DOMINIOS DE FUNCIONES
Summary
TLDREl script explora la definición de dominio y rango en funciones matemáticas. Se describe que para funciones polinómicas de primer, segundo y quinto grado, el dominio es el conjunto de los números reales, ya que la variable independiente puede tomar cualquier valor real. En el caso de funciones racionales, es crucial asegurar que el denominador no sea cero, lo que impone restricciones en el dominio. Se ejemplifica con funciones como h(x), R(n) y Q(L), donde se establecen condiciones específicas para evitar divisiones por cero. Además, se discute el dominio de funciones con raíces, tanto de índice par, donde el argumento debe ser no negativo, como de índice impar, que no tienen esta restricción. Se concluye con la función C(x), destacando la importancia de evitar que el radicando sea cero en raíces de índice impar. Este análisis detallado permite comprender cómo se determina el dominio de diferentes tipos de funciones matemáticas.
Takeaways
- 📐 El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 'x'.
- 📉 El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente 'y'.
- 🔢 Para funciones polinómicas de primer, segundo o quinto grado, el dominio es el conjunto de los números reales.
- ⛔ En funciones racionales, se debe asegurar que el denominador no sea cero, lo que impone restricciones en el dominio.
- 🚫 Si el denominador de una función racional contiene una expresión al cuadrado, esta siempre será positiva y no causará restricciones en el dominio.
- √ Para funciones con raíces de índice par, se debe garantizar que el argumento de la raíz sea no negativo.
- ➗ En el caso de raíces de índice impar, no hay restricciones sobre los valores negativos del argumento.
- 🚷 El dominio de una función se define con excepción de ciertos valores que hacen que la función no esté definida (generalmente cero en el denominador o argumentos negativos en raíces par).
- 📌 Es importante analizar cada función individualmente para determinar sus restricciones y, por lo tanto, su dominio.
- 📘 El análisis de las expresiones algebraicas dentro de las funciones es crucial para establecer las condiciones que definen el dominio.
- 📌 Recordar que el dominio de una función es un aspecto fundamental que debe entenderse antes de proceder con cálculos adicionales o gráficos.
Q & A
¿Qué es el dominio de una función?
-El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, X, en la función.
¿Cuál es el dominio de una función polinómica de primer grado?
-El dominio de una función polinómica de primer grado es el conjunto de los números reales, ya que la variable independiente puede tomar cualquier valor real.
¿Qué condiciones deben cumplirse para el dominio de una función racional?
-Para el dominio de una función racional, se debe asegurar que el denominador de la expresión no sea cero.
¿Cómo se determina el dominio de la función h(x) = x - 6 sobre x - 5?
-El dominio de la función h(x) es el conjunto de los números reales, con la excepción del número 5, ya que x - 5 no puede ser cero.
¿Cómo se factoriza el denominador de la función R(n) = n + 1 sobre n² - 6n + 8 para encontrar su dominio?
-El denominador se factoriza como (n - 4)(n - 2), y para que no sea cero, n no puede ser 4 ni 2. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de los números reales, excluyendo a 2 y 4.
¿Por qué el dominio de la función Q de L no incluye restricciones si el denominador es L² + 1?
-El dominio de la función Q de L no tiene restricciones porque L² siempre es positivo, y al sumarle 1, el resultado siempre será positivo, lo que significa que el denominador nunca será cero.
¿Cuál es la condición para que el dominio de la función Z de U, que es la raíz cuarta de U - 9, no incluya valores negativos?
-La condición es que U - 9 sea mayor o igual que cero, lo que significa que U debe ser mayor o igual a 9 para evitar raíces negativas en una raíz de índice par.
¿Cómo se determina el dominio de la función M de Y que es Y + 10 sobre la raíz cuadrada de Y - 1?
-El dominio de la función M es el conjunto de los valores de Y que son mayores que 1, ya que el término dentro de la raíz cuadrada, Y - 1, debe ser positivo y no cero.
¿Cuál es el dominio de la función W que es la raíz cuadrada de X² + 25?
-El dominio de la función W es el conjunto de los números reales, ya que X² siempre es positivo y la suma de 25 asegura que el resultado nunca sea negativo.
¿Por qué las raíces de índice impar no tienen restricciones sobre ser negativas?
-Las raíces de índice impar, como la raíz cúbica, admiten valores negativos dentro de su definición, ya que elevar un número negativo a un índice impar resulta en un número negativo.
¿Cómo se determina el dominio de la función C(x) que es x - 3 sobre la raíz quinta de x - 2?
-El dominio de la función C es el conjunto de los números reales, excluyendo el número 2, ya que el término dentro de la raíz, x - 2, no puede ser cero para evitar divisiones por cero.
Outlines
📐 Conceptos básicos de dominio y rango en funciones
Este párrafo introduce los conceptos fundamentales de dominio y rango en matemáticas. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 'x' en una función, mientras que el rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente 'y'. Se explica que para funciones polinómicas de primer, segundo y quinto grado, el dominio es el conjunto de los números reales, ya que la variable independiente puede asumir cualquier valor real. Además, se describe cómo se determina el dominio en funciones racionales, asegurándose de que el denominador no sea cero, y se dan ejemplos para ilustrar esto.
