PCSI - video 3 - SLCI cours asservissements - Partie2 : FT et schema blocs
Summary
TLDRThe script discusses the Laplace transform's application in analyzing linear time-invariant systems. It covers the transform's properties, such as linearity, uniqueness, and the effects of differentiation and integration. The importance of system poles in determining response stability is highlighted. The script then transitions to modeling systems using block diagrams, emphasizing the shift from time-domain to Laplace domain for easier polynomial equation handling. It explains how system behavior is represented by transfer functions and how these functions are used in series and parallel block combinations. The concept of knowledge-based versus behavior-based modeling is introduced, and the script concludes with a discussion on manipulating block diagrams, including moving junction points and summing points, to simplify system analysis.
Takeaways
- 📚 The script discusses the use and manipulation of Laplace transforms, particularly focusing on system responses to inputs.
- 🔍 It emphasizes the importance of understanding the properties of Laplace transforms such as linearity, uniqueness, and the effects of differentiation and integration.
- 📉 The script explains how poles of a system's transfer function affect its response, with negative real poles leading to convergent responses and positive real poles leading to instability.
- 🔧 It covers the concept of system modeling, distinguishing between models based on knowledge of the system's equations (modeles de connaissances) and those derived from experimental behavior (modeles de comportement).
- 🔄 The script introduces the transformation of time-domain differential equations into s-domain polynomial equations, simplifying system analysis.
- 📈 It explains how to derive the transfer function of a system from its differential equation, which is crucial for analyzing system behavior in the s-domain.
- 🔗 The script discusses the representation of system behavior through block diagrams, highlighting the transition from time-domain to s-domain representations.
- 🔄 It details how to calculate the overall transfer function of a system when blocks are connected in series or parallel.
- 🔢 The script touches on the concept of feedback systems, explaining how to determine the closed-loop transfer function using the open-loop transfer function and the feedback factor.
- 🔀 It provides technical insights on how to manipulate block diagrams, including moving summing points or junctions, to simplify system analysis or to prepare for specific calculations.
- 📝 The script concludes by emphasizing the practical applications of these concepts in fields like electronics and physics, and the importance of these techniques for solving complex system behaviors.
Q & A
What is the primary focus of the video script?
-The primary focus of the video script is to explain the use of Laplace transforms and block diagram manipulation for analyzing linear time-invariant (LTI) systems, particularly in the context of control systems and transfer functions.
What are the key properties of the Laplace transform mentioned in the script?
-The key properties of the Laplace transform mentioned include linearity, uniqueness, differentiation (multiplication by p in the Laplace domain), and integration (division by p under initial null conditions). The final value and initial value theorems are also highlighted as important.
Why is it important to consider the location of poles in the Laplace domain?
-The location of poles is crucial because it determines the stability of the system's response. A pole in the left half-plane (negative real part) results in a converging or damped response, while a pole in the right half-plane (positive real part) leads to an unstable or amplifying response.
What is a transfer function and how is it derived?
-A transfer function is the ratio of the output to the input in the Laplace domain, describing the system's behavior. It is derived by transforming a system's governing differential equation into the Laplace domain, simplifying the equation into a polynomial form.
What advantage does using the Laplace transform offer when solving differential equations?
-The Laplace transform converts differential equations into algebraic equations (polynomials), making it easier to solve complex systems by working with polynomials instead of differential terms. This significantly simplifies calculations, especially for higher-order systems.
How are blocks in a block diagram represented in the Laplace domain?
-Blocks in a block diagram are represented in the Laplace domain using their transfer functions. Each block's transfer function relates the input and output, and the interactions between blocks (in series or parallel) are expressed using simple algebraic operations.
What is the procedure for combining transfer functions in series and parallel?
-In series, transfer functions are multiplied to get the overall system transfer function. In parallel, the transfer functions are added. This allows for the simplification of block diagrams when analyzing complex systems.
What is a closed-loop transfer function, and how is it calculated?
-A closed-loop transfer function describes the behavior of a system with feedback. It is calculated as the transfer function of the forward path divided by 1 plus the product of the forward and feedback transfer functions. This formula is derived using block diagram manipulation techniques.
How can block diagrams be rearranged while maintaining correct system behavior?
-Block diagrams can be rearranged by carefully relocating summing points and pick-off points (junctions). When moving these points, the transfer functions need to be adjusted by either multiplying or dividing by appropriate factors to preserve the system’s input-output relationships.
