Ecuación punto - pendiente de la recta
Summary
TLDREl video explica la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente, que se utiliza cuando se conoce un punto y la pendiente de la recta. Muestra cómo sustituir los valores de la pendiente y el punto en la fórmula para obtener tanto la ecuación ordinaria como la ecuación general. A través de ejemplos, el video ilustra cómo despejar y simplificar la ecuación, además de trabajar con fracciones y decimales, explicando que ambas aproximaciones llevan al mismo resultado. Finalmente, menciona la posibilidad de trabajar con ecuaciones simétricas en ejercicios posteriores.
Takeaways
- 📏 La ecuación punto-pendiente se usa cuando conoces un punto y la pendiente de la recta.
- 🔵 En la ecuación punto-pendiente, x1 e y1 pertenecen al punto conocido, mientras que m representa la pendiente.
- ❌ No se puede usar la ecuación punto-pendiente si solo tienes puntos pero no la pendiente.
- ✏️ Para convertir la ecuación punto-pendiente en su forma ordinaria (y = mx + b), se despeja y y se simplifica.
- ↔️ La forma general de una ecuación de recta se obtiene igualando la ecuación a cero.
- ⚙️ Si se conoce un punto y una pendiente, se sustituye en la fórmula para obtener la ecuación ordinaria.
- ➕ Para pasar de la forma ordinaria a la general, se reorganizan los términos y se iguala a cero.
- ➗ Se puede usar tanto fracciones como decimales en la ecuación, siendo las fracciones más exactas.
- ➖ La resta de fracciones con un denominador común se usa para simplificar la ecuación.
- ✅ Ya sea con decimales o fracciones, el resultado final de la ecuación es el mismo.
Q & A
¿Cuál es la ecuación de una recta en forma punto-pendiente?
-La ecuación de una recta en forma punto-pendiente se utiliza cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente. La ecuación se escribe como \( y - y_1 = m(x - x_1) \), donde \( (x_1, y_1) \) es el punto conocido y \( m \) es la pendiente.
¿Qué elementos son necesarios para utilizar la ecuación punto-pendiente de una recta?
-Para utilizar la ecuación punto-pendiente, es necesario conocer al menos un punto de la recta y su pendiente.
Si se conocen tres puntos de una recta pero no se conoce la pendiente, ¿es posible utilizar la ecuación punto-pendiente?
-No, si no se conoce la pendiente, no se puede utilizar la ecuación punto-pendiente. Se necesita al menos un punto y la pendiente para aplicar esta fórmula.
¿Cómo se pasa de la ecuación punto-pendiente a la ecuación ordinaria de una recta?
-Para pasar de la ecuación punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \) a la ecuación ordinaria, se despeja la 'y' para quedar en la forma \( y = mx + b \), donde 'm' es la pendiente y 'b' es el término independiente.
¿Qué significa la ecuación ordinaria de una recta?
-La ecuación ordinaria de una recta es una representación en la forma \( y = mx + b \), donde 'm' es la pendiente y 'b' es el ordenado del punto que intersecta la recta con el eje Y.
¿Cómo se obtiene la ecuación general de una recta a partir de la ecuación ordinaria?
-La ecuación general de una recta se obtiene al igualar la ecuación ordinaria a cero, resultando en \( mx + b = 0 \). Esto se logra desplazando el término independiente al otro lado de la igualación.
¿Cuál es la diferencia entre la ecuación ordinaria y la ecuación general de una recta?
-La ecuación ordinaria de una recta se presenta en la forma \( y = mx + b \), mientras que la ecuación general es \( Ax + By + C = 0 \), donde 'A', 'B' y 'C' son constantes y reflejan la pendiente y el ordenado de la recta.
Si se conoce un punto y una pendiente, ¿cómo se calcula la ecuación ordinaria de la recta?
-Conociendo un punto \( (x_1, y_1) \) y la pendiente 'm', se sustituyen estos valores en la ecuación punto-pendiente y se despeja para obtener la ecuación ordinaria en la forma \( y = mx + b \).
¿Por qué es importante usar fracciones en lugar de decimales al escribir la ecuación de una recta?
