90. Ecuación del plano, dado punto y vector normal
Summary
TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate, fácil', se aborda la resolución de ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas. Se explica cómo calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener. Además, se muestra cómo encontrar otros puntos que pertenezcan al plano y cómo verificar si ciertos puntos están en el plano. Finalmente, se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio similar y se les anima a apoyar al canal a través de donaciones.
Takeaways
- 📐 El vídeo enseña cómo resolver ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas.
- 🧮 Se explica cómo calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener.
- 📌 Se menciona que el vector normal para el ejercicio es (2, -3, 1) y el punto es (4, 2, 5).
- 🔍 Se detalla el proceso de formar el vector que une el punto dado con cualquier otro punto en el plano y cómo calcular el producto punto con el vector normal.
- 📘 Se desarrolla la ecuación general del plano a partir del producto punto y se simplifica al final.
- 🔢 Se pide escribir las coordenadas de otros dos puntos que pertenezcan al plano, lo cual se logra asignando valores a dos coordenadas y calculando la tercera.
- 📍 Se muestra cómo verificar si un punto pertenece a un plano sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano.
- 📝 Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio similar y se ofrecen los pasos para verificar su solución.
- 📖 Se sugiere que en la ecuación del plano, si una variable no aparece, puede omitirse sin problemas.
- 🗂️ Se explica que para encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, primero se debe encontrar un vector en la dirección de la recta y usarlo como vector normal.
Q & A
¿Qué es la ecuación general de un plano y cómo se calcula?
-La ecuación general de un plano se calcula a partir de su vector normal y un punto que pertenece al plano. Se escribe en la forma ax + by + cz = d, donde (a, b, c) son los componentes del vector normal y d es un término independiente que se calcula al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación vectorial del plano.
¿Cómo se determina si un punto pertenece a un plano?
-Para determinar si un punto pertenece a un plano, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si el resultado de la operación es cero, entonces el punto pertenece al plano.
¿Qué es el vector normal de un plano?
-El vector normal de un plano es un vector perpendicular a dicho plano, y se utiliza para definir la orientación del plano en el espacio tridimensional. En la ecuación del plano, los componentes del vector normal aparecen como coeficientes multiplicando a las variables x, y y z.
Si se tiene un vector normal y un punto, ¿cómo se obtiene la ecuación del plano?
-Con un vector normal (a, b, c) y un punto (x0, y0, z0), se forma el vector que une el punto al origen (a*x0, b*y0, c*z0) y se calcula su producto punto con el vector normal. El resultado se iguala a cero y se desarrolla para obtener la ecuación general del plano.
¿Cómo se calculan los puntos que pertenecen a un plano si se conoce su ecuación?
-Para calcular puntos que pertenecen a un plano, se eligen dos coordenadas arbitrarias y se resuelve la ecuación del plano para encontrar la tercera coordenada. Esto se hace sustituyendo los valores en la ecuación y despejando la variable que quede en términos de la ecuación.
¿Qué significa que una recta sea perpendicular a un plano?
-Una recta es perpendicular a un plano si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano. Esto significa que la recta intersecta el plano en un solo punto y forma un ángulo de 90 grados con él.
Si se tiene una recta perpendicular a un plano, ¿cómo se determina el vector normal del plano?
-Si se tiene una recta perpendicular a un plano, el vector director de la recta puede ser utilizado como vector normal del plano, ya que cualquier vector perpendicular a la recta también será perpendicular al plano.
¿Cómo se verifica si un punto dado pertenece a un plano utilizando la ecuación del plano?
-Para verificar si un punto pertenece a un plano, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si el resultado es cero, entonces el punto está en el plano; si no, no lo está.
¿Cuál es la importancia de la ecuación del plano en la geometría y la modelación tridimensional?
-La ecuación del plano es fundamental en la geometría y la modelación tridimensional, ya que permite definir y analizar la posición relativa de objetos en el espacio, calcular intersecciones, proyecciones y otras propiedades esenciales en la representación y manipulación de formas geométricas.
