Variaciones Combinaciones Permutaciones Ejercicios Resueltos Nivel 1
Summary
TLDREn este video, Jorge de Memil explica el análisis combinatorio de manera clara y sencilla. A través de ejemplos prácticos, aborda las diferencias entre variaciones, combinaciones y permutaciones, destacando cuándo importa el orden y cuándo no. Utiliza ejercicios resueltos para demostrar cómo aplicar las fórmulas correctas en cada caso, como al ordenar pelotas de colores o al seleccionar ganadores de un sorteo. Finalmente, explica cómo calcular disposiciones en carreras de caballos usando permutaciones. Es una guía útil para aprender las bases del análisis combinatorio sin complicaciones.
Takeaways
- 🎓 El video explica los conceptos de variaciones, combinaciones y permutaciones en el análisis combinatorio.
- ⚖️ En las variaciones, importa el orden de los elementos seleccionados.
- 🔄 En las combinaciones, no importa el orden de los elementos seleccionados.
- 🏅 Un ejemplo de variación es escoger al campeón y subcampeón en un torneo; el orden es relevante.
- 👥 Un ejemplo de combinación es escoger amigos para una tarea; el orden no importa.
- 🔢 En las permutaciones, además de importar el orden, se usan todos los elementos disponibles.
- 📊 Se muestra cómo calcular una variación de 7 elementos tomados de 3 en 3, resultando en 210 arreglos posibles.
- 💻 Un ejemplo de combinación involucra sortear dos laptops iguales entre 10 personas, resultando en 45 formas posibles.
- 🐎 Se explica cómo calcular una permutación en una carrera de 4 caballos, con 24 formas diferentes de llegar.
- 🧠 El principio de multiplicación también se usa para resolver problemas de permutaciones, reforzando el uso de factoriales.
Q & A
¿Qué es una variación en el análisis combinatorio?
-En una variación, el orden de los elementos sí importa. Es decir, cuando se seleccionan elementos de un conjunto, el resultado es diferente si el orden en que se escogen varía.
¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y variaciones?
-La principal diferencia es que en las variaciones sí importa el orden de los elementos seleccionados, mientras que en las combinaciones no importa el orden.
¿Qué es una permutación?
-Una permutación es un arreglo en el que se seleccionan todos los elementos de un conjunto y el orden también importa. Es similar a una variación, pero en este caso se escogen todos los elementos disponibles.
¿Cómo se calcula una variación?
-La fórmula para calcular una variación es V(n, k) = n! / (n - k)!, donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos seleccionados.
¿Cómo se determina si un problema es una combinación o una variación?
-Depende de si el orden de los elementos seleccionados importa o no. Si el orden importa, es una variación. Si no importa, es una combinación.
¿Qué diferencia hay entre un ejemplo de permutación y uno de variación?
-En una variación se seleccionan solo algunos elementos de un conjunto y el orden importa. En una permutación, se seleccionan todos los elementos y también importa el orden.
¿Cuál es la fórmula de una permutación?
-La fórmula de la permutación es P(n) = n!, que representa el número de formas de ordenar todos los elementos de un conjunto de n elementos.
¿Cómo se aplica el principio de multiplicación en un problema de permutación?
-El principio de multiplicación se utiliza cuando se deben realizar varias elecciones sucesivas. Por ejemplo, si hay 4 caballos en una carrera, se puede calcular el número de formas de asignar los puestos multiplicando las opciones de cada puesto: 4 opciones para el primer puesto, 3 para el segundo, 2 para el tercero y 1 para el cuarto.
En un problema de combinaciones, ¿cómo se calcula el número de formas de seleccionar elementos?
-La fórmula para calcular combinaciones es C(n, k) = n! / [k!(n - k)!], donde n es el número total de elementos y k es el número de elementos seleccionados, sin importar el orden.
¿Cuál es la diferencia entre una combinación con y sin repetición?
-En una combinación sin repetición, un elemento solo puede seleccionarse una vez. En una combinación con repetición, un mismo elemento puede seleccionarse varias veces.
Outlines
🎓 Introducción al análisis combinatorio
El presentador, Jorge, introduce el tema de análisis combinatorio, anunciando que habrá tres videos con ejercicios resueltos. Explica que se abordarán las variaciones, combinaciones y permutaciones, conceptos que ayudan a determinar de cuántas maneras se pueden organizar o seleccionar elementos. Se utiliza un ejemplo con pelotas de colores para diferenciar entre estos conceptos: en las variaciones importa el orden, mientras que en las combinaciones no. También menciona que el orden es relevante en algunos casos, como al seleccionar al campeón y subcampeón de un torneo, lo que lo convierte en una variación.