-El uso de fracciones en la ecuación de una recta proporciona una representación exacta de los valores, mientras que los decimales son apropiados para aproximaciones. Las fracciones son especialmente útiles cuando se trabaja con operaciones algebraicas que involucran la simplificación de términos.
¿Cómo se compara la ecuación general de una recta obtenida con fracciones contra la obtenida con decimales?
-Ambas formas, fracciones y decimales, deberían llevar a la misma ecuación general si se simplifican correctamente. La comparación se hace dividiendo todos los términos por el mismo denominador para asegurar que la 'x' quede sola en un lado de la igualación.
Outlines
📐 Explicación de la ecuación de recta en forma punto-pendiente
El primer párrafo explica cómo se utiliza la ecuación de una recta en su forma punto-pendiente, que es apropiada cuando se conoce un punto en la recta y su pendiente. Se detalla que la ecuación se escribe en azul y se muestra cómo se sustituyen los valores de un punto (x1, y1) y la pendiente (m) en la ecuación. Se menciona que si se tienen tres puntos pero no la pendiente, esta fórmula no se puede usar. Se presenta un ejercicio que pide encontrar la ecuación ordinaria de una recta dada una pendiente y un punto, y se procede a sustituir estos valores en la ecuación, simplificando para obtener la ecuación en forma ordinaria (mx + b). También se aborda cómo obtener la ecuación general de una recta, que se obtiene igualando la ecuación a cero.
🔢 Ejercicios prácticos para encontrar ecuaciones de rectas
El segundo párrafo profundiza en el proceso de encontrar ecuaciones ordinarias y generales de rectas, utilizando tanto decimales como fracciones. Se describen los pasos para simplificar la ecuación obtenida al sustituir valores en la ecuación punto-pendiente, obteniendo la ecuación ordinaria y luego la ecuación general. Se resalta la importancia de mantener el término con x positivo en la ecuación general. Se resuelve un ejercicio práctico con decimales y otro con fracciones para comparar ambos métodos, mostrando que, independientemente del método, el resultado es el mismo. Se enfatiza que la ecuación general de una recta se obtiene igualando la ecuación a cero, y se explica cómo manipular los términos para que queden en el lado correcto de la ecuación.
Mindmap
Keywords
💡ecuación de una recta
💡forma punto-pendiente
💡pendiente
💡forma ordinaria
💡forma general
💡ordenado
💡sustitución
💡despejar
💡fracciones
💡decimales
Highlights
La ecuación punto-pendiente se utiliza cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.
Si no conoces la pendiente, no puedes utilizar la ecuación punto-pendiente, incluso si conoces tres puntos.
La ecuación punto-pendiente es y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente y (x1, y1) es un punto dado de la recta.
La forma ordinaria de la ecuación de una recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
Para convertir de la forma punto-pendiente a la forma ordinaria, se debe despejar la ecuación.
En un ejercicio, al sustituir los valores de pendiente y un punto dado, se obtiene la ecuación ordinaria: y = 4x - 7.
La ecuación general de una recta se obtiene despejando la ecuación ordinaria hasta que esté igualada a cero.
Un segundo ejercicio muestra cómo obtener la ecuación ordinaria utilizando fracciones o decimales, con una pendiente de 1/5.
En el segundo ejercicio, se simplifica la ecuación punto-pendiente usando fracciones para obtener la ecuación ordinaria y la general.
Se puede usar tanto fracciones como decimales para resolver, pero las fracciones son más exactas.
La conversión entre formas de ecuación no afecta el resultado final; con fracciones o decimales, se llega al mismo resultado.
Para resolver la ecuación con fracciones, se convierte el número entero a una fracción con denominador común.
El uso de decimales y fracciones en la ecuación general produce la misma forma final de la ecuación.
Se puede convertir entre formas de ecuación dividiendo entre el mismo número para obtener una ecuación equivalente.
La ecuación simétrica es otra forma de representar una recta, aunque no fue abordada en profundidad en este ejemplo.
