika X min 2
dari sini kita peroleh negatif dua kali
P itu negatif 2P kemudian ditambah Q = 8
ini kita sebut sebagai persamaan pertama
Kemudian dari sini ketika x-nya empat
Sisanya adalah negatif 4x nya Sekarang
kita ganti dengan empat dan sisanya kita
ganti dengan negatif 4 jadi pk-lhy 4
ditambah Ki sama dengan negatif sempat
dari sini ya Dari sini kita peroleh baik
kali empat itu empat p4p ditambahkan =
negatif 4 ini adalah persamaan kedua Nah
sekarang untuk mencari nilai P dan Q
teman-teman bisa melakukan substitusi
atau eliminasi saya lakukan eliminasi
aja biar gampang kita laminasi persamaan
1 dan persamaan 2 persamaan satunya min
2 p + q
dan delapan dan persamaan keduanya 4 + Q
= negatif 4 dari sini ini kita aminasi
variabel Kenya ini udah sama ya
sama-sama satu sama-sama Ki ini langsung
aja kita kurangi minum 2 P dikurangi 4P
itu negatif 6p kemudian Q dikurang ikan
habis nolcan kemudian 8 dikurangi
negatif 4 ini positif 12 maka p nya
berapa pengen adalah 12 dibagi negatif
6p nya adalah negatif dua Nah ini nilai
pakainya nah Langkah terakhir kita akan
mencari nilai gizinya caranya P =
negatif 2 teman-teman subtitusi boleh ke
persamaan 1 atau boleh juga ke
persamaan2 bebas disini saya lakukan
substitusi ke persamaan satu saja kesini
min 2 P + Q = 8 p nya kita ganti dengan
negatif 2 dan negatif dua kali negatif 2
ditambah Q = 8 negatif dua kali Neng
dua itu positif 4 ditambahkan = 8 maka
kynya adalah delapan dikurangi 4gnya = 4
nah sekarang kita udah dapat P dan Q
ingat sisa pembagian FX oleh ini adalah
PX + q sekarang penyok kita ganti dengan
mint dua kynya kita ganti dengan empat
maka Sisanya adalah min 2 x ditambah 4
Oke gampangkan jadi sisa pembagian FX
oleh x + 2 kali x min 4 adalah S = min 2
x + 4 Nah itulah tiga teorema sisa
kemudian terakhir kita bahas teorema
faktor Oke sekarang kita lanjut ke
teorema faktor teman-teman harus tahu
dulu Apa yang dimaksud dengan
faktor-faktor ini adalah pembagi tanpa
sisa jadi ketika dibagi suatu polinomial
ternyata sisanya nol maka polinomial itu
dikatakan sebagai faktornya
meteor Emangnya seperti ini x-men Kak
ini faktor dari FX jika dan hanya jika
FK = 0 nah teman-teman hubungkan dengan
teorema sisa yang pertama kalau
pembaginya X minkam maka sisanya basis
tanyakan FK nah disini efeknya nol
artinya syarat suatu polinomial itu
dikatakan faktor itu sisanya harus nol
ya ketika dibagi maka sisanya harus nol
nah Biar lebih jelas perhatikan contoh
berikut ini salah satu faktor polinomial
x pangkat 3 ditambah x kuadrat ditambah
X dikurang min 3 adalah x min 1 tentukan
faktor lainnya nah X min satu ini faktor
dari sini teman-teman kalau ini adalah
faktor artinya ketika polinomial ini
dibagi oleh x min 1 maka sisanya harus
nol gitu ya jadi kita gunakan teorema
sisa kita cari pembuat no dari x min
satu ini kan = x = 1
Ayo kita substitusi x = 1 kesini maka
nilainya harus nol ya jadi F1 harus sama
dengan nol dari sini nih Oke kita ganti
x-nya dengan satu jadi kita peroleh satu
pangkat 3 ditambah kwadrat itu Kak satu
kuadrat kemudian ditambah x dikurangi 3S
nya kita ganti dengan satu dikurangi
tiga tadi kita peroleh satu dipangkatkan
tiga kan 11 dikuadratkan juga satu
dikalikan dengan kitu ka kemudian ini
satu kemudian dikurangi 31 ditambah 122
dikurangi tiga min 1 jadi ini Kak min 1
= 0 makanya berapa kayaknya adalah satu
nah sekarang kita udah dapat nilai
kayaknya jadi polinomial ini kita ganti
kayaknya dengan satu maka kita beroleh
polinomial nya adalah x pangkat 3
ditambah x kuadrat ditambah X min 3 nah
ini polinomial lengkapnya ya kayaknya
udah kita ganti dengan salah
tuh nah berikutnya kita akan mencari
faktor lainnya caranya kita bagi aja
polinomial ini dengan x min 1 G untuk
menentukan faktor lainnya kita bagi
polinomial ini dengan x min 1 untuk
pembagiannya teman-teman bebas mau pakai
cara bersusun atau mau pakai cara horner
boleh ya Nah di sini saya pakai cara
horner aja biar cepat ini koefisiennya
111 min 3 oke kemudian membuat no dari
sini x min 1 kan berarti x = 1 kita
simpan disini masih ingat cara horner
ini satu kita simpan di sini satu
kalikan dengan 11 jumlahkan 22 kalikan
dengan 12 kita jumlahkan lagi satu
tambah 233 kalikan dengan 13 lagi min 3
plus 30 nah ini kan sisanya nol karena
sisanya nol maka jelas X min satu ini
adalah faktornya dan
faktor lainnya teman-teman lihat hasil
baginya yang ini hasil baginya adalah x
kuadrat + 2x + 3 ini adalah hasil
baginya masih ingatkah Efek itu kan sama
aja dengan pembagi kali hasil ditambah
sisa gitu kan jadi efeknya yang ini x ^
3 itu pembagi kali hasil atau hasil kali
pembagi ditambah karena sisanya nol
ditambah nol Nah maka ini adalah
faktornya dan ini adalah faktor lainnya
ya jadi faktor lainnya jelas yang ini
nih ini gak bisa kita faktorkan lagi
jadi faktor lainnya adalah x kuadrat
tambah 2x + 3 Oke sampai sini dulu video
polinomial bagian keempat berikutnya
kita akan belajar persamaan polinomial
Sampai ketemu di video berikutnya salam
alaikum warohmatullohi wabarokatuh
hai hai
hai hai
関連動画をさらに表示
Synthetic Division of Polynomials
Polinomial (Bagian 3) - Pembagian Polinomial Cara Bersusun, Horner dan Horner - Kino
How to Divide Polynomials Using LONG DIVISION | Math 10
Division of Polynomials (Long Division of Polynomials)
Solving Polynomial Equations By Factoring and Using Synthetic Division
Pembagian suku banyak dengan cara bersusun - Menentukan hasil dan sisa pembagian
5.0 / 5 (0 votes)