Vectores en un espacio abstracto | Esencia del álgebra lineal, capítulo 11
Summary
TLDREl guion explora la esencia de los vectores, no solo como flechas en un plano o listas de números, sino como objetos abstractos que cumplen con ciertas reglas de álgebra lineal. Se discute cómo las funciones también pueden ser vistas como vectores, pudiendo sumarse y escalarse, y cómo las transformaciones lineales, como la derivada, se aplican a ellos. Se introducen conceptos como espacios vectoriales y axiomas que definen la estructura de estos espacios, permitiendo la generalización de las herramientas del álgebra lineal más allá de contextos específicos.
Takeaways
- 😀 Los vectores pueden ser vistos como flechas en un plano o como pares de números reales, pero también tienen una naturaleza más profunda y abstracta.
- 📏 La definición de vectores como una lista de números facilita la comprensión de vectores de alta dimensión y hace que la idea de una cuarta dimensión sea menos abstracta.
- 🌐 La percepción de los vectores como una entidad espacial independiente de las coordenadas es fundamental en álgebra lineal, donde las coordenadas son arbitrarias y dependen de la elección de vectores base.
- 🔍 Las propiedades como determinantes e ímputos propios son inherentemente espaciales y no cambian con la elección del sistema de coordenadas.
- 🎯 Las funciones también pueden ser consideradas como un tipo de vector, lo que permite operaciones como la suma y el escalado, similares a las de vectores en el espacio.
- 📚 La suma y el escalado de funciones es análogo a la suma y el escalado de vectores, lo que sugiere una noción de 'infinitas coordenadas' para las funciones.
- 📉 La derivada en el contexto de funciones es un ejemplo de una transformación lineal, que cumple con las propiedades de suma y multiplicación escalar.
- 📈 La definición de linealidad en transformaciones de funciones se basa en las mismas propiedades que para vectores, lo que permite la aplicación de conceptos álgebraicos lineales a funciones.
- 📊 La multiplicación de matrices y la derivación de funciones son procesos similares en su esencia, a pesar de que operan en espacios de diferentes dimensiones.
- 📐 La elección de una base para el espacio de funciones, como las potencias de 'x', permite describir funciones como vectores con una serie infinita de coordenadas, la mayoría de las cuales son ceros.
- 🔑 Los axiomas de álgebra lineal establecen un conjunto de reglas que cualquier objeto vectorial debe seguir para que las herramientas del álgebra lineal sean aplicables, sin importar su representación concreta.
Q & A
¿Qué es un vector bidimensional según el video?
-Un vector bidimensional es fundamentalmente una flecha en un plano que se puede describir con coordenadas por conveniencia, o un par de números reales que se visualizan como una flecha en el plano.
¿Cuál es la diferencia entre describir vectores como una lista de números y como entidades espaciales?
-Describir vectores como una lista de números hace que ideas como vectores de dimensiones superiores sean concretas y manejables. En contraste, ver vectores como entidades espaciales implica trabajar con un espacio que existe independientemente de las coordenadas asignadas.
¿Qué son las funciones en el contexto del álgebra lineal?
-Las funciones son vistas como otro tipo de vector. Se pueden sumar y escalar de manera similar a los vectores, lo que las convierte en objetos vectoriales.
¿Qué significa que una transformación de funciones sea lineal?
-Una transformación de funciones es lineal si satisface las propiedades de suma y multiplicación escalar: la suma de funciones transformadas es igual a la transformación de la suma de las funciones, y escalar una función antes o después de transformarla da el mismo resultado.
¿Cómo se relaciona la derivada con las transformaciones lineales?
-La derivada es un ejemplo de una transformación lineal de funciones, ya que cumple con las propiedades de suma y multiplicación escalar.
¿Cómo se describe la derivada con una matriz en el video?
-La derivada se describe con una matriz infinita que tiene enteros positivos en una diagonal desplazada. Esta matriz transforma las coordenadas de los polinomios para calcular su derivada.
¿Qué son los espacios vectoriales?
-Los espacios vectoriales son conjuntos de objetos donde hay una noción razonable de suma y multiplicación escalar. Estos objetos pueden ser flechas, listas de números, funciones, etc.
