¿Por qué DEBES APRENDER ecuaciones diferenciales? | ¿QUÉ es una ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Summary
TLDREste guion explora el poder de las ecuaciones diferenciales, fundamentales en la modelación de sistemas complejos y en la comprensión de las leyes del universo. Desde la trayectoria de proyectiles hasta la expansión del cosmos, estas ecuaciones son esenciales para la física, ingeniería y tecnología. La narrativa también destaca su aplicación en la epidemiología y electromagnetismo, mostrando cómo estas herramientas matemáticas transforman nuestra vida cotidiana y nuestro entendimiento del universo.
Takeaways
- 🧮 Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en matemáticas y tienen aplicaciones en áreas como la física, ingeniería y economía.
- 🌌 Estas ecuaciones permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA.
- 🚀 Sin ecuaciones diferenciales, muchas tecnologías clave, como satélites y sistemas de transporte, no serían posibles.
- 🤔 Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender conceptos fundamentales del universo, como la propagación de ondas electromagnéticas y procesos cuánticos.
- 🔍 La ecuación diferencial logística es un ejemplo de cómo las ecuaciones diferenciales pueden describir fenómenos del mundo real, como el crecimiento de poblaciones.
- 🎯 Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) son dos tipos clave que se utilizan para modelar diferentes situaciones.
- 📉 La segunda ley de Newton es una ecuación diferencial que describe la relación entre fuerza, masa y aceleración, y es crucial para la física clásica.
- 🌡 La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que modela cómo la temperatura de un objeto cambia con el tiempo al interactuar con su entorno.
- 🌐 Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo y describen cómo se comportan y se relacionan los campos eléctricos y magnéticos.
- 🌌 Las ecuaciones de Schrödinger son la base de la mecánica cuántica y describen el comportamiento de partículas en el ámbito microscópico.
Q & A
¿Qué es un enigma fascinante que ha desconcertado a los pensadores a lo largo de los siglos según el guion?
-El enigma fascinante mencionado en el guion es el mundo oculto bajo la aparente simplicidad de las fórmulas matemáticas, que es el núcleo de nuestro progreso tecnológico y comprensión de las leyes del universo.
¿Cuál es la función de las ecuaciones diferenciales en la vida cotidiana?
-Las ecuaciones diferenciales permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de Inteligencia Artificial, impactando así en nuestra vida cotidiana.
¿Qué es una ecuación diferencial y cómo se diferencia de una ecuación normal?
-Una ecuación diferencial es una que relaciona una función con sus derivadas. A diferencia de las ecuaciones normales, cuya solución es un número, las soluciones de una ecuación diferencial son funciones o una familia de funciones.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y cómo se diferencian de las ecuaciones en derivadas parciales?
-Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son aquellas donde la incógnita es una función de una sola variable. Por otro lado, las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) son aquellas cuya incógnita es una función de dos o más variables.
¿Cómo se relaciona la Segunda ley de Newton con las ecuaciones diferenciales?
-La Segunda ley de Newton establece una relación entre la fuerza, la masa y la aceleración, siendo la aceleración la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, lo que la convierte en una ecuación diferencial fundamental para la física clásica.
¿Qué son las condiciones iniciales en el contexto de las ecuaciones diferenciales y qué papel desempeñan?
-Las condiciones iniciales son valores conocidos de la función y/o sus derivadas en un punto de partida, que se utilizan para determinar el valor de constantes en las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
¿Cómo se describe el movimiento de una pelota lanzada con una ecuación diferencial?
-El movimiento de una pelota lanzada se describe mediante ecuaciones diferenciales que toman en cuenta la fuerza de gravedad y, en algunos casos, la resistencia del aire, permitiendo calcular la trayectoria, velocidad y posición de la pelota en cualquier instante.
¿Qué es la ley de enfriamiento de Newton y cómo se representa matemáticamente?
-La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la temperatura de un objeto a medida que pierde calor al entorno, y se representa como dT/dt = -K * (T - T_a), donde K es la constante de enfriamiento y T_a es la temperatura ambiente.
