LE COURS : Fonctions du second degré - Première
Summary
TLDRCette vidéo offre un aperçu des fonctions du second degré, expliquant d'abord leur définition et reconnaissance. Elle présente ensuite la forme canonique, une manière structurée d'écrire un polynôme du second degré, et comment passer de la forme développée à cette forme. Ensuite, le script détaille les variations et la représentation graphique de ces fonctions, soulignant que toutes sont des paraboles. L'importance de la forme canonique est mise en évidence pour déterminer les extrémums et la position de la courbe. Le mnémotechnique 'sourire' pour les paraboles à branches montantes (minima) et 'bouche triste' pour celles à branches descendantes (maxima) est introduite pour aider à retenir la direction des branches en fonction du signe de la coefficient a.
Takeaways
- 😀 Définition d'une fonction du second degré et ses diverses appellations (polynôme du second degré, trinôme).
- 😀 Une fonction du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels, avec a non nul.
- 😀 Les fonctions du second degré peuvent être identifiées par la présence d'un terme en x².
- 😀 Exemples de fonctions du second degré : f(x) = 3x², g(x) = 0.5x², h(x) = -x².
- 😀 La forme factorisée d'une fonction du second degré est également mentionnée et expliquée.
- 😀 Les formes développée et factorisée d'une fonction du second degré sont présentées, ainsi que la forme canonique.
- 😀 La forme canonique d'une fonction du second degré est de la forme a(x - α)² + β, où α et β sont des réels.
- 😀 Importance de la forme canonique pour déterminer les variations et la représentation graphique de la fonction.
- 😀 Les fonctions du second degré sont représentées graphiquement par des paraboles, dont l'orientation dépend du signe de a.
- 😀 Relation entre les coefficients a, b, c et les paramètres α, β pour déterminer le sommet de la parabole et son axe de symétrie.
Q & A
Qu'est-ce qu'une fonction du second degré et comment la reconnaître?
-Une fonction du second degré est un polynôme de la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0. Elle est reconnue par la présence d'un terme en x au carré.
Pourquoi les fonctions du second degré sont-elles aussi appelées des trinômes?
-Elles sont appelées trinômes car elles contiennent trois monômes : ax^2, bx et c, formant ainsi une expression à trois termes.
Quelle est la forme canonique d'un polynôme du second degré?
-La forme canonique est a(x - α)^2 + β, où α et β sont des réels qui jouent un rôle particulier dans la représentation graphique et les variations de la fonction.
Comment passer d'une forme développée à la forme canonique d'un polynôme du second degré?
-C'est un exercice difficile qui consiste à réarranger et à factoriser l'expression de la forme développée pour obtenir la forme canonique, en utilisant les coefficients a, b et c.
Quels sont les avantages de la forme canonique pour les fonctions du second degré?
-La forme canonique facilite la compréhension des variations de la fonction et permet une représentation graphique plus intuitive, en montrant directement le minimum ou le maximum de la fonction.
Quelle est la forme factorisée d'une fonction du second degré et comment est-elle reconnue?
-La forme factorisée est une expression qui révèle les racines de la fonction, comme dans l'exemple de la transcription où (x - 5)^2 - 40 est factorisée et montre que les racines sont x = 5.
Comment la forme canonique d'une fonction du second degré nous aide-t-elle à comprendre la parabole représentée par cette fonction?
-La forme canonique nous indique si la parabole a un minimum ou un maximum, ainsi que la position de ce point extrême et sa valeur, en utilisant les termes α et β.
Quelle est la différence entre une parabole à branches montantes et une parabole à branches descendantes?
-Une parabole à branches montantes représente une fonction qui atteint un minimum, tandis qu'une parabole à branches descendantes atteint un maximum.
Comment les valeurs de a, b et c dans la forme développée d'une fonction du second degré influencent-elles la forme de la parabole?
-La valeur de a détermine si la parabole a un minimum ou un maximum, la valeur de b et c influencent la position et la profondeur du point extrême sur l'axe des ordonnées.
Quel est le sommet de la parabole représentée par une fonction du second degré et comment le trouver?
-Le sommet est le point extrême de la parabole, qui est un minimum ou un maximum. Il se trouve en x = α, et sa valeur est β. On peut le trouver en utilisant la formule x = -b/(2a).
Quelle est l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole et comment est-elle déterminée par les coefficients de la fonction?
-L'équation de l'axe de symétrie est x = α, qui est déterminée par le coefficient a et le terme en bx de la forme développée de la fonction.
