LE COURS : Produit scalaire de l'espace - Terminale

Summary

Dans cette vidéo, l'exploration du chapitre sur le produit scalaire dans l'espace est présentée. Le but est de rappeler et d'expliquer les concepts clés, notamment la définition du produit scalaire, son utilisation dans un repère orthonormé avec des coordonnées, et la discussion sur le produit vecteur normal à un plan. Des exemples concrets sont utilisés pour illustrer les propriétés du produit scalaire, comme la symétrie, la linéarité, et l'orthogonalité. L'importance de la pratique des exercices pour maîtriser ces notions est également soulignée.

Takeaways

• 📚 Le chapitre sur le produit scalaire dans l'espace vise à rappeler et expliquer les éléments clés, notamment la définition et les propriétés du produit scalaire.
• 🌟 Le produit scalaire dans l'espace est souvent ramené à un produit scalaire dans le plan, ce qui simplifie les calculs.
• 📐 On peut représenter n'importe quels vecteurs de l'espace de manière à ce qu'ils soient formés par des sommets sur un même plan.
• 🔢 La définition du produit scalaire repose sur la multiplication des normes des vecteurs multipliées par le cosinus de l'angle entre eux.
• 📈 Les propriétés du produit scalaire incluent la symétrie, la linéarité et l'orthogonalité, qui sont essentielles pour les calculs et les démonstrations.
• 🎨 La formule du produit scalaire dans un repère orthonormé est similaire à celle dans le plan, mais avec des coordonnées en x, y et z.
• 📐 Le vecteur normal à un plan est défini comme étant orthogonal à tous les vecteurs admettant un représentant dans le plan.
• 🔄 Un vecteur normal peut être utilisé pour définir la direction d'un plan, car il est orthogonal à n'importe quel vecteur sur le plan.
• 📊 Le produit scalaire permet de démontrer l'orthogonalité d'un vecteur par rapport à un plan, et vice versa.
• 🔢 La distance entre deux points dans l'espace peut être calculée à l'aide de la formule du produit scalaire.
• 🔍 Pour vérifier si un vecteur est normal à un plan, il suffit de vérifier son orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

Q & A

Comment définir le produit scalaire dans l'espace ?

Le produit scalaire dans l'espace est défini de la même manière que dans le plan, en prenant le produit des normes de vecteurs multipliées par le cosinus de l'angle entre eux. Si un des vecteurs est nul, le produit scalaire est également nul.

Pouvez-vous donner un exemple de calcul de produit scalaire dans l'espace ?

Pour les vecteurs u = (a, b, c) et v = (d, e, f), le produit scalaire est calculé comme suit: u·v = a*d + b*e + c*f.

Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?

Un repère orthonormé est un système de coordonnées dans lequel les vecteurs de base sont orthogonales et ont toutes la même norme, qui est égale à 1. Cela permet de faciliter les calculs dans l'espace.

Comment les propriétés du produit scalaire dans le plan s'appliquent-elles dans l'espace ?

Les propriétés du produit scalaire dans le plan s'appliquent également dans l'espace. Par exemple, la symétrie (u·v = v·u), la distributivité (u·(v+w) = u·v + u·w) et l'orthogonalité (si u·v = 0, alors u et v sont orthogonales) sont valables dans l'espace.

Quelle est la relation entre le produit scalaire et la norme d'un vecteur ?

La norme d'un vecteur u est égale à la racine carrée du produit scalaire de u avec lui-même, c'est-à-dire ||u|| = √(u·u).

Comment un vecteur normal est-il défini par rapport à un plan ?

Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui est orthogonal à tous les vecteurs ayant une composante dans le plan. Cela signifie qu'il forme un angle droit avec la direction du plan.

Quelle est la propriété réciproque du vecteur normal ?

La propriété réciproque d'un vecteur normal est que si un vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinaires du plan, alors n est normal à ce plan.

Comment les formules de polarisation sont-elles utilisées dans le contexte du produit scalaire ?

Les formules de polarisation sont utilisées pour calculer rapidement le produit scalaire de vecteurs formés à partir de sommets d'une figure géométrique. Elles permettent de simplifier les calculs en utilisant les propriétés de la figure.

Comment les propriétés du produit scalaire peuvent-elles être utilisées pour définir un plan ?

On peut utiliser la propriété de l'orthogonalité du produit scalaire pour définir un plan. Si un vecteur n est orthogonal à tous les vecteurs d'un plan, alors n est normal à ce plan. Cette propriété permet de passer de la géométrie à l'algèbre pour définir une équation de plan.

