APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 1

julioprofe

2 Mar 201607:15

Summary

TLDREl vídeo explica cómo calcular la derivada de una función y su aproximación lineal. Se utiliza la función f(x) = x^(1/3) como ejemplo. Se calcula la primera derivada y se evalúa en x=1, obteniendo f'(1) = 1/3. Luego, se encuentra la aproximación lineal de f(x) en x=1, que es L(x) = x + 2/3. Finalmente, se utilizan estas aproximaciones para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, obteniendo valores muy cercanos a los reales, demostrando la precisión de la aproximación.

Takeaways

🔢 La función f(x) es la raíz cúbica de x, que se escribe como x elevado a la potencia de un tercio.
📈 La primera derivada de f(x), f'(x), se calcula como \( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \).
🎯 Al evaluar la primera derivada en x = 1, f'(1) se simplifica a \( \frac{1}{3} \).
✏️ La fórmula para la aproximación lineal de f(x) cerca de un punto a es f(a) + f'(a)(x - a).
📍 Para x cercano a 1, la aproximación lineal de f(x) es \( \frac{x + 2}{3} \).
👉 Al aplicar la aproximación lineal para x = 0.9, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 0.9 como 0.9666... (con 6 repetido indefinidamente).
👈 Al aplicar la aproximación lineal para x = 1.1, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 1.1 como 1.0333... (con 3 repetido indefinidamente).
📊 La aproximación lineal es confiable para valores de x cercanos a 1, como 0.9 y 1.1.
🧮 La aproximación lineal proporciona resultados que son muy cercanos a los valores exactos de la función f(x) para x cercanos a 1.

Q & A

¿Qué función f(x) se discute en el guion?
-Se discute la función f(x) que es la raíz cúbica de x, es decir, x elevado a la un tercio.
¿Cuál es la primera derivada de f(x)?
-La primera derivada de f(x) es f'(x) = 1/(3x^(2/3)).
¿Cómo se calcula f'(1)?
-Al sustituir x por 1 en la expresión de la derivada, f'(1) se calcula como 1/(3*1^(2/3)), que resulta en 1/3.
¿Qué es la aproximación lineal de una función en un punto dado?
-La aproximación lineal, también conocida como la línea tangente, es una recta que se aproxima a la curva de la función cerca del punto dado, y se calcula como f(a) + f'(a)(x - a).
¿Cómo se determina la aproximación lineal de f(x) en x = 1?
-La aproximación lineal de f(x) en x = 1 se determina sustituyendo a por 1 en la fórmula de la aproximación lineal, dando como resultado la expresión x + 2/3.
¿Para qué se usa la aproximación lineal en el guion?
-La aproximación lineal se usa para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, utilizando la línea tangente cerca de x = 1.
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 0.9 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 0.9 + 2/3, que se calcula como 0.96 (con un 6 repetido indefinidamente).
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 1.1 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 1.1 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 1.1 + 2/3, que se calcula como 1.03 (con un 3 repetido indefinidamente).
¿Por qué es confiable usar la aproximación lineal para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1?
-Es confiable porque estos valores están cerca de 1, y la línea tangente es una buena aproximación en la cercanía del punto donde se toma la derivada.
¿Cómo se verifica la precisión de las estimaciones usando una calculadora?
-Se verifica la precisión al calcular los valores aproximados y compararlos con los resultados exactos de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, observando que los valores son muy cercanos.