Clase 13 Geometría Circunferencia - Primer Año de Secundaria
Summary
TLDRLa clase de geometría se centra en el tema de la circunferencia, explicada al primer año de secundaria. Se define la circunferencia y se diferencia del círculo. Se introducen conceptos como centro, radio, diámetro, cuerda, arco y recta tangente. Se describen propiedades fundamentales de la circunferencia, incluyendo la perpendicularidad del radio a la tangente y la igualdad de los segmentos tangentes desde un punto exterior. Se presentan teoremas como el de Poncelet y el de Pitot, y se resuelven ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos y teoremas, enfocándose en el cálculo de longitudes y radios en diferentes figuras geométricas.
Takeaways
- 📐 La circunferencia es definida como la figura formada por todos los puntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro, y esta distancia se conoce como radio.
- 🔺 Es importante diferenciar la circunferencia de un círculo, aunque ambos términos a menudo se usan interchangeably.
- 📏 El diámetro es una línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, y es el doble del radio.
- 🧵 Una cuerda (o segmento de circunferencia) une dos puntos en la circunferencia, y no debe confundirse con una recta secante, que es una línea que intersecta la circunferencia en dos puntos.
- 📉 Una recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia y solo intersecta la circunferencia en un solo punto.
- 🌀 Los arcos de la circunferencia son medidos en ángulos, y la medida de un arco es igual a la medida del segmento que lo subtende.
- 📌 La propiedad fundamental de la circunferencia es que un radio siempre es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
- 🔼 Si se trazan dos segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia, los segmentos son iguales en longitud.
- 📐 Si dos cuerdas (segmentos de circunferencia) miden lo mismo, las longitudes de los arcos que forman también serán iguales.
- 🔄 La suma de los ángulos opuestos en un trapecio inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los ángulos no opuestos, según el teorema de Pitot.
Q & A
¿Qué es una circunferencia?
-Una circunferencia es la figura formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado centro, y esta distancia se conoce como radio.
¿Cuál es la diferencia entre una circunferencia y un círculo?
-El texto no especifica la diferencia, pero generalmente, un círculo se refiere a la circunferencia junto con su centro, mientras que la circunferencia se refiere solo a la curva.
¿Qué es el diámetro en una circunferencia?
-El diámetro es una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro.
Define el término 'radio' en relación a una circunferencia.
-El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta cualquier punto en la curva.
Explícame qué es una 'recta secante'.
-Una recta secante es una línea que intersecta a la circunferencia en dos puntos distintos.
¿Qué es un 'arco' en el contexto de una circunferencia?
-Un arco es una porción de la circunferencia, que representa una parte de la curva.
Define 'recta tangente' en relación con una circunferencia.
-Una recta tangente es una línea que intersecta la circunferencia en exactamente un punto, llamado punto de tangencia.
¿Cuál es la primera propiedad fundamental de una circunferencia que se menciona en el guion?
-La primera propiedad fundamental mencionada es que un radio siempre es perpendicular a la recta tangente.
¿Cómo se relacionan los segmentos tangentes en un punto exterior a la circunferencia?
-Si se trazan dos segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia, estos segmentos tienen la misma longitud.
¿Qué ocurre con dos cuerdas de una circunferencia que miden lo mismo?
-Si dos cuerdas de una circunferencia miden lo mismo, generan dos arcos que tienen la misma medida.
Explícame el teorema de Poncelet mencionado en el guion.
-El teorema de Poncelet dice que en un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio.
¿Qué es el teorema de Pitot y cómo se relaciona con un trapecio?
-El teorema de Pitot establece que en un trapecio en el cual una circunferencia está inscrita, la suma de los lados opuestos es igual. Esto significa que la suma de los lados que son paralelos es igual a la suma de los lados no paralelos.
Outlines
📘 Introducción a la Geometría: Conceptos Básicos de la Circunferencia
El primer párrafo introduce la clase de geometría para el primer año de secundaria, centrando el tema en la circunferencia. Se define la circunferencia como la figura formada por todos los puntos equidistantes a un punto fijo, llamado centro, y se explica que esta distancia se conoce como radio. Además, se aclara la diferencia entre circunferencia y círculo. Se presentan elementos como el diámetro, el segmento de cuerda, la recta secante y el arco, y se describe la relación entre el radio y la recta tangente, que es perpendicular.