Transcripts
y la ecuación de una recta en su forma
punto pendiente se utiliza cuando
obviamente conoces un punto de la recta
y conoces su pendiente por eso se llama
así y esta es la ecuación que vamos a
utilizar puse de color azul
los datos que únicamente se van a
sustituir como se dan cuenta de 1 y x 1
pertenecen al punto que sería el x 1 y 1
y la m pues obviamente sería la
pendiente son los dos elementos que
debes de conocer para poder utilizar
esta fórmula así que si te dan tres
puntos y no te dan la pendiente
obviamente no puedes utilizar esta
fórmula porque mínimo debes de tener un
punto aunque tengas tres mientras no
conozcas la pendiente todavía no la
puedes utilizar o que te den otros datos
siempre y cuando no conozcas todavía la
pendiente y no conozcas un punto insisto
no la puedes utilizar primer ejercicio
me piden que encuentre la ecuación
ordinaria de una recta si conozco un
punto
y una pendiente de esta misma recta
entonces aquí tengo el punto de la recta
y la pendiente como se dan cuenta en la
ecuación voy a sustituir pendiente y el
punto que le voy a llamar x1 y seguro
así que de una vez aquí le pongo que
este es el x 1 y este es el de 1
entonces comparando la ecuación empiezo
y menos aquí dice que menos y lo dice
que ponga el valor de 1 que aquí es
igual a 5
y lo dice igual
a la pendiente que la pendiente vale 4
abrimos paréntesis y lo dice x menos x 1
x 1 sería el valor 3 aquí en este caso y
lo cierro ok entonces aquí ya tengo la
ecuación simplemente tengo que despejar
la en su forma ordinaria si recuerdan la
forma ordinaria es que me quede igual a
mx + b esta es la forma ordinaria
básicamente es despejar y así es fácil
así que desde antes de despejar ya
tenemos que quitar este paréntesis
multipliquen este espero dije igual 4
multiplica la x me queda 4 x 4
multiplica al menos 3 me queda menos 12
este 5 para dejar sola y lo paso de este
lado pasaría positivo entonces y es
igual a 4 x menos 12 y éste pasa para
acá como más 5 simplificando los números
me queda menos 7
esto si comparan esta sería la ecuación
ordinaria porque tengo igual a un número
con x + o en este caso me salió menos un
número y aquí es el último número que
sería el ordenado sin embargo si me
pidieran la ecuación general de una
recta ecuación general es simplemente
despejar esta a cero
entonces despejando a cero está allí la
mando para acá entonces me quedaría 4x
la y se pone después de la equis por lo
general esto es como aquí está positivo
adentro la pondría negativo
el -7 sigue estando ahí igual a cero
a ver si pueden observar lo que hice
este el 0 estaría de este lado pero de
igual que lo pongas acá o acá es una
igualdad no hay problema entonces 4x ahí
está el menos 7
ahí está igualito y este ya que está
positivo lo manden para acá y por eso lo
puse negativo aquí y como ya no habría
nada de este lado por eso se pone 0 y
una ecuación de recta cuando esté
igualada a cero se llama ecuación
general así que en lugar que te piden
una ecuación ordinaria te piden una
ecuación general haces este desarrollo y
nada más lo del ejercicio número 2 me
pide encontrar también la ecuación
ordinaria de una recta conociendo un
punto de ella y su pendiente de la misma
manera como aquí voy a utilizar x1 y 1 a
este le pongo x 1 y este y 1
y comparando de la ecuación tienes y
menos pones de uno y uno es menos tres
aquí pongo menos tres no se van a
confundir la ecuación dice que menos
aquí los escribe si el número es
negativo también escríbale su signo
y luego dice igual a la pendiente la
pendiente es un quinto si no les gusta
poner fracción pueden hacer la división
y le sale punto 2 vamos a suponer que
vamos a tomar esta porque a la mayoría
de la gente no le gusta utilizar
fracciones aunque es mejor utilizar
fracciones porque son exactas así que
vamos a utilizar la parte decimal si
quieren
y luego abres paréntesis y lo pones x
menos y ponemos x 1 que sería menos 1
cierras paréntesis y a lo que sigue es
simplificar aquí menos x menos me queda
más igual a punto dos primero
simplificamos la parte de adentro me
queda más 1 y en más 3 es igual este
punto 2 multiplica la x me queda punto