📊 Ejemplo de variación con números de tres cifras
Jorge explica un problema donde se deben formar números de tres cifras diferentes utilizando un conjunto de siete números (1, 2, 4, 5, 7, 8 y 9). Dado que el orden es importante en este caso, se trata de una variación. Luego, procede a calcular el número de combinaciones posibles usando la fórmula de variaciones, obteniendo 210 números diferentes. Subraya que, en este ejemplo, el orden sí influye en el resultado, lo que lo distingue de una combinación.
💻 Sorteo de dos laptops idénticas: Ejemplo de combinación
En este segundo problema, Jorge aborda un sorteo de dos laptops idénticas entre diez personas. Como el orden de los ganadores no importa (las laptops son iguales), se trata de una combinación. Utiliza la fórmula de combinaciones y realiza el cálculo, resultando en 45 formas diferentes de seleccionar a los ganadores. Se destaca que, si los premios fueran diferentes (por ejemplo, una laptop y un celular), el orden sí sería importante, y entonces se usaría una variación.
🐎 Permutación en una carrera de caballos
Jorge presenta un tercer problema en el que se analiza de cuántas formas diferentes puede terminar una carrera con cuatro caballos (A, B, C y D). Como el orden de llegada es importante, se trata de una permutación. Calcula el número de posibles resultados utilizando la fórmula de permutación (4 factorial), obteniendo 24 formas distintas. También explica una alternativa para resolver el problema mediante el principio de multiplicación, reafirmando el resultado de 24 combinaciones posibles. Finalmente, aclara que el problema involucra permutaciones ya que se asignan posiciones a todos los caballos.
Mindmap
Keywords
💡Análisis combinatorio
💡Variaciones
💡Combinaciones
💡Permutaciones
💡Factorial
💡Orden
💡Grupos
💡Problemas resueltos
💡Elementos repetidos
💡Principio de multiplicación
Highlights
Introducción al tema del análisis combinatorio y cómo abordarlo mediante tres videos con ejercicios resueltos.
Explicación de las variaciones, donde el orden de los elementos importa.
Ejemplo de las variaciones usando el caso del campeón y subcampeón del mundial, destacando la importancia del orden.
Definición de las combinaciones, donde el orden no importa.
Ejemplo de combinaciones con amigos ayudando en una tarea, mostrando que el orden en que vienen no afecta el resultado.
Introducción a las permutaciones, donde se usan todos los elementos disponibles y el orden es relevante.
Ejemplo de permutaciones usando una carrera con cuatro personas y la importancia del orden en los puestos que ocupan.
Demostración del cálculo de permutaciones con la fórmula de n factorial.
Resolución del problema 1: cálculo de variaciones para formar números de tres cifras con un conjunto de siete dígitos.
Resolución del problema 2: combinación de dos laptops iguales entre 10 personas, mostrando que el orden no importa.
Resolución del problema 3: permutaciones en una carrera de caballos donde el orden de llegada es relevante.
Diferenciación entre permutaciones y variaciones en la carrera de caballos, destacando que se usan todos los elementos en una permutación.
Explicación del principio de multiplicación y adición para resolver problemas de permutaciones.
Se enfatiza que en este video solo se ven casos sin elementos repetidos; en videos futuros se tratarán casos con repetición.
Conclusión del primer nivel de ejercicios resueltos de análisis combinatorio, preparando al espectador para un segundo nivel más avanzado.
Transcripts
Hola amigos de YouTube cómo están Yo soy
Jorge de memil y el día de hoy vamos a
revisar el tema de análisis combinatorio
hemos preparado tres videos con muchos
ejercicios resueltos para que este tema
quede muy claro y no te hagas problemas
porque puede llegar a ser un poco
complicado vamos a contar primero de qué
se tratan las variaciones combinaciones
y permutaciones aquí la idea es de
Cuántas formas o de Cuántas formas puedo
ordenar los elementos o hacer
disposiciones en que yo tengo n
elementos y voy a escoger k de ellos
supongamos que yo tengo 10 pelotas de
diferentes colores y tengo que escoger
tres de ellas Cuántas formas o Cuántas
opciones diferentes tengo de escoger
esas pelotas Okay Cuál es la diferencia
entre es las variaciones las
combinaciones y las permutaciones en las
variaciones sí importa el orden mientras
que en las combinaciones no importa el
orden Okay en la ación vamos a poner un
ejemplo en que sí nos importa el orden
si me piden escoger al campeón y al
subcampeón del mundial no es lo mismo
ser campeón que ser subcampeón Entonces
sí importa el orden Okay campeón Y
subcampeón entonces en este caso no es