¿Cuál es la importancia de las ecuaciones de Maxwell en el ámbito de la electromagnetismo?
-Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo, ya que describen cómo se comportan los campos eléctricos y magnéticos y cómo interactúan con las cargas y corrientes eléctricas, siendo esenciales para el desarrollo de tecnologías como telecomunicaciones y electrónica.
¿Qué son las ecuaciones de Schrödinger y cómo contribuyen al entendimiento del comportamiento cuántico?
-Las ecuaciones de Schrödinger son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que describen la evolución del tiempo de la función de onda, permitiendo calcular las propiedades observables de partículas a nivel microscópico, y son la base matemática de la teoría cuántica.
¿Qué revelan las ecuaciones de Friedman sobre la evolución del universo?
-Las ecuaciones de Friedman describen la evolución del universo en el marco de la relatividad general de Einstein, estableciendo la relación entre la geometría del universo y su contenido de materia y energía, y son fundamentales para entender la expansión del universo y el concepto del Big Bang.
Outlines
🧮 El poder de las ecuaciones diferenciales
Este párrafo introduce el mundo fascinante de las ecuaciones diferenciales, destacando su importancia en la tecnología y la comprensión de las leyes del universo. Se menciona que estas ecuaciones son fundamentales para modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA. Además, proporcionan una ventana a las leyes fundamentales del universo, permitiendo entender fenómenos como los movimientos de los cuerpos celestes y los procesos cuánticos. Se destaca la importancia de las matemáticas en general, y las ecuaciones diferenciales en particular, para explorar lo desconocido y abrir nuevas fronteras en la ciencia y la tecnología.
📚 Concepto de ecuación diferencial
En este párrafo se explica qué es una ecuación diferencial y su relación con las ecuaciones ordinarias. Se presenta un ejemplo sencillo para ilustrar la diferencia entre una ecuación de primer grado y una ecuación diferencial. Se resalta que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son funciones, a diferencia de las ecuaciones ordinarias que tienen soluciones numéricas. Además, se introduce la noción de condiciones iniciales como herramienta para determinar la constante en las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Se clasifican las ecuaciones diferenciales en 'ordinarias' y 'en derivadas parciales', dependiendo de si la función incógnita depende de una o más variables.
📉 La ecuación diferencial logística y su aplicación
Este párrafo se enfoca en la ecuación diferencial logística, que describe el crecimiento de una población. Se explica que las ecuaciones diferenciales ordinarias, como la logística, son aquellas donde la incógnita es una función de una sola variable. Se contrasta con las ecuaciones en derivadas parciales, donde la función incógnita depende de dos o más variables. Se presentan ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes, como la segunda ley de Newton, que relaciona la fuerza con la aceleración y cómo esta ley se aplica en física clásica para determinar trayectorias y movimientos, como en el lanzamiento de una pelota.
🚀 Aplicación de la segunda ley de Newton en el lanzamiento de una pelota
Este párrafo detalla cómo se aplica la segunda ley de Newton en el cálculo del movimiento de una pelota lanzada a un ángulo. Se describen las fuerzas involucradas, como la gravedad, y cómo estas fuerzas afectan la trayectoria de la pelota. Se resuelven las ecuaciones diferenciales para obtener las velocidades y posiciones en los ejes x e y, considerando inicialmente la ausencia de resistencia del aire. Luego, se introduce la resistencia del aire como una fuerza adicional que influye en el movimiento de la pelota, y se presentan las ecuaciones modificadas para incluir este factor. Se realiza una comparación entre la trayectoria de la pelota con y sin considerar la resistencia del aire.
🌡 Ley de enfriamiento de Newton y otros modelos matemáticos
Este párrafo explora la ley de enfriamiento de Newton, una ecuación diferencial que modela cómo la temperatura de un objeto disminuye con el tiempo debido a la pérdida de calor al entorno. Se explica cómo la rapidez del enfriamiento depende de la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente. Además, se mencionan aplicaciones de esta ley en termodinámica, ingeniería, meteorología y medicina. Se introducen otros modelos matemáticos importantes, como el modelo SIR de epidemiología, las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo, la ecuación de Schrödinger en física cuántica y las ecuaciones de Friedman en cosmología. Cada uno de estos modelos demuestra la amplitud y el poder de las ecuaciones diferenciales en diversas áreas del conocimiento.