🚫 Restricciones en funciones con raíces y denominadores
Este párrafo se enfoca en las restricciones que deben considerarse en funciones que incluyen raíces y denominadores. Se destaca la importancia de evitar que los denominadores sean cero y cómo se establecen las condiciones para garantizar esto. Se analizan casos específicos, como funciones con raíz al cuadrado, donde el argumento de la raíz debe ser positivo, y funciones con raíz de índice impar, donde no hay restricciones sobre los valores negativos. Se proporcionan ejemplos detallados para funciones que incluyen raíces al cuadrado y a la cuarta potencia, así como para funciones con raíces cúbicas. Además, se discute cómo se determina el dominio en estas funciones, teniendo en cuenta las restricciones mencionadas.
Mindmap
Keywords
💡Dominio
💡Rango
💡Función Polinómica
💡Función Racional
💡Condición de No División por Cero
💡Factorización
💡Raíz de Índice Par
💡Raíz de Índice Impar
💡Desigualdad Lineal
💡Intervalo
💡Recta Numérica
Highlights
Se define el dominio de una función como el conjunto de valores que toma la variable independiente X.
El rango de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente Y.
Para funciones polinómicas de primer, segundo o quinto grado, el dominio son los números reales.
Las funciones racionales, como h(x) = x - 6 / (x - 5), requieren que el denominador no sea cero, excluyendo el valor específico que lo anula.
En la función R(n) = (n + 1) / (n² - 6n + 8), el denominador debe ser distinto de cero, lo que impone condiciones sobre los valores de n.
La función Q(L) = (L - 2) / (L² + 1) tiene un denominador siempre positivo, por lo que su dominio es el conjunto completo de los números reales.
Las funciones con raíces de índice par, como Z(U) = √(U - 9), requieren que el radicando sea no negativo.
La función M(Y) = (Y + 10) / √(Y - 1) impone que el radicando sea positivo y distinto de cero.
La expresión √(X² + 25) siempre es no negativa, lo que significa que el dominio de la función W es el conjunto completo de los números reales.
Las raíces de índice impar, como la raíz cúbica, no restringen el dominio en términos de valores negativos.
La función C(x) = (x - 3) / √(x - 2) requiere que el radicando sea distinto de cero para evitar divisiones por cero.
El análisis de dominios en funciones racionales y con raíces muestra la importancia de excluir valores que hacen que el denominador o radicando sean cero.
El dominio de una función determina todos los valores válidos que la variable independiente puede tomar para producir una salida definida.
El rango de una función es la lista de todos los valores que la función produce, es decir, los valores posibles de la variable dependiente.
Las restricciones en el dominio de las funciones son cruciales para evitar errores matemáticos y para definir correctamente el comportamiento de la función.
El análisis de las condiciones para que el denominador de una función racional no sea cero es fundamental para establecer el dominio correcto.
Las funciones con raíces de diferentes índices tienen dominios que varían en función de las restricciones impuestas por el signo del radicando.
El conocimiento del dominio y rango de una función es esencial para entender completamente su comportamiento y aplicaciones prácticas.
Transcripts
Para una función de la forma y = f(x)
se define el dominio
como el conjunto de valores que toma la X en la función
Ese es el dominio de la función
Y se define el rango
de la función
como el conjunto de valores que toma la Y
en dicha función
Veamos algunos ejemplos
de dominios de funciones. Si nuestra función es polinómica
como en este caso, un polinomio el primer grado
o por ejemplo
una función
cuadrática
como por ejemplo esta, una función de segundo grado
o una función por ejemplo r(u)
U a la cinco, menos tres por U a la cuatro
más diez
función de quinto grado, en cualquiera de estos casos el dominio va a ser el
conjunto de los números reales
porque la variable independiente
en cada caso puede tomar cualquier valor
del conjunto de los reales
No hay ningún problema. Entonces
en el caso de la función f(x) su dominio
van a ser los X pertenecientes a los reales
En el caso de la función
g(t), el dominio de la función g(t)
van a ser los valores de T pertenecientes a los reales
y en el caso de la función r(u)
el dominio van a ser
los valores de U pertenecientes al conjunto de
los números reales
Veamos ahora el caso de
lo que se llaman Funciones Racionales como por ejemplo esta
la función h(x) igual a
X menos seis sobre X menos cinco
en este caso debemos garantizar
que el denominador de la expresión no sea cero
entonces la condición que debemos fijar es esta
X menos cinco tiene que ser diferente de cero
si despejamos la X
esto es parecido a una ecuación, cinco está restando pasa a sumar al otro lado
y nos queda que X es diferente de cinco
por lo tanto el dominio de la función h(x)