Pourquoi est-il important de pratiquer des exercices pour bien comprendre le produit scalaire dans l'espace ?

Il est important de pratiquer des exercices pour bien comprendre le produit scalaire dans l'espace car cela permet de maîtriser les propriétés et les méthodes de calcul, facilitant ainsi la résolution de problèmes plus complexes dans l'espace tridimensionnel.

Outlines

00:00

📚 Définition et propriétés du produit scalaire en espace

Ce paragraphe introduit le concept de produit scalaire dans l'espace en rappelant les éléments clés du chapitre. Il explique comment définir le produit scalaire dans l'espace en utilisant un repère orthonormé et les coordonnées. L'exemple donné illustre comment ramener deux vecteurs de l'espace à des représentants sur un même plan pour faciliter les calculs. La section met également en évidence l'importance de la pratique en exercices pour bien comprendre et maîtriser le sujet.

05:02

📐 Application du produit scalaire dans un repère orthonormé

Dans ce paragraphe, l'accent est mis sur l'application du produit scalaire dans un repère orthonormé. Il explique que les propriétés du produit scalaire en espace sont similaires à celles dans le plan, mais avec l'ajout de la dimension supplémentaire. Le paragraphe présente également les propriétés fondamentales du produit scalaire, comme la symétrie, la linéarité et l'orthogonalité. Des exemples concrets sont utilisés pour montrer comment ces propriétés peuvent être appliquées pour simplifier les calculs de produit scalaire.

10:06

📐📐 Formules et calcul du produit scalaire en espace

Ce paragraphe se concentre sur les formules et le calcul du produit scalaire en espace. Il explique comment utiliser les coordonnées de vecteurs pour effectuer des calculs de produit scalaire dans un repère orthonormé. L'exemple donné montre comment calculer la norme d'un vecteur et comment cette norme est liée au produit scalaire. Le paragraphe mentionne également les formules de polarisation et leur utilité pour les calculs de produit scalaire, en particulier lorsqu'il s'agit de vecteurs formés à partir de sommets d'une figure géométrique.

15:08

📐📐📐 Vecteurs normaux et plan : définition et propriétés

Le dernier paragraphe traite des vecteurs normaux et de leur relation avec les plans. Il définit un vecteur normal comme étant orthogonal à un plan et explique comment le produit scalaire est utilisé pour démontrer cette orthogonalité. Le paragraphe discute également de la façon dont un vecteur normal peut définir la direction d'un plan et comment les propriétés du produit scalaire peuvent être utilisées pour identifier un vecteur normal à un plan. Des exemples sont donnés pour illustrer les concepts et les propriétés discutées.

Keywords

💡Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération mathématique entre deux vecteurs qui résulte en un nombre réel. Dans le contexte de la vidéo, il est introduit comme concept fondamental pour comprendre la géométrie dans l'espace. L'exemple donné illustre comment réduire le calcul du produit scalaire dans l'espace à un problème dans le plan, en trouvant des représentants des vecteurs sur un même plan.

💡Espace

L'espace fait référence au cadre tridimensionnel dans lequel les objets géométriques tels que les points, les lignes et les vecteurs existent. Dans la vidéo, l'espace est le contexte principal pour l'application du produit scalaire, soulignant la transition de travailler avec ce concept dans le plan (deux dimensions) à l'espace (trois dimensions).

💡Repère orthonormé

Un repère orthonormé est un système de coordonnées composé de trois axes perpendiculaires entre eux et de même unité de mesure. La vidéo explique l'importance d'utiliser un repère orthonormé pour simplifier le calcul des produits scalaires dans l'espace, permettant l'utilisation de coordonnées pour effectuer ces opérations.

💡Vecteur normal

Un vecteur normal à un plan est un vecteur perpendiculaire à toutes les directions contenues dans ce plan. Ce concept est crucial dans la vidéo pour définir la direction d'un plan et est illustré par la capacité d'un vecteur normal à déterminer de manière unique la position d'un plan dans l'espace.

💡Orthogonalité

L'orthogonalité est la relation de perpendicularité entre deux vecteurs. La vidéo met en avant ce concept en montrant comment l'orthogonalité est utilisée pour déterminer des vecteurs normaux et pour calculer le produit scalaire dans l'espace, soulignant l'importance de comprendre les relations angulaires entre vecteurs.