🌌 Las ecuaciones diferenciales y su impacto en la vida cotidiana
En este final párrafo, se reflexiona sobre el impacto de las ecuaciones diferenciales tanto en la exploración del cosmos como en el desarrollo tecnológico que mejora la vida cotidiana. Se destaca cómo estas ecuaciones son esenciales para diseñar y optimizar sistemas complejos, predecir la propagación de ondas electromagnéticas, modelar el comportamiento de fluidos y entender circuitos eléctricos. Se concluye enfatizando la importancia de las ecuaciones diferenciales como herramienta valiosa para científicos y ingenieros, y como fundamento del entendimiento del universo y del progreso tecnológico.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones diferenciales
💡Innovación y descubrimiento
💡Tecnología revolucionaria
💡Leyes del universo
💡Modelado de sistemas complejos
💡Integración y derivación
💡Condiciones iniciales
💡Ecuaciones ordinarias y en derivadas parciales
💡Segunda ley de Newton
💡Ley de enfriamiento de Newton
Highlights
Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para comprender las leyes del universo y han desconcertado a los pensadores a lo largo de los siglos.
Las ecuaciones diferenciales permiten modelar y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde redes eléctricas hasta algoritmos de IA.
Sin las ecuaciones diferenciales, no existirían tecnologías como satélites, redes de comunicación eficientes o sistemas de transporte avanzados.
Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender fenómenos como los movimientos de los cuerpos celestes y los procesos cuánticos.
Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas, lo que permite encontrar soluciones en forma de funciones, no solo números.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) son dos tipos clave de ecuaciones diferenciales.
La ecuación diferencial logística describe el crecimiento de una población y es un ejemplo de EDO.
La ecuación diferencial de onda es un ejemplo de EDP y describe la propagación de ondas electromagnéticas.
La segunda ley de Newton es una ecuación diferencial que relaciona la fuerza, la masa y la aceleración, y es fundamental para la física clásica.
Las ecuaciones de movimiento para el lanzamiento de una pelota se pueden obtener a partir de la segunda ley de Newton y describen su trayectoria.
La resistencia del aire puede ser modelada matemáticamente y afecta la trayectoria de un proyectil.
La ley de enfriamiento de Newton es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la temperatura de un objeto a medida que pierde calor.
El modelo SIR es una aplicación de ecuaciones diferenciales que ayuda a predecir la propagación de enfermedades en una población.
Las ecuaciones de Maxwell son fundamentales en electromagnetismo y describen cómo se comportan los campos eléctricos y magnéticos.
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que describe el comportamiento de las partículas a nivel microscópico y es central en la teoría cuántica.
Las ecuaciones de Friedman describen la evolución del universo en el marco de la relatividad general y son clave para entender la expansión del universo.
Las ecuaciones diferenciales son esenciales para el diseño y la optimización de sistemas y procesos complejos en la tecnología actual.
Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para el entendimiento del universo y el progreso tecnológico.