What is the difference between a knowledge-based model and a behavior-based model?
-A knowledge-based model is derived from known equations that describe the system, such as electrical circuit equations. A behavior-based model is based on the observed behavior of a system, typically used for systems where the internal workings (black box) are not fully understood.
Outlines
📚 Introduction to Laplace Transform and its Properties
The paragraph introduces the use of Laplace transforms in system analysis, particularly for temporal responses. It revisits key properties like linearity, differentiation, and integration in the Laplace domain, highlighting how differentiation multiplies by 'p' and integration divides by 'p', under the assumption of null initial conditions. It stresses the importance of knowing basic transforms like steps, ramps, and Dirac functions. The stability of systems is also discussed, with poles in the left half of the complex plane leading to converging responses and poles in the right half resulting in instability, often producing amplified sinusoids.
🛠 Simplifying System Representation with Laplace Transforms
This section explores the use of Laplace transforms to simplify complex differential equations into polynomial forms, allowing for easier manipulation. It explains how a system's behavior, originally described by a differential equation, is transformed into a transfer function in the Laplace domain. The paragraph elaborates on the simplification provided by transfer functions (ratio of polynomials), emphasizing their advantages over solving differential equations directly in the time domain.
🔄 Block Diagrams in the Laplace Domain
This paragraph transitions to the use of block diagrams for system representation. It explains how each block corresponds to a transfer function derived from the system's behavior, transforming block diagrams into the Laplace domain for further analysis. The section also touches on the distinction between knowledge-based models (e.g., known electrical circuits) and behavior-based models (e.g., black-box systems). It suggests that the block diagrams and their associated transfer functions are more manageable in the Laplace domain.
⚙ Transfer Functions in Series and Parallel
This paragraph covers how to compute the overall transfer function when blocks are arranged in series or parallel. For series arrangements, the total transfer function is the product of the individual block functions, while for parallel arrangements, the total transfer function is the sum. This method simplifies the determination of the global system behavior and leads to the calculation of closed-loop transfer functions in feedback systems.
Mindmap
Keywords
💡Laplace Transform
💡Transfer Function
💡Poles
💡Initial and Final Value Theorems
💡Block Diagram
💡Series and Parallel Blocks
💡System Stability
💡Causal System
💡Model of Knowledge vs. Model of Behavior
💡Feedback Loop
Highlights
The discussion focuses on the use and manipulation of Laplace transforms, particularly in the context of system responses.
Key properties of Laplace transforms are reviewed, including linearity, uniqueness, differentiation, and integration.
The importance of initial conditions in Laplace transforms is emphasized, especially when dealing with differentiation and integration.
The final value and initial value theorems are introduced as crucial concepts in Laplace transform analysis.
The concept of poles in the Laplace domain is explained, and their significance in determining system stability is discussed.
The behavior of systems with real positive poles is described, leading to unstable system responses.
The transformation of a system's behavior equation into the Laplace domain is explained, simplifying differential equations into polynomial relations.
The definition of transfer function or transmittance is provided, highlighting its role in describing the input-output relationship of a system.
The causality principle is mentioned in relation to transfer functions, ensuring the system's response is consistent with real-world physical constraints.
The process of decomposing a system into blocks and deriving their individual behavior equations is outlined.
The difference between knowledge-based models and behavior-based models is explained, with examples provided for each.
The concept of modeling a technical system is discussed, emphasizing the importance of isolating and dividing the system into subsystems.
The calculation of overall system transfer functions when blocks are connected in series or parallel is detailed.
The formula for determining the transfer function of a closed-loop system using the forward path and feedback path transfer functions is introduced.
The significance of the Bode plot in analyzing system stability and behavior is mentioned.
Technical aspects of block diagram manipulation, such as moving junction points and summing points, are discussed.
The impact of moving blocks on the system's transfer function is explained, with specific rules for moving blocks upstream or downstream.
The concept of transforming a closed-loop system into an equivalent open-loop system for analysis is discussed.
The practical applications of these concepts in control systems and electronics are highlighted.