💡Coordonnées

Les coordonnées sont des valeurs qui permettent de définir la position d'un point ou d'un vecteur dans un espace donné. La vidéo utilise ce concept pour expliquer comment le produit scalaire dans l'espace peut être calculé à l'aide des coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé, simplifiant ainsi l'opération.

💡Base orthonormée

Une base orthonormée est un ensemble de vecteurs unitaires qui sont mutuellement perpendiculaires. Dans la vidéo, ce concept est introduit pour expliquer la structure d'un repère orthonormé, essentiel pour la manipulation des vecteurs et le calcul du produit scalaire dans l'espace.

💡Cube

Le cube est utilisé comme exemple concret pour illustrer le calcul du produit scalaire dans l'espace. En choisissant des vecteurs issus des arêtes d'un cube, la vidéo montre comment simplifier le problème en ramenant les vecteurs dans un plan, facilitant ainsi le calcul du produit scalaire.

💡Formule analytique

La formule analytique du produit scalaire exprime le calcul de ce dernier à l'aide des coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé. Cette formule est centrale dans la vidéo pour montrer comment passer de la géométrie à l'algèbre dans le calcul du produit scalaire, rendant l'opération plus accessible.

💡Norme

La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur. Dans le contexte de la vidéo, la norme est utilisée dans la définition du produit scalaire et dans le calcul des distances entre points dans l'espace, mettant en évidence l'importance de la mesure des vecteurs pour la géométrie spatiale.

Highlights

La définition du produit scalaire dans l'espace est similaire à celle en plan, mais elle s'applique à des vecteurs tridimensionnels.

Le produit scalaire peut être utilisé pour déterminer la projection d'un vecteur sur un autre vecteur.

Les propriétés du produit scalaire sont essentielles pour comprendre et manipuler des vecteurs dans l'espace.

Le produit scalaire permet de passer d'un espace tridimensionnel à un espace bidimensionnel en ramenant les vecteurs à un même plan.

Les propriétés de base du produit scalaire incluent la notation, la symétrie, la linéarité et l'orthogonalité.

La formule du produit scalaire dans un repère orthonormé est la même que celle en plan, mais avec des coordonnées en x, y et z.

Le produit scalaire peut être utilisé pour calculer la norme d'un vecteur en utilisant les coordonnées de ce vecteur.

Les formules de polarisation sont utiles pour calculer rapidement le produit scalaire à partir des longueurs de figures géométriques.

Le vecteur normal est orthogonal à un plan et peut être utilisé pour définir la direction de ce plan.

Un vecteur normal à un plan est défini par son orthogonalité à tous les vecteurs du plan.

Le produit scalaire peut être utilisé pour démontrer l'orthogonalité d'un vecteur par rapport à un plan.

La propriété réciproque du vecteur normal permet de définir un plan en utilisant l'égalité du produit scalaire nul.

Le théorème de l'orthogonalité d'un vecteur à un plan peut être utilisé pour prouver que deux vecteurs sont orthogonaux sans avoir à les projeter sur le plan.

Le produit scalaire est un outil précieux pour la géométrie et l'algèbre linéaire en trois dimensions.

Les exercices pratiques sont essentiels pour maîtriser les concepts du produit scalaire et du vecteur normal.

La compréhension des propriétés du produit scalaire et du vecteur normal est cruciale pour réussir des contrôles ou des examens.

Transcripts

[Musique]