📐 Propiedades de la Circunferencia y Teoremas Clave
Este párrafo profundiza en las propiedades fundamentales de la circunferencia, como la perpendicularidad del radio con la recta tangente y la igualdad de los segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia. También se menciona la relación entre cuerdas y arcos, donde la igualdad de las cuerdas implica igualdad de los arcos correspondientes. Se introducen las propiedades de las cuerdas perpendiculares al radio y la relación entre cuerdas paralelas y arcos correspondientes. Finalmente, se presentan dos teoremas importantes: el teorema de Poncelet y el teorema de Pitot, que relacionan las propiedades de los triángulos rectángulos y cuadriláteros con la circunferencia.
🔍 Aplicación de Teoremas Geométricos en Ejercicios Prácticos
El tercer párrafo se enfoca en el uso práctico de los teoremas de Poncelet y Pitot para resolver ejercicios geométricos. Se presentan ejercicios que requieren el cálculo de longitudes y ángulos en figuras geométricas, utilizando las propiedades de los segmentos tangentes y las relaciones entre las partes de los triángulos y cuadriláteros. Se resaltan técnicas de resolución de problemas, como la aplicación del teorema de Pitot en cuadriláteros y la utilización de las propiedades de los triángulos isósceles.
📏 Teorema de Poncelet y Ejercicios de Tríangulos Rectángulos
Este párrafo continúa con la aplicación del teorema de Poncelet, específicamente en el contexto de triángulos rectángulos. Se resuelven ejercicios que involucran la determinación de la hipotenusa y el radio de la circunferencia inscrita, utilizando tanto el teorema de Pitágoras como el teorema de Poncelet. Se enfatiza la importancia de la precisión en los cálculos y la comprensión de las unidades de medida en los problemas geométricos.
📐 Resolución de Ejercicios con Tríangulos Isósceles y Rectángulos
El quinto párrafo se centra en la resolución de ejercicios que involucran triángulos isósceles y rectángulos, utilizando la propiedad de los ángulos en triángulos isósceles y el teorema de Pitágoras. Se presentan ejemplos de cómo se calculan los ángulos y lados en estos tipos de triángulos, y se aplica el teorema de Poncelet para determinar la relación entre los catetos y la hipotenusa, así como el cálculo del radio de la circunferencia.
🔢 Cálculo de Radios y Aplicación del Teorema de Poncelet
El sexto párrafo concluye con ejercicios que requieren el cálculo del radio de circunferencias, utilizando el teorema de Poncelet en contextos donde se conocen las medidas de los catetos y la hipotenusa de triángulos rectángulos. Se resalta la simplicidad de ciertos cálculos en comparación con otros más complejos, y se enfatiza la importancia de comprender y aplicar correctamente los teoremas geométricos para resolver problemas prácticos.
Mindmap
Keywords
💡Circunferencia
💡Centro
💡Radio
💡Diámetro
💡Cuerda
💡Arco
💡Recta secante
💡Recta tangente
💡Teorema de Poncelet
💡Teorema de Pitot
Highlights
Definición de circunferencia como la figura conformada por puntos equidistantes de un centro fijo.
Diferencia entre circunferencia y círculo.
Elementos de una circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco y recta secante.
Propiedad fundamental: un radio siempre es perpendicular a la recta tangente.
Propiedad de los segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia.
Propiedad de las cuerdas: dos cuerdas iguales generan arcos iguales.
Propiedad de la cuerda perpendicular al radio: divide la cuerda en dos partes iguales.
Propiedad de las cuerdas paralelas: generan arcos de la misma longitud.
Teorema de Poncelet: en un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio.
Teorema de Pitot: en un cuadrilátero, la suma de los lados opuestos es igual.
Ejercicio práctico: cálculo de la longitud de un lado en un trapecio usando el teorema de Pitot.