Comment les variations d'une fonction du second degré peuvent-elles être mémorisées en utilisant des analogies?
-On peut utiliser des analogies comme le sourire pour les paraboles à branches montantes (minimum) et une bouche triste pour celles à branches descendantes (maximum), en se rappelant que le signe de a influence la forme de la parabole.
Outlines
📚 Définition et reconnaissance des fonctions du second degré
Le premier paragraphe introduit le sujet de la vidéo, qui est la révision des fonctions du second degré. Il explique que l'objectif est de rappeler les éléments clés de ce chapitre, en commençant par la définition d'une fonction du second degré, en passant par la forme canonique et en se terminant par les variations et les représentations graphiques. Les fonctions du second degré sont décrites comme des polynômes de degré 2, souvent appelés trinômes, et sont généralement écrites sous la forme ax² + bx + c. L'importance de la valeur de a est soulignée, car si a ≠ 0, la fonction est bien du second degré. Des exemples sont donnés pour illustrer les différentes formes que peuvent prendre ces fonctions, y compris la forme factorisée et la forme développée.
📐 La forme canonique et les variations des fonctions du second degré
Le deuxième paragraphe se concentre sur la forme canonique des polynômes du second degré, qui est une manière spécifique d'écrire un polynôme pour en présenter les caractéristiques. La forme canonique est présentée avec les paramètres alpha et bêta, qui jouent un rôle important dans la compréhension des variations de la fonction. L'alpha représente le point où la fonction atteint son minimum ou maximum, tandis que le beta représente la valeur de ce minimum ou maximum. La vidéo explique comment passer d'une forme développée à la forme canonique et vice versa, bien que le passage de la forme développée à la forme canonique soit décrit comme étant la partie difficile. L'importance de la forme canonique est également soulignée, car elle permet de déterminer si la parabole a un minimum ou un maximum et de connaître sa position.
📈 Représentation graphique et variations des fonctions du second degré
Le troisième paragraphe traite de la représentation graphique des fonctions du second degré, qui sont toutes représentées par une parabole. Il explique que la forme de la parabole (branches tournants vers le haut ou vers le bas) indique si la fonction a un minimum ou un maximum. La position de la parabole et la valeur du minimum ou maximum sont déterminées par les valeurs de alpha et beta. Le paragraphe fournit également des astuces mnémotechniques pour se rappeler la direction des branches de la parabole en fonction de la valeur de a, en utilisant des analogies visuelles telles que le sourire pour un minimum (a positif) et une bouche triste pour un maximum (a négatif). La vidéo conclut en soulignant l'importance de pratiquer avec des exercices pour bien comprendre et appliquer ces concepts.
Mindmap
Keywords
💡Fonction du second degré
💡Forme canonique
💡Parabole
💡Coefficient
💡Extrême
💡Axe de symétrie
💡Trinôme
💡Forme développée
💡Factorisation
💡Exercices
Highlights
Définition d'une fonction du second degré et son importance dans l'enseignement.
La forme canonique et ses avantages pour représenter les fonctions du second degré.
La reconnaissance des fonctions du second degré à travers différents exemples.
L'explication des termes ax², bx et c dans la fonction du second degré.
Importance de a ≠ 0 pour éviter la réduction à une fonction du premier degré.
Les différentes appellations d'une fonction du second degré : polynôme, trinôme, etc.
La différence entre les fonctions factorisées et non factorisées du second degré.
Les variations graphiques des fonctions du second degré : paraboles avec branches montantes ou descendantes.
La relation entre le signe de a et la forme de la parabole (minimum ou maximum).
Comment passer d'une forme développée à la forme canonique d'une fonction du second degré.
L'importance de la représentation graphique pour comprendre les variations des fonctions du second degré.
La méthode pour trouver l'extrême (minimum ou maximum) d'une fonction du second degré.
La formule pour calculer alpha et beta dans la forme canonique d'une fonction.
La signification de alpha et beta dans la position et la forme de la parabole.
Le mnémotechnique pour se rappeler la direction des branches de la parabole en fonction du signe de a.
La description de la parabole comme une représentation graphique de la trajectoire d'un objet lancé.
L'importance de pratiquer avec des exercices pour bien comprendre les fonctions du second degré.
La conclusion de la vidéo avec une invitation à faire des exercices pour approfondir la compréhension.