Si se tiene un punto y se desea encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta que pasa por ese punto, ¿cómo se procede?
-Primero se calcula un vector que tenga la misma dirección que la recta. Luego, ese vector se utiliza como vector normal para encontrar la ecuación del plano. Se sustituye el punto y el vector normal en la fórmula general de la ecuación del plano para obtener la ecuación del plano perpendicular.
Outlines
📚 Introducción a la ecuación del plano
Este primer párrafo presenta el tema del vídeo, que es la resolución de ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas. Se describe el proceso para calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener. Se detalla cómo formar el vector que une el punto conocido con un punto general en el plano y cómo calcular el producto punto entre este vector y el vector normal para obtener la ecuación del plano. Finalmente, se resuelve el inciso 'a' del ejercicio proporcionando la ecuación general del plano.
🔍 Hallando puntos en el plano
El segundo párrafo se centra en el inciso 'b' del ejercicio, que requiere encontrar coordenadas de otros dos puntos que pertenezcan al plano. Se explica que existen infinitos puntos en un plano y se describe el método para encontrarlos asignando valores arbitrarios a dos de las variables y calculando el tercer valor utilizando la ecuación del plano. Se proporcionan ejemplos concretos de cómo asignar valores a 'x' y 'y' para obtener el valor de 'z', y viceversa, para determinar puntos en el plano.
📏 Verificando pertenencia a un plano
El tercer párrafo trata el inciso 'c' del ejercicio, que consiste en determinar qué de los puntos dados pertenecen al plano. Se explica que un punto pertenece al plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano, es decir, si la sustitución de estas coordenadas en la ecuación resulta en cero. Se verifican tres puntos específicos, 'a', 'b' y 'c', sustituyendo sus coordenadas en la ecuación y evaluando el resultado para determinar su pertenencia al plano.
🛠 Desarrollando la ecuación de un plano perpendicular a una recta
El último párrafo introduce un nuevo ejercicio que requiere obtener la ecuación de un plano que pase por un punto dado y sea perpendicular a una recta. Se sugiere que, dado que la recta es perpendicular al plano, un vector en la dirección de la recta también será perpendicular al plano y, por lo tanto, puede ser utilizado como vector normal para la ecuación del plano. Se invita a los espectadores a intentar resolver el ejercicio y se ofrece la promesa de mostrar el procedimiento completo en un próximo vídeo. Además, se agradece a los donantes y se menciona cómo pueden apoyarse a través de diferentes plataformas.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación del plano
💡Vector normal
💡Punto en el plano
💡Producto punto
💡Ecuación vectorial del plano
💡Coordenadas de un punto
💡Recta perpendicular
💡Vector en la dirección de una recta
💡Ecuación general del plano
💡Pertenencia a un plano
Highlights
Introducción al vídeo de resolución de ejercicios sobre ecuaciones del plano.
Explicación del inciso a: calcular la ecuación general del plano con un vector normal dado y un punto específico.
Método para obtener la ecuación general del plano a partir de la ecuación vectorial.
Uso del vector normal y el punto conocido para formar la ecuación del plano.
Pasos para formar el vector que une el punto conocido con cualquier otro punto del plano.
Cálculo del producto punto entre el vector formado y el vector normal.
Desarrollo del producto punto para obtener la ecuación general del plano.
Paso al inciso b: escritura de coordenadas de otros dos puntos que pertenecen al plano.
Metodología para obtener puntos en el plano asignando valores a dos de las variables.
Ejemplo de cómo obtener un punto en el plano al asignar valores a x e y.
Otro ejemplo de cómo obtener un punto en el plano al asignar valores a x y z.
Paso al inciso c: verificación de qué puntos pertenecen al plano.
Proceso de verificación de pertenencia a un plano mediante la ecuación del plano.
Resultado del punto a perteneciendo al plano.
Resultado del punto b no perteneciendo al plano.
Resultado del punto c perteneciendo al plano.
