Règle et compas - partie 1 : constructions

Summary

Dans cette vidéo, l'instructeur explore des constructions géométriques classiques à l'aide d'une règle et d'un compas. En abordant des problèmes historiques, tels que la trisection d'un angle, la duplication du cube et la quadrature du cercle, il démontre des constructions élémentaires comme la symétrie, la médiatrice et les parallèles. Il illustre également la division de segments en parties égales et la construction de racines carrées, tout en abordant les limitations des outils traditionnels pour résoudre certains problèmes célèbres de la Grèce antique. Le cours met en lumière les défis mathématiques à résoudre uniquement avec des outils géométriques simples.

Takeaways

• 😀 On peut construire le symétrique d'un point par rapport à un autre à l'aide d'une règle et d'un compas.
• 😀 Il est possible de tracer la médiatrice d'un segment et de trouver son milieu.
• 😀 Avec un compas et une règle, on peut construire la parallèle à une droite passant par un point donné.
• 😀 La construction de perpendiculaires à une droite est possible en utilisant la médiatrice et les parallèles.
• 😀 On peut tracer des segments égaux et diviser un segment en N parties égales en utilisant les propriétés du compas.
• 😀 Le théorème de Thalès permet de diviser un segment en plusieurs parties égales en traçant des parallèles.
• 😀 Le théorème de Pythagore permet de construire des segments de longueur √2, √3, etc., à partir d'un segment de longueur 1.
• 😀 Le premier problème classique est la trisection des angles, c'est-à-dire diviser un angle donné en trois parties égales.
• 😀 Le problème de la duplication du cube consiste à construire un second cube dont le volume est double du premier.
• 😀 Le dernier problème classique est celui de la quadrature du cercle, c'est-à-dire construire un carré ayant la même surface qu'un cercle donné.

Q & A

Quelles sont les trois constructions mathématiques classiques abordées dans ce script ?

Les trois problèmes abordés sont la trisection des angles, la duplication du cube et la quadrature du cercle.

Comment peut-on construire le symétrique d'un point B par rapport à un point A ?

Il suffit de tracer la droite AB, puis de dessiner un cercle centré en A passant par B. Les points d'intersection de cette droite et du cercle donnent le symétrique de B par rapport à A.

Comment construire la médiatrice d'un segment AB ?

On trace deux cercles centrés respectivement en A et B, avec des rayons égaux à la distance AB. Les points d'intersection de ces cercles forment la médiatrice, et on trace la droite passant par ces points.

Comment construire la parallèle à une droite AB passant par un point C ?

On construit d'abord le milieu du segment AC, puis on construit le symétrique de B par rapport à ce milieu. La figure obtenue forme un parallélogramme, et la droite CD est parallèle à la droite AB.

Quelles sont les règles autorisées pour les constructions dans ce cadre ?

Les règles sont les suivantes : on peut tracer une droite entre deux points construits, tracer un cercle dont le centre est un point construit et passer par un autre point construit, et utiliser les points obtenus comme intersections de droites et de cercles.

Qu'est-ce que permet la propriété de garder l'écartement du compas dans les constructions ?

Cela permet de simplifier les constructions, par exemple en construisant facilement des parallélogrammes ou en mesurant des segments égaux à l'écartement initial du compas.

Comment diviser un segment en N parties égales à l'aide du théorème de Thalès ?

On trace une droite quelconque D passant par A, puis on marque des points successifs sur D en gardant un écartement constant du compas. Ensuite, on trace des parallèles à la droite reliant le dernier point de division au point B, ce qui permet de diviser le segment AB en N parties égales.

Comment construire un segment de longueur √2 à partir d'un segment de longueur 1 ?

On construit un carré de côté 1, puis on trace la diagonale de ce carré. La longueur de cette diagonale est √2, et ce segment peut être utilisé comme la longueur désirée.

Quel est le problème de la duplication du cube ?

Il s'agit de savoir si, étant donné un cube de côté a, on peut construire un second cube dont le volume est double du premier, c'est-à-dire un cube dont les côtés sont de longueur a × √2.

Quel est le célèbre problème de la quadrature du cercle ?

Il s'agit de savoir si, étant donné un cercle de rayon r, on peut construire un carré de même aire à l'aide d'une règle et d'un compas. Cela revient à savoir construire un segment de longueur √π × r à partir d'un segment de longueur 1.