Integración por sustitución | Ejemplo 11 | Seno
Summary
TLDREn este vídeo tutorial, el instructor explica cómo resolver integrales por sustitución con un ejemplo específico, enfocándose en la integral del seno. Se recuerda que la integral del seno de x es igual a menos coseno de x, basándose en la relación entre integral y derivada. A continuación, se practica la sustitución para simplificar la integral de seno de 3x, demostrando paso a paso cómo realizar la sustitución y completar la integral. Al final, se invita a los estudiantes a practicar con un ejercicio similar y se ofrece el curso completo de integrales en el canal del instructor.
Takeaways
- 📘 La integral del seno de x es igual a menos el coseno de x.
- 🔄 La integral es el operador inverso de la derivada.
- 📐 Se utiliza la sustitución para resolver integrales complejas.
- 🔢 Se sustituye lo que está dentro del ángulo por una variable u.
- 🔄 Al realizar la sustitución, se toma la derivada de la expresión dentro del ángulo.
- 📉 La derivada de 3x es 3, y se utiliza para simplificar la integral.
- 📌 Se debe recordar que la integral de una fracción se distribuye.
- 🔄 Al final de la sustitución, se reemplaza la variable de sustitución (u) por la original (3x).
- ✅ Se menciona la importancia de mantener la consistencia en las variables, empezando y terminando con la misma.
- 📑 Se ofrece un ejercicio práctico para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Q & A
¿Qué método se utiliza para resolver la integral en el ejercicio presentado en el video?
-El método utilizado es la sustitución, que consiste en reemplazar una parte de la integral por una nueva variable para simplificar el cálculo.
¿Cuál es la integral del seno de x?
-La integral del seno de x es igual a -coseno de x + C.
¿Por qué la integral del seno es -coseno?
-La integral del seno es -coseno porque la derivada del coseno es -seno, y la integral es la operación inversa a la derivada.
¿Qué indica que se debe utilizar la sustitución en el ejercicio presentado?
-Se utiliza la sustitución porque la derivada de la expresión dentro del ángulo (3x) aparece fuera de la integral.
¿Qué se debe hacer cuando aparece un número multiplicando dentro de la función a integrar, como el 3 en 3x?
-Se debe dividir la integral por ese número, en este caso, se pasa el 3 al otro lado de la ecuación como 1/3.
¿Cuál es la regla importante que se debe seguir al hacer sustituciones en integrales?
-Al finalizar la integración, es importante volver a la variable original con la que se comenzó, en este caso, volver de la u a la x.
¿Qué se debe hacer si hay un número dividiendo en la integral, como el 3 en el ejercicio?
-Si hay un número dividiendo en la integral, como el 3, se saca fuera de la integral y se coloca en el denominador.
¿Qué se obtiene después de integrar el seno de 3x usando la sustitución?
-Después de integrar, se obtiene -1/3 * coseno de 3x + C.
¿Por qué el resultado final tiene un signo negativo frente al coseno?
-El signo negativo aparece porque la integral del seno es -coseno, debido a que la derivada del coseno es -seno.
¿Qué pasos adicionales se deben tomar al finalizar el ejercicio para presentar el resultado de forma correcta?
-Se debe multiplicar la fracción por el coseno y reescribir el negativo correctamente. Además, se debe cambiar la u por 3x al final del ejercicio para mantener la variable original.
Outlines
📘 Introducción a las integrales por sustitución
En este primer párrafo, se da la bienvenida a los estudiantes al curso de integrales, destacando que el tema central del video es la solución de integrales por sustitución. Se presenta el ejercicio a resolver, que incluye la integral del seno. Se recuerda que la integral es la operación contraria a la derivada y se explica por qué la integral del seno es el coseno negativo, relacionando esto con la derivada del coseno. El enfoque principal es entender el uso de la sustitución cuando hay funciones complejas dentro del ángulo y cómo la derivada externa indica la viabilidad de usar esta técnica.
