Integrasi Numerik_Metode Simpson 1/3

Takeaways

• 😀 数値積分の方法として、台形法とシンプソン法について説明しています。
• 😀 シンプソン法では、2次および3次の多項式を使用して、より精度の高い近似を行います。
• 😀 シンプソン法の三分の一ルールでは、3つの点を結びつけて2次の多項式（放物線）を作り、積分を近似します。
• 😀 シンプソン法の3/8ルールでは、4つの点を結びつけて3次の多項式を使います。
• 😀 数値積分を行うためには、区間を適切に分割することが重要です。
• 😀 シンプソン法を使用する際には、区間の分割数が偶数である必要があります。
• 😀 計算例として、関数を0から4の範囲で積分した結果、シンプソン法三分の一ルールでの積分値が5677であり、誤差は5.9％でした。
• 😀 数値積分と解析積分（厳密解）を比較すると、シンプソン法の誤差は3.5％より小さくなります。
• 😀 数値積分をより精度よく行うためには、積分区間をさらに細かく分割することが有効です。
• 😀 シンプソン法の3分の1ルールは、各小区間における積分値を計算するために、奇数番目と偶数番目の点を区別して扱います。

Q & A

トラペゾイダル法は数値積分においてどのように使用されるか？

トラペゾイダル法は、関数の積分を近似するために用いられ、データ点を直線で結ぶことで面積を計算します。この方法は、区間を小さく分割することで精度を上げることができます。

シンプソンの1/3法則の主な特徴は何ですか？

シンプソンの1/3法則は、関数の近似に2次の多項式（放物線）を使用します。この方法は、3点（a、b、そしてその中間点）を使って積分を近似します。

シンプソンの3/8法則はシンプソンの1/3法則とどのように異なるか？

シンプソンの3/8法則は、シンプソンの1/3法則と比べてさらに2つの追加的なデータ点を使用し、4点を使って3次の多項式で近似します。これにより、より高精度な積分近似が可能になります。

シンプソンの1/3法則を使用する場合、必要な点の数はどのくらいか？

シンプソンの1/3法則では、少なくとも3つの点が必要です。これには開始点a、終了点b、およびその間の中間点が含まれます。

シンプソンの法則での誤差はどのように改善できるか？

シンプソンの法則では、区間をさらに小さく分割して、より多くのサブインターバルを使用することで誤差を減らし、より精度の高い結果が得られます。

シンプソンの1/3法則とトラペゾイダル法の精度の違いは何か？

シンプソンの1/3法則はトラペゾイダル法よりも精度が高く、関数の近似に2次の多項式を使用するため、より細かい近似が可能です。結果的に、シンプソン法は誤差が小さくなります。

シンプソン法ではインターバルの数にどのような制限があるか？

シンプソン法では、使用するインターバル数が偶数である必要があります。これにより、各区間において正しい近似を行うことができます。

シンプソンの1/3法則を使った実際の例で、どのように積分を計算するか？

シンプソンの1/3法則では、区間を2つに分け、その中点での関数値を使用して積分を近似します。例えば、区間[0, 4]において、a=0、b=4、中点c=2とし、それぞれの関数値を求めて公式に代入します。

シンプソンの1/3法則の誤差を減少させるためにはどうすればよいか？

シンプソンの1/3法則の誤差を減少させるためには、区間をさらに細かく分割してサブインターバルを増やすことが効果的です。この方法は、近似の精度を向上させます。

シンプソンの1/3法則と解析的な積分の結果を比較する場合、どのような誤差が出るか？

シンプソンの1/3法則を使って得られる積分結果は、解析的な積分と比較するとわずかな誤差が生じます。例えば、関数f(x)=e^xの積分を[0, 4]で行った場合、シンプソン法による結果は誤差が5.9%となります。