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour
dans cette vidéo je te propose de revoir
tout le cours sur les fonctions du
second degré l'objet de cette séquence
est de te rappeler et de t'expliquer les
éléments les plus importants de ce
chapitre plus précisément on commencera
par définir une fonction du second degré
ensuite on verra ce qui s'appelle la
forme canonique et on finira par les
variations et les représentations
graphiques des fonctions du second degré
pour préparer un contrôle ou même un
examen ceci ne suffira évidemment pas il
te faudra encore entraîné en faisant de
nombreux exercices pour le court c'est
parti commençons déjà par définir une
fonction du second degré qu'est ce que
c'est comment on les reconnaît alors ce
qu'il faut savoir c'est quelle porte
plusieurs petits noms on peut exemple
également les appeler fonction polynôme
2° deux fonctions polynôme du second
degré on peut également les appeler
fonction trinôme on va tout de suite
comprendre pourquoi et on peut même les
appelait tout court trinôme ce qu'il ya
de plus simple quand je parle d'un
trinôme et bien ça veut dire que j'ai
introduit une fonction du second degré
alors de façon générale une fonction du
second degré s'écrit sous la forme l 2 x
égal à ixxo carré plus bx plus c'est
trinôme tri 3,3 monôme un monôme c'est
quoi c'est quelque chose qui est du type
ax au carré c'en est un mais bx c'en est
un également
et c'est ce en est un également donc en
fait j'ai ces trois termes ax au carré
bx et c sont trois monôme du coup 3 mono
ça fait un trinôme c'est pour ça qu'on
l'appelle également trinôme alors second
degré pourquoi second degré et bien tout
simplement parce qu'on a un terme de
degré 2 c'est le ax au carré c'est pour
ça que ce à il doit être non nul je peux
être je peux mettre n'importe quel réel
pourra je peux donner n'importe quel
réel mais pas à 0 sinon ça deviendra une
fonction du premier degré on va le voir
tout de suite avec les exemples qu'on va
traiter b et c peuvent prendre n'importe
quelle valeur réelle même si gros alors
justement voici quelques exemples
les trois premiers f
g et h sont tous les trois des trinômes
des fonctions du second degré on le
reconnaît puisqu'on a un terme en x au
carré 3x au carré pour f1 demi de xo
carré pour g et moins de x aux caresses
et justes écrit en deuxième position
pour h
donc ça ce sont des fonctions du second
deux cas également est une fonction du
second degré mais sous sa forme
factoriser tout simplement parce que si
je développer cette expression y aurait
un moment où je ferais x x 2 x ce qui me
donnerait 2x au carré ce qui ferait
apparaître un monôme du second degré
donc on a bien en présence d'une
fonction du second degré m
alors m non n c'est une fonction du
premier degré il n'y a pas de terme avec
du xe au carré gée 5x -3 c'est une
fonction affine on connaît bien et n
alors n j'ai effectivement un terme du
second degré 3 x au carré mais j'ai
aussi un terme du troisième degré et
même d'ailleurs un terme du quatrième
degré 5 x puissance 4 ce qui signifie
que ceux ci ça s'appelle une fonction
polynôme 2 degrés 4 alors parlons
maintenant de ce qui s'appelle la forme
canonique d'un polynôme du second degré
qu'est ce que c'est et bien c'est tout
simplement une façon d'écrire un
polynôme du second degré une façon bien
défini pour présenter et cette forme là
on va le voir peut avoir quelques
avantages
jusque là on connaît seulement on a vu
seulement deux formes
on a vu la forme développée à ixxo carré
plus bx puces et c'est le cas de f g et
h qui sont encore affiché et on a vu une
forme dite factoriser on en a parlé
c'est le cas justement de la fonction
cas qui est donc exprimée sous sa forme
factoriser n' ya une autre façon
d'exprimer une fonction polinum du
second degré c'est la forme canonique
qui est présenté ici qui fait un peu
peur parce que il ya là beaucoup de
paramètres et d'ailleurs ce n'est pas
toujours simple de l'exprimer sous sa
forme canonique c'est un exercice qui
est relativement difficile
mais c'est une forme qui est très
apprécié quand on l'a alors on nous dit
que un polynôme et sous sa forme
canonique
lorsqu'il est écrit fdx égal à facteur 2
x - alpha au carré plus bêta alors alpha
et bêta sont de nombreux réel qui on va
le voir jouent un rôle très particulier
dans la suite je vais pas expliqué dans
cette vidéo comment on passe de la forme