Transcripts
aujourd'hui nous allons nous intéresser
après avoir vu l'outil transformé de la
place nous allons nous intéresser à son
utilisation et la manipulation des
schémas bloque donc on
on pourra ensuite étudié les réponses
temporel alors un petit point sur ce
qu'il faut savoir de la transformer de
la place comme on l'a dit dans la vidéo
précédente
les relations les propriétés d'unicité
de linéarité la dérivation et
l'intégration quand on dérive on
multiplie par p quand on intègre ondes
et on divise par p sous réserve de
conditions initiales nul très important
les théorèmes des valeurs finale et
initiale le théorème du retard à avoir
osé prendre sa tête savoir ce que c'est
qu'un dira qu' un échelon et puis
connaître les transformer de la place
usuelle des échelons rampe exponentielle
et d'irak
on rappelle donc ce que l'on ce sur quoi
on s'est quittés sur la dernière vidéo
que le pôle d'un élément
deux fonctions de transfert en réponse à
un d'irak va nour est très important
dans le sens où si l'on à un pôle à
partir et est négative la réponse va
converger
elle sera soit une exponentielle
amortissent il n'y a pas de partie
complexe soit une sinusoïde avec une
enveloppe amortissent il ya une partie
complexe tandis que ce que l'on ne
souhaitera pas c'est avoir un pôle réel
positif dès qu'on a un pôle réel positif
l'an réponse à un échelon la sortie va
être instable soit sinusoïde soit
constante soit exponentielle amplifié et
dans la plupart des cas pour un complexe
quelconque une sinusoïde amplifié donc
le la partie du plan que l'on s'autorise
c'est d'avoir des pôles à partir est
elle négative alors on repart de la
caractéristique d'un bloc d'un blog la
chaîne à bloc
régis par une équation de comportement
donc le comportement des systèmes mono
variable linéaire continue invariants et
peut être représentée par une équation
différentielle de ce type là on l'a déjà
dit et donc la loi entre la relation
entre l'entrée et la sortie est régi par
cette équation différentielle résoudre
une équation différentielle c'est pas
facile d'autant plus si l'ordre des
dérivés sur la sortie et l'entrée est
grand et vous ne savez pas faire en
revanche si l'autre passe cette équation
temporelle dans le domaine de la place
sous réserve des conditions initiales
nul sur l'entrée et la sortie et leurs
relais et leurs dérivés relatif on
arrive à une relation polynomiale en
effet à 0 s de thé devient à 0 s2p à un
dérivé de s devient à 1 p x s est ainsi
de suite jusqu'à la dérive et des iem à
des dérives et des iem le temporel égale
adp puissance des fois s de la même
manière qu'au côté de l'entrée des 0,1 c
0e est un dérivé temporel 2e devient
dans le domaine de la place p 1 p 3e et
ainsi de suite jusqu'à cette dérive et
énième bn dérivés énième 2e c'est bnp
puissance n x e
tout ceci mi temps mis en facteurs nous
permet d'avoir une équation polynomiale
et travaille avec des polynômes vous
allez le voir c'est beaucoup plus facile
qu'avec des dérivés temporel ensuite à
partir de cette équation
on va pouvoir définir le rapport sorti
sur entrée que l'on appelle fonction de
transfert ou transmittance aussi appelé
transmittance nous utiliserons la
plupart du temps le la dénomination
fonction de transfert
la dénomination transmittance et bien
souvent beaucoup plus adapté aux parce
que aux études que vous ferez en
physique et en particulier en
électronique
donc suite à cette équation on trouve
facilement cette fonction de transfert
sortie sur entrée et donc un rapport de
paulino toujours n inférieur à des
imposés par le principe de causalité
donc on aura un polynôme donc plus élevé
au dénominateur que numérateur ainsi
notre le système qui était décrit par
une équation différentielle devient donc
simplement maintenant définie par une
fonction de transfert alors les
notations sont largement allégé vous en
être convaincu et l'intérêt c'est que
pour calculer la sortie dans le domaine
de la place il n'y a qu'à faire la
multiplication de la fonction de
transfert fois l'entrée de par la
définition de la fonction de transfert
tandis que dans le domaine temporel
balle équations différentielles on
savait pas la résoudre
alors une fois dit ceci et bien on
reprend la démarche initiée dans le
premier cours et dans l'illustration sur
le régulateur de vitesse on a décomposé
notre système en différents blocs et
pour chacun des blocs une équation de
comportement nous a permis d'avoir une
loi reliant l'entrée et la sortie d'un