Ejercicio práctico: cálculo de la longitud de un lado en un cuadrilátero usando propiedades de los segmentos tangentes.
Ejercicio práctico: cálculo del perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia.
Ejercicio práctico: cálculo del centro de una circunferencia a partir de radios y ángulos en un triángulo isósceles.
Ejercicio práctico: aplicación del teorema de Poncelet para encontrar el radio en un triángulo rectángulo.
Ejercicio práctico: cálculo del radio en un triángulo rectángulo usando el teorema de Poncelet y la hipotenusa.
Ejercicio práctico: cálculo del radio en un triángulo rectángulo con lados conocidos y aplicación del teorema de Poncelet.
Conclusión de la clase con una revisión de los conceptos y teoremas aprendidos.
Transcripts
muy bien alumnos vamos a empezar con la
clase de geometría el tema se llama
circunferencia esto es para el primer
año de secundaria circunferencia alumnos
en primer lugar que es una
circunferencia es la figura conformada
por todos los puntos que tienen que
tienen debería decir acá que tienen la
misma distancia hacia un punto fijo
llamado centro a esta distancia se le
conoce como radio haya o sea miren este
la circunferencia no que no es lo mismo
que un círculo alumnos no es lo mismo
con circularía después les diré la
diferencia alumnos miren esta
circunferencia todo lo que está acá esto
redondo si dice que la distancia de
estos puntos hacia el punto el punto
fijo que en este caso es el punto o es
el centro si es la misma claro pues
porque es el radio sí o no el o hacia
cualquier borde de la circunferencia su
distancia es el radio pues ven ahí está
de eso viene la definición de
circunferencia muy bien
en primer lugar alumnos elementos dicen
ave es diámetro pero que es el diámetro
allá es una línea que pasa por
es una línea que une a un punto de la
circunferencia con otro si un borde con
otro borde pero que pasa por el centro
que más alumnos que más se pueden dar
cuenta dice flecha voz agita allá en
primer lugar
mn qué cosa es el segmento mn es una
cuerda una cuerda se llama a que el
segmento que une dos puntos cualquiera
en la circunferencia mnb
ahora flechas agita que la flecha os
agita allá miren en la distancia entre
una cuerda con el borde de la
circunferencia bien pq es la flecha o se
agita si muy bien acá que más se pueden
dar cuenta alumnos a ya que el radio r
obviamente si el radio r sí que más allá
caigo en la recta secante en esta recta
es toda flechita que está apuntando
hacia los dos lados se llama recta
secante porque ese cante profe porque
por que intersecta a la circunferencia
en dos puntos no miren acá está un punto
y acá está el otro punto de intersectan
dos puntos por eso se llama secante de
rectas y cante
para arco qué cosa es un arco allá es
una porción de la circunferencia venga
acá este arco que lo he pintado de
celeste para que se vea es una porción
de la circunferencia es una parte de la
curva nada más
otra cosa haya recta tangente la recta
tangente es una recta pero a diferencia
de la secante solamente se intersecta en
un puntito ven acá en el punto t no el
punto t se llama punto de tangencia y
bueno la recta lte se llama tangente ahí
está muy bien bueno acá están los
elementos no diámetro el radio no el
radio que es el segmento que une el
centro con el borde ahí está
eso es eso vendría a ser la
circunferencia alumnos
a continuación ahora vamos a ver algunas
propiedades
propiedades fundamentales alumnos en
toda la circunferencia se cumplen cinco
propiedades miran acá hay cuatro pero en
el siguiente diapositiva y una más
observen mínimo acá miren esta figura
observen miren acá el radio es o te es
cierto claro es un segmento que une el
centro con el borde de la círculo muy
bien y qué cosas ltd la recta tangente
haya alumnos un radio siempre es
perpendicular a la recta tangente se
