Progresión GEOMÉTRICA: Término General y Suma de Términos 🌀 SUCESIONES

Summary

En este vídeo, Susi explica progresiones geométricas, enseñando cómo identificarlas y cómo calcular su término general y la suma de sus términos. Se muestra que si el razón es menor que 1, es posible sumar un número infinito de términos. Se practica con ejemplos, calculando el término general y la suma de los primeros cinco términos de una progresión, así como la suma de una progresión infinita con un primer término de 10 y un razón de dos tercios.

Takeaways

• 📚 La progresión geométrica se caracteriza por la multiplicación o división constante para obtener el siguiente término.
• 🔢 Para identificar una progresión geométrica, se multiplica o divide siempre por el mismo número.
• 🧮 El número por el que se multiplica o divide se llama razón (R).
• ⚖️ Si la progresión implica dividir en lugar de multiplicar, la razón es 1 dividido entre el número que divide.
• 🅰️ Los términos en la progresión geométrica se nombran como a sub n, donde n es la posición del término.
• 🔍 La fórmula del término general en una progresión geométrica es: a sub 1 por R elevado a n-1.
• 📏 Para encontrar un término específico, como a sub 5, se sustituye n por 5 en la fórmula general.
• ➕ La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica se calcula usando la fórmula específica para la suma.
• ♾️ La suma de términos infinitos es posible cuando la razón es menor a 1, ya que los términos se acercan a cero.
• 🔗 Ejemplo práctico: la suma de términos infinitos de una progresión con primer término 10 y razón de dos tercios es 30.

Q & A

¿Cómo puedes saber si una sucesión es una progresión geométrica?

Una sucesión es geométrica cuando para encontrar el siguiente número se multiplica o divide siempre por el mismo número.

¿Qué es la razón en una progresión geométrica?

La razón es el número por el cual se multiplica o divide en cada paso de la sucesión geométrica. Se representa con la letra 'R'.

Si en lugar de multiplicar por 3, divides por 3, ¿cuál sería la razón?

Si divides por 3, la razón sería 1 dividido por 3, es decir, 1/3.

¿Cómo se nombra cada término en una sucesión geométrica?

Cada término se nombra como a sub 1, a sub 2, a sub 3, etc., donde el subíndice indica la posición del término en la sucesión.

¿Cuál es la fórmula general para encontrar un término en una progresión geométrica?

La fórmula general es: a sub n = a sub 1 por R elevado a (n - 1), donde a sub 1 es el primer término, R es la razón, y n es la posición del término.

¿Cómo encontrarías el término en la posición 5 en la sucesión geométrica dada?

Sustituyes n por 5 en la fórmula general: a sub 5 = 4 por 3 elevado a (5 - 1). 3 elevado a 4 es 81, y 4 por 81 es 324, por lo que a sub 5 es 324.

¿Para qué sirve la fórmula general en una progresión geométrica?

La fórmula general facilita encontrar cualquier término en la sucesión sin tener que hacer sumas repetitivas hasta alcanzar la posición deseada.

¿Cuál es la fórmula para sumar los primeros n términos de una progresión geométrica?

La suma de los primeros n términos es: (a sub n por R menos el primer término) dividido por (R menos 1).

¿Cuándo es posible calcular la suma de infinitos términos en una progresión geométrica?

Es posible calcular la suma de infinitos términos cuando la razón es menor que 1, lo que ocurre cuando los números se dividen y se vuelven cada vez más pequeños.

¿Cuál es la suma de los términos infinitos en una progresión geométrica donde el primer término es 10 y la razón es 2/3?

La suma sería 30. Esto se calcula usando la fórmula de la suma infinita: a sub 1 dividido por (1 menos R), donde a sub 1 es 10 y R es 2/3.

Outlines

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📚 Introducción a las progresiones geométricas

En este párrafo, Susi da la bienvenida a los espectadores y presenta el tema del video: progresiones geométricas. Explica que una progresión es geométrica cuando los números se multiplican o dividen por un mismo número constante, llamado 'razón'. Pone como ejemplo una secuencia donde cada número se multiplica por 3, y detalla que la razón puede también ser una fracción cuando se divide. También introduce la nomenclatura de los términos de una progresión geométrica usando 'a sub n'.

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🧮 Cálculo del término general de una progresión geométrica

Susi explica cómo calcular el término general de una progresión geométrica usando una fórmula. En el ejemplo dado, la razón es 3 y el primer término es 4. Calcula el término a sub 5 sustituyendo n por 5 en la fórmula. A continuación, muestra cómo obtener el término específico multiplicando la razón elevada a una potencia. Finalmente, destaca que esta fórmula simplifica el cálculo de términos en posiciones grandes, como el término en la posición 2000, ahorrando tiempo y esfuerzo.