¿Qué son los axiomas en el contexto de los espacios vectoriales?
-Los axiomas son reglas que la suma vectorial y la multiplicación escalar deben seguir para que un conjunto de objetos se considere un espacio vectorial. En álgebra lineal moderna, hay ocho axiomas que deben satisfacerse.
¿Por qué es importante la abstracción en álgebra lineal?
-La abstracción permite que las teorías y resultados del álgebra lineal se apliquen a cualquier tipo de espacio vectorial, sin importar su naturaleza específica, siempre y cuando satisfagan los axiomas definidos.
¿Cuál es el objetivo del video según el presentador?
-El objetivo del video es proporcionar una comprensión sólida de las intuiciones subyacentes del álgebra lineal, facilitando un aprendizaje más eficiente y aplicable a una variedad de contextos vectoriales.
Outlines
🔍 La esencia de los vectores y su interpretación
El primer párrafo explora la definición de vectores, cuestionando si son simplemente flechas en un plano o pares de números que representan algo más profundo. Se discute la idea de que vectores pueden ser listas de números o entidades espaciales independientes de cualquier sistema de coordenadas. Además, se plantea la cuestión de si las propiedades fundamentales de los vectores, como los determinantes y vectores propios, son inherentemente espaciales o arbitrarias en función de la elección de los vectores base. Finalmente, se introduce la idea de que las funciones también pueden tener cualidades vectoriales, lo que abre la puerta a la aplicación de conceptos de álgebra lineal a objetos más allá de las listas de números o flechas en el espacio.
📚 La aplicación de conceptos vectoriales a las funciones
El segundo párrafo se enfoca en la extensión de las propiedades vectoriales a las funciones, explicando cómo se pueden sumar y escalar funciones de manera similar a los vectores. Se da un ejemplo de cómo la derivada, una transformación lineal de funciones, cumple con las propiedades de suma y multiplicación escalar. Además, se introduce la idea de describir funciones, particularmente polinomios, como vectores en un espacio con una base de potencias de x, lo que permite representar funciones como vectores con infinitas coordenadas, la mayoría de las cuales son ceros.
📈 La representación de funciones y derivadas en el espacio vectorial
Este párrafo profundiza en la representación de funciones y derivadas en el espacio vectorial, utilizando matrices para describir la derivada de polinomios. Se ilustra cómo la multiplicación de una matriz por un vector (en este caso, las coordenadas de un polinomio) resulta en el vector de coordenadas de su derivada. También se discute la idea de que la derivada es una transformación lineal que cumple con las propiedades de suma y multiplicación escalar, lo que permite su descripción mediante una matriz infinita con ceros y unos en la diagonal.
🌐 La generalización de conceptos vectoriales y el concepto de espacio vectorial
El cuarto y último párrafo concluye la serie discutiendo la abstracción de los conceptos vectoriales y la definición de espacio vectorial. Se argumenta que los vectores, independientemente de su representación concreta (flechas, listas de números, funciones), deben cumplir con un conjunto de reglas o axiomas que definen la suma vectorial y la multiplicación escalar. Estos axiomas son fundamentales para garantizar que las herramientas del álgebra lineal sean aplicables a cualquier tipo de espacio vectorial, lo que incluye casos abstractos y no convencionales. El autor enfatiza la importancia de comenzar con una comprensión concreta de los vectores antes de abstraerlos completamente en el ámbito de la teoría del álgebra lineal.
Mindmap
Keywords
💡Vectores
💡Coordenadas
💡Álgebra lineal
💡Espacio vectorial
💡Transformaciones lineales
💡Funciones
💡Derivada
💡Matriz
💡Axiomas
💡Escalar
Highlights
Los vectores pueden ser vistos como flechas en un plano o como pares de números reales, representados en forma de flechas.
La definición de vectores como una lista de números permite entender conceptos abstractos como vectores de alta dimensión.
La idea de la cuarta dimensión es difícil de describir, comparada con la intuición geométrica de las dimensiones inferiores.
Los vectores no son solo listas de números sino que representan un espacio independiente de cualquier sistema de coordenadas.
Los conceptos de álgebra lineal, como determinantes y vectores propios, son independientes de la elección de un sistema de coordenadas.