acuerdan que la retratan gente así era
una recta que solamente se intersectan
un puntito con la circunferencia que en
este caso es el punto t el punto de
tangencia no entonces el segmento o t
que en este caso vendría a ser el radio
si es perpendicular siempre a la recta
está la gente siempre perpendicular
miren o sea él forma un ángulo de 90
grados ven acá está el ángulo de 90 s
cuadraditos que representa el ángulo
recto el ángulo de 90 grados
miren acá hasta que es perpendicular
este simbolito que está acá alumnos que
parece como una t al revés éste
significa perpendicular o también se le
conoce como ortogonal que significa que
forman
a grado que está en la figura muy bien
ahora la segunda propiedad fundamental
alumnos miren si tú tienes un punto p
exterior a la circunferencia y luego
trazas de ese punto p dos segmentos
tangentes segmentos tangentes que no es
lo mismo que recta y a dos segmentos
tangente ven vea y pp son dos segmentos
que son tangentes y en este caso los
puntos de tangencia son a y b entonces
que se cumple que pea mide lo mismo que
pb 20 ap la medida del segmento p es
igual a la medida del segmento bp y es
igual a aa en este caso no ap es igual a
bp y es igual a por qué profe porque hay
b son puntos de tangencia ip es un punto
exterior a esa circunferencia muy bien
ahora la propiedad 3 observen miren si
yo tengo dos cuerdas se acuerdan que las
cuerdas haya la cuerda profe era un
segmento que une un borde con otro borde
de la circunferencia miren acá las
cuerdas ave y las cuerdas cede ya si yo
tengo dos cuerdas que me en lo mismo
miren la cuerda de mi idea la cuerda se
de mi idea también
si yo tengo dos cuerdas que miden lo
mismo entonces van a generar si dos
arcos que tienen la misma medida mini
acá se acuerdan de los arcos mire si la
medida del segmento ave es igual a la
medida del segmento b c entonces esta
flechita significa entonces alumnos ya
muy bien la medida del arco a ver hay
alumnos no les había dicho eso un arco
se representa como medida de ave miren a
ver pero con una curvita arriba con un
arco ven arco ave celeste arco ave sí y
ese arco se mide en ángulos también ya
en ángulo se mide el arco muy bien y
entonces la medida del arco a ver cuál
es el arco ave esté aquí es igual a la
medida del arco se de cuál es este de
aquí ven la medida del arco ave es igual
a la medida del arco se dé a esta muy
bien muy bien ahora la propiedad 4 que
dice hay alumnos que es la propiedad 4
dice que si yo tengo una cuerda y otras
una perpendicular si una radio
perpendicular min
es un radio y es perpendicular a la
cuerda ve bien si el segmento ave que es
la cuerda es perpendicular al radio
entonces que se cumple a ya profe lo que
se cumple es que aquí es igual que cubre
o sea la medida del segmento aquí es
igual a la media cemento sube ven acá lo
parte a la mitad en este punto q parte a
la mitad
la cuerda ave me ha causado estos miedos
rayitas y ésta mide dos rayitas ven ahí
esta es la puerta propiedad ahora vamos
a ver la quinta propiedad que está en la
siguiente diapositiva quinta propiedad
alumnos ya la última propiedad observen
miren si yo tengo una circunferencia y
dentro de esa circunferencia tengo las
cuerdas a b y c de que son paralelas
miren acá a de paralelo a cede o sea la
cuerda b es paralela a la cuerda sede
entonces los arcos que van a generar
miren que hasta el arco el arco hace y
el arco verde van a tener la misma
longitud en este caso alfano alfa grados
claro porque ya le dije que los arcos se
miden en grados muy bien entonces hace
la medida el arco hace es igual a la
medida del arco
muy bien siguiente alumnos alumnos ya
para finalizar con la clase solamente la
clase la teoría así vamos a ver dos
teoremas muy importantes en primer lugar
el teorema de poncelet alumnos si yo
tengo un triángulo rectángulo abc min