Transcripts
en un mundo oculto bajo la aparente
simplicidad de las fórmulas matemáticas
se encuentra un Enigma fascinante que ha
desconcertado a los más grandes
pensadores a lo largo de los siglos en
un mundo impulsado por la innovación y
el descubrimiento existe una poderosa
herramienta matemática que se encuentra
en el corazón de nuestro Progreso
tecnológico y nuestra comprensión de las
leyes del universo ya que son el motor
que impulsan al desarrollo de
tecnologías revolucionarias que
transforman nuestra vida cotidiana estas
fórmulas nos permiten modelar y predecir
el comportamiento de sistemas complejos
desde las redes eléctricas hasta los
algoritmos de Inteligencia artificial
pero no solo eso sino que también nos
brindará una ventana a las leyes
fundamentales del universo a través de
ellas podremos comprender los
movimientos de los cuerpos celestes la
propagación de ondas electromagnéticas y
los procesos cuánticos que dan forma a
la realidad misma todo esto Gracias a
una herramienta muy poderosa las
ecuaciones diferenciales
[Música]
imagina cómo sería el mundo sin las
ecuaciones diferenciales sin las
derivadas o sin las integrales o de
forma general sin las matemáticas No
tendríamos satélites que orbitan la
tierra ni redes de comunicación
eficientes ni los sistemas de transporte
que tanto utilizamos como autos o
aviones que nos transportan grandes
distancias En tan poco tiempo no
entenderíamos completamente cómo
funciona nuestro cerebro ni tendríamos
la capacidad de diseñar medicamentos que
salvan vidas las ecuaciones
diferenciales y las matemáticas en sí
nos permiten explorar lo desconocido
resolver problemas complejos y abrir
nuevas fronteras en la ciencia y la
tecnología Pero qué es una ecuación
diferencial y Por qué es tan importante
pero antes de hablar de qué es una
ecuación diferencial tenemos que
entender el concepto de ecuación para
ello imagina el siguiente problema Cuál
es el número que sumado con 5 es igual a
8 y todos responderemos que el número
desconocido debe ser igual a 3 ya que si
sumas 3 + 5 obtenemos 8 y la igualdad es
válida y esto que acabamos de ver es una
ecuación simplemente es una igualdad
entre dos términos donde existe un
número desconocido y la meta es
encontrar cuál es este número
desconocido para que se cumpla la
igualdad en álgebra a este número
desconocido se le conoce como incógnita
y se representa mediante una letra o un
símbolo la letra típica que se suele
utilizar es la letra X que hace el papel
de ese número desconocido que debemos
encontrar y como vimos para que se
cumpla la igualdad el valor de X debe
ser igual a 3 y esta ecuación que vimos
se conoce como ecuación de primer grado
y tiene una única solución que es un
número bien Ahora veamos Qué es una
ecuación diferencial una ecuación
diferencial será una ecuación que
relaciona una función con sus derivadas
es decir en este tipo de
la incógnita es una función veamos un
ejemplo sencillo supongamos que tenemos
que la derivada de una función FX con
respecto a x es igual a 4 lo que tenemos
que hacer es encontrar Qué función FX
hace que se cumpla la igualdad nosotros
podemos utilizar lo que ya conocemos de
las reglas de derivación y con ello
saber que la función F de X tiene que
ser igual a 4x + C donde se representa
una constante si es que derivas esta
función obtendrás que su derivada es
igual a 4 por lo tanto la solución para
esta ecuación diferencial es F de X es
igual a 4x + c como vemos A diferencia
de las ecuaciones normales donde la
solución es un número en este caso las
soluciones una función O mejor dicho una
familia de funciones pero mejor veamos
esto en más detalle y vimos que la
solución de nuestra ecuación diferencial
sencilla era F de X es igual a 4x + C
donde c es una constante que puede ser
cualquier número real es decir tenemos
una familia infinita de funciones
lineales que se diferencian por el
término c y todas estas funciones serán
soluciones de nuestra ecuación
diferencial sin embargo usualmente
cuando resolvamos una ecuación
diferencial el problema nos dará las
llamadas condiciones iniciales y con
estas condiciones podremos determinar el
valor de la constante c y con ello