Invitación a los espectadores a intentar resolver el siguiente ejercicio.
Sugerencia para el siguiente ejercicio: calcular un vector perpendicular a una recta dada.
Explicación de cómo el vector perpendicular a una recta puede servir como vector normal para un plano.
Agradecimientos a los donantes y promoción de los métodos de apoyo al canal.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver los
siguientes ejercicios sobre ecuación del
plano el inciso a nos pide calcular la
ecuación general del plano que tiene
como vector normal 2 menos 31 y que pasa
por el punto con coordenadas 4 25 el
inciso b pide escribir las coordenadas
de otros dos puntos que pertenezcan al
plano y el inciso se nos pregunta cuáles
de estos puntos pertenecen al plano el
punto a el b y el c bueno vamos a
empezar resolviendo el inciso a y para
eso vamos a aplicar la ecuación que
obtuvimos en el vídeo anterior esta de
aquí que es la ecuación vectorial del
plano a partir de esta ecuación
vectorial podemos obtener la ecuación
general muy fácilmente entonces
recordemos que n es el vector normal así
que ponemos que el vector normal es 2
menos 3 1 s es n
p 0 es el punto que nosotros conocemos
que pertenece al plano en este caso nos
dice que el plano pasa por este punto
así que éste nos puede servir como p 0
entonces p 0 es 4 menos 25 p es
cualquier otro punto del plano al cual
le vamos a poner coordenadas x y z
ahora vamos a formar el vector p 0 p que
es el que une estos dos vectores para
eso simplemente hay que recordar que se
restan las coordenadas x menos 4 y menos
menos dos y luego zeta menos 5 de esa
manera formamos el vector que une estos
dos puntos bueno ese es el vector p 0 p
ahora calculamos el producto punto de
este vector que acabamos de calcular
aquí con el vector normal aquí lo
tenemos aquí noten que ya hice la
multiplicación de estos signos menos por
menos nos da más entonces tenemos aquí
el producto punto de estos dos vectores
esta de aquí es la ecuación vectorial
del plano pero nosotros queremos la
ecuación general así que vamos a
desarrollar este producto multiplicamos
2 por x menos 4 luego menos 3 porque más
2 y luego más 1 por zeta menos 5 eso
igual a cero hacemos las
multiplicaciones nos queda 2x menos 8
menos 3 y 6 75
y finalmente hacemos la suma de las
cantidades que aparecen aquí menos 8 6 5
que nos da menos 19 esta de aquí es la
ecuación general del plano bueno vamos a
pasar ahora al inciso b
en el inciso b nos pide escribir las
coordenadas de otros dos puntos que
pertenezcan al plano bueno en el plano
hay una infinidad de puntos entonces
únicamente nos están pidiendo otros dos
la manera de obtener puntos sobre el
plano es muy sencilla simplemente le
vamos a dar a dos de las variables los
valores que nosotros queramos y a partir
de esos valores obtenemos el valor de la
tercera variable por ejemplo vamos a
hacer que x sea igual a 1 y que ye sea
igual a 1 esos valores
nosotros los estamos dando podemos
elegir los valores que queramos pero a
partir de ahí vamos a obtener el valor
de la tercera variable en este caso de
la variable zeta y para eso sustituimos
estos valores en la ecuación y
despejamos z
entonces sustituimos x igual a 1 que
igual a 1 y nos queda esto de aquí
hacemos las operaciones 2 por 1 es 2 3
por 1 es 32 menos tres nos da menos uno
menos 19 nos da menos 20 y ahora
despejamos z así que este 20 pasa al
otro lado positivo y obtenemos entonces
que si x vale 1 y que vale 1
debe valer 20 o se acepta que era
completamente determinado por estos
valores que nosotros estamos aquí
asignando de esa manera obtenemos las
coordenadas de un punto sobre el plano
el punto que tiene coordenada x igual a
1 que igual a 1 iceta igual a 20 o sea
11 20 podemos asignar otros dos valores