abc eso es un triángulo rectángulo
obviamente si último tramo y yo tengo
una circunferencia inscrita dentro de
ese triángulo que significa inscrita
profe allá es una circunferencia metida
dentro del triángulo si la cual miren si
se dan cuenta los lados del triángulo
rectángulo los catetos y la hipotenusa
son tangentes a la circunferencia ven
acá hay un punto de tangencia acá de
otro punto de acá son tangentes inscrito
quiere decir que está dentro y sus lados
son tangentes a la circunferencia muy
bien que se acredite el teorema de
poncelet en todo triángulo rectángulo a
veces se tiene que la medida de la suma
de los catetos
además b es igual a la medida de la
hipotenusa más dos veces r a este ere se
le conoce como
en radio y en radio el triángulo
rectángulo entonces cateto uno más
cateto dos es igual a la hipotenusa
sumado con el doble del radio y de
adentro significa y de interior y radio
bueno radio radio pues no en radio radio
interior ahí está ese es el teorema de
poncelet ahora el teorema de pitot el
teorema de pitot miren en lugar de que
la circunferencia esté inscrita en un
triángulo rectángulo la casta inscrita
en un cuadrilátero en un trapecio en el
trapezoide abc de en el trapecio está
inscrita que significa que la
circunferencia es tangente hasta los
lados del trapecio ya que se cumple
según el teorema de dice que se
cumple que la suma de ángulo del ángulo
también que la suma de lados opuestos es
la misma o sea que a el lado a sí que es
el abc que mide a más la más b a su lado
opuesto es b es igual a la suma de los
otros dos de más
además b es igual además de ésta este es
el teorema
ahí está muy bien bien alumnos dicho
todo esto vamos a empezar con lo que
ustedes ya saben con los ejercicios muy
bien
ejercicio 1 alumnos dice calcula x en la
figura miren ahí tienes un trapecio de
abc de qué cosa puede aplicar profes lo
que acabamos de ver ahorita pues hasta
la figura es igual el teorema de pitot
ahí está muy bien
por este lado observen alumnos miren
teorema de víctor en en el cuadrilátero
en el cuadrilátero sí porque no no sé si
son cuadrados un rectángulo no
cuadrilátero en general abc de esta
teorema de pitol en el cuadrilátero abc
de que de que decía el teorema de fito
alumnos haya profes lo que decía era que
los dos lados opuestos suman igual que
los otros dos lados opuestos o sea x + x
+ 10 es igual a 16 más 14 no a está
entonces el lado veces que vale x más su
opuesto que vale aquí más 10 x más x +
10 es igual a que a la suma de los otros
dos o sea 16 14
estamos bien alumnos x x 2 x 2 x bueno
más 10 y al otro lado que se tiene en
cuenta el 16 más 14 30 muy bien ese 10
pasa a restar al otro lado me queda 30
menos 16 20 2 x es igual a 20 alumnos
x es igual a cuánto obviamente 20 entre
12 10 10 grados no no pues no son grados
x es un segmento es la medida de un lado
unidad porque acá está nos están dando
en unidades no se olviden de eso alumno
yo siempre de recarte les recalco que
den contexto que le pongan unidades
grados o lo que sea no metros
dependiendo del problema muy bien
siguiente ejercicio alumnos ejercicio 2
calcula x alumnos
este ejercicio es igualito que la
anterior que se hace allá profe
igualito que el anterior efectivamente
lo voy a escribir acá teorema de pitot
en él
el triángulo
cada vez de notre ángel esto no es un
triángulo en 1631 un contrapeso
pero lo voy a poner cuadrilátero en el
cuadrilátero
abc de aya que sea el teorema de pitot
haga profe los opuestos se suman y se
igualan es decir 8 14 8 arriba + 14
abajo es igual a
a los otros dos no a la suma de los
otros 2 x 4 más 2 x x + 4 + 2 x muy bien
ahora alumnos que sigue 8 + 14 22 muy
bien x 42 x acuérdate yo voy a sumar
este x con este 2x y me queda 3x y bueno
más 4 obviamente no el 4 pasa al otro
lado restar me queda 18 es igual a 3 x