Las funciones también pueden ser vistas como un tipo de vector, con operaciones de suma y escalado similares a las de los vectores.
La suma de funciones y el escalado por un número real son operaciones que preservan la estructura vectorial.
Las transformaciones lineales para funciones, como la derivada, cumplen con las propiedades de suma y multiplicación escalar.
La definición de una transformación lineal es abstracta pero permite su aplicación general a flechas y funciones.
La multiplicación matriz-vector describe completamente una transformación lineal si se conocen los vectores de la base.
La derivada de funciones se puede describir usando una matriz infinita, lo que ilustra la conexión con la álgebra lineal.
El espacio de funciones, aunque de dimensión infinita, se puede abordar con conceptos de álgebra lineal al limitarse a polinomios.
Las potencias de x son una elección natural para la base del espacio de funciones, proporcionando coordenadas a los polinomios.
La matriz que describe la derivada en el espacio de funciones tiene una estructura de ceros con unos en la diagonal desplazada.
La multiplicación vector-matriz y el cálculo de derivadas son miembros de la misma familia de operaciones vectoriales.
Los conceptos de álgebra lineal tienen análogos en el mundo de las funciones, como el producto punto y los vectores propios.
El concepto de vector abstrae una noción única e intangible de un espacio vectorial, aplicable a muchos objetos diferentes.
Los axiomas de álgebra lineal establecen una lista de reglas que cualquier espacio vectorial debe cumplir para aplicar las teorías.
La abstracción en matemáticas permite razonar sobre diferentes situaciones utilizando una idea única.
El aprendizaje de álgebra lineal comienza con conceptos concretos y se vuelve más eficiente con la adquisición de intuiciones correctas.
Transcripts
me gustaría volver a una pregunta
aparentemente simple que pregunte en el
primer vídeo de esta serie que son los
vectores es un vector bidimensional por
ejemplo fundamentalmente una flecha en
un plano que podemos describir con
coordenadas por conveniencia o es
fundamentalmente un par de números
reales que se visualizan muy bien como
una flecha en el plano o ambas son solo
manifestaciones de algo más profundo
por un lado definir vectores
primordialmente como una lista de
números es claro y sin ambigüedad hace
que las cosas como vectores cuadre
dimensionales o vectores de 100
dimensiones suenen como ideas reales y
concretas con las que realmente puedes
trabajar en cualquier otro caso una idea
como la cuarta dimensión es sólo una
vaga noción geométrica que es difícil de
describir sin batallar un poco pero por
otro lado una sensación común para
aquellos que realmente trabajan con
álgebra lineal especialmente a medida
que obtienen más fluidez con el cambio
de base es que saben que están
trabajando con un espacio que existe
independientemente de las coordenadas
que se le otorguen y en realidad dichas
coordenadas son algo arbitrarias
dependiendo de lo que decidas elegir
como vectores base
temas centrales en álgebra lineal como
determinantes y vectores propios parecen
indiferentes a la elección de sistemas
de coordenadas el determinante te dice
cuánto escala el área una transformación
y los vectores propios son los que
permanecen en su propio sub espacio
generado durante una transformación pero
ambas propiedades son inherentemente
espaciales y tú puedes cambiar
libremente el sistema de coordenadas sin
cambiar los valores esenciales de uno u
otro
pero si los vectores no son
fundamentalmente listas de números y si
su esencia principal es algo más
espacial esto solo plantea la cuestión
acerca de lo que los matemáticos quieren
decir cuando utilizan una palabra como
espacio o espacial para construir la
idea que quiero realmente me gustaría
pasar la mayor parte de este vídeo
hablando sobre algo que no es ni una
fecha ni una lista de números pero que
también tiene cualidades vectoriales las
funciones verás hay un sentido en el que
las funciones en realidad son solo otro
tipo de vector
de la misma manera que puedes sumar dos
vectores juntos también hay una noción
sensata para sumar dos funciones fg para
obtener una nueva función efe que es una
de esas cosas en las que ya sabes lo que
va a resultar pero expresar lo es un
