Règle et compas - partie 5 : les problèmes grecs

Summary

Dans cette vidéo, on explore les trois célèbres problèmes grecs : la duplication du cube, la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Grâce au théorème de Wendel, on montre que ces problèmes ne peuvent pas être résolus à l'aide de la règle et du compas. En effet, la racine cubique de 2, la racine carrée de pi et le cosinus de certains angles ne sont pas des nombres constructibles. Cependant, certains cas particuliers permettent de résoudre des problèmes de trisection. Cette exploration mathématique dévoile les limites des constructions géométriques classiques.

Takeaways

• 😀 Le théorème de Wendelin est la clé pour résoudre les problèmes géométriques classiques tels que la duplication du cube, la quadrature du cercle et la trisection des angles.
• 😀 La duplication du cube est impossible avec une règle et un compas car la racine cubique de 2 n'est pas un nombre constructible.
• 😀 Un nombre est constructible s'il peut être la racine d'un polynôme de degré une puissance de 2 avec des coefficients rationnels.
• 😀 La quadrature du cercle, qui consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné, est impossible car √π n'est pas un nombre constructible.
• 😀 Pi (π) est un nombre transcendant, ce qui signifie qu'il ne peut pas être la racine d'un polynôme avec des coefficients rationnels, rendant la quadrature du cercle irréalisable.
• 😀 La trisection des angles est également impossible avec une règle et un compas en général, car certains angles (comme π/9) ne sont pas constructibles.
• 😀 Il existe des angles particuliers, comme π/3, qui peuvent être trisectés, car leur cosinus est constructible.
• 😀 Un nombre constructible doit avoir un degré algébrique qui est une puissance de 2, sinon il ne peut pas être construit à l'aide des outils classiques.
• 😀 Les outils algébriques sont essentiels pour démontrer l'impossibilité de certaines constructions géométriques.
• 😀 La preuve de l'impossibilité de ces constructions repose sur des propriétés algébriques telles que le degré d'un polynôme et les racines de ces polynômes.

Q & A

Qu'est-ce que le théorème de Wendel et comment aide-t-il à résoudre les problèmes géométriques?

Le théorème de Wendel, ou plus précisément son corollaire, stipule que si un nombre réel x est constructible, alors x doit être un nombre algébrique. Cela permet de résoudre des problèmes géométriques comme la duplication du cube, la quadrature du cercle, et la trisection des angles en déterminant si les nombres associés sont constructibles.

Pourquoi la duplication du cube ne peut-elle pas être effectuée à la règle et au compas?

La duplication du cube implique la construction du nombre racine cubique de 2, qui n'est pas constructible selon le théorème de Wendel. Cela découle du fait que racine cubique de 2 est une racine d'un polynôme irrationnel et son degré algébrique n'est pas une puissance de 2.

En quoi consiste le problème de la quadrature du cercle?

Le problème de la quadrature du cercle consiste à construire, à l'aide de la règle et du compas, un carré ayant la même aire qu'un cercle donné. Cela revient à construire un segment de longueur racine de pi, ce qui est impossible, car racine de pi n'est pas un nombre constructible.

Pourquoi racine de pi n'est-elle pas constructible?

Racine de pi n'est pas constructible parce qu'elle n'est pas un nombre algébrique, et donc ne peut pas être la racine d'un polynôme à coefficients rationnels. Cela implique qu'il est impossible de la construire à l'aide de la règle et du compas.

Qu'est-ce que le théorème de Ferdinand von Lindemann et comment influence-t-il la quadrature du cercle?

Le théorème de Ferdinand von Lindemann, prouvé en 1882, stipule que pi est un nombre transcendant, ce qui signifie qu'il n'est pas algébrique et, par conséquent, racine de pi n'est pas constructible. Cela rend impossible la quadrature du cercle.

Peut-on diviser un angle en trois parties égales à l'aide de la règle et du compas?

Non, il n'est généralement pas possible de diviser un angle en trois parties égales à l'aide de la règle et du compas. Toutefois, pour certains angles spécifiques, comme pi/2, il est possible de réaliser cette trisection.

Pourquoi la trisection de l'angle pi/3 est-elle impossible?

La trisection de l'angle pi/3 est impossible parce que le cosinus de pi/9, nécessaire pour réaliser cette construction, n'est pas un nombre constructible. Son degré algébrique n'est pas une puissance de 2, ce qui empêche sa construction.

Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'un nombre soit constructible?

Pour qu'un nombre soit constructible, il doit être algébrique et son degré algébrique doit être une puissance de 2. Cela signifie qu'il doit être la racine d'un polynôme dont le degré est une puissance de 2.

Qu'est-ce qu'un polynôme irréductible et quel est son rôle dans la construction géométrique?

Un polynôme irréductible est un polynôme qui ne peut pas être factorisé en polynômes de degré inférieur à celui de lui-même. Dans les constructions géométriques, un nombre constructible doit être une racine d'un tel polynôme à coefficients rationnels.

Peut-on prouver que pi n'est pas un nombre algébrique?

Oui, il est possible de prouver que pi n'est pas un nombre algébrique grâce au théorème de Lindemann. Cette démonstration, bien que complexe, montre que pi est un nombre transcendant, et donc non algébrique.