bonjour dans cette vidéo je te propose

de revoir tout le cours sur le chapitre

du produit salaires dans l'espace

l'objet de cette séquence est de te

rappeler et de t'expliquer les éléments

les plus importants de ce chapitre plus

précisément on verra comment définir le

produit scalaires dans l'espace ensuite

on se placera dans un repère orthonormé

et donc on pourra travailler avec des

coordonnées et enfin on finira par

parler du produit vecteur normal à un

plan pour préparer un contrôle ou même

un examen ceci ne suffira évidemment pas

il faudra encore t'entraîner en faisant

de nombreux exercices en tout cas pour

le court c'est parti alors pour définir

le produit scalaires dans l'espace et

pour le comprendre

eh bien on va voir qu'on va en fait se

retrouver à nouveau dans le plan c'est à

dire que très souvent lorsqu'on fait un

produit scalaires dans l'espace eh bien

on se ramène à effectuer un produit

scaler dans le plan on va le voir tout

de suite sur un exemple lille est la

suivante geslin deux vecteurs de

vecteurs de l'espace eh bien il est

toujours possible de ramener alors c'est

pas très bien ce que je dis oui je vais

le corrigé de ramener ces deux vecteurs

à deux vecteurs qui se trouve sur un

même plan alors plus rigoureusement il

est toujours possible de trouver un

représentant de représentants de chacun

de ces vecteurs de façon à ce que leurs

représentants soient formés par des

sommets qui se trouve sur un même plan

on le comprend bien on peut placer nos

vecteurs dans n'importe quelle direction

il est toujours possible de ramener ces

vecteurs à des représentants qui se

trouve sur un même plan tu peux essayer

tout simplement parce que ces deux

vecteurs là je peux les ramener de façon

à ce qu'ils soient formés par trois

sommets et par trois points passe en

unique plan du coup on est assuré que en

faisant cette démarche en faisant cette

manipulation

eh bien on va se retrouver dans un même

plan c'est ce qu'on peut voir ici on a

nos vecteurs eu et nos vecteurs v et on

a trouvé là des représentants l'un pour

hublot

prouvez lindon qui s'appelle ab et

l'autre qui s'appelle assez de façon à

ce que les vecteurs ab et 1c se trouve

sur le même plan ici en couleur grise et

donc si finalement le produit scalaires

de l'espace revient à faire le produit

scalaires du play back est ce qu'on va

faire on va prendre toutes les

propriétés définition qui se trouve dans

le plan et on va les appliquer aux

produits scalaires de l'espace ce qui

fait qu'on va le voir on va retrouver

tout ce qu'on avait déjà auparavant dans

le plan on va le retrouver dans l'espace

et en particulier et bien la définition

de base du produit scalaires alors bon

bah là les avis divergent

une définition peut l'appeler propriété

et la propriété on peut l'appeler

définition bon alors nous on va

considérer que celle ci c'est ce qui va

définir notre produit scalaires us call

hervé eon va dire comme on le disait

dans le plan auparavant que jusqu'à

l'ère v ces normes de vue fois normes

devaient multiplier par le cosinus en

forme et par les angles uv

sauf si l'un des deux vecteurs réguler

dans ce cas là jusqu'à l'ère v est bien

évidemment égal à zéro alors voyons tout

de suite sur un exemple simple comment

cette manipulation ce passage de

l'espace au plan est très pratique pour

faire des calculs sur le produit

scalaires alors on à la représenter à un

cube a b c d e f g h d'arette de longues

heures à et on voudrait calculé le

produit scalaires usca l'air v ça nous

donne alors une escale hervé commençons

déjà par voiron par récupérer le nom à

partir des sommets du cube pour le

vecteur rués pour le vecteur v alors

pour le vecteur hub à ce sera un bep

donc un bep scolaire et pour le vecteur

vesa sera dg

mais si on prend ces deux vecteurs ab

donc devant en bas et dg derrière donc

représenté en diagonale on remarque que

ces deux vecteurs sont formés par des

sauts mais qui ne sont pas sur un même

plan donc pour l'instant on ne peut pas

appliquer les propriétés qu'on connaît

dans le plan alors qu'est ce qu'on va

faire

ce sont des vecteurs on peut récupérer

différents représentants s'étaient on

peut trouver très facilement un vecteur

égal à l'un d'eux façon à se retrouver

totalement dans le plan alors qu'est ce

qu'on va faire on va ramener le vecteur

d g devant donc là aussi c'est pas très

bien dit mais c'est l'idée

et qu'est ce qu'on va récupérer et on va

récupérer le vecteur à f