lo mismo que Argentina sea el campeón y
que Brasil sea el subcampeón que Brasil
sea el campeón y Argentina el subcampeón
en este este caso es Argentina Brasil en
este caso Brasil Argentina Aquí sí
importa el orden estamos ante una
variación de un total de 24 equipos son
los que participan en el mundial o 36 ya
me olvidé bueno en una combinación no
importa el orden vamos a suponer que yo
tengo 10 amigos y que necesito que
vengan dos de ellos a ayudarme a
resolver una tarea no importa si viene
primero uno o viene el otro o si viene
Carlos y luego Francisco Lo importante
es que vengan dos de ellos y como los
dos van a hacer la misma tarea no
importa En qué orden vengan mis amigos
en una combinación No te olvides no
importa el orden viene ahora la
permutación y Cuál es la diferencia
mientras que la variación de un total de
n elementos yo solo escogí K por ejemplo
vamos a decir que yo tengo cuatro
personas Okay y quiero saber en qué
orden van a llegar a una arrera pueden
ocupar primer puesto segundo puesto
tercer puesto Okay y cuarto puesto en el
caso de una permutación sí nos importa
el orden no es lo mismo llegar primero
que llegar tercero y en la permutación
además de las cuatro personas yo voy a
escoger a las cuatro sí mientras que en
el ejemplo del mundial yo solamente
escogía al al campeón y al subcampeón
solamente escogía dos de ellos En el K
en la permutación voy a escoger a todos
los elementos Yo tengo cuatro personas y
voy a escoger a los cuatro para
colocarlos en primero segundo tercer y
cuarto puesto en las permutaciones sí
importa el orden y además escojo a todos
los elementos es como una variación Okay
pero no voy a escoger a cada elemento
sino a todos los elementos es una
variación de n elementos Voy a escoger a
todos y vas a ver de dónde resulta
tendríamos n factorial entre n men el K
en este caso es n factorial tendríamos n
factorial entre 0 factorial Y eso es
igual a n factorial de ahí es donde
viene la fórmula de permutaciones bien
Eso fue ya bastante teoría y espero no
haberte aburrido Así que vamos de frente
con la parte divertida los
ejercicios problema número uno Cuántos
números de tres cifras diferentes mucha
atención de tres cifras diferentes puedo
formar con los números 1 2 4 5 7 8 y 9 1
2 4 5 7 8 y 9 bien Vamos a ver para
hacer estos arreglos primero Cuál es el
valor de n Cuántos elementos tengo
tenemos una 2 3 4 5 6 y 7 tengo Siete
números en total y los voy a agrupar en
grupos eh de tres números porque
necesito números de tres cifras voy a ir
cogiéndolas de tres en tres en este caso
importa o no importa el orden por
ejemplo es lo mismo que me salgan los
números 1 2 y 4 que me salga el número
421 No no es lo mismo se trata de
números diferentes así que en este caso
sí nos importa el orden por ello estamos
ante una variación en los cuales voy a
formar números de tres cifras diferentes
con siete números okay entonces
estaríamos ante una variación de siete
elementos en grupos de tres Okay o
variación de siete elementos tomados de
3 en 3 y eso es igual al numerito que
está arriba 7 factorial dividido entre n
- K factorial dividido entre
7 - 3
factorial 7 factorial dividido ent 4
factorial vamos a despejar esto y
tendríamos aquí 7 * 6 * 5 * 4 factorial
Recuerdas la clase de factorial de
número factorial cuando vimos muy
interesante verdad si no recuerdas esto
puedes volver unos cuantos videos atrás
y Aquí vamos a anular 4 factorial con 4
factorial cuál sería el resultado
tenemos 6 * 5 30 * 7
210 números diferentes Okay puedo
210 números diferentes a partir de las
cifras que me da el
problem en este caso sí importaba el
orden por ello estábamos ante una
variación y no una combinación vamos a
hacer ahora un segundo problema problema
número dos me dicen que se sortean dos
laptops iguales dos laptops iguales
Entre 10 personas de Cuántas formas se
puede escoger a los ganadores lo primero
que nos fijamos es importa el orden en
este caso o no importa el orden el
premio son dos laptops Okay la laptop
uno y la laptop 2 pero en este caso como
las laptops son iguales no importa si un
ganador sale ganador de la laptop 1 o de
la laptop 2 okay Lo importante es que
salga ganador es decir no importa si
Carlos se gana la laptop 1 y Alberto la
laptop dobs a que si Alberto se gana la
laptop un y Carlos La número dos no
importa el orden porque en este caso los
premios son iguales como no nos importa
el orden estamos ante una combinación
Cuántos elementos en total tenemos
nuestro r tenemos 10 personas y vamos a
formar grupos de dos en dos que van a
ser los ganadores aplicamos Ahora sí la
fórmula de combinación de 10 elementos
Voy a escoger de dos en dos espero que