para obtener otro punto que pertenezca
al plano y no tiene por qué ser
asignarle a xy allí podemos por ejemplo
ahora asignárselo h y aceta hacemos que
sea igual a 0 y z sea igual a 1 por
ejemplo y sustituimos aquí en esta
expresión para obtener el valor de la
tercer variable en este caso de la
variable x entonces sustituimos ya igual
a 0 se está igual a 1 y obtenemos esto
de aquí y ahora hacemos las operaciones
entonces aquí a las de las operaciones
esto nos da 0 1 - 19 nos da menos 18 lo
pasamos al otro lado como 18 positivo
luego el 2 pasa dividiendo y 18 entre 2
nos da 9 así que sí que vale 0
iceta vale 1 x tiene que valer 9 así
obtenemos entonces otro punto que tiene
estas
las coordenadas x igual a 9 y igual a 0
iceta igual a 1 901 bueno ya tenemos
entonces otros dos puntos que pertenecen
al plano vamos a resolver ahora el
inciso se nos pregunta cuáles de los
siguientes puntos pertenecen al plano de
entre estos puntos a b y c bueno un
punto va a pertenecer al plano
únicamente cuando satisface la ecuación
del plano es decir si nosotros
sustituimos aquí el valor de x de jay-z
que son las coordenadas del punto que
nosotros estamos verificando si al
sustituir aquí y hacer las operaciones
eso nos da igual a cero entonces ese
punto pertenece al plano si nos da igual
a otra cantidad distinta de cero
entonces no pertenece al plano vamos a
verlo con el primer punto el punto a en
este caso tenemos que sustituir x igual
a cero ye igual a menos 5 iceta igual a
4 sustituimos esto en la parte izquierda
de esta ecuación y vamos a ver si eso
nos da igual a 0
entonces sustituimos y nos da lo
siguiente 2 x 0 - 3 x 5 + 4 que vale z
-19 hacemos estas operaciones 2 por 0 2
a 0
menos tres por menos 5 nos da más 15 más
4 menos 19 y ahora hacemos las sumas y
restas 0 + 15 nos da 15 + 4 nos da 19
menos 19 20
vemos entonces que si se cumple la
ecuación del plano para estos valores de
x y z porque al hacer las operaciones si
nos dio igual a cero por lo tanto el
punto a si pertenece al plano
bueno vamos ahora a ver si el punto b
pertenece al plano en este caso
sustituimos x igual a 2
2 z igual a menos 3 al sustituir nos
queda esto de aquí hacemos las
operaciones y vemos en este caso que al
hacer todas las sumas y restas lo que
nos da como resultado es menos 24 en
este caso no nos dio como resultado
igual a 0 por lo tanto el punto b no
pertenece al plano porque estos valores
no satisfacen la ecuación del plano
ahora vamos a verificar el punto c
en este caso sustituimos x igual a 5
igual a menos 3
iceta igual a 0 al sustituir obtenemos
esto de aquí hacemos las
multiplicaciones luego las sumas y
restas y en este caso nos da como
resultado igual a 0 por lo tanto si se
satisface la ecuación del plano y
entonces se si pertenece al plan
bueno ahora los invito a que ustedes
hagan el siguiente ejercicio que le den
pausa al vídeo e intenten hacerlo en su
libreta y después les mostraré el
procedimiento para que puedan verificar
su resultado
bueno si ya intentaron hacerlo ahora les
mostraré el resultado para el inciso a
tenemos como vector normal el 2 0 4 y
tenemos como punto p 0 el -1 10 el punto
p es x y z como siempre y formamos el
vector p 0 p que es restar x menos menos
uno que menos uno z menos cero luego
hacemos el producto punto de este vector
con el vector normal aquí lo tenemos
hacemos el producto punto las
multiplicaciones y luego las sumas y
restas y en este caso vemos que nos
queda esta ecuación de aquí noten que
como en el vector normal la coordenada
ya es cero al hacer aquí el producto
punto la h
se multiplica por cero y entonces aquí
ya no aparece únicamente aparece la
variable x y z por lo que vemos que en
la ecuación del plano puede faltar
alguna de las variables sin ningún
problema en este caso no aparece la