poco largo la imagen de esta nueva
función en cualquier argumento dado por
ejemplo menos 4 es la suma de las
imágenes de f cuando evalúas cada una en
ese mismo valor menos 4 o de manera más
general el valor de la función suma en
cualquier argumento x es la suma de los
valores de fx más g x
esto es bastante similar a la suma de
vectores coordenadas por coordenadas eso
es lo que hay en cierto sentido un
número infinito de coordenadas para
trabajar
del mismo modo hay una noción razonable
para escalar una función por un número
real solo multiplica por ese escalar
todas las imágenes de la función
y otra vez esto es análogo a escalar un
vector coordenada por coordenadas solo
que se siente como si hubiera una
infinidad de coordenadas
ahora dado que lo único que los vectores
realmente pueden hacer es ser sumados o
escala 2 pareciera que debemos ser
capaces de tener las mismas
construcciones útiles y técnicas de
resolución de problemas del álgebra
lineal que se pensaban originalmente en
el contexto de las flechas en el espacio
y también poder aplicarlos en las
funciones por ejemplo hay una noción
perfectamente razonable de una
transformación lineal para funciones
algo que toma una función y la convierte
en otra
un ejemplo conocido proviene del cálculo
la derivada es algo que transforma una
función en otra función
a veces en este contexto escucharás que
a estos se les llama operadores en lugar
de transformaciones pero el significado
es el mismo una pregunta natural que te
podrías plantear es lo que significa que
una transformación de funciones sea
lineal la definición formal del lineal
es relativamente abstracta y basada en
muchos símbolos en comparación a la
forma en la que lo mencioné por primera
vez en el capítulo 3 de esta serie pero
la recompensa de ser abstractos es que
obtendremos algo bastante general para
aplicar a las funciones y a las flechas
una transformación es lineal si
satisface dos propiedades comúnmente
llamada suma y multiplicación escalar
la suma significa que si se suman dos
vectores b&w y luego se aplica una
transformación a su suma
se obtiene el mismo resultado que si se
suman las versiones transformadas the
b&w
la propiedad de escalar es que cuando se
escala un vector ve por algún número y
luego se aplica la transformación
se obtendrá el mismo vector final como
si se escalar a la versión transformada
debe por esa misma cantidad
y la forma en que a menudo escucharás
que se describe esto es que las
transformaciones lineales preservan las
operaciones de suma vectorial y
multiplicación escalar
la idea de que las líneas de la
cuadrícula permanezcan paralelas y
espaciadas uniformemente que es de lo
que he hablado en los vídeos pasados es
realmente solo una ilustración de lo que
significan estas dos propiedades en el
caso específico de puntos 2 d en el
espacio
y una de las consecuencias más
importantes de estas propiedades que
hace posible la multiplicación matriz
vector es que una transformación lineal
es descrita completamente por donde
lleva a los vectores de la base
puesto que cualquier vector se puede
expresar escalando y añadiendo los
vectores base de alguna manera encontrar
la versión transformada de un vector se
reduce a escalar y sumar las versiones
transformadas de los vectores base de la
misma manera
como verás en un momento esto es tan
cierto para las funciones como lo es
para las flechas por ejemplo los
estudiantes de cálculo siempre están
usando el hecho de que la derivada es
aditiva y tiene la propiedad escala
incluso si no han oído hablar de ello de
esa manera
si sumas dos funciones y luego evaluar
la derivada es lo mismo que si tomas
primero la derivada de cada uno y luego
sumas el resultado
si escalas una función y a continuación
calcula es la derivada es lo mismo que
si primero calcula la derivada y a
continuación escalas del resultado
para comprender realmente el paralelismo
vamos a ver lo que podría parecer
describir la derivada con la matriz esto
será un poco complicado ya que los
espacios de función tienen una tendencia
a hacer de dimensión infinita pero creo
que este ejercicio es en verdad bastante
satisfactorio vamos a limitarnos a
polinomios cosas como x cuadrada + 3 x 5
o 4 x séptima menos 5 x cuadrada cada
uno de los polinomios en nuestro espacio
solo tendrá un número finito de términos