cierto cuánto vale x alumnos obviamente
18 entre 3 que es 66 que une da es eso
nada más en vez es muy similar al
ejercicio anterior
muy bien alumnos siguiente ejercicio
ejercicio tres alumnos dice y calcula de
la longitud del perímetro del triángulo
abc además nn y p son puntos de
tangencia muy bien alumnos en primer
lugar voy a aplicar una de las
propiedades se acuerda se acuerdan que
yo les dije que si tienes un círculo no
una circunferencia mejor dicho y tienes
un punto exterior a ella y desde ese
punto traza dos segmentos tangentes esos
segmentos son iguales a ya profe será
una de las propiedades creo que era la
segunda propiedad si no me equivoco si
ya pongan atención alumnos muy bien y si
no miren miren el segmento nc en es
punto de tangencia en ese sí o no que se
es un punto exterior a la circunferencia
osea que cn es igual a pp y cuanto a sn
ya profe por ahí está vale 6 muy bien a
ver esto vale 6 muy bien ahora miren a p
es igual a m no entonces me vale vale5
pues por qué
se está dando que si ahora observen
arriba alumnos
mv es igual a b n no claro por esa
propiedad por la propiedad de los
segmentos tangentes ahí está entonces
esto vale 44.45 con 5 y 6 con 6 ahí está
ya completé mi mi buenos los datos no la
medida de los lados ahora alumnos como
se halla el perímetro de la
circunferencia haya profes simplemente
el perímetro que es 2 p va a ser igual a
la suma de la medida de los segmentos de
la media de lado el lado ave más el lado
veces más el lado hace además de ce más
se está moviendo 2 p acuérdense de que
el perímetro se representa no se
representa con p se representa con 2 p
muy bien alumnos ahora cuánto vale ave
haya profe ave vale 54 que es 9 más
cuánto vale bs profe vale 46 que es 10
muy bien cuánto vale hacer 56 que vale
vale 11 pues muy bien entonces 2
perímetro es igual al 911 cuanto el 9
más 10 19 11 30 pues alumnos 30 qué cosa
grados metros pues alumnos porque
estamos hablando de perímetro y
perímetro de la suma de los lados y los
lados están en metros muy bien alumnos
el siguiente ejercicio
ejercicio 4 alumnos dice calcula xy o el
centro de la circunferencia muy bien
alumnos alumnos o el centro de la
circunferencia a es un punto es un punto
en el borde no un punto de la
circunferencia claro entonces que
significa que es un radio no oa es un
radio y v también es un radio jai a
prophet entonces miren el segmento oa
vale mide r no terminó con la re
mayúscula no importa alumnos si porque
según el libro el radio según el libro
en algunos es radio se representa con
minúscula que en otros con mayúscula por
eso no importa ya cualquiera de los dos
vales escuchen alumnos miren a o es
igual a los radios entonces si se dan
cuenta que se cumple que el triángulo a
v es un insocial es cierto sin profe
porque acá esté al dos lados iguales no
el triángulo isósceles el cual lo voy a
poner por aquí
bueno esto ya saben que el derecho
agrupar ahí está muy bien ahora voy a
poner acá el triángulo
triángulo
si el triángulo
es isósceles muy bien ahí está muy bien
entonces qué significa que seis se les
profe que mira hacia él a leer se lo
pone 30 al r también se lo pone 30 al
otro lado pues alumnos al r a ver a ver
al r se lo pone 30 también no al otro
lado acá también entonces va
talca también 30 alumnos le pongo el
ángulo y acá entonces va 30 30 grados
obviamente no ahí está
y está muy bien
ahí está muy bien para ver nuestro
agruparía está agrupado en el triángulo
ave en el triángulo ave que se cumple a
ya profe se cumple que la suma es 180 la
propiedad fundamental de los triángulos
alumnos mirad acá no se ve bien no a ver
a ver a ver a ver sino que un poquito
pequeñito están ahí está el x y el
castell 30 allá profe acá voy a aplicar
la propiedad del fundamental de los
triángulos que dice allá que la suma de
los ángulos interiores o sea x más 30