nuestra solución sólo será una única
función pero veremos esto en más detalle
en los ejemplos posteriores estas
ecuaciones diferenciales podríamos
clasificarlas en dos grupos las
ecuaciones diferenciales ordinarias de
manera abreviada hedo y la ecuación
diferencial en derivadas parciales de
forma abreviada edp muy bien empecemos
por las ecuaciones diferenciales
ordinarias pero para eso pongamos mejor
Un ejemplo te presento a la ecuación
diferencial logística que describe el
crecimiento de una población en el
tiempo en esta ecuación podemos ver que
la variable es y que es igual a FX que
es una función de una sola variable
entonces las ecuaciones diferenciales
ordinarias son ecuaciones diferenciales
donde la incógnita es una función de una
sola variable y ese tipo de ecuaciones
son bastante comunes por otro lado en
las ecuaciones en derivadas parciales
tenemos como ejemplo a la ecuación
diferencial de onda donde podemos ver
que la variable es u que es una función
que depende de dos variables de x y de T
por lo tanto las ecuaciones en derivadas
parciales son ecuaciones diferenciales
cuya incógnita es una función de dos o
más variables y ahora que tenemos una
mejor idea de cómo clasificar a estas
ecuaciones veamos algunos ejemplos de
ecuaciones diferenciales muy
interesantes la segunda ley de Newton
establece una relación entre la fuerza
aplicada a un objeto y la aceleración
que experimenta dicho objeto es decir la
fuerza es igual un producto de la masa
por la aceleración sin embargo la
aceleración es la segunda derivada del
vector posición con respecto al tiempo
por lo tanto es una ecuación diferencial
que al resolverla podremos obtener las
velocidades y las posiciones para cada
instante de tiempo y por ello la segunda
ley de Newton es una ley fundamental
para la física clásica y tiene una
importancia en varios aspectos veamos
algunos ejemplos de su aplicación si
tenemos una pelota y la arrojamos con
una cierta velocidad inicial y formando
un ángulo con respecto a la horizontal
la trayectoria de este proyectil seguirá
una curva definida por una ecuación
diferencial que se obtiene a partir de
la Segunda ley de Newton y ahora vamos a
obtener las ecuaciones de movimiento
para el lanzamiento de una pelota en
ausencia de resistencia del aire si
lanzamos la pelota con una velocidad
inicial B sub 0 y un ángulo de
lanzamiento igual a teta la pelota se
moverá siguiendo esta trayectoria y
podemos analizar las fuerzas intervienen
en este instante de tiempo la única
fuerza que interviene es la fuerza de
gravedad o peso que es una fuerza de
atracción que tira hacia abajo a la
pelota y que es igual al producto de la
masa por la aceleración de la gravedad G
la segunda ley de Newton Establece que
la fuerza es igual al producto de la
masa por la aceleración Y esta es una
ecuación vectorial dado que el
movimiento se den dos dimensiones
podemos separar este ecuación en dos
ecuaciones más la fuerza en dirección
del eje x es igual a la masa por la
aceleración en el eje x y la fuerza en
el eje y es igual a la masa por la
aceleración en el eje y sin embargo la
fuerza en el eje x es igual a cero por
lo tanto podemos deducir que la
aceleración en el eje x también es igual
a cero por otra parte la fuerza en el
eje y es igual al peso mg y de aquí
podemos obtener que la aceleración en el
eje y es igual a g que es la aceleración
de la gravedad la primera ecuación nos
dice que la aceleración en el eje x es
igual a cero y que la aceleración sea 0
significa que la velocidad En esa
dirección es constante es decir con un
movimiento rectilíneo uniforme y por
otro lado la aceleración en el eje y es
igual a la gravedad que es un valor
constante esto significa que la pelota
se moverá con movimiento rectilíneo
uniformemente variado en el eje y ahora
a partir de estas aceleraciones
obtendremos las velocidades y posiciones
en ambos ejes y empecemos analizando
para el eje x la aceleración es igual a
cero por otro lado la aceleración en el
eje x es igual a la derivada de la
velocidad en x con respecto al tiempo
tomando la condición inicial de que la
velocidad al inicio es B sub 0 y
resolviendo esta ecuación diferencial
obtendremos que la velocidad en x es