variable y bueno entonces aquí podemos
dejar ya esto como la ecuación general
del plano pero no tan tan bien que cada
número se puede
de forma exacta entre dos entonces es
algo que yo les recomiendo es que en
esos casos cuando puedan dividir todos
los coeficientes entre una misma
cantidad lo hagan para que se
simplifique un poco más la ecuación en
este caso entonces vamos a dividir cada
término entre dos hacemos las divisiones
y nos queda esto de aquí 2 entre 2 es 1
aquí también y 4 entre dos es 2 y
también hay que ordenar las variables
ponerlas en primer lugar x luego que que
no aparece luego z y luego el término
independiente y esto igual a cero esta
es la ecuación general del plano es el
inciso a ahora vamos a ver el inciso b
nos pide escribir las coordenadas de
otros dos puntos que pertenezcan al
plano y en este caso podrían haberles
quedado muchas posibles respuestas ya
que como les mencionaba hace un momento
simplemente hay que darle un valor a x y
un valor a ye y a partir de ahí obtener
un valor de zeta o podríamos darle un
valor a xy un valor a z y a partir de
ahí obtener el valor de ch es decir
tomamos dos de las variables les damos
los valores que queramos
y a partir de eso obtenemos el valor de
la tercera variable entonces una posible
respuesta es el punto menos 100 este lo
obtenemos si le damos a x el valor menos
1 y allí el valor 0
en ese caso al sustituir nos va a quedar
aquí menos 1 el 0 no se sustituye en
ningún lado porque no hay ninguna ye y
entonces menos 1 1 2 a 0 y al pasar este
menos 2 dividiendo al 0 0 entre menos 2
a 0 y así obtenemos que se está vale 0
bueno otro posible punto es el siguiente
mostrándoles que también pueden quedar
resultados como fracciones en este caso
por ejemplo lo obtendríamos si x vale 0
y sigue vale 8 aunque como jane no
aparece se puede tomar cualquier valor
sin ningún problema que podría valer 100
por ejemplo y no habría aquí ningún
cambio las coordenadas de xy de zetas
seguirían siendo las mismas entonces en
este caso si x vale 0 ese término lo
quitamos el 1 pasa al otro lado negativo
el menos 2 pasa dividiendo y menos entre
menos da más así que nos queda un medio
positivo
estos son entonces otros dos puntos
sobre el plano y ahora vamos a ver el
inciso c para comprobar cuáles de estos
puntos pertenecen al plano simplemente
hay que sustituir estos valores en la
ecuación y ver para cuales nos da 0 al
hacer las operaciones bueno eso ya no lo
voy a hacer aquí únicamente les doy las
respuestas el punto ahí el punto c si
pertenecen al plano mientras que el
punto b no pertenece al plano
bueno ahora los invito a que ustedes
intenten resolver el siguiente ejercicio
nos pide obtener la ecuación general del
plano que pasa por este punto y es
perpendicular a esta recta recuerden que
para obtener la ecuación de un plano
necesitan un punto y un vector normal en
este caso nos están dando un punto pero
no nos están dando un vector normal en
lugar de eso nos están dando una recta
perpendicular bueno entonces la
sugerencia es primero calcular un vector
que tenga la misma dirección de la recta
y como la recta es perpendicular al
plano el vector que obtengan también
será perpendicular al plano y por lo
tanto ese será el vector normal que
pueden utilizar para encontrar la
ecuación entonces primero encuentren el
vector en la dirección de esta recta y
es lo usan como vector normal en el
siguiente vídeo les voy a mostrar el
procedimiento completo para que
verifiquen su respuesta
muchas gracias a todas las personas que
me han apoyado con su donación a través
de youtube y a través de page jon por
aquí pueden ver sus nombres si ustedes
quieren apoyarme por alguno de estos
medios pueden hacerlo dando click al
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