haya quedado Claro sí no importa el
orden en este caso porque las laptops
son iguales si hubiera sido por ejemplo
una laptop y un celular no es lo mismo
ganarse la laptop que el celular en ese
caso hubiéramos cogido las variaciones
okay Entonces tenemos aquí 10 factorial
dividido Entre 10 - 2 factorial
multiplicado por 2 factorial este 10 te
lo parece si lo colocamos como 10 * 9 *
8 factorial ya que aquí en el
denominador tenemos un 8 factorial
multiplicado por 2 Okay vamos ahora a
simplificar este 8 factorial con este 8
factorial del denominador ya que ambos
están multiplicando los podemos reducir
Me quedaría 90 / 2 y tengo como
respuesta 45 Es decir se puede escoger
de 45 más diferentes a los dos ganadores
de la laptop en este segundo problema
vamos con un tercer y último problema
problema número tres en una carrera
intervienen cuatro caballos a b c y d de
Cuántas formas diferentes puede terminar
la carrera aquí hay que ver si nos
importa el orden o no nos importa el
orden es lo primero que hay que ver es
lo mismo que el resultado sea primer
puesto a b segundo puesto a tercer
puesto c y último puesto d a que salga
primer puesto c luego a luego d y luego
B No no es lo mismo verdad no es lo
mismo que el caballo B salga primero que
salga último puesto Así que en este caso
sí nos importa el orden puede ser una
permutación o puede ser una
variación Cuál es la diferencia entre
variación y permutación que en
permutación voy a hacer arreglos voy a
hacer disposiciones con todos los
elementos en cambio en una variación
solo escojo K elementos del total de n
Por ejemplo si me hubieran pedido
escoger a los dos finalistas de estos
cuatro caballos Voy a escoger de los
cuatro caballos grupos de dos en dos
para los finalistas en ese caso teníamos
una variación pero ahora tengo que
escoger los puestos para los cuatro
caballos de los cuatro Voy a escoger
puesto para los cuatro caballos Okay
entonces estamos ante una permutación
vamos a ver entonces estaríamos ante una
permutación de cuatro elementos y eso ya
sabemos que es igual a 4 factorial que
es 4 * 3 * 2 * 1 esto es 24 entonces de
Cuántas formas diferentes puede terminar
la carrera de 24 formas diferentes ahora
tú me dices y si me equivoco y escogí
variación No pasa nada Mira del total de
cuatro elementos tenía que escoger a los
cuatro porque tengo que escoger puestos
para los cuatro elementos es decir sería
una variación de cuatro en cuatro Okay
sería 4 factorial Divo 4 - 4 factorial
esto sería 4 factorial dividido entre 0
factorial 0 factorial ya sabemos que es
igual a 1
Okay y tendríamos 4 factorial y esto es
igual a 24 ahora tú me dices no me
gustan las variaciones y combinaciones
otra forma de hacer este problema otra
forma No te preocupes lo vamos a hacer
con principio de adición y
multiplicación Okay tenemos que escoger
los puestos para los cuatro caballos
quién puede quedar primer puesto primer
puesto puede quedar el caballo a el
caballo B El caballo c o el caballo d es
decir Tengo cuatro opciones vamos a
suponer que el caballo c sale en primer
puesto para segundo puesto Cuántas
opciones diferentes tendría tendría a b
y d Por qué Porque el caballo c ya no
puede salir de nuevo si ya salió primer
puesto no puede volver a salir segundo
puesto solamente tenemos dos opciones
vamos a suponer que ahora sale elegido
el caballo B sale en segundo puesto para
el tercer puesto Cuántas opciones tengo
ya solamente me quedan el caballo a y el
caballo d porque el b y el c Ya salieron
elegidos suponemos que sale el caballo a
Okay aquí tenemos dos opciones o a o d y
finalmente en último puesto como ya
escogí todo solamente me queda el
caballo d y esa es una sola opción
principio de multiplicación o principio
de la adición tengo que escoger al
primer puesto o al segundo o al tercero
o al cuarto no tengo que escoger al
primero y al segundo y al tercer y al
cuarto caballo y ya sabemos que cuando
decimos sí es
multiplicación te recomiendo que veas el
video de principio de multiplicación y
adiciones muy interesante y sirve para
resolver estos problemas como ves
nuevamente el resultado es 4 factorial
24 formas diferentes no te olvides que
aquí en variaciones combinaciones y
permutaciones en esta primera parte No
vamos a ver con elementos repetidos Okay
Más adelante vamos a hacer otro video
para hacer variaciones combinaciones y
ver mutaciones con elementos repetidos
pero ahora vamos a hacerlo sin elementos
repetidos es decir un elemento puede ser
escogido una sola vez hasta aquí el
primer nivel de los ejercicios resueltos
de análisis combinatorio vamos ahora sí
con el segundo nivel
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