🧠 Ejemplo detallado de sustitución en integrales
Este párrafo continúa con el ejemplo práctico. Se explica el proceso de sustitución, comenzando con la elección de la variable interna, en este caso, 3x. Se deriva para simplificar la expresión y luego se sustituye el valor obtenido en la integral. Se resalta cómo el factor 3 se debe sacar de la integral al estar en el denominador. Finalmente, se completa la integral del seno y se ajusta el resultado para que la respuesta quede en términos de la variable original (3x). También se menciona la importancia de mantener la coherencia con la variable con la que se empezó.
🔄 Sustitución y finalización del ejercicio
Aquí se describe el proceso final del ejercicio. Se repiten los pasos de sustitución con otros valores, destacando cómo el denominador (3) debe ser sacado de la integral y cómo se simplifican las expresiones resultantes. Se llega a la integral final del seno, destacando nuevamente el coseno negativo, y se efectúa el cambio de la variable u por la original (3x - 5). Se presentan dos formas correctas de expresar la solución y se concluye el ejercicio. Finalmente, se invita a los estudiantes a seguir practicando y a suscribirse al canal para acceder al curso completo de integrales.
Mindmap
Keywords
💡Integrales
💡Sustitución
💡Derivada
💡Seno
💡Coseno
💡Ángulo
💡Ejercicio
💡Cambio de variable
💡Antiderivada
💡Área bajo la curva
💡Practicar
Highlights
Bienvenidos al curso de integrales.
Veremos un ejemplo de solución de integrales por sustitución.
Recordamos que la integral del seno de x es igual a menos coseno de x.
La integral es lo contrario de la derivada.
Recordamos la derivada del coseno para entender la integral del seno.
Vamos a practicar la sustitución en la integral.
Sustituimos lo que está por dentro del ángulo.
Explicamos cómo se hace la sustitución en la integral del seno de 3x.
Sustituimos 3x por u y encontramos la derivada de u.
Dividimos por la derivada de u para simplificar la integral.
Sustituimos la integral del seno de 3x por la integral del seno de u.
Recuerda que la integral del seno es menos coseno.
Terminamos la integral cambiando de vuelta u por 3x.
Recordamos que debemos terminar con la misma variable con la que empezamos.
Presentamos dos formas de escribir la respuesta final.
Explicamos cómo se maneja el signo negativo en la respuesta.
Deja un ejercicio para que los estudiantes practiquen.
Invitamos a suscribirse, comentar, compartir y dar like al vídeo.
Anunciamos que el curso completo de integrales está disponible en el canal.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de integrales y
ahora veremos un ejemplo de solución de
integrales por sustitución y en este
vídeo vamos a resolver este ejercicio
que pues obviamente va a ser por
sustitución pero además vamos a
practicar la integral del seno
cuál es la integral del seno acordémonos
que la integral del seno de x de x es
igual a menos coseno de x c pero de
dónde sale esto acordémonos lo que vemos
en el vídeo de introducción que la
integral es lo contrario de la derivada
entonces para acordarnos de esto
simplemente debemos acordarnos de la
derivada acordémonos que si tenemos una
función que es coseno la derivada del
coche no era menos seno si por eso la
integral del seno es el coseno negativo
listos por eso es que la integral del
pse no es menos coseno pero pues además
vamos a practicar la sustitución porque
porque aquí dice la integral solamente
de x
de 3x ni de 5x ni de 10x listos entonces
qué es lo que vamos a hacer vamos a
sustituir lo que está por dentro del
ángulo listos como se sabe que es por
sustitución pues porque la derivada de
esto que está aquí se repite afuera
vamos a mirarlo acá entonces sustituimos
lo de adentro del paréntesis sociedad el
ángulo en este caso nos quedaría que la