más 30 x + 30 más 30 y 180 es la
propiedad fundamental de los triángulos
pues alumnos entonces x más 60 es igual
a 180 el 60 pasar otro de ahorro están
180 menos 60 y 120 muy bien y esa sería
la respuesta me encanta si hago un paso
más 120 que x x qué cosa es es un ángulo
120 grados a esta vez siempre recalcó
que pongan el contexto
siguiente ejercicio alumnos ejercicio 5
calcula la longitud de link radio en el
in radio se acuerdan del teorema de
poncelet ya un radio que decía el
teorema de poncelet queridos alumnos
ya hay a prophet decía que la suma de
los catetos es igual a la hipotenusa más
el doble de un radio a esta graves o
bien en la cabeza ya muy bien
este a ver qué cosa tendría que hacer
acá allá miren en primer lugar tengo el
triángulo rectángulo porque acá es
rectángulo obviamente miran acá está el
ángulo recto que tengo que hacer alumnos
hallar la hipotenusa y como hago eso con
el teorema de pitágoras pues algunos
pitágoras en el triángulo abc muy bien
alumnos la hipotenusa elevada al
cuadrado es igual a que haya profes
igual a el cateto 1 al cuadrado o sea 6
al cuadrado 6 al cuadrado más 8 al
cuadrado no 6 al cuadrado más 8 al
cuadrado muy bien alumnos h es igual a 6
al cuadrado cuánto es 36 cuánto es 8 al
cuadrado 64
callum no me faltó al cuadrado ahí está
ahora h al cuadrado es igual a 100
alumnos
mire si h al cuadrado es igual a 100
cuanto a la raíz de 100 pues algunos es
10 no
h la hipotenusa éste es h h de
hipotenusa no es h de altura ni acá le
voy a cambiar en lugar de h para
evitarnos estas confusiones le voy a
poner ccd claro porque los catetos son
ay b n porque no sé seno ahí está la
hipotenusa vale 1010
obviamente 10 qué cosas unidades pues
alumnos hasta entonces alumnos la
hipotenusa es el segmento hace entonces
esto lo que acabo de hallar vale 10
unidades
ahí está muy bien 10 unidades vale la
hipotenusa muy bien y ahora alumnos
observen que más allá profe tengo que
hacer el teorema de poncelet teorema de
poncelet ahí está el teorema de poncelet
que dice
suma de catetos es igual al hipotenusa
dos veces el en radio suma de catetos 6
+ 8 es igual a 2 la hipotenusa que vale
10 más 2 veces sería en radio más 2
veces se lee en radio a ésta miren 6 + 8
es igual a 10 más 2 veces el radio a él
está muy bien alumnos cuántos 6 814 es
igual a 10 más 2 es muy bien el 10 pasa
al otro lado restar cada cuatro es igual
a 2 terreno finalmente cuánto vale r
alumnos
cuánto vale r allá profe 4 entre 12 2 r
vale 22 qué unidades también porque el
radio es un segmento y el segmento se
mide en unidades en este caso no
unidades dos unidades al el radio muy
bien siguiente ejercicio alumnos
ejercicio ejercicio 6 alumnos calcula xy
el centro de la circunferencia alumnos
acabamos anteriormente de hacer un
ejercicio igualito a este no si profe el
ejercicio 4 era ahí está alumnos si
iverson este punto de la circunferencia
entonces oa es el radio no igualmente o
ve también es el radio y se va a generar
un triángulo isósceles pues algunos un
isósceles se genera muy bien entonces
miren acá
a ver ahí está
[Música]
y ahí está
y bueno a ver ya le pongo el ángulo acá
cuánto mide ese ángulo alumnos si es
isósceles a r se lo pone x r también se
lo pone x pues por lo mismo de que si
sos celes ahí está el triángulo a v
igualito igualito que en el ejercicio
cuatro alumnos y el triángulo ave es
isósceles ahí está ahí está muy bien
bueno acá estaré me está sobrando no
está muy bien alumnos voy a aplicar qué
cosa si en el triángulo
a v que se cumple la propiedad
fundamental de los triángulos x x 40
perdón más 140 es igual a 180 2x es
igual a el 140 pasa al otro lado restar
y queda 180 menos 40 es 42 x es igual a
40 cuánto vale x alumnos vale 20 qué
cosa grado porque x es un ángulo ahí
está bien
ahí está muy bien porque porque el
triángulo isósceles como ya les dije
