Calculus 1 Review - Basic Introduction

Q & A

リミットとは何ですか？

リミットは、ある関数の変数が特定の値に近づくときに、関数の出力がどのように変化するかを示す概念です。具体的には、変数がその値に近づくときに関数の値がどのように収束するかを調べます。

関数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) のリミットを求める方法は？

まず、x = 2 に直接代入してみると、0/0 の不定形になるため、代わりに近い値（例えば 1.9 や 1.99）を代入して、リミットが 4 に近づくことを確認します。また、因数分解を使用して式を簡略化し、x = 2 に代入するとリミットが 4 になることも確認できます。

直接代入法はどんな場合に使えますか？

直接代入法は、リミットの計算で式を代入したときに分母が 0 にならない場合に使えます。もし分母が 0 になると、他の方法を考える必要があります。

x^2 + 5x - 4 のリミットを求める場合、どうすればよいですか？

この式において、x = 3 を直接代入すると、リミットを計算でき、最終的に 20 という答えが得られます。

x^2 - 8x + 15 を x - 3 で割った式のリミットを求める方法は？

まず、x = 3 を直接代入すると分母が 0 になります。そこで、式を因数分解して、x - 3 をキャンセルします。その結果、リミットを計算すると -2 になります。

複雑な分数式のリミットを求める方法は？

複雑な分数式の場合、分母と分子に共通の分母を掛けて式を簡略化することでリミットを計算できます。例えば、(1/x - 1/4) / (x - 4) の場合、分母と分子に 4x を掛けて簡略化し、その後リミットを求めます。

平方根を含む式のリミットを求める方法は？

平方根を含む式のリミットを求めるには、分子と分母に共役を掛けて式を簡略化します。例えば、sqrt(x) - 3 / (x - 9) の場合、分子と分母に sqrt(x) + 3 を掛けてリミットを計算します。

リミットが存在しない場合のグラフの特徴は？

リミットが存在しない場合、グラフはジャンプ不連続性や無限不連続性、または垂直漸近線を示すことがあります。これらのケースでは、リミットは特定の値に収束せず、存在しないと判断されます。

グラフからリミットを求める方法は？

グラフからリミットを求めるには、x がある値に近づくときの y 値の挙動を観察します。左側と右側のリミットが一致していれば、そのリミットは存在し、値も確認できます。

ジャンプ不連続性とは何ですか？

ジャンプ不連続性は、関数の左側と右側のリミットが異なる場合に発生します。これにより、関数はその点で不連続となり、リミットが存在しないことが確認されます。