pero el espacio completo va a incluir
polinomios con un grado arbitrariamente
grande lo primero que debemos hacer es
dar coordenadas a este espacio lo cual
requiere la elección de una base como
los polinomios ya están escritos como la
suma de potencias escaladas de la
variable x es bastante natural elegir
las potencias de x como la base de la
función en otras palabras nuestra
primera función base será la función
constante v0 de x igual a 1 la segunda
función base será b 1 de x igual a x
entonces b 2 de x igual a de x cuadrada
luego b 3 de x igual a x cúbica y así
sucesivamente
el rol para el cual servirán estas
funciones base será similar a los roles
de i sombrerito j sombrerito y ka
sombrerito en el mundo de los vectores
como flechas dado que nuestros
polinomios pueden tener un grado
arbitrariamente grande este conjunto de
funciones base es infinito pero eso está
bien solo significa que cuando tratamos
a nuestros polinomios como vectores
tendrán infinitas coordenadas un
polinomio como x cuadrada más 3 x 5 por
ejemplo se describirá con las
coordenadas 5 3 1 luego infinitamente
muchos ceros leería sexto como diciendo
que es cinco veces la primera función
base más tres veces la segunda función
base más una vez la tercera función base
y luego ninguna de las otras funciones
base debe ser sumada de ese punto en
adelante
el polinomio 4x séptima menos 5 x
cuadrada tendrá las coordenadas 0 05 y 0
0004 luego una cadena infinita de ceros
en general puesto que cada polinomio
individual tiene solo un número finito
de términos sus coordenadas serán una
cantidad finita de números con una cola
infinita de ceros
en este sistema de coordenadas la
derivada se describe con una matriz
infinita que está casi llena de ceros
pero que tiene los enteros positivos
contando hacia abajo en esta diagonal
desplazada
hablaré de cómo podríamos encontrar esta
matriz en un momento pero la mejor
manera de tener una intuición por ella
es simplemente observarla en acción
tomar las coordenadas que representan el
polinomio x cúbica + 5x cuadrada + 4 x +
5 luego pon esas coordenadas a la
derecha de la matriz
el único término que contribuye a la
primera coordenada del resultado es 1 x
4 lo que significa que el término
constante en el resultado será 4
esto corresponde al hecho de que la
derivada de 4x es la constante 4
el único término que contribuye a la
segunda coordenada del producto vector
matriz es 2 x 5 lo que significa que el
coeficiente frente a x en la derivada es
10
eso se corresponde a la derivada de 5x
cuadrada
de manera similar la tercera coordenada
en el producto vector matriz se reduce a
tomar 3 x 1 ésta corresponde a la
derivada de x cúbica que es 3x cuadrada
y después de eso no serán más que ceros
lo que hace que esto sea posible es que
la derivada es lineal
y para aquellos de ustedes que les gusta
hacer una pausa y reflexionar podrían
construir esta matriz tomando la
derivada de cada función base y poniendo
las coordenadas de los resultados en
cada columna
así sorprendentemente la multiplicación
vector matriz y el cálculo de una
derivada que al principio parecen
criaturas completamente diferentes son
ambos realmente miembros de la misma
familia de hecho la mayoría de los
conceptos de los que he hablado en esta
serie con respecto a los vectores como
las flechas en el espacio cosas como el
producto punto los vectores propios
tienen análogos directos en el mundo de
las funciones aunque a veces tengan
diferentes nombres cosas como el
producto interno la función propia
entonces volvamos a la pregunta de qué
es un vector el punto que quiero hacer
aquí es que hay muchos objetos
vectoriales en matemáticas
siempre y cuando se trate de un conjunto
de objetos en los que hay una noción
razonable de escalar y sumar ya sea un
conjunto de flechas en el espacio listas
de números funciones o cualquier otra
locura que elijas definir todas las
herramientas desarrolladas en el álgebra
lineal con respecto a vectores
transformaciones lineales y todas esas
cosas deben ser capaces de aplicarse
tomó un momento para imaginarte ahora
mismo como un matemático que desarrolla
la teoría del álgebra lineal quieres que
todas las definiciones y descubrimientos
de tu trabajo se apliquen a todo lo
vectorial de manera general no solo a un
caso específico
estos conjuntos de objetos vectoriales