bloc soit très simple on a obtenu un
gain la sortie est un gain linéaire un
coefficient fois l'entré soi avec un
travail comme on vient de le préciser
précédemment on a modélisé par une
équation différentielle son comportement
l'entrée et la sortie et on arrive dans
le domaine de la place à une fonction de
transfert qui caractérise le transfert
entre sorties sur entrée et donc ceci
pour tous les blogs que l'on a étudié on
peut mener ces études là on obtient donc
un schéma bloc qui ne sera plus
uniquement un schéma bloc de principe
avec le nom des constituants qui ne sera
pas un schéma bloc de principe avec les
équations différentielles à l'intérieur
des blocs temporel mais un schéma bloc
dans le domaine de la place les grandes
heures des changes entre les blocs sur
les liens seront donc exprimé dans le
domaine de la place et dans les blocs
ont l'indiquent les fonctions de
transfert des constituants dans le
domaine de la place petit retour sur la
notion de modélisation pour modéliser un
système technique il faut et c'est ce
qu'on a fait dans l'introduction
intuitive mais du coup on le redit la en
cours on isole de façon globale le
système on le découpe en sous système
alors bien évidemment grâce aux outils
diagramme ci saml bdd et ib dès le
passage de schémas bloc est facilité
puis disposant du schéma bloc bas on
associer à chacun des soucis c'est un
modèle de connaissance ou un modèle de
comportement un modèle on va ici donc
faire le point sur modèle de
connaissances et modèles de comportement
donc tout ceci c'est ce que je viens de
dire aussi précédemment
l'idée ici c'est de distinguer un modèle
de connaissance d'un modèle que deux
comportements
alors si le système réel et très très
bien connu est modélisé par des modèles
très classique très simples comme ici un
circuit
rl eh bien on peut proposer un modèle de
connaissance il ya la connaissance que
l'on a du système réel par un ensemble
d'équations de systèmes d'équations que
l'on transposera dans le domaine de la
place très facilement comme c'est le cas
ici
pour ceux-ci l'url en revanche si notre
système est du type boîte noire c'est à
dire que l'on ne connaît pas ce qu'il ya
à l'intérieur on ne va pas pouvoir
proposer modèle de connaissances pour
modéliser un tel système
c'est ce que l'on fera en tp on va
proposer une entrée on va imposer une
entrée à ce système
par exemple ici un échelon et on va
identifier travailler sur la mesure de
la sortie que l'on va en fait suite à
une connaissance
issu du comportement on va pouvoir
modéliser le système etc on appelle sans
que ceux-ci un modèle de comportement un
modèle issu du comportement expérimental
observé donc voilà la différence entre
modèles de connaissances je connais le
système j'ai un système d'équations je
peux proposer un modèle est un modèle de
comportement issus de l'observation d'un
comportement expérimental
donc revenons à nos schémas bloc dans
chacun des blocs on a donc un modèle de
connaissances ou de comportement issu de
la modélisation que l'on fait et de ce
que l'on peut connaître sur le système
pour pouvoir utiliser ces blocs il faut
un petit point sur le calcul le calcul
lorsqu'on a des associations du bloc
alors lorsqu'on a des associations de
blocs en série ici x un tronçon
transfert h1 des knicks depuis fonction
transfert age ii d'onyx trois pistes
fonction de transfert h32 y la fonction
de transfert qui permet le transfert
global entre x1 et y donc est
représentée ici en pointillés va être le
produit de h1 h2 h3 en effet si on
l'écrit y égale h 3 x 3 or x3 égal h2x 2
or x2 et ganache un x1 si on combine ces
trois équations n'aura bien y égale h 3
x h deux fois à chaque fois x1 donc
fonction de transfert h en série produit
des fonctions de transfert des blocs en
série lorsque les blogs sont en
parallèle
bien évidemment on va en faire la somme
donc si j'ai une entrée x chi x h un dan
y ait un barrage de john y de parage 3
donne y 3,6 ensuite j'additionne c3 y y
pour avoir y est bien la fonction de
transfert équivalente h permettant le
transfert depuis x jusqu'à y va bien
évidemment être à jeun plus sage de plus
h 3 en effet y égale la somme des h 10
or chacun des d y est pardon or chacun d
y y
voa chi x x donc y égale h un poids x
plus h 2 x x + hb 3 x x donc le bloc
équivalent h égale y 1h un pardon plus h
2 + h3 lorsque les blogs sont en
parallèle on some les fonctions de
transfert
ceci nous permet donc de
