Límites por factorización 1
Summary
TLDREl vídeo explica cómo calcular el límite de una función cuando x tiende a 3, utilizando la técnica de factorización para resolver una indeterminación de tipo c/c. Se factoriza la función f(x) = (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6), identificando diferencias de cuadrados y factorizando el denominador. Tras cambiar el signo para permitir la cancelación, se evalúa el límite obteniendo -108 al reemplazar x por 3.
Takeaways
- 📘 El vídeo trata sobre el cálculo de límites utilizando la técnica de factorización.
- 🔍 Se presenta un ejercicio específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) sobre (-x^2 + x + 6).
- 🤔 Al sustituir x por 3, se identifica que el límite resulta en una forma indeterminada de tipo c/0.
- 🔢 Se sugiere que el numerador (x^4 - 81) puede ser factorizado como una diferencia de cuadrados, resultando en (x^2 - 9).
- 🔄 La raíz de 81 es 9, y se aplica la técnica de diferencia de cuadrados para factorizar el numerador.
- 🔄 El denominador (-x^2 + x + 6) se factoriza como -(x - 3)(x + 2) mediante la técnica de inspección.
- 🔄 Se destaca la necesidad de cambiar el signo para poder realizar la cancelación en el numerador y denominador.
- 📉 Se aplica la técnica de cambiar el signo para que los factores en el numerador y denominador coincidan y puedan cancelarse.
- 📐 Después de la cancelación, se evalúa el límite sustituyendo x por 3, lo que resulta en una simplificación del expresión.
- 📨 El resultado final del límite es -108/5 cuando se sustituye x por 3 en la expresión simplificada.
Q & A
¿Qué técnica se utiliza para resolver el límite en el ejercicio presentado?
-Se utiliza la técnica de factorización para resolver el límite en el ejercicio.
¿Cuál es la función que se está evaluando en el límite?
-La función que se está evaluando es \(\frac{x^4 - 81}{-x^2 + x + 6}\).
¿Cuál es el punto de indeterminación que se presenta al evaluar el límite directamente?
-El punto de indeterminación es cuando \(x\) tiende a 3, ya que al sustituir \(x\) por 3 en la función, el numerador y el denominador se anulan, dando como resultado una forma indeterminada de la forma \(0/0\).
¿Cómo se identifica que el límite es de una forma indeterminada?
-Se identifica al sustituir el valor de \(x\) que tiende (en este caso, 3) en la función y obtener que tanto el numerador como el denominador se anulen, lo que resulta en una expresión de la forma \(0/0\).
¿Qué significa que una expresión sea de la forma indeterminada \(0/0\)?
-Una expresión de la forma indeterminada \(0/0\) significa que no se puede determinar el límite simplemente evaluando el valor en el punto de indeterminación, y se requiere aplicar técnicas de algebra para resolverlo.
¿Qué técnica de factorización se aplica en el numerador de la función?
-Se aplica la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador, lo cual se factoriza como \(x^2 - 9\) que corresponde a \((x - 3)(x + 3)\).
¿Cómo se factoriza el denominador de la función?
-El denominador se factoriza por inspección, identificando que \(-x^2 + x + 6\) se puede escribir como \(-(x - 3)(x + 2)\).
¿Por qué no se puede cancelar directamente los factores en el numerador y denominador después de la primera factorización?
-No se puede cancelar directamente porque los factores son \(x - 3\) en el numerador y \(-(x - 3)\) en el denominador, lo que requiere de un cambio de signo para que los factores sean iguales y se puedan cancelar.
¿Qué técnica se utiliza para poder cancelar los factores en el numerador y denominador?
-Se utiliza la técnica de cambiar el signo, multiplicando el numerador y el denominador por -1 para hacer que los factores \(x - 3\) en el numerador y \(x - 3\) en el denominador sean iguales y se puedan cancelar.
¿Cuál es el resultado final del límite después de aplicar las técnicas de factorización y cambio de signo?
-El resultado final del límite es \(-108/5\), después de cancelar los factores comunes y evaluar el límite cuando \(x\) tiende a 3.
