Integración por fracciones parciales | Ejemplo 1 División

Q & A

分数分解とは何ですか？

分数分解は、複雑な有理関数を簡単な分数の和に分解する手法です。この手法を用いることで、積分が簡単に解けるようになります。特に、分子の次数が分母より大きい場合、まず除算を行い、その後分数分解を行います。

x² + x + 3 / x - 2 のような式で最初に行うべき操作は何ですか？

最初に行うべき操作は、分子の次数が分母の次数より大きい場合、除算を行うことです。これにより、複雑な式を単純化し、分数分解を行いやすくなります。

除算を行う際、どのようにして次の項を決定しますか？

除算の際、最初に分子の最高次の項（この場合はx²）を分母の最高次の項（x）で割り、その結果得られた項を分母と掛け算して引き算します。これを繰り返していきます。

x + 3 の部分の積分はどのように行いますか？

x + 3 の積分は、xについて積分することで、x²/2 + 3x という結果になります。積分定数は省略されていますが、実際には積分後に常に積分定数を追加します。

分数の部分 9 / (x - 2) の積分はどのように解決しますか？

分数 9 / (x - 2) の積分は、代入法を使って行います。x - 2 を新しい変数（例えば、v）に置き換え、d(v) = d(x) となるようにして、最終的にログ関数の形になります。

分数分解の結果、どのような簡単な積分式に変換されますか？

分数分解の結果、式は x + 3 と 9 / (x - 2) の積分に分かれ、それぞれを個別に積分できます。最終的には、x²/2 + 3x と 9 * ln|x - 2| が得られます。

分数分解での「残差」をどのように計算しますか？

残差は、除算後に余った項で、分子と分母の除算を行った後の残りの部分です。この残差は、最終的に積分を行うための分数分解に組み込まれます。

積分の結果として出てくるlog関数の理由は何ですか？

積分の中で 9 / (x - 2) のような式が現れると、代入法を使用することで積分結果が自然対数（log）関数になります。この形式は、1/(x - a) の積分が log|x - a| になるためです。

分数分解を使った積分の利点は何ですか？

分数分解を使うと、複雑な有理関数を単純な分数の和に分解でき、各項を個別に積分することで、積分計算が容易になります。特に、高次の多項式の積分を簡略化できます。

このビデオの解説方法で積分を学ぶ際のポイントは何ですか？

ビデオの解説では、最初に除算を行い、その後分数分解で各項を個別に積分する方法が紹介されています。重要なのは、手順を順番に実行し、積分結果が簡単に求められることです。練習を重ねることで、さらに理解が深まります。