développée à la forme canonique dit dans
l'autre sens c'est pas l'objet de la
vidéo tu trouveras plein d'exemples dans
la playlist qui est présenté en lien ici
là je vais juste présenter les formes
il faut savoir les distinguer et les
reconnaître alors voilà quand même un
petit exemple d'une fonction f
d'abord donné sous sa forme développée
fdx égale à 2 x au carré - 28 +10
on reconnaît bien là une forme du type
ax au carré plus bx plus c'est avec la à
qui est égale à deux baies qui est égale
1 - vente et ses quêtes égale à 10 alors
cette fonction-là peut s'écrire sous la
forme canonique alors je vais la donner
c'est gratuit c'est celle ci fdx égale à
deux facteurs de x - 5 au carré - 40
on reconnaît bien quelque chose qui est
sous la forme un facteur 2 x - à au
carré plus bêta alors il ya déjà quelque
chose qui est intéressant c'est le à le
à c'est le même ici c'est à dire que le
à que j'aurai en facteur de mon monôme
en x car et je le retrouve ici en
facteur du car et c'est normal quelque
part parce que la gx au carré x 2 ça va
me donner 2 x au carré donc on retrouve
bien note 2 x au carré voilà alors du
coup si on s'en réfère à la formule ça
voudrait dire que dans ce cas-là alpha
serait égal à 5 et bêta serait égal à
moins que la rente
alors pour alpha et bêta n'y a pas de
relation directe avec ab aussi on va
voir après que alpha ya quand même moyen
de l'obtenir à l'aide des coefficients a
b ou c pour bêta alors là non en réalité
la partie
qui consiste à passer de la fonction
sous sa forme développée à la fonction
sous sa forme canonique
c'est là la partie difficile dans
l'autre sens c'est assez facile il
suffit juste ici de développer x - 5 au
carré ensuite de réduire on retombe sur
f2 x alors on va poursuivre maintenant
avec les variations d'une fonction
polynôme du second degré et on va garder
on va se mettre de côté cette fonction
pour exemple parce qu'on va continuer à
travailler avait on va donc juste
déplacer son expression voilà j'ai juste
mis les couleurs un peu ailleurs puisque
on va utiliser alpha et bêta donc alpha
vos 5 et bêta vaut moins 40 ares
attention bêta vaut moins 40 parce que
la formule nous dit plus bêta elle est
encore ici plus bêta
ce qui voudrait dire ici qu'il faudrait
considérer qu'on a plus moins 40
ça signifie donc bien que bêta est égal
à -40
donc on va s'intéresser maintenant à la
représentation graphique d'une fonction
polynôme du second degré et ensuite donc
aux variations enfin tout ça c'est lié à
l'or ce qu'il faut voir c'est que toutes
les fonctions du second dégré degrés
sans exception sont représentés par une
courbe qui porte un nom et qui s'appelle
une parabole
alors on en connaît une déjà de fonction
du second degré c'est la fonction car et
la fonction carey qui a une clique et
représentait donc par une parabole qui a
cette allure la de sommer l'origine mais
une parabole ces couacs à une parabole
c'est par exemple la courbe qu'on trace
lorsqu'on lance un objet
il est toujours vivant je te rassure
c'était pour la bonne cause
alors si une fonction du second degré
est représenté par une parabole hulot a
deux façons de la représenter soit dans
ce sens là avec les branches qui sont
tournés vers le haut
soit dans ce sens là avec les branches
qui sont tournés vers le bas si les
branches sont tournés vers le haut
eh bien ça voudra dire que la fonction
admet un minimum on voit bien là ça
descend on atteint une valeur minimum et
puis après ça remonte à linverse si les
branches sont tournés vers le bas notre
fonction atteindra un maximum
ça monte ça monte ça monte ça atteint
maximum puis ensuite ça redescend et
bien tout est dit dans cette propriété
il ya beaucoup d'informations mais elle
est terriblement importante cette
propriété elle nous dit que si on a une
fonction exprimée sous sa forme
canonique un facteur 2 x - alpha o car
est plus bête hein et bien dans le cas
où a est positif la fonction est fade
mais un minimum on sait où il est
atteint il est atteint en alpha et on
connaît la valeur de ce minimum
il est égal à bêta c'est quand même pas
rien ça alors qu'alain verse cia est
négatif et bien f admet un maximum
maximum pour x égale alpha et ce maximum
est égal à bêta qu'est ce que ça
signifie pour notre fonction ici et bien
là on a un qui est positif à est égal à
2 donc ma fonction f va à mettre un
minimum j'aurai donc les branches qui
vont être tournés vers le haut et je
