Cours Arithmétique dans Z ( Partie 1 ) " Divisibilité - Congruence- Division euclidienne "

Summary

Cette vidéo explique l'arithmétique dans les entiers relatifs, en commençant par la divisibilité et les notations associées. Elle présente les propriétés de la division, notamment l'addition et la multiplication des diviseurs. Ensuite, elle aborde la congruence modulo n et ses propriétés, et conclut avec la division euclidienne et son application à un exemple. Pour finir, elle démontre par récurrence que pour tout entier n, \(4^{4n+2} - 3^{n+3}\) est un multiple de 11.

Takeaways

• 🔢 La définition de la divisibilité est donnée par \(a \mid b\) si \(b = a \times k\) pour un certain entier \(k\).
• 📐 Les exemples de divisibilité incluent \(5 \mid 10\), \(3 \mid 9\), et \(2 \mid 6\).
• ❌ La propriété de divisibilité \(a \mid b\) et \(a \mid c\) ne garantit pas \(a \mid (b + c)\), comme illustré par \(2 \mid 7\) et \(2 \nmid 3\).
• ✅ Si \(a \mid b\) et \(a \mid c\), alors \(a \mid (b \times c)\), mais la réciproque est fausse.
• 🔄 Si \(a\) est un nombre premier, la réciproque de la propriété précédente est vraie : si \(a \mid (b \times c)\), alors \(a \mid b\) ou \(a \mid c\).
• 🤝 La troisième propriété de la divisibilité affirme que si \(a \mid b\) et \(c \mid d\), alors \(a \times c \mid b \times d\), mais la réciproque est fausse.
• 🔄 Si \(a \mid b\) et \(b \mid a\), alors \(a = \pm b\), ce qui est une équivalence.
• 🔄 La congruence modulo \(n\) est définie par \(a \equiv b \pmod{n}\) si \(n \mid (a - b)\).
• 🔢 Les propriétés de la congruence incluent \(a_1 \equiv b_1 \pmod{n}\) et \(a_2 \equiv b_2 \pmod{n}\) impliquant \(a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}\) et \(a_1 \times a_2 \equiv b_1 \times b_2 \pmod{n}\).
• 📉 Le théorème de la division euclidienne stipule qu'il existe un quotient \(q\) et un reste \(r\) tels que \(a = b \times q + r\) avec \(0 \leq r < |b|\).
• 🔄 La congruence peut être utilisée pour exprimer que \(a \equiv r \pmod{b}\) où \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
• 📚 Un exercice de récurrence démontre que pour tout entier \(n\), \(4^{4n+2} - 3^{n+3}\) est un multiple de 11, en utilisant l'hypothèse de récurrence.

Q & A

Qu'est-ce que signifie la notation 'a divise b' dans le contexte de l'arithmétique dans Z ?

La notation 'a divise b', notée 'a | b', signifie qu'il existe un entier k tel que b = a × k. En d'autres termes, b est un multiple de a.

Pouvez-vous donner des exemples simples de la divisibilité ?

Oui, par exemple : 5 divise 10, 3 divise 9, et 2 divise 6. Cela signifie que 10 est un multiple de 5, 9 est un multiple de 3, et 6 est un multiple de 2.

Quelles sont les propriétés principales de la divisibilité mentionnées dans la vidéo ?

Les principales propriétés sont : 1) Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c ; 2) Si a divise b ou a divise c, alors a divise le produit b × c ; 3) Si a divise b et b divise a, alors a = ±b.

Qu'est-ce que la congruence modulo n ?

Deux entiers a et b sont congrus modulo n, noté a ≡ b (mod n), si leur différence (a - b) est un multiple de n, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que a - b = n × k.

Pouvez-vous donner des exemples de congruence modulo n ?

Oui, par exemple : 3 est congru à 1 modulo 2 (3 ≡ 1 mod 2) car 3 - 1 = 2, qui est un multiple de 2 ; 25 est congru à 4 modulo 3 (25 ≡ 4 mod 3) car 25 - 4 = 21, qui est un multiple de 3.

Quelles sont les propriétés de la congruence modulo n mentionnées dans la vidéo ?

Les propriétés mentionnées sont : 1) Si a₁ ≡ b₁ (mod n) et a₂ ≡ b₂ (mod n), alors a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n) et a₁ × a₂ ≡ b₁ × b₂ (mod n) ; 2) Si a₁ ≡ b₁ (mod n), alors a₁^p ≡ b₁^p (mod n) pour tout entier naturel p.

Qu'est-ce que la division euclidienne dans Z ?

La division euclidienne dans Z consiste à diviser un entier a par un entier non nul b pour obtenir un quotient q et un reste r tels que a = b × q + r, avec r positif et strictement inférieur à la valeur absolue de b.

Pouvez-vous donner un exemple de division euclidienne ?

Oui, par exemple, la division euclidienne de 134 par 9 donne un quotient de 14 et un reste de 8. Cela signifie que 134 = 9 × 14 + 8.

Comment peut-on prouver par récurrence qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n ?

Pour prouver par récurrence, on suit trois étapes : 1) Montrer que la propriété est vraie pour n = 0 ; 2) Supposer qu'elle est vraie pour un entier n quelconque (hypothèse de récurrence) ; 3) Prouver qu'elle est alors vraie pour n + 1.

Quel est l'exemple de preuve par récurrence donné dans la vidéo ?

L'exemple donné est de montrer que 4^(4n + 2) - 3^(n + 3) est un multiple de 11 pour tout entier naturel n. La preuve utilise le principe de récurrence en vérifiant d'abord la propriété pour n = 0, puis en supposant la propriété vraie pour n, et enfin en démontrant qu'elle est vraie pour n + 1.