igual a V Sub Zero multiplicado por el
coseno de el ángulo teta y por otra
parte la velocidad en el eje x es igual
a la derivada de la posición x con
respecto al Tiempo al resolver esta otra
ecuación diferencial obtendremos que el
desplazamiento en x es igual a V Sub
Zero multiplicado por el coseno de teta
por el tiempo t y ahora veamos para el
eje y sabemos que la aceleración es
igual a g además la aceleración en y es
igual a la derivada de la velocidad en
el eje y con respecto al Tiempo al
resolver esta ecuación diferencial
obtenemos que la velocidad en y es igual
a v0 por el seno de teta más G por t
ahora obtengamos la posición en el eje y
sabemos que la velocidad en el eje y es
igual a la derivada de y con respecto al
Tiempo al resolver esta ecuación
diferencial obtenemos que y es igual a
v0 multiplicado por el seno de teta por
el tiempo más un medio por la gravedad
por el tiempo al cuadrado por lo tanto
ya tenemos las ecuaciones que describen
Cómo se despla la pelota a lo largo del
eje x y del eje Y con estas ecuaciones
podemos formar El par ordenado x,y que
nos dará las coordenadas de la pelota a
lo largo de toda la trayectoria por lo
tanto podemos predecir exactamente su
posición para cada instante de tiempo y
ahora utilicemos las ecuaciones de
movimiento que obtuvimos para poder
simular el lanzamiento de una pelota en
ausencia de resistencia del aire para
ello tenemos que establecer las
condiciones iniciales de este problema
Por ejemplo la velocidad de lanzamiento
será de 9 metros por segundo el ángulo
de lanzamiento será de 45 grados la
aceleración de la gravedad es 9.8 metros
por segundo al cuadrado y tomando en
cuenta estos datos y reemplazando en las
ecuaciones de movimiento para x y para y
podemos obtener las coordenadas de la
trayectoria parabólica que seguirá la
pelota en cada instante de tiempo tal
como podemos ver aquí en la animación y
tal vez pienses que es poco realista
simular lanzamiento de una pelota sin
considerar la resistencia del aire Ya
que en la vida real la resistencia del
aire juega un papel muy importante y
afectará al movimiento de la pelota sin
embargo podemos modelar la resistencia
del aire matemáticamente y con ello
obtener la trayectoria de este
movimiento con resistencia de aire para
ello supongamos que lanzamos la pelota
con un ángulo de lanzamiento igual a
teta ahora la trayectoria de la pelota
se verá influenciada por dos fuerzas la
fuerza de gravedad que tira la pelota
hacia abajo y la fuerza de resistencia
que está en contra del movimiento de la
pelota y que llamaremos F sub r y esta
fuerza de resistencia es igual a menos
MB por la velocidad el signo menos se
debe a que es una fuerza en contra de la
dirección del movimiento y esta fuerza
como vemos es proporcional a la masa a
la velocidad con la cual se mueve la
pelota y a un parámetro llamado b y esto
significa que mientras más tenga el
objeto y más velocidad tenga mayor será
la fuerza de resistencia por otro lado
el parámetro B se conoce como
coeficiente de arrastre o de resistencia
y este número tomar en cuenta la
interacción del objeto en movimiento con
el medio que es el aire de tal manera
que mientras más grande sea el valor de
B mayor será la resistencia del aire y
esta fuerza de resistencia de aire se
puede descomponer en sus dos componentes
vertical y horizontal es decir en una
fuerza de resistencia en dirección del
eje x que es igual a menos MB por la
velocidad en el eje x y otra en
dirección del eje y que es igual a menos
m por B por la velocidad en el eje y
tomando en cuenta estas componentes de
la fuerza de resistencia podemos obtener
las ecuaciones de movimiento utilizando
la segunda ley de Newton para ello
graficamos la pelota en el instante que
vimos en la animación y analizamos
cuáles son las fuerzas a las que está
sometida la pelota tenemos el peso mg
que apunta hacia abajo la fuerza de
resistencia en el eje y en ese instante
también apunta hacia abajo y la fuerza
de resistencia en el eje x está en
dirección opuesta al eje positivo de las
x recordando que la segunda ley de
Newton es fuerza es igual a masa por
aceleración al Separar en sus
componentes en el eje x y en el eje y
obtenemos las siguientes ecuaciones