de revenir et de déterminer la fonction
transfert d'un système en boucle fermée
grâce à ses petits calculs à un système
avec une entrée une sortie une chaîne
direct un retour qu'à boucler donc on
considère éventuellement qu'ici bas
c'est la fonction de transfert associé à
un capteur la fonction de transfert et
qui bat équivalentes j'ai faisant le
lien entre l'entrée et la sortie s va
être exprimées par la fonction de
transfert en chaîne direct h / un plus
la fonction de transfert en boucle
ouverte h k en effet il faudra mener un
petit calcul et ça nous le ferons en
classe de petits calculs pour démontrer
cette formule de black que je vient
d'illustrer nous en reparlerons en
classe la fonction de transfert en
boucle ouverte par définition c'est la
fonction de transfert
lorsque l'on ouvre la boucle est donc
c'est la fonction de transfert reliant
la sortie du comparateur à son retour
aux comparateurs j'ouvre la boucle et je
fais le lien de comparateurs à
comparateur la fonction de transfert en
boucle ouverte
on va noter souvent ft bo est ici h x
cas on en reparlera en classe entière
pour parler de la formule de black
dernier dernier point technique sur la
manipulation des schémas bloc il est
possible de déplacer des points de
jonction ou des sommateurs alors sur la
première ligne là on a trois schémas
bloc équivalent un schéma de départ pour
lequel s et galbées x v v égal à foix eu
w égal c'est v si je veux des place et
ce point de jonction vers l'amont donc
le mettre en amont et le maître ici eh
bien il va
que deviennent les blocs alors il me
faut toujours avoir les relations que
l'on a on viens de dire est que vous
avez écrite s et galbées à une et puis w
galles c'est à lui donc comme et ses
galbes et a pu
il nous faut le garder s et galbées à la
question et que devient ce bloc là si je
déplace le point ici
alors il me faut toujours w égal c'est a
pu comme je prends un point de fonctions
directement sur rue il me faut à fois
c'est dans ce bloc si je veux déplacer
dans l'aval le maître ici je veux
toujours avoir s et galbées a eu je ne
change pas cette chaîne direct par
contre il me faut w égal à ces put donc
w égal à c ur
il faut / b x c'est dans ce bloc là donc
c'est sûr b le raisonnement que l'on
vient de mener
il est il ne prend pas beaucoup de temps
à être menées régulièrement si on a
besoin de déplacer des blocs
vous pouvez néanmoins retenir que quand
on déplace vers l'amont on va multiplier
par le blog dont le retour là et quand
on déplace vers l'aval eh bien on va
diviser par le bloc que l'on
que l'on passe même chose linux ou pour
les sommateurs si j'ai ce schéma de
départ s et galbées fois epsilon or
epsilon égale v - m
avec v égal à u n égale cw vous pouvez
l'écrire ça nous donne s et galbées
parenthèse à une - cw si je veux des
place et le sommateurs vers l'amont
premier première proposition là que
faut-il mettre ici eh bien je vérifie
que la proposition propres indiqué juste
j'ai bien s et galbées à une - bcw c'est
bien la même chose que la s et galbées a
pu - bcw quand on développe le facteur
que l'on a cité tout à l'heure de la
même manière si je veux des place et le
le sommateurs vers l'aval je vais donc
avoir besoin toujours d'avoir s égale b
a eu donc ici me faut mettre il faut
sortir le bloc b et le mettre là et puis
la même manière sortir le bloc b et le
maître ici s et galp et a eu moins bcw
donc de la même manière quand on a un
déplacement si nécessaire deux blocs de
point de jonction ou de sommateurs on
n'hésite pas à réécrire localement les
petite équation reliant les variables
pour s'assurer que la solution qu'on
propose est bien juste
on peut donc dans tous les cas à partir
du système bouclé précédent le ramener à
un système bouclé avec un retour unis
d'un ski aura certains avantages en
particulier pour utiliser des abaques
des courts près des courbes prédéterminé
comme on le verra par la suite
ainsi le schéma précédent où on avait h
dans la chaîne direct et cas dans la
chaîne de retour si jamais je veux un
retour
enchaîne direct je vais donc mettre ici
qu'à x h qui reste la boucle ouverte la
boucle ouverte n'a pas changé la chaîne
du comparateur aux comparateurs et
toujours car x h et pour pouvoir bien
m'en sortir
et bien je vous invite à vérifier que en
mettant un sur cas ici on a bien les
mêmes relations reliant l'entrée et la
sortie
voilà pour la fin de ce point sur les
systèmes linéaires continuer
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