van a ser los X pertenecientes al conjunto de los reales
con excepción del elemento cinco
que es el único que no puede tomarse allí
Otro caso de Función Racional
puede ser este
la función R(n)
igual a N más uno
sobre
N al cuadrado
menos seis N más ocho
la misma situación anterior. Tenemos que garantizar que este denominador
no sea cero
entonces colocamos la condición
la expresión del denominador diferente de cero
esto lo podemos factorizar
como un trinomio de la forma x²+bx+c
abrimos dos paréntesis, por aquí colocamos la letra N
cuadramos los signos
más con menos nos da menos
menos con más nos da menos
dos números que multiplicados nos den 8
y que sumados nos den -6, van a ser -4 y -2
y esto diferente de cero
tomamos cada factor
N menos cuatro
lo colocamos diferente de cero
y el otro factor N menos dos también diferente
de cero. Despejando N en cada caso
por acá nos quedaría: N diferente de cuatro
y por acá N
diferente de dos
por lo tanto
el dominio de esta función que se llama R
van a ser
los valores de N pertenecientes al conjunto de los reales
con excepción de los números dos y cuatro
son los dos valores que no puede tomar N
porque volverían cero el denominador de la expresión
Veamos otra situación
Por ejemplo la función Q de L
igual a L menos dos
sobre L al cuadrado más uno
también tenemos que garantizar que este denominador no sea cero
pero si analizamos esta expresión
L al cuadrado
siempre será una cantidad positiva, no importa qué valor tome la L
al ser elevada al cuadrado, da positiva
y si le sumamos uno, con mayor razón va a dar positiva
por lo tanto esto jamás
será cero
en ese caso decimos entonces que el dominio de la función Q
van a ser los valores de L pertenecientes al conjunto de los
números
reales
Pasemos ahora
a lo que son funciones que tienen raíces
por ejemplo
la función Z de U
igual a la raíz cuarta por ejemplo
de U menos nueve
cuando tenemos una función con raíz
de índice par
tenemos que
garantizar que esto no vaya a ser negativo
entonces colocamos la condición de que U menos nueve tiene que ser mayor o igual que cero
resolviendo esta desigualdad lineal, el nueve está restando pasa a sumar al otro lado
nos queda que U es mayor o igual que nueve
entonces el dominio de la función Z lo podemos colocar de la siguiente manera
son los valores de U
que pertenecen al intervalo que va
desde nueve
cerrado
hasta
más infinito. Recordemos que esto se puede ubicar en la recta numérica
si por acá está el cero y por acá está el nueve
dice que
U mayor o igual que nueve sería considerando el nueve y todo lo que
esté a su derecha
es decir hasta
más infinito
suponiendo que esta recta son valores
de la variable U
Veamos otra situación que tenga
raíz de índice par. Por ejemplo la función M de Y
igual
a Y más diez
sobre la raíz cuadrada de Y menos uno
en este caso
esta
expresión Y menos uno, que se encuentra dentro de la raíz
tiene que ser positiva, pero como está en el denominador
tenemos que prohibirle que sea cero
por lo tanto la condición en este caso sería que Y menos uno
sea solamente mayor que cero
despejando la Y
el uno está restando pasa a sumar, nos queda que Y es mayor que uno
por lo tanto el dominio de la función M
van a ser
los valores de Y que van
desde uno abierto hasta más
infinito. Ese sería entonces el dominio.
Otra situación
con raíz de índice par podría ser esta
si tenemos la raíz cuadrada de
X al cuadrado más veinticinco
como hemos venido diciendo, tenemos que garantizar que esto sea
mayor o igual que cero
pero analizando X al cuadrado más veinticinco vemos que X al cuadrado
siempre será una cantidad positiva
si le sumamos veinticinco con mayor razón
será positiva. Por lo tanto esto jamás
será negativo
en ese caso entonces, decimos que por lo tanto
el dominio de la función W
van a ser los X pertenecientes al conjunto de los números
reales
Otra situación
que vamos a encontrar es cuando
tenemos raíces de índice impar, por ejemplo
la raíz cúbica
de T menos 4
En ese caso no hay ningún problema con que esto sea negativo, ya que las raíces
de índice impar
sí admiten, aquí en su interior
cantidades negativas, o sea que allí
podemos decir que el dominio de la función A
son los valores de T
pertenecientes al conjunto de los números
reales. Cualquier valor de T puede ser
reemplazado en esa función.
Y para terminar
veamos esta función, la función C(x) igual
por ejemplo a X menos tres
sobre la raíz
quinta de X
menos 2, por ejemplo
en este caso tenemos que garantizar que esta expresión de acá adentro
no sea cero
no tiene problema si es negativa, porque es una raíz de índice impar, pero tendría
problemas si es cero. Entonces la condición va a ser que X menos dos
sea diferente de cero. Despejando X, el dos pasa al otro lado a sumar
queda X distinto de dos
Por lo tanto el dominio
la función C
van a ser los X pertenecientes a los reales
con excepción del elemento dos.
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