Outlines
📘 Análisis de Límites y Factorización
El vídeo comienza explicando cómo trabajar con ejercicios de límites utilizando la técnica de factorización. Se plantea un ejemplo específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6). Se identifica que al sustituir x por 3, el resultado es una forma indeterminada de tipo 'c/0'. Para resolver esto, se sugiere la factorización. Se explica que el numerador puede factorizarse como una diferencia de cuadrados, dando como resultado (x^2 - 9), que se puede simplificar a (x - 3)(x + 3). El denominador se factoriza como -(x - 3)(x + 2). Se señala que aún no se puede cancelar nada y se necesita un paso adicional para poder realizar la cancelación.
🔄 Aplicación de la Tecnología de Cambio de Signo
El vídeo continúa explicando cómo aplicar la técnica de cambio de signo para resolver el límite anteriormente planteado. Se sugiere cambiar el signo del término (x - 3) en el numerador para que coincida con el término (-x + 3) en el denominador. Al hacer esto, se pueden cancelar los términos (x - 3), dejando (x + 3) en el numerador y (x + 2) en el denominador. Se procede a evaluar el límite sustituyendo x por 3, obteniendo como resultado 108 / -5, que simplifica a -108 / 5. El vídeo enfatiza la importancia de realizar los cálculos y la sustitución de valores para evaluar el límite.
Mindmap
Keywords
💡límites
💡factorización
💡forma indeterminada
💡diferencia de cuadrados
💡inspección
💡cancelación
💡cambio de signo
💡sustitución
💡numerador
💡denominador
Highlights
Introducción al ejercicio de límites utilizando la técnica de factorización.
Enunciado del problema: cálculo del límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6).
Identificación de la forma indeterminada c/0 al sustituir x=3 en la función.
Explicación de que 3^4 es 81 y cómo esto afecta la evaluación directa del límite.
Propuesta de aplicar técnicas de factorización para resolver el límite indeterminado.
Observación de que el numerador es una diferencia de cuadrados.
Aplicación de la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador.
Factorización del denominador mediante técnica de inspección.
Dificultad para realizar la cancelación debido a la presencia de términos no coincidentes.
Sugerencia de cambiar el signo para lograr la cancelación de términos.
Explicación detallada de cómo cambiar el signo en el numerador para permitir la cancelación.
Cancelación efectiva de los términos comunes en numerador y denominador.
Sustitución de x=3 en la expresión simplificada para evaluar el límite.
Cálculo final del límite, obteniendo un resultado de -108/5.
Recomendación de verificar los pasos en una calculadora para comprobar el resultado.
Transcripts
Hola a todos Espero se encuentren bien
en esta ocasión nos dedicaremos a
trabajar en este ejercicio de límites
que puede ser realizado mediante la
técnica de
factorización observemos lo que dice el
enunciado calcular el límite cuando x
tiende a
3 la tendencia de la función x la 4 - 81
sobre - x 2+ x 6 Entonces lo primero que
tenemos que hacer es identificar si esto
pues corresponde a un límite directo o
si presenta alguna forma indeterminada
recordemos que para ello lo que hacemos
Es evaluar el valor al cual tiende en
este caso
x Entonces sería cambiar las x por 3 si
nosotros hacemos eso observen que sería
3 a la 4 -
81
sobre -3 a la 2 + 3 + 6 sin embargo si
ustedes se fijan 3 a la 4 es 81 Entonces
sería arriba en el numerador 81 - 81 y
en el denominador tendríamos Entonces -9
+ 3 + 6 si ustedes verifican acá en el
numerador pues definitivamente nos da
cer0 y en el denominador si hacemos esta
operación nos damos cuenta que también
nos da cer0 por lo tanto estamos frente
a una forma indeterminada de hecho la
forma indeterminada se c sobre c Qué
tenemos que hacer en este caso bueno
tenemos que aplicar alguna técnica para
poder resolver este límite Qué técnica
vamos a aplicar en este ejercicio vamos
a aplicar la técnica de
factorización entonces observemos que el
ejercicio inicial nos plantea el límite
cuando x tiende a 3 de la función x a la
4 - 81 sobre - x a la 2 + x + 6 Entonces
recordemos tenemos que tratar de
factorizar con el fin de Cancelar ese
término que está haciendo que este
límite se nos indefine que esta función
