DEFINICIÓN DE GRUPO Y ANILLO | PARTE 2: DEFINICIÓN DE ANILLO, CUERPO Y EJEMPLOS

Summary

En este video, se presenta la definición de un anillo en álgebra abstracta, explicando su estructura como un conjunto no vacío con dos operaciones internas, la adición y la multiplicación. Se detallan las propiedades que debe cumplir un anillo, como la asociatividad, la conmutatividad, la existencia de un elemento neutro para la adición, y la propiedad distributiva entre la adición y la multiplicación. Además, se abordan conceptos clave como anillos conmutativos, anillos unitarios, y divisores de cero, ilustrando con ejemplos prácticos como los enteros, los números reales, y las matrices 2x2. Finalmente, se exploran anillos con inversos multiplicativos y casos como los campos y dominios.

Takeaways

• 😀 Un anillo es un conjunto no vacío con dos operaciones internas, denominadas suma (+) y multiplicación (×), que deben cumplir ciertas propiedades.
• 😀 Las operaciones de un anillo son internas, lo que significa que al aplicar suma o multiplicación entre dos elementos del conjunto, el resultado debe ser un elemento del mismo conjunto.
• 😀 La suma en un anillo debe ser asociativa, conmutativa y tener un elemento neutro (denotado por 0), que no altere el resultado al operar con él.
• 😀 Cada elemento en el anillo debe tener un inverso aditivo, lo que significa que existe un elemento -a tal que a + (-a) = 0.
• 😀 La multiplicación en un anillo debe ser asociativa y distributiva respecto a la suma.
• 😀 Un anillo puede ser conmutativo o no, dependiendo de si la multiplicación es conmutativa o no.
• 😀 Si existe un elemento neutro para la multiplicación (denotado por 1), y este es distinto de 0, se denomina un anillo unitario.
• 😀 No todos los anillos requieren que todos sus elementos tengan un inverso multiplicativo. Si existe un inverso multiplicativo para un elemento, se denomina unidad del anillo.
• 😀 Si el anillo tiene elementos distintos del neutro aditivo que, al multiplicarse entre sí, resultan en 0, estos se llaman divisores de 0.
• 😀 Cuando el conjunto de divisores de 0 está vacío, el anillo se denomina dominio.
• 😀 Si un anillo tiene inversos multiplicativos para todos sus elementos distintos de 0, se denomina un anillo de división. Si la multiplicación es conmutativa, el anillo es un campo.

Q & A

¿Qué es un anillo en matemáticas?

Un anillo es un trío formado por un conjunto no vacío y dos operaciones internas (una de adición y otra de multiplicación) que deben cumplir ciertas propiedades específicas, como ser asociativas, conmutativas, tener un elemento neutro para la adición y un elemento inverso para la adición.

¿Qué significa que una operación sea interna en un anillo?

Que las dos operaciones (adición y multiplicación) son internas significa que al operar con dos elementos del conjunto, el resultado de la operación también pertenece al mismo conjunto.

¿Cuáles son las propiedades necesarias para que un conjunto con dos operaciones sea un anillo?

Las propiedades necesarias son: ser operaciones internas, la adición debe ser conmutativa, la adición debe tener un elemento neutro, debe existir un elemento inverso aditivo para cada elemento del anillo, la multiplicación debe ser asociativa y debe ser distributiva sobre la adición.

¿Qué es un anillo conmutativo?

Un anillo es conmutativo si su operación de multiplicación es conmutativa, es decir, si el orden de los factores no afecta el resultado de la multiplicación.

¿Qué es un anillo unitario?

Un anillo unitario es aquel en el que existe un elemento neutro multiplicativo, distinto al elemento neutro aditivo, que cumple que al multiplicar cualquier elemento del anillo por este, el resultado es el mismo elemento.

¿Qué significa que un elemento de un anillo sea una unidad?

Un elemento es una unidad si tiene un inverso multiplicativo dentro del anillo. Esto significa que al multiplicarlo por su inverso, se obtiene el elemento neutro de la multiplicación.

¿Qué es un dominio en teoría de anillos?

Un dominio es un anillo en el que no existen divisores de cero, es decir, no hay dos elementos distintos de cero cuyo producto sea cero.

¿Qué caracteriza a un anillo de división?

Un anillo de división es un anillo en el que cada elemento distinto del neutro aditivo tiene un inverso multiplicativo. Además, la multiplicación en este anillo es conmutativa.

¿Cuál es la diferencia entre un anillo de división y un campo?

La diferencia es que un campo no solo requiere que todos sus elementos distintos del neutro aditivo tengan inverso multiplicativo, sino que además, su multiplicación debe ser conmutativa.

¿Qué es el conjunto Z5 y cómo se utiliza en la teoría de anillos?

Z5 es el conjunto de clases de equivalencia de los enteros bajo la operación de módulo 5. Es un anillo, y si se verifican las propiedades adecuadas, también es un campo, porque cumple con la existencia de inversos multiplicativos para todos sus elementos distintos de cero.