en effet le vecteur af est égal au

vecteur d g mais pourquoi ceci parce que

en prenant le vecteur à f j'aurai donc

le vecteur ab est le vecteur as qui sont

donc là formé par trois sommets qui se

trouve sur la face devant donc la face à

bfm donc remplace ont déjà des jets par

af ça nous donne un bel air af

et là maintenant on est véritablement

dans le plan c'est à dire qu'on peut

extraire la face à bf eu de notre cube

la pause et sont notre cahier et dire

bon bah maintenant c'est fini là pendant

un petit moment

je fais de la géométrie dans le plan je

suis plus dans l'espace ça marche tout à

fait on a droit de le faire

on est bien dans le plan alors qu'est ce

qu'on faisait par le passé quand on a

quelque chose de ce type là à bescat

l'air af bas ont projeté orthogonale

mans le point f sur ab et ça nous

donnait à b ce qui veut dire que ab

scalaires af est égal à 1 b x et bien

par ab de nouveau alors je détaille pas

plus

cette propriété et si jamais ça te pose

difficulté c'est que certainement tu

n'es pas tout à fait à jour sur le

produit scalaires dans le plan dans ce

cas là je t'invite à y retourner

avant d'attaquer le produit scaler dans

l'espace qu'un évidemment

ici on considère comme prérequis qu'on

maîtrise à peu près le produit scalaires

du plan donc reste plus qu'à finir bas a

b x ab on a dit que c'est un cube qui a

pour lons qui a pour arrête de longueur

1

donc ça nous fait du avoir une plus

simplement un carré et bien voilà notre

disque à l'air us call hervé est tout

simplement égal à akkar et c'est à dire

au carré de la longueur d'une arête on

peut poursuivre avec les propriétés

alors je vais pas rentrer dans les

détails et je vais pas tout les lire je

vais passer sur certaines d'entre elles

on expliquer d'autres mais ce sont des

propriétés bien évidemment il faut en

avoir besoin et c'est à ce moment là

qu'on voit leurs intérêts ici bon ben

voilà elles sont toutes là on va pas les

appliquer c'est pas possible

et c'est pas l'idée alors d'abord il ya

les propriétés de base la première bombe

a déjà c'est plus une notation c'est le

fait que jusqu'à l'ère hu est égale à la

norme 2 u au carré bon ça c'est une

conséquence immédiate de la définition

du produit scalaires qu'on a vu tout à

l'heure

ensuite il y à la propri propriété de

symétrie le fait qu' on puisse échanger

jusqu'à l'ère vais donc eu et vedan

jusqu'à l'ère fait jusqu'à l'ère vcv ce

cas les rues c'est la même chose

l'abbé linéarité bas en gros c'est la

distributive it et sur le produit

scalaires on a par exemple que jusqu'à

l'ère vais plus w est égal à us calais

revêt plus jusqu'à l'ère wsa marche dans

tous les sens comme sur les nombres

réels l'orthogonalité alors ça c'est une

propriété qui sert très souvent et donc

qui est évidemment valable également

dans l'espace us call hervé est égal à

zéro

ça revient à dire que lui et v sont

orthogonaux ou alors que l'un des deux

vecteurs et lieu viennent les identités

remarquables bon je lis pas je te laisse

les regarder ou mais ta vidéo en pause

si tu veux les approfondir et enfin les

formules de polarisation alors là non

plus je vais pas les lire dans les

détails ce que ce que je peux juste te

rappeler c'est que leur démonstration

passe par les formules d'avant c'est à

dire les identités remarquables

en tous les cas donc pour les formules

de polarisation comme dans le plan on

les applique en général plus souvent

quand

et v les vecteurs sont formées à partir

de sommet d'une figure est donc là ça

peut pas ça peut permettre quand on a

des longueurs sur notre figure ça peut

permettre de calculer assez facilement

et assez rapidement un produit scanner

on enchaîne maintenant avec le produit

scalaires dans un repère orthonormé et

là on va pouvoir faire des calculs sur

les coordonnées de nos vecteurs et comme

dans le plan bien évidemment tu l'as

compris maintenant on va être amené à

travailler dans un repère orthonormé et

oui on parle de distance on parle de

vecteurs orthogonaux etc

il nous faut un repère orthonormé si on

veut travailler avec ses coordonnées

alors avant de définir ce que c'est

qu'un repère orthonormé rappelons ce que

c'est qu'une base orthonormé alors c'est

comme dans le plan c'est pareil il ya

juste une troisième coordonnées qui

vient donc de cette troisième dimension

et qui nous dit que une base yj qu'à

elle et orthonormé à la condition que

les vecteurs y j et k soit 2 à 2