se nos
indefine qué podríamos hacer Entonces en
ese numerador bueno ven que ese
numerador corresponde a una diferencia
de cuadrados porque ven que tenemos dos
términos ambos cuadráticos y además es
una resta Entonces como eso corresponde
a una diferencia de cuadrados podríamos
aplicar la técnica de diferencia de
cuadrados si aplicamos esa técnica
estaría quedándonos x a la 2 menos y la
raíz de 81 sería 9 y por otra parte x a
la 2 + 9 eso sería la aplicación de la
técnica de diferencia de cuadrados y Qué
técnica podríamos aplicarle a ese
denominador bueno ven que ese
denominador es un un término cuadrático
por lo tanto podríamos pensar en
utilizar fórmula general
inspección o alguna técnica que nos olv
a factorizar este tipo de expresiones
particularmente este ejercicio sale muy
sencillo con la técnica de inspección
porque observen que bueno el polinomio
inicial es - x a la 2 + x + 6 pero veen
que - x a la 2 podemos escribirlo como -
x * x y el 6 podemos escribirlo
como 3 * 2 de esta manera entonces vean
que aquí al hacer esta multiplicación
Cruzada nos da -2x y al hacer esta de
acá nos da 3x efectivamente está
funcioná por lo tanto quiere decir que
ese denominador lo podemos factorizar
como - x +
3 y x + 2 eso sería Entonces el primer
paso no obstante no es suficiente porque
vean que todavía no podemos hacer ningún
tipo de cancelación Perdón quiera un
tres entonces necesitamos un dos Perdón
necesitamos factorizar todavía algo
más si ustedes se fijan en este
numerador Bueno ya en el en el
denominador tenemos puros términos
lineales sin embargo en el numerador
tenemos dos cuadráticos uno que es una
suma y uno que es una
resta recordemos que la suma de términos
cuadráticos no factorizan los números
reales pero la resta si estamos frente a
un
algo a 2 menos algo a 2 podíamos aplicar
la técnica de diferencia de cuadrad Y es
que precisamente Esa es la técnica que
vamos a aplicar ahí nuevamente porque ya
la habíamos aplicado verdad Entonces si
hacemos esto vean que este x a la 2 -9
aplicándole la técnica de diferencia de
cuadrados nos estaría quedando x-
3 * x +
3 ve que esto corresponde solamente a
esto y este paréntesis Este término como
no lo vamos a factorizar pues entonces
lo ponemos
igualito abajo en el denominador
copiamos exactamente la misma idea - x +
3 y x + 2 y veen que estamos a nada de
poder hacer una cancelación lo que pasa
es que los signos no nos calzan verdad
ahí con el paréntesis x - 3 y - x + 3 no
no nos no nos calzan Entonces ahí es
donde vamos a aplicar la técnica de
cambiar el signo entonces Cómo podemos
hacer eso bueno por ejemplo quiero
cambiarle el signo a este paréntesis
entonces lo que voy a hacer es que le
pongo un menos delante y al ponerle el
menos delante puedo cambiar los signos O
sea la x que estaba negativa la pongo
positiva y el TR que está positivo lo
pongo negativo y si ustedes se fijan
Ahora sí son exactamente el mismo
paréntesis por lo tanto podemos aplicar
cancelación Y si si aplicamos esa
cancelación observen que nos estaría
quedando Entonces el límite cuando x
tiende a 3 d y vean que arriba en el
numerador lo que nos estaría quedando es
x +
3 y el paréntesis x a la 2 + 9 qué nos
estaría quedando en el denominador nos
está quedando el menos y el x + 2
entonces en teoría cuando nosotros
hacemos esta cancelación ya estamos
eliminando ese término que hacía que
pues no funcionara no nos no nos diera
el resultado directo de este límite
ahora ya debería funcionar probemos a
ver recordemos que es simplemente
evaluar basta con que ustedes sustituyan
Acá la x por 3 en este caso entonces
tendríamos
eh 3 + 3 Recuerden que esto es un
proceso que ustedes pueden hacer
directamente en la calculadora y 3 a la
2 + 9 en el denominador nos estaría
quedando menos 3 + 2 entonces vean que
pues lo que estamos haciendo es simple y
sencillamente sustituyendo ese valor
ahora qué podemos hacer Bueno bien
simplemente es resolver ese esa
expresión Entonces qué nos da en el en
el numerador bueno para el
numerador nos estaría dando 6
*
18 que eso nos da como resultado
108 y y para el denominador nos estaría
dando -5 por lo tanto el resultado de
este límite corresponde a - 108 sobre
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