🧑‍🏫 Suma de los primeros términos de una progresión geométrica

Este párrafo explica la fórmula para calcular la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica. Usando un ejemplo práctico con los primeros cinco términos de una sucesión, Susi demuestra cómo aplicar la fórmula paso a paso, obteniendo una suma total de 484. También enfatiza la utilidad de la fórmula para evitar realizar sumas manuales tediosas, especialmente cuando se trata de muchas términos, como los primeros 100 términos.

♾️ Suma infinita de términos en progresiones geométricas

Susi introduce el concepto de la suma de infinitos términos de una progresión geométrica, posible solo cuando la razón es menor que 1. Explica que cuando la razón es una fracción, los términos de la sucesión se hacen cada vez más pequeños hasta acercarse a 0, lo que permite sumar infinitos términos. Utiliza un ejemplo con una razón de dos tercios y un primer término de 10, mostrando cómo calcular la suma infinita, que en este caso da como resultado 30.

👍 Despedida y recomendaciones

Susi cierra el video agradeciendo a los espectadores por su tiempo. Los anima a darle 'me gusta' al video, compartirlo, suscribirse al canal y seguirla en Instagram para estar al tanto de nuevos videos y ejercicios. Concluye deseándoles un buen día y diciendo que se verán en el próximo video.

Keywords

💡Progresión geométrica

Una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por un número constante llamado razón. En el video, se menciona que una progresión es geométrica cuando siempre se multiplica o divide por el mismo número, como en el ejemplo de pasar de 4 a 12 y luego a 36 multiplicando por 3.

💡Razón

Es el número constante por el que se multiplica o divide cada término de una progresión geométrica para obtener el siguiente. En el video, se explica que la razón puede ser un número mayor o menor que 1, y que en el caso de dividir, la razón sería el inverso del número por el que se divide. Por ejemplo, si la progresión es multiplicada por 3, la razón es 3.

💡Término general

Es la fórmula que permite encontrar cualquier término de una progresión geométrica sin necesidad de calcular todos los términos anteriores. En el video, se muestra cómo calcular el término general usando la fórmula: a sub n = a sub 1 * r^(n-1). Por ejemplo, se calcula el quinto término usando esta fórmula.

💡A sub 1

El primer término de una progresión geométrica. En el video, a sub 1 es utilizado para identificar el número inicial de la sucesión, en el ejemplo dado, el primer término es 4.

💡Suma de términos

Es la suma de una cantidad definida de términos en una progresión geométrica. En el video, se explica cómo encontrar la suma de los primeros cinco términos usando una fórmula específica que involucra el último término, la razón y el primer término.

💡Progresión infinita

Una progresión geométrica que tiene un número infinito de términos. En el video, se menciona que se puede calcular la suma de una progresión infinita solo si la razón es menor que 1, ya que los términos se van haciendo cada vez más pequeños.

💡Suma de progresión infinita

Es el cálculo de la suma de todos los términos de una progresión geométrica infinita cuando la razón es menor que 1. En el video, se utiliza el ejemplo de una progresión infinita con a sub 1 = 10 y razón de dos tercios, cuyo resultado de la suma es 30.

💡Mínimo común múltiplo

Es el número menor que es múltiplo común de dos o más números. En el video, se utiliza este concepto para simplificar fracciones en el cálculo de la suma de una progresión infinita, donde el mínimo común múltiplo de 3 y 1 es utilizado para restar fracciones.

💡División en progresiones

En una progresión geométrica, cuando se usa la división en lugar de la multiplicación, la razón se convierte en el inverso del número por el que se divide. En el video se explica que si la progresión divide por 2, la razón sería 1/2, y si divide por 5, la razón sería 1/5.

💡Fórmula de la suma

Es la fórmula utilizada para encontrar la suma de un número determinado de términos en una progresión geométrica. En el video, se utiliza para sumar los primeros cinco términos de una sucesión, aplicando la fórmula que involucra el último término, la razón y el primer término.

Highlights

Introduction to geometric progressions and how to identify them.

Explanation of geometric progressions: numbers are found by multiplying or dividing by a consistent number.

Clarification on how to identify the common ratio (R) in a geometric progression.

Introduction of the term 'common ratio' and how it works when dividing.

Explanation of how each term in a sequence is named, with examples like a sub 1, a sub 2, etc.

Introduction to the formula for the general term of a geometric progression.

Step-by-step calculation of the fifth term (a sub 5) using the general term formula.

Discussion of the benefits of using the formula to find terms in large positions without having to manually calculate each term.

Explanation of the formula to find the sum of n terms in a geometric progression.

Demonstration of finding the sum of the first five terms of the geometric progression.

Explanation of the sum of infinite terms in a geometric progression and the conditions for when this is possible.

Illustration of calculating the sum of infinite terms when the common ratio is less than 1.

Step-by-step calculation of the sum of infinite terms for a geometric progression with a common ratio of two-thirds.