orthogonaux donc par exemple ici donc

mais de feutre forme un angle droit et

en plus et en plus ces vecteurs

y j et k doivent être unitaire c'est à

dire que leurs normes doit être égal à 1

alors ça tombe bien puisque là j'ai

choisi trois feutre de mêmes dimensions

pourrait dire que là si on considère que

ce sont des vecteurs

on le met dans le même sens comme ça on

pourrait considérer si ce que ce sont

des vecteurs et bien là j'ai bien défini

une base de l'espace une base orthonormé

alors qu'est ce que c'est qu'un repère

orthonormé pour un c'est très simple

j'ai envie de dire on prolonge là et on

forme des droites ou des 2000 droite et

on obtient un repère tout simplement en

rajoutant une origine et là on obtient

un repère orthonormé au heat gide cas

par exemple à partir de là on va pouvoir

donner une expression analytique du

produit scalaires et ô surprise et bien

la formule est la même que dans le plan

je pense que tu t'en doutes est un tout

petit peu pus a pour coordonnées x y z v

impôts coordonnées exprime y prime z

prix est bien dans ce cas là si tu veux

faire jusqu'à l'ère v tu fais tout

simplement le produit

des coordonnées successives ça va nous

donner x x x prime plutôt les produits

des coordonnées successives x x exprime

donc x exprime plus y/y prime plus zz

prennent donc vraiment ça se lit en

ligne comme ça on fait les produits et

on ajoute tout ça on a en conséquence la

norme de ulla normes de l'ue qui est en

fait la racine de us calais rue ce qui

fait que la formule devient ya racine

carrée de x x x ou x au carré plus y x y

ou plus simplement y au carré plus z au

carré voilà comment on obtient et bien

la norme d'un vecteur où le produit

scalaires de deux vecteurs rapidement

juste un exemple pour se faire plaisir

c'est tellement simple bien voilà deux

vecteurs dont on connaît les coordonnées

u2 coordonnées 1 2 3 et v2 coordonnées 2

- 3 4 et on a dit qu'on a effectué les

produits successifs des coordonnées de

nos deux vecteurs

ce qui donne une escale hervé est égal

alors ça fonctionne vraiment en ligne 1

x 2 plus 2 x - 3 + 3 x 4

on bat le reste c'est du calcul de plus

- 6 +12 2 et - 6 - 4 +12 8 et avant de

passer aux vecteurs normal il nous reste

une dernière petite propriété que la

également tu connais tu la connais dans

le plan ici vient juste se rajouter un

dernier terme à notre homme sous la

racine c'est la longueur

ab lorsque tu as deux points a et b de

coordonnées respectives x ou y à z à xb

y décéder et bien pour calculer la

distance de à un pays il suffit de

prendre la racine carrée 2 x b - unsa au

carré plus y b - y a au carré plus fb -

za au carré c'est exactement la même

formule que dans le plan on peut donc

passer maintenant aux vecteurs

normal à un plan qu'est ce que c'est

qu'un vecteur normal à un plan alors dis

simplement et sans rigueur

bah c'est ça c'est un vecteur qui est

orthogonale à mon plan alors plus

précisément il est orthogonale à la

direction de mon plan donc là je forme

un angle droit ici j'ai ma ligne à peu

près je forme un angle droit avec la

direction de mon plan et c'est

extrêmement pratique c'est quelque chose

qui permet en fait de définir la

direction d'un plan pourquoi et bien

tout simplement parce que un plan il

n'est pas si je prends un vecteur qui

trouve un représentant sur le plan un

plan n'est pas définie par un seul

vecteur parce que là par exemple on voit

que je peux faire pivoter mon plan sans

toucher un bon vecteur donc là avec un

seul vecteur je n'ai pas défini la

direction de mon plan il en faudrait un

deuxième alors si j'en ai deux

j'ai deux vecteurs il trouve des

représentants qui peuvent se s'afficher

sur mon plan la wii alors là j'ai

complètement défini la direction de mon

plan on l'avait vu déjà tout à l'heure

mais en quoi le vecteur normal simply

plus un pli fils à faire et bien si je

dis que ça c'est un vecteur normal à mon

plan eh bien j'ai pas tellement le choix

mon plan il est forcément dans cette

direction là il peut pas être comme ça

sinon on voit bien que je n'ai plus

cette idée d' orthogonale it est donc en

réalité un vecteur permet à lui seul de

définir la direction de mon plan et

c'est pour ça qu'on en ordre qu on en

aura besoin

et c'est pour soi pour sa part donc le

produit scalaires va intervenir parce

que tu l'as compris maintenant on

définit ce vecteur normal par une notion

d' or tonalité et le produit scalaires

permet de démontrer très simplement