sais où est atteint son minimum
il est atteint en cinq et je sais
également combien vaut ce minimum ce
minimum au moins 40
mais ça c'est terriblement important
parce que grâce à ça grâce à toutes ces
informations
sa représentation graphique est une
parabole
le minimum est atteint pour x égal 5 il
vaut moins 40
je peux déjà avoir une idée de la courbe
représentative de ma fonction f
ça va donner ceci minimum atteint pour x
égale à 5
et ce minimum au moins 40
donc là ici j'ai la position de mon
minimum forcément ce minimum à pour
coordonner 5 - 40 après qu'est ce que je
sais je sais que c'est un minimum et la
courbe est une parabole
donc est-ce qu'il suffit de faire
partant de ce minimum il me suffit de
construire deux branches qui vont vers
le haut
forcément il faut que ce soit un minimum
et ça donne quelque chose comme ça alors
bien évidemment tout ça c'est très
approximatif mais quand même grâce à la
forme canonique
on arrive déjà à avoir une position de
lacombe et une allure de la courbe le
aïssi va nous dire que les branches sont
tournés vers le haut pour que ça soit un
minimum le alpha et le bêta va nous
donner la position de la courbe avec ses
branches tombées vers le haut alors du
coup un petit truc mnémotechnique pour
retenir
comment sont tournés les branches de la
parabole on a dit que lorsque à est
positif on a un minimum donc forcément
si on a un minimum faut bien que ça
monte donc ça veut dire que les branches
sont tournés vers le haut
donc ça fait comme ça un petit sourire
quand on est positif on sourit donc on
se rappellera que lorsque à est positif
eh bien on doit avoir une courbe en
forme de sourire par contre lorsque à
est négatif lorsqu'on est négatif et
bien c'est pas très positif justement on
n'est pas très heureux on a donc une
bouche un peu triste qui nous rappelle
ici que on a une parabole avec les
branches tourner vers le bas
d'ailleurs si tu connais le jeu angry
birds tu connais forcément c'est ce sont
des petits oiseaux qu'on balance comme
ça et en les balançant ils fabriquent
une parabole une parabole avec les
branches qui sont tournés vers le bas
regarde un peu la tronche des oiseaux
ils sont pas très contents ils sont
négatifs négatif avec un à négatif un
coefficient à négatif et toutes les
paraboles de nos petits oiseaux ont à
chaque fois un coefficient à qui est
négatif alors j'avais dit tout à l'heure
que il y avait il y avait possibilité de
retrouver la valeur de alpha à l'aide
des coefficients ab
c'est alors plus précisément ses allées
des coefficients a et b et donc si notre
fonction fc cris sous la forme à ixxo
carré plus bx plus c est bien on peut
retrouver là où le l'extrême homme est
atteint donc le maximum le minium c'est
à dire notre alpha et ce alpha vos - b
sur deux a donc ça c'est une formule
qu'on peut retenir et qui est très
pratique
du coup si je pars d'un à positif
j'aurai donc un sourire avec la parabole
qui a les branches tourner vers le haut
j'aurai donc une fonction qui sera
d'abord décroissante
avec donc un minimum qui est atteint en
moins b sur 2 ha et sa valeur cf de
moimbé so2 à c'est-à-dire notre bêta et
ensuite notre fonction est croissante
jusqu'à puisse l'infini al'inverse si
j'ai un à négatif j'ai donc les broches
qui sont tournés vers le bas en forme de
bouche triste et bien on retrouve à peu
près le même tableau de variation le
maximum cette fois ci est atteint en
moins b sur deux à evo ix f2 - b sur
deux et bien du coup on pourra retenir
que le point m qui a pour coordonner
moins d sur deux à f2 - b sur deux a
donc alfa-beta un cénotaphe fine aux
bêtas s'appelle le sommet de la parabole
il correspond donc au maximum ou au
minimum et on pourra retenir également
que la parabole possède un axe de
symétrie et cet axe de symétrie et bien
il a tout simplement pour équation x
également un beso gloire c'est à dire
l'abscisse de notre excellent homme
extrêmement voilà et bien cette séquence
est terminée n'oublie pas de faire des
exercices
関連動画をさらに表示
Déterminer la forme canonique d'une expression du second degré (1) - Première
Déterminer le signe d'une fonction du 2nd degré donnée sous sa forme factorisée - Première
Déterminer des FONCTIONS du SECOND DEGRÉ avec 2 racines - Première
LE COURS : Notion de limite d'une fonction - Terminale
FONCTIONS : Afficher une courbe - Tutoriel TI
LE COURS : La dérivation - Première
5.0 / 5 (0 votes)