diferenciales al resolverlas obtendremos
la velocidad en el eje x y la velocidad
en el eje y Cómo podemos ver al incluir
la fuerza de resistencia las ecuaciones
para la velocidad Son más complejas que
en el caso sin resistencia de aire
Tomando estas expresiones para la
velocidad y resolviendo las ecuaciones
diferenciales obtendremos las ecuaciones
de movimiento para la pelota y estas
ecuaciones describen Cómo cambiará la
posición de la pelota en cada instante
de tiempo y ahora veamos una simulación
del movimiento parabólico con
resistencia del aire para ello
utilizaremos de movimiento que obtuvimos
junto a las siguientes condiciones
iniciales la velocidad inicial de
lanzamiento V Sub Zero es igual a 9
metros por segundo el ángulo será igual
a 45 grados el coeficiente de arrastre
será igual a 0.2 y la gravedad es 9.8
metros por segundo al cuadrado y al
realizar la animación podemos ver cuál
es la trayectoria de la pelota pero tal
vez no notas la diferencia Pero ha
recorrido menos distancia comparada con
el primer caso donde no se tomó en
cuenta a la resistencia del aire la
Gráfica de rojo muestra la trayectoria
si no se toma en cuenta la resistencia
del aire como vemos con las ecuaciones
de movimiento podemos determinar la
posición la velocidad y la aceleración
en cada instante de tiempo Y esta es la
importancia de la Segunda ley de Newton
al conocer la fuerza que actúa sobre un
objeto esta ley nos permite obtener la
trayectoria que seguirá en cada instante
de tiempo y todo esto Gracias al
resolver las ecuaciones diferenciales de
movimiento y ahora veamos otra
aplicación llamada la ley de
enfriamiento de Newton Y esta es una
ecuación diferencial que describe Cómo
cambia la temperatura de un objeto a
medida que pierde calor al entorno la
ecuación dice que la derivada de la
temperatura con respecto al tiempo es
igual a menos K multiplicado por t menos
t sub a donde K es la constante de
enfriamiento y t sub a es la temperatura
del ambiente la derivada de la
temperatura con respecto al tiempo nos
indica qué tan rápido cambia la
temperatura y el signo menos indica que
la temperatura irá disminuyendo Mientras
más grande sea la diferencia entre t y t
sub a lo hará con mayor rapidez y para
entender mejor veamos un ejemplo
supongamos que tienes una tasa de café
muy caliente por lo tanto la temperatura
del café será mayor a la temperatura
ambiente la ley de enfriamiento de
Newton nos dice que el café se enfriará
rápidamente al inicio debido a que la
diferencia entre la temperatura de café
y el ambiente es mayor Pero a medida que
pasa el tiempo la diferencia de
temperatura entre el café y el aire se
reduce por lo que el enfriamiento del
café Se volverá cada vez más lento y
algunas aplicaciones de la ley de
enfriamiento de Newton son las
siguientes en termodinámica se utiliza
para estudiar y comprender los procesos
de transferencia de calor en ingeniería
se usa para el diseño de sistemas de
refrigeración y calefacción en
meteorología se utiliza para el estudio
del enfriamiento de la atmósfera en
medicina para el estudio de cómo se
enfrían los tejidos corporales y también
tiene aplicación en las Ciencias
forenses y otra aplicación interesante
es el modelo sir el cual es un modelo
básico de epidemiología que sirve para
comprender y predecir la propagación de
enfermedades infecciosas en una
población y este es un modelo básico que
es muy utilizado desde hace muchos años
el modelo zir divide a la población en
tres grupos los susceptibles que son
personas no infectadas y que pueden
contraer la enfermedad los infectados
que son las personas que actualmente ya
están enfermas y pueden transmitirlas a
otras personas y los recuperados que son
las personas que se recuperan de la
enfermedad y desarrollan inmunidad de
manera general los susceptibles pasarán
a ser infectados y los infectados a ser
recuperados y estos tres grupos Irán
evolucionando en el tiempo y esta
evolución está dada por el siguiente
conjunto de ecuaciones diferenciales
donde los grupos s y r son funciones que
dependen del tiempo y dadas las
condiciones iniciales podremos resolver
este conjunto de ecuaciones
diferenciales y analizar la evolución de