como las flechas o listas de números o
funciones se llaman espacios vectoriales
y lo que tú como matemático diría es
querer hacer es decir hola a todos no
quiero pensar en todos los diferentes
tipos de espacios vectoriales locos que
todos ustedes podrían inventar de modo
que lo que hace es establecer una lista
de reglas que la suma vectorial y la
multiplicación tienen que respetar
estas reglas se llaman axiomas y en
teoría moderna del álgebra lineal hay
ocho acción más que cualquier espacio
vectorial debe satisfacer si todas las
teorías y construcciones que hemos
descubierto van a aplicarse
lo dejaré en la pantalla aquí para
cualquiera que quiera hacer una pausa y
reflexionar pero básicamente es sólo una
lista de verificación para que las
nociones de suma de vectores y
multiplicación escalar hagan las cosas
que esperas que hagan
estos axiomas no son tanto reglas
fundamentales de la naturaleza ya que
son una interfase entre tú el matemático
que descubre los resultados y otras
personas que podrían querer aplicarlos a
nuevos tipos de espacios vectoriales si
por ejemplo alguien define algún tipo de
espacio vectorial loco como el conjunto
de criaturas de pi con alguna definición
de suma y multiplicación escalar de las
criaturas de estos axiomas son como un
chequeo de cosas que necesitan verificar
acerca de sus definiciones antes de que
puedan empezar a aplicar los resultados
del álgebra lineal y tú como el
matemático nunca tienes que pensar en
todos los posibles espacios vectoriales
locos que las personas podrían definir
solo tienes que probar sus resultados en
términos de estos axiomas de modo que
cualquier persona cuyas definiciones
satisfagan estas acciones puede aplicar
felizmente los resultados incluso si tú
nunca pensaste acerca de su situación
como consecuencia tendrías la tendencia
de escribir todos sus resultados de
manera abstracta es decir sólo en
términos de estos axiomas en lugar de
centrarse en un tipo específico de
vector como flechas en el espacio o
funciones
por ejemplo es por esto que casi todos
los libros de texto que encontrarás
definirá las transformaciones lineales
en términos de suma y multiplicación
escalar en lugar de hablar de líneas de
una cuadrícula que permanecen paralelas
y uniformemente espaciadas a pesar de
que esto último es más intuitivo y al
menos en mi opinión más útil para los
principiantes a pesar de ser específico
de una situación así que la respuesta de
los matemáticos a qué son los vectores
es simplemente ignorar la pregunta en la
teoría moderna la forma que toman los
vectores realmente no importa flechas
listas de números funciones criaturas pi
en realidad puede ser cualquier cosa
siempre y cuando haya una idea de sumar
y escalar vectores que siga estas reglas
es como preguntar qué es realmente el
número 3 siempre que se plantea
concretamente está en el contexto de una
tripleta de cosas pero en matemáticas es
considerado como una abstracción para
todas las tripletas posibles de cosas y
te permite razonar sobre todas las
tripletas posibles utilizando una idea
única lo mismo sucede con los vectores
que tienen muchas caracterizaciones pero
las matemáticas los abstraen todos en
una noción única e intangible de un
espacio vectorial pero como todo el que
está viendo esta serie sabe creo que es
mejor comenzar a razonar acerca de los
vectores en un entorno concreto
visualizable como el espacio 2d con
flechas arraigadas en el origen pero a
medida que aprendes mas álgebra lineal
sabes que estas herramientas se aplican
de manera mucho más general y que esta
es la razón subyacente por la cual los
libros de texto y las clases tienden a
ser expresadas así de manera abstracto
de esta forma amigos creo que voy a
poner fin a esta serie de la esencia del
álgebra lineal si has visto y entendido
los vídeos realmente creo que tienes
fundamentación sólida en las intuiciones
subyacentes del álgebra lineal esto no
es lo mismo que aprender el tema de
manera completa por supuesto eso es algo
que sólo puede adquirirse mediante la
resolución de problemas pero el
aprendizaje que haces puede ser
sustancialmente más eficiente si tienes
todas las intuiciones correctas en su
lugar así que diviértete aplicando esas
intuiciones y te deseo la mejor de la
suerte con tu aprendizaje futuro
ah
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