2x y este punto 2 multiplica al 1 pues
me queda apuntó dos esté más 3 lo paso
para que restando finalmente me quedaría
punto 2x más punto 2 y el +3 paso como
menos 3 acá así que simplificando estos
dos ahora si finalmente tendría punto 2x
y me queda menos 2.8
eso se llama ecuación
ordinaria o pendiente ordenada como le
quieran llamar y aprovechando también si
de esta me piden la ecuación general yo
siempre trato que el término que sea x
me quede positivo entonces como está
positivo aquí esté otra vez lo mando
para acá si me hubiera quedado el
término negativo todo esto lo mando para
acá yo así lo hago sin embargo no
importa hacia donde lo mandes no la idea
es que quede igualado a cero para que se
llama ecuación general así que éste
también mandándolo para acá éste me
queda igual punto 2 x la y positiva
pasaría otra vez negativa y éste sigue
siendo menos 2
punto 8 como se dan cuenta la ye fue la
única que mandé para acá por eso fue la
única que se le invirtió el signo y como
ya no quedaría nada queda igual a cero
así que esta es la ecuación general y
esta se llama ecuación ordinaria como
ésta es lo que me piden esto es lo que
me interesa encontrar esto fue extra
aprovechando que este ejercicio es con
fracciones vamos a resolverlo con
fracciones no con decimales para que
vean que es lo mismo y sirve que
practican fracciones entonces pondríamos
igual llegue menos y pongan que 1 y 1 es
menos 3 y lo ponemos igual a m/m vale en
este caso ponemos un quinto que
multiplica a x menos y x 1 sería menos 1
cierro paréntesis igual esto es más 3 un
quinto por equis me queda un pues x
entre 5 o un quinto de equis como lo
quieran poner aquí me va a quedar más
así que cuando multiplique un quinto por
más uno me va a quedar más un quinto
entonces este 3 lo paso para acá y es
igual a un quinto de x más un quinto
menos 3
lo que tenemos que hacer es a un quinto
quitarle 3
hay varias maneras de hacer esta resta a
mí la más rápida que se me ocurre es
convertir el 3 en una división que el de
abajo sea 5 esto sería 15 entre 5 verdad
15 5 entre cuántas veces cabe el 5 en el
15 3 así que es pues un 3 nada más que
se ve como fracción y tiene denominador
5 porque me sirve que sea denominador 5
nada más tendría que hacer la operación
de arriba entonces esto lo pongo igual y
aquí como hice trampa un truquito me
quedaría el negativo porque arriba es
más grande el negativo entonces me queda
menos 5 y arriba un 14 porque uno menos
15 a 14 entonces si usted hace en esta
división cuántas veces cabe el 5 en el
14 les va a quedar
igual esto ya vimos que era punto 2
verdad
y esto les va a quedar menos 2.8 que fue
lo que habíamos obtenido anteriormente y
así se preguntan como obtengo de esta
expresión con fracciones la ecuación
general como tienen 5 los dos los
podemos unir con un mismo denominador
aquí me quedaría una x menos 14 como
tiene el mismo denominador los conjuntar
en 1 este 5 lo pasan para acá
multiplicando
14 y finalmente la ye la mandó para casa
entonces me quedaría x 5 y menos 14
igual a 0 aquí tenemos la ecuación
general
recuerden esto los deje aquí y este como
lo pasé el medio por eso él fue el único
que cambió de signo
y ustedes dirían esta ecuación general
no se parece a la que había obtenido
anteriormente pero si se dan cuenta aquí
la x no tiene número y aquí sí entonces
quisieras comparar las realmente las dos
no tendrían que tener número así que si
esto lo divides entre punto dos esto
entre punto dos esto entre punto 2
aquí el 0 aunque lo divides en 3.12 0
pero lo ponemos cuando hagan esa
división aquí les va a quedar 0 aquí les
va a quedar menos 5 y y aquí les va a
quedar menos 14 igual a 0 entonces ahora
si quitando dividiendo todo entre punto
2 para que me quede la x aquí sola se
pueden dar cuenta que realmente sea con
decimales o con fracciones llegamos a lo
mismo
finalmente concluimos en que puede
utilizar decimales fracciones da lo
mismo y mientras le den el punto y la
pendiente simplemente sustituir ahí y
observar qué tipo de ecuación te piden
la ordinaria o la general o les pueden
pedir hasta la simétrica pero eso más
adelante la veremos
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