l'orthogonalité le produit ce cas vers

nulle ce fameux produits scalaires nul

alors la définition d'un vecteur normal

elle est un tout petit peu plus

compliqué mais je vais tenter de

l'expliquer donc moi je vais garder le

bleu donc voilà ici donc j'ai mon

vecteur normal donc ce feutre bleu

la définition nous dit que notre vecteur

haine qui est là est normal à notre plan

paix qui est ici lorsqu'il est

orthogonale à tous vecteurs admettant un

représentant dans paie donc par exemple

ce vecteur là il n'a mais il admet pas

de représentants dans p on sent que je

n'arrive pas à poser son représentant

sur p celui-ci non plus celui ci oui

celui ci oui et bien la définition dit

que dans ce cas là pour que mon feutre

bleu soit normal au plan ça voudrait

dire que mon fauteuil bleu et de

orthogonale à mon fauteuil noir et ça on

le voit bien si je me place comme ça et

ceci est vol et doit être vrai pour

n'importe quels vecteurs qui admet un

représentant dans p si j'en prends un

deuxième celui ci a nommé un

représentant dans paix et on remarque là

encore qu'on a l'orthogonalité entre le

feutre bleu et le feutre noir donc la

définition nous dit tout simplement que

gros seins et bien tous les vecteurs qui

se retrouvent avec des représentants sur

le plan paix vont être orthogonaux amont

vecteur normale et à partir de là eh

bien on a une propriété enfin c'est

plutôt une propriété et sa réciproque

qui nous dit que si on a un point à est

un vecteur aides n'ont nulle dans

l'espace et bien l'ensemble des points

m tel que am scalaires n égale à zéro

est un plan eh bien oui parce que là

j'ai mon vecteur n est là j'ai mon

vecteur à m

je peux placer un point m n'importe où

et à chaque fois je vais former un

vecteur à m et on voit que à chaque fois

ici et bien j'ai bien l'orthogonalité

entre eux à m et n ce qui veut dire que

mon produit scalaires il est bien égale

à zéro et en faisant pivoter ici ce

vecteur am qui correspond à à faire

déplacer mon point m

eh bien on sent bien que là je suis en

train de générer une surface et c'est ce

plan

et dans l'autre sens eh bien on nous dit

que si on a un plan b pour tous points à

2 p et tous vecteurs n 2 p p et

l'ensemble des points tels que à m

ce qu'allait n égale 1 0 ce qui veut

dire que si je veux définir de façon

scalaires mon plan p je vais utiliser la

fameuse égalité du produit scalaires nul

et c'est en fait grâce à ça qu'on va

pouvoir passer de la géométrie à

l'algèbre c'est à dire qu'on va pouvoir

définir analytiquement ce que c'est

qu'un plan ça ça fait l'objet d'une

autre vidéo dans laquelle on va définir

une équation de plan et pour définir

cette équation de plans équation avec

laquelle on pourra faire des calculs et

bien on va utiliser cette propriété qui

nous dit que bape est alors le plan paix

c'est l'ensemble des points tels que am

scolaire aide égale à zéro mais je le

répète ça fait l'objet d'une autre

séquence donc je développe pas plus ici

dernière propriété ont appelé qu'on peut

appeler théorème également qui nous dit

que est bien avec thé en en nul n de

l'espace il est normal à la condition

qu'ils soient orthogonale à deux

vecteurs non collinaires de paix c'est à

dire que on va chercher sur notre plan

deux vecteurs

alors il faudrait un troisième feutre

sinon ça ne marche pas on va chercher

donc sur notre plan deux vecteurs ici

non collinaires pour classer le cas qui

doivent être orthogonaux à ce vecteur n

si je trouve deux vecteurs qui sont tous

les deux orthogonaux à ce vecteur n jeu

pourrait en conclure

caumont vecteur n est normal au plomb

alors c'est pas une propriété gadget

cette propriété elle est également très

utile pourquoi bien parce qu'elle va

nous permettre de démontrer qu'on a un

vecteur normal et pas en le prouvant

avec tous les vecteurs du plan cette

propriété nous dit simplement si tu en

trouves 2 sur ton plan qui sont

orthogonaux at-on vecteur c'est gagner

ton vecteur est normal au plan donc

c'est une propriété qui est assez

efficace surtout si on imagine en

géométrie analytique c'est à dire en

faisant ensuite des calculs voilà on en

a fini je te rappelle de ne pas oublier

de faire des exercices

c'est très important surtout pour cette

notion là puisque là on a simplement

juste survoler toutes les propriétés du

court mais derrière ça il y avait

évidemment des méthodes et ses méthodes

il faut les connaître et savoir les

appliquer voilà cette séquence est

terminée