Fracciones parciales caso 2
Summary
TLDREl guión del video ofrece una explicación detallada sobre cómo expresar una fracción racional en fracciones parciales. Se analiza el denominador, se factoriza y se identifican las restricciones. Seguidamente, se descompone la fracción original en términos de fracciones parciales, utilizando técnicas como el uso de fórmulas notables y la distribución algebraica. El proceso culmina en el establecimiento de un sistema de ecuaciones para resolver los coeficientes A, B y C, obteniendo así la representación en fracciones parciales del polinomio dado.
Takeaways
- 📚 El ejercicio 119 trata sobre la expresión en fracciones parciales de una fracción racional dada.
- 🔍 Se analiza el denominador para determinar si está factorizado o si puede serlo, y se identifica que es un producto notable.
- 📐 Se factoriza el denominador como x(x - 1)^2 y se distribuye el numerador entre este denominador factorizado.
- 📝 Se establecen las restricciones para la fracción parcial, que son x = 0, x = 1 y x = -1.
- 📈 Se utiliza el método de fracciones parciales para descomponer la fracción en términos de x, (x - 1) y (x - 1)^2.
- 🧩 Se asignan letras a los factores para facilitar la resolución del sistema de ecuaciones resultante.
- 🔄 Se distribuyen los términos y se agrupan los coeficientes de x^2, x y los constantes.
- 📉 Se establece un sistema de ecuaciones para resolver los valores de A, B y C.
- 📌 Se resuelve el sistema de ecuaciones, encontrando los valores de A como 5, B como -3 y C como 6.
- 📝 Se reemplazan los valores de A, B y C en la fracción para obtener las fracciones parciales finales.
- 📑 El resultado final es la representación de la fracción racional en forma de fracciones parciales con los valores calculados.
Q & A
¿Qué es una fracción racional y cómo se expresa en fracciones parciales?
-Una fracción racional es una expresión matemática que combina un polinomio numerador y un polinomio denominador. Para expresar una fracción racional en fracciones parciales, se descompone en una suma de fracciones más simples, donde cada fracción tiene un factor del denominador como su denominador.
¿Cuál es el primer paso para expresar una fracción racional en fracciones parciales según el guión?
-El primer paso es estudiar el denominador y verificar si está factorizado. Si no lo está, se debe factorizar para poder proceder con la descomposición en fracciones parciales.
¿Cómo se factoriza el denominador dado en el guión?
-El denominador se factoriza sacando una x común y luego aplicando el producto notable, resultando en x(x - 1)^2.
¿Por qué es importante dejar el denominador expresado como un producto notable?
-Es importante para identificar claramente los factores que se repetirán en las fracciones parciales y para facilitar el proceso de descomposición.
¿Cómo se asignan las letras a las fracciones parciales en el caso de un denominador factorizado al cuadrado?
-Se asigna una letra a cada factor del denominador, y cuando un factor se repite, se asigna la misma letra con un exponente correspondiente a la cantidad de repeticiones, como en el caso de (x - 1)^2 donde se escribe B/(x - 1)^2.
¿Cuáles son las restricciones para la fracción dada en el guión?
-Las restricciones son los valores que hacen que el denominador sea cero, en este caso, x = 0, x = 1 y x = -1.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C en las fracciones parciales?
-Se establecen las ecuaciones de igualdad entre los coeficientes de los términos de las fracciones parciales y los términos correspondientes del numerador original, y se resuelven para encontrar los valores de A, B y C.
¿Qué se hizo con el término independiente del numerador original, 5, en el proceso de descomposición en fracciones parciales?
-El término independiente 5 se asignó al término que no contiene x en la fracción parcial correspondiente a (x - 1)^2, lo que resultó en la ecuación C = 5.
¿Cómo se distribuyen los términos en el proceso de descomposición?
-Se distribuyen los términos multiplicando cada coeficiente A, B y C por los factores correspondientes del numerador, y se agrupan los términos con x al cuadrado, los términos con x y los términos independientes.
¿Cuál es la finalidad de la descomposición en fracciones parciales y cómo se aplica en el guión?
-La descomposición en fracciones parciales permite simplificar fracciones racionales y facilitar su integración o diferenciación. En el guión, se aplica para descomponer la fracción dada y encontrar sus fracciones parciales correspondientes.
¿Cómo se identifican los valores de A, B y C en las fracciones parciales resultantes?
-Se identifican al resolver el sistema de ecuaciones formado por igualar los coeficientes de los términos correspondientes en las fracciones parciales y el numerador original.
¿Qué valores se obtuvieron para A, B y C en el ejemplo del guión?