cada uno de los grupos a lo largo del
tiempo y otro conjunto de ecuaciones
diferenciales muy importantes son las
ecuaciones de Maxwell que son un
conjunto de cuatro ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales muy
importantes en electromagnetismo y estas
ecuaciones diferenciales des Cómo se
comportan los campos eléctricos y
magnéticos y Cómo interactúan entre sí
con las cargas y corrientes eléctricas
están compuestas de las siguientes
ecuaciones la ley de gauss para el campo
eléctrico que establece que el flujo de
campo eléctrico a través de una
superficie cerrada es proporcional a la
carga eléctrica neta encerrada por esa
superficie la ley de gauss para el campo
magnético que establece que el flujo del
campo magnético a través de una
superficie cerrada es siempre igual a
cero y esto significa que no existen
monopolos magnéticos la ley de faraday
que establece que un cambio en el campo
magnético a lo largo de una trayectoria
cerrada induce un campo eléctrico
alrededor de esa trayectoria la ley de
amper Maxwell que relaciona la
circulación del campo magnético
alrededor de una trayectoria cerrada con
la corriente eléctrica en esa
trayectoria y la variación temporal del
campo eléctrico las ecuaciones de
Maxwell son para el desarrollo de
tecnologías como las telecomunicaciones
la generación de energía eléctrica y la
electrónica y otra ecuación diferencial
importante es la ecuación de schrödinger
que es una ecuación diferencial en
derivadas parciales que describen Cómo
evolucionan el tiempo la función de onda
lo que a su vez permite calcular las
propiedades observables de una partícula
como su posición su momento y su energía
y esta ecuación es la base matemática de
la teoría cuántica que describe el
comportamiento de las partículas a nivel
microscópico permite modelar una amplia
variedad de sistemas cuánticos desde
partículas individuales hasta sistemas
más complejos como átomos moléculas y
materiales sólidos y para terminar
tenemos las ecuaciones de friedman que
son ecuaciones fundamentales para la
cosmología ya que describen la evolución
del universo en el marco de la teoría de
la relatividad general de Einstein y
esta ecuación fue formulada por
Alexander friedman en la década de 1920
se deriva a de las ecuaciones de campo
de Einstein y establece la relación
entre la geometría del universo y Su
contenido de materia y energía las
ecuaciones de friedman son muy
importantes debido a que muestran como
el universo puede expandir o contraerse
y proporciona la base teórica para el
concepto de expansión del universo y
también es fundamental en el desarrollo
de la teoría del Big Bang y
definitivamente las ecuaciones
diferenciales son una ventana al vasto y
maravilloso Cosmos que nos rodea a
través de ellas hemos logrado entender
los patrones y las leyes que gobiernan
los movimientos de los cuerpos celestes
desde el lanzamiento de una pelota las
órbitas planetarias y hasta la expansión
del propio universo nos ha permitido
explorar los secretos del espacio
profundo y desvelar fenómenos
fascinantes como los agujeros negros y
las ondas gravitacionales pero las
ecuaciones diferenciales no solo nos
conectan con el cosmos también impulsan
el desarrollo tecnológico que mejora
nuestra vida cotidiana estas ecuaciones
son esenciales para diseño y la
optimización de sistemas y procesos
complejos gracias a ellas podemos
predecir y controlar la propagación de
ondas electromagnéticas modelar y
comportamiento de fluidos en
aerodinámica y entender los circuitos
eléctricos que alimentan a todos
nuestros dispositivos electrónicos Así
que tanto si eres un científico
explorando los misterios del universo
como un ingeniero creando soluciones
innovadoras las ecuaciones diferenciales
son tus aliadas más valiosas son la
llave que nos Abre a las puertas del
conocimiento y el progreso son mucho más
que fórmulas raras y símbolos
matemáticos son los cimientos de nuestro
entendimiento del universo y Los pilares
de nuestro desarrollo tecnológico nos
inspiran a explorar descubrir y
transformar nuestro entorno Muchas
gracias por tu atención y nos vemos en
el próximo video
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