Conclusion of the video with a final example and explanation of the practical application of formulas.

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Transcripts

Hello everyone, I am Susi, welcome to my channel.

In this video we are going to learn about geometric progressions,

so let's get to it.

Here we have a geometric progression. How to know if a progression is geometric? When,

to find the next number, it multiplies or divides. In addition, to find all we have

to multiply or divide by the same number always. Let's see, to go from 4 to 12 we have

multiplied by 3, from 12 to 36 by 3 and so on. Therefore, it is geometric because it is multiplied.

It can also be divided. What does it say when it is divided? Now I show you. Well, first,

what is the number for which it is multiplied or divided? It is called reason and it is

like R. What do we do if instead of multiplying by 3 we divide by 3? For the reason, if it is divided

it would be 1 divided by 3. If it is divided, it is 1 divided by the number by which it is divided.

If it is divided between 2, it is 1 divided by 2. If it is divided between 5, it is 1 divided by 5.

Be careful with that for when they are divided. Another thing to keep in mind, you know, how

each term is named? A sub 1, the first, a sub 2, the second, a sub 3, the third, and so on.

One A is written and in the subindex the position it occupies. Well, with this we can already find

the general term. The general term for a geometric progression is this. We are going to find

the one of this geometric progression. In our case, you already know how to find the

general term. As it is for any term in our succession, the n is left. Well, I leave

the n and say a sub 1. How much is a sub 1? The number that is in the first position is 4 by R. R is the

reason, the number by which I multiply in this case. As I multiply by 3, the R is 3 and above

n minus 1. Therefore, it would be like this. My general term follows this formula.

Can you imagine that they tell me A sub 5? Well, the n I am going to substitute now for 5. When

they tell me a specific term, I already substitute the n for that position. The a sub 5 is 4 by 3

raised to the n, which is 5 minus 1. 4 by 3 raised to 4. 3 raised to 4 is 81. 4 by 81. 324 will be worth

the term a sub 5. Effectively, if I multiply 108 by 3, I will get 324. We have done it well.

This is great, you know, to find any position. This is what makes life easier. If you have

to find the number that is in position 2000, with this formula you go straight. You do not have

to add until you reach position 2000. How exhausting, right? For thanking this formula

because it saves us a lot of work. Like arithmetic progressions, in

geometric progressions there is also a formula to find the sum of certain terms.

As you can see, the sum of n terms is the term that occupies the final position. That is,

if it is the sum of the first 100 terms, the term that occupies the position 100 for the

reason minus the first term divided by the reason minus 1. We are going to do it. In our case we are going to

add the first five terms. For this we need the a sub n. Here the n is 5. Therefore,

you are going to need the number that is in position 5 for the reason minus the first term divided by

r minus 1. A sub 5, we have found before, is 324. 324 times 3, which is the reason, minus the first

term that we had, which was 4, divided by r, which is 3, minus 1. Well, if we continue to operate, we have

above

968 times 3 minus 1, which is 2. In total, the sum of all these first 5 terms is 484.

Indeed, you can check it by doing it with the calculator. If you put the first 5 terms,

which we already know, and you add them, you will see that it will give you 484. This is very useful when

you already know that the sum, I ask you for a sum, for example, as I have told you before, of 100 first

terms, you are going to throw us there for a while with the calculator adding. This is very practical

for this type of exercise. Within the geometric progressions, we have another possibility

of a sum, and it is the sum of the infinite numbers or terms of that sequence. Why is there this

possibility? This is only possible when the reason is less than 1, which is normally when the

numbers, instead of multiplying, separate the next one, they are divided. Well, when the reason is

less than 1, infinite numbers can be added. Why? If you realize, when we are dividing

the numbers, they are getting smaller and smaller. Each time they are going to give smaller numbers until they

reach a point with 0.00000000. So, although they are infinite numbers, we are going to reach a

specific value. That is why it can be done. So, we are going to calculate the sum of the infinite

terms of a geometric progression in which we have the first term being 10 and the

reason is two-thirds. As you can see, the reason is less than 1, we can do it. Well, if we follow our

formula, a sub 1, 10, 1 minus r, 1 minus two-thirds, I do 10, 1 minus two-thirds, you know, any number

I pass it to a fraction dividing by 1. I have to do the minimum common multiple to be able to subtract. The

minimum common multiple is 3. I multiply by 3 here, up and down. Well, 3 divided by 3 minus 2

thirds. I have 10 divided by 3 minus 2. 3 minus 2 is 1 divided by 3. 10 divided by 1 third is the same as 10

divided by 1 divided by 1 third. I multiply the cross, I'm going to put it here, so I have 10 divided by 3,

up 30 and down 1 by 1, therefore 30 divided by 1 which is 30. The sum of the infinite terms of this succession will give me 30.

And so far today's video. If you liked the video, give it a like and share it.

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Have a good day and see you in the next video.