-Se obtuvieron los valores A = 5, B = -3 y C = 6 para las fracciones parciales.
Outlines
📚 Expresión de Fracciones Parciales
El primer párrafo discute cómo expresar una fracción racional en fracciones parciales. Se analiza el denominador para factorizarlo y se identifica como un producto notable. Se describe el proceso de asignar letras a los factores y se destaca la importancia de expresar el denominador como un cuadrado para facilitar la división en fracciones parciales. Se establecen las restricciones para la fracción y se procede a sumar las fracciones utilizando un denominador común, permitiendo cancelar los denominadores debido a las restricciones. Finalmente, se resuelve la fracción resultante.
🔍 Resolución de un Sistema de Ecuaciones para Fracciones Parciales
El segundo párrafo se enfoca en la resolución de un sistema de ecuaciones derivado de la expresión de fracciones parciales. Se detalla el proceso de distribución y agrupación de términos con el mismo grado, y se extrae un factor común para simplificar la ecuación. Se establece un sistema de ecuaciones con los coeficientes de los términos de x al cuadrado, x y los constantes. Se resuelve el sistema sustituyendo los valores adecuados para encontrar los coeficientes a, b y c. Finalmente, se aplica el resultado para obtener las fracciones parciales correspondientes al polinomio original.
Mindmap
Keywords
💡Fracciones parciales
💡Factorización
💡Factor común
💡Producto notable
💡Restricciones
💡Máximo común denominador (MCD)
💡Distribución
💡Agrupación
💡Sistema de ecuaciones
💡Despeje
Highlights
El ejercicio 119 pide expresar una fracción racional en fracciones parciales.
Es necesario estudiar el denominador para determinar si está factorizado o no.
Se puede aplicar el factor común o utilizar fórmulas generales para factorizar.
El denominador se factoriza como x(x - 1)^2.
Es importante expresar el denominador como un producto notable para facilitar el proceso.
La fracción original se expresa en términos del denominador factorizado.
Se asignan letras a los factores para utilizar fracciones parciales.
Dado que (x - 1) está al cuadrado, se repite en las fracciones parciales.
Se escriben las fracciones parciales de forma ascendente, aumentando el grado.
Las restricciones para las fracciones parciales son x = 0, x = 1 y x = -1.
Se utiliza el máximo común denominador para sumar las fracciones parciales.
Se cancelan los denominadores comunes que son restricciones.
Se distribuye el BX y se agrupan los términos con x^2, x y constantes.
Se forma un sistema de ecuaciones para resolver A, B y C.
Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C.
Se sustituyen los valores de A, B y C en las fracciones parciales.
Se obtienen las fracciones parciales finales para la fracción polinómica dada.
Transcripts
ejercicio 119 ese ejercicio nos pide
expresar en fracciones parciales la
siguiente fracción racional
2x^2 - x + 5 entre x a la 3 - 2x + x
igual que en el ejercicio anterior lo
primero que hay que hacer es estudiar el
denominador y ver si ya está factorizado
y si no pues sí se puede factorizar
nuestro denominador en este caso es x a
la 3 - 2x a la 2 + x
igual que en el ejercicio anterior vean
que acá podemos primero aplicar factor
común sacando una x si sacamos una x a
factor común nos queda x por x a la 2 -
2x + 1 este x a la 2 - 2x pueden
utilizar inspección pueden utilizar
fórmulas general o bien es un producto
notable Entonces les podría quedar x por
x menos 1 por x menos 1 que eso en el
fondo es esto es un producto notable x
por x menos 1 al cuadrado Ok
es importante que lo dejen expresado de
esta forma no como esto que está aquí en
el renglón anterior OK Para que vean lo
siguiente porque Este es otro caso de
fracciones parciales
entonces la fracción original que a mí
me dieron 2x a la 2 - x + 5 / x a la 3 -
x a la dos más x la podemos expresar
como 2x a la 2 - x + 5 entre x por x
menos 1 al cuadrado como les dije es muy
importante que lo dejen así como
producto notable x menos 1 al cuadrado
OK ahora voy a tomar esa fracción que es
esta que está acá
y vamos a empezar a utilizar fracciones
parciales lo que pasa acá es que en
teoría tenemos solamente dos factores X
por el paréntesis x menos 1 al cuadrado
entonces a cada uno de esos le
asignaríamos una Letra Sin embargo
observen
ponerlo con otro color que este
paréntesis que está acá al estar al