uv es ese ángulo que es 3x
tenemos que aquí sustituiríamos el 3x
pero nos falta sustituir el de x
entonces sacamos la derivada la derivada
de eeuu que es derivada de v igual la
derivada de 3x que estrés como derivamos
la x le agregamos de x pero miren que
acá solamente me falta sustituir de x no
3 de x entonces tengo que dejar ese de x
que yo quiero sustituir solito que hago
el 3 lo quito y lo paso al otro lado a
dividir entonces me queda la derivada de
eeuu y este 3 pasado a dividir dividido
en 3 eso es de x que era lo que
necesitaba sustituir entonces aquí nos
queda sustituimos integral de seno de 3x
seno de 3 x pero 3x que es es
y dice por de equis pero de equis que es
es de eeuu sobre 3
aquí pues yo voy a hacer todos los pasos
este 3 tenemos que como está dividiendo
lo tenemos que sacar de la integral
entonces aquí nos quedaría igual como
está en el denominador se lo sacamos en
el denominador listos aquí colocó la
integral pero que colocaríamos arriba
colocamos el número 1 si para completar
la fracción iii nos quedaría solamente
seno de eeuu por dv y ahora si
integramos cuál es la integral del seno
la integral del seno es - coseno
entonces ya integró aquí nos quedaría
igual a un tercio por la integral del
seno es - coseno filas porque es
negativo no entonces como es negativo lo
colocó entre paréntesis menos coseno dv
y le agregamos más ce pero siempre al
final acordémonos que si empezamos con
la letra x tenemos que terminar con esa
misma letra si empezamos con la t
tenemos que terminar con la t o con la
letra que iniciemos tenemos que terminar
entonces volvemos a cambiar la u ahora
nos devolvemos la cambiamos por 3
yo voy a escribir la respuesta por acá
en este caso me quedaría igual
y aquí se puede dejar de dos formas se
puede dejar la fracción así que
simplemente se pasa este negativo para
atrás ya les digo porque no se puede
dejar el coche no arriba si yo lo voy a
dejar así como fracción entonces aquí
simplemente multiplicamos la fracción
por el coseno pero entonces aquí sería
positivo y negativo más x menos da menos
un tercio si simplemente ese negativo lo
pasamos para atrás por el coseno de eeuu
pero el cocedero de eeuu cambiamos la u
por
3x y le agregamos más
y con esto terminamos nuestro ejercicio
como siempre por último les voy a dejar
un ejercicio para que ustedes practiquen
ya saben que pueden pausar el vídeo
ustedes van a resolver este ejercicio y
la respuesta va a aparecer en 321 de una
vez hacemos la sustitución entonces aquí
sustituimos lo que está por dentro del
paréntesis osea en el ángulo no siempre
tiene que ser el ángulo entonces
sustituimos 3 x 5 que es uno y es 3 x 5
derivamos la derivada del estrés la
derivada de 3x que es 3 la derivada de 5
que es 0 y como derivamos la x le
agregamos tx pero afuera del seno
solamente dice de x entonces ese 3
tenemos que quitarlo pasarlo a dividir y
ahora si sustituimos entonces aquí dice
seno de 3x menos 5 o sea seno de
y aquí dice de equis pero de equis lo
cambiamos por de un sobre tres ese 3
sale como está en el denominador queda
en el denominador y me queda seno de vv
la integral del pse no es menos coseno
más ese negativo no saco para atrás si y
aquí me queda coseno cambiando la uv
nuevamente por la equis listos lado que
valida 3x menos cinco entonces aquí
queda coseno de 3 x 5 aquí les escribí
la otra forma que se puede escribir si
cualquiera de estos está perfecta si
simplemente sería aquí - y multiplicamos
no 1 por el cose no da el coseno sobre 3
más
c bueno amigos espero que les haya
gustado la clase recuerden que pueden
ver el curso completo de integrales
disponible en mi canal o en el link que
les dejo acá los invito a que se
suscriban comenten compartan y le den
laical vídeo y no siendo más bye bye
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