ejercicio 4 muy bien alumnos siguiente
ejercicio
ejercicio 7 alumnos calcula x si a veces
es un triángulo rectángulo ya profe que
tengo que hacer acá pitágoras no porque
mire acá me falta la medida de este
cateto el cateto ave no sé cuánto mide y
para hallar eso tengo que hacer
pitágoras pues ahí está muy bien teorema
de pitágoras es con mayúscula los
pitágoras en en el triángulo a veces no
encabece nada más le pongo en este caso
a está muy bien que dice haya profe acá
este cateto mi idea no si mi idea
al cuadrado más que más el otro cateto
al cuadrado más 24 al cuadrado es igual
a la hipotenusa que vale 25 acá si te la
dan si 25 al cuadrado muy bien alumnos
ahora al cuadrado es igual a perdón al
cuadrado más 24 al cuadrado cuánto es 24
al cuadrado alumnos para esto voy a
hacer uso de la vieja confiable no la
calculadora sí porque no no es que yo me
sepa cuánto es 24 al cuadrado de memoria
no es 576 576 ahí está muy bien igual 25
al cuadrado cuantos 25 al cuadrado
alumnos el 625 ese sino él aprendiendo
de alumnos
alumnos ahora al cuadrado es igual a el
576 pasa al otro lado a restar no pasa
al otro lado restar y queda cuanto 625
menos 570 y 649 los alumnos entonces
cuánto vale a alumnos cuánto vale el
cateto porque acuérdense de que el a es
el valor del cateto ave no avale cuántos
7 pues algunos siete unidades obviamente
ahí está entonces acá le pongo siete
unidades
20 17 ahí está ahí está ahí está el 7
muy bien ahora sí que puede hacer acá el
teorema el teorema famosísimo teorema de
poncelet a esta que decía igual voy a
poner a teorema de poncelet
que decía el teorema de poncelet allá
profe la suma de los dos catetos en un
triángulo rectángulo es igual a la suma
de la hipotenusa más el doble de radio
cuanto alguien radio acá hay un radio en
este caso vale x no entonces la suma de
los catetos o sea 7 más 24 es igual a 25
más 2 veces el radio él en radio en este
ejercicio vale x este sitio en radio
pues alumno ahí está esa flechita
algunos cuantos 7 24 31 es igual a 25 2x
muy bien el 25 pasa a restar 31 25 y 6
y esto es igual a 2 x muy bien alumnos 6
es igual a 2 x cuánto vale x vale vale 3
pues alumnos vale 33 que uno da es eso
sería la respuesta porque me están
pidiendo calcular x que es el en radio
muy bien siguiente ejercicio alumnos
ejercicio 8 calcula r
elin radio también aquí sí ave es igual
a 5 unidades veces 2 unidades y hace es
13 unidades
miren acá no es necesario aplicar
pitágoras ni siquiera alumnos miren dice
que ab vale
cuánto vale 5 unidades
ahí están muy bien
muy bien veces vale 12 unidades veces
vale 2 unidades muy bien y la hipotenusa
hace cuánto vale 13 unidades miren acá
ni siquiera es necesario que yo haga que
yo haga el teorema de pitágoras miren
este vale a ver lo voy a expandir hasta
tres unidades muy bien acá ya te lo
están dando todo alumnos y dad te lo
están dando todo no es necesario hacer
pitágoras solamente voy a hacer
teorema teoremas de poncelet ahí está el
teorema de poncelet en el triángulo
triángulo
el triángulo
a veces
muy bien qué dice el teorema de ponce
les voy a preguntar voy a preguntar eso
en suma alumnos que es lo que dice allá
profe la suma de los catetos 5 + 12 es
igual a la hipotenusa más dos veces
serían radio elin radio r muy bien
alumnos cuantos 5 + 12 17 y esto es
igual a 13 más dos veces r más 2 r el 13
pasa a restar 17 menos 34 y esto es
igual a 2 r cuánto vale el radio alumnos
el radio cuánto vale el radio vale 4
entre dos es 2 no 2 qué cosa 211 dada
después alumnos y muy bien este
ejercicio estaba más fácil que la
anterior muy bien espero que se me haya
comprendido en su totalidad de alumnos
sí recuerden cualquier cosa me la hacen
me la mela preguntan el zoom muchas
gracias por su atención alumnos nos
vemos en la próxima clase
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