cuadrado significa que ese paréntesis
pues se repite dos veces Entonces cuando
tenemos ese caso hay que expresar las
fracciones parciales de esta manera a
por el primer factor que es x que a
entre el primer factor que es x más B
entre el segundo factor que en teoría el
segundo factor es x menos 1 al lado 2
pero vamos a escribir B entre x menos 1
y luego Más C entre x menos 1 a la 2 si
nosotros
tuviéramos por ejemplo
que ese paréntesis no está al lado sino
que está la 3 si tuviéramos x + 1 x - 1
perdón a la 3 entonces tendríamos que
escribir el a entre x que es el primer
factor más B entre x menos 1 Más C entre
x menos uno a la 2 más de entre x menos
1 a Es como ir escribiéndolo de forma
ascendente aumentando grado el que está
grado 1 el que está grado 2 el que está
grado 3 si tuviéramos si no fuera x a la
3 y más bien fuera x x -1 a la 4
entonces así es aquí escribimos Más C
entre x menos 1 a la 4 Ok así sucesiva
siempre lo hay que ir escribiéndolo como
en forma ascendente cuando el paréntesis
tiene un exponente a la 2 a la 3 a la 4
o a la que sea pero en este caso es x
menos 1 a la 2 entonces Sólo queda
a entre x más B entre x - 1 + C entre x
menos 1 al cuadrado
y lo que sigue ya es lo mismo que
hicimos en el ejercicio anterior primero
las restricciones muy importante
las restricciones serían x = 0 x = 1
y
x igual Esas son las restricciones ahora
como tengo tres fracciones a la derecha
que se están sumando pues vamos a
sumarlas utilizando máximo común
denominador cuando sumamos estas tres
fracciones Esta es la fracción
resultante con eso logramos tener
solamente una fracción a la izquierda y
solamente una fracción a la derecha
y observen que el denominador de la
fracción de la izquierda es igual al
denominador de la fracción que está en
la derecha entonces
podemos
cancelarlos Porque estos eran
restricciones verdad Entonces no hay
ningún problema en quitarlas
luego me quedaría solo la izquierda 2x
al cuadrado menos x + 5 y a la derecha
Me quedaría ese a por x menos 1 al
cuadrado este que tengo acá pero acá yo
ya lo escribí con la
fórmula notable ya resuelta ese x-1 al
cuadrado es una fórmula notable que
quedaría x a la 2 - 2x + 1 luego acá lo
que hice fue distribuir el BX BX por x
es B x a la 2 que es este que está acá y
BX por -1 es este menos de X Y luego el
más x solamente lo bajé luego en el
siguiente renglón lo que hice fue
terminar de hacer las distribuciones acá
a por x al cuadrado es a x al cuadrado a
por menos 2x es -2 a x y a por uno es a
el BX al cuadrado menos BX y el más x
solamente los arrastre el siguiente paso
era agrupar todo lo que tenga x al
cuadrado todo lo que tiene x y lo que no
tiene entonces Este primer paréntesis
es donde está la agrupación de todo lo
que tiene x al cuadrado el segundo
paréntesis es la agrupación de todo lo
que tiene X Y por último quedó
el aquí no tenía ni x al cuadrado ni x
luego el siguiente paso es sacar a
factor común del primer paréntesis
podemos sacar un x al cuadrado Por eso
nos queda esto del segundo paréntesis
saca un x a factor par como y queda eso
y luego nada más arrastramos el a ahora
lo que hacemos Es ya montar el sistema
de ecuaciones
de este lado eso es lo que tiene el X al
cuadrado y de este lado eso es lo que
tiene x al cuadrado Entonces el ave lo
igualó con el 2 que son los términos que
tienen x al cuadrado
en la izquierda aquí tengo un menos x y
aquí tengo esto que tiene x Recuerden
que aquí hay un imaginario verdad
Entonces el -2a menos B más clo
igualamos A menos 1 y por último
esto que no tiene que solamente número
con esto que está acá se la lo igualamos
a 5 Ese es nuestro sistema de ecuaciones
que hay que resolver en este caso está
bastante fácil porque ya tenemos que a
de 5 entonces pueden sustituir aquí el a
por 5 y despejar el b y les va a dar que
es menos 3 y cuando ya tienen a y b
entonces solamente sustituyen ahí el ahí
el B por los valores respectivos y
despejan el c que les debería dar 6
Ya encontramos allá encontramos bella
encontramos c que era lo que
necesitábamos entonces la fracción
factorizada que me dieron al inicio que
es esta
estas son sus fracciones parciales y ya
vamos a cambiar el a por 5 el B por
menos 3 y el c por 6 y esto que saque
entonces acá abajo son las fracciones
parciales para ese polinomio que nos
dieron al inicio esa fracción polinómica
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