El conjunto de los números reales | TOX educación
Summary
TLDREste vídeo educativo explora el conjunto de números reales, explicando su definición a través de la unión de números racionales e irracionales. Se detallan los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, mostrando ejemplos y representaciones simbólicas. Los números irracionales, que no se pueden expresar como fracciones de enteros, se contraponen a los racionales. El vídeo concluye con la definición de números reales y su representación gráfica, invitando a los espectadores a suscribirse y explorar más contenido matemático.
Takeaways
- 😀 Los números reales son el conjunto formado por la unión de números racionales e irracionales.
- 🔢 Los números naturales son aquellos utilizados en la vida diaria para contar objetos y se representan con una 'n' con una rayita extra.
- 🌳 Los números enteros incluyen tanto a los números naturales como a sus opuestos negativos y el cero, representados con una 'zeta' con rayita.
- 📏 Los números racionales son fracciones de números enteros, donde el denominador no puede ser cero, y se representan con una 'q' con rayita.
- 🔍 Los números irracionales no se pueden expresar como fracciones de números enteros y tienen una expansión decimal infinita no periódica.
- 📉 Los números racionales pueden tener una expansión decimal finita o infinita pero periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal infinita no periódica.
- 🎓 El cero es considerado un número natural en algunos contextos matemáticos, pero en este video se decide no incluirlo en el conjunto de números naturales.
- 🔑 La operación de unión en matemáticas se utiliza para combinar dos o más conjuntos, y es representada por la letra 'u'.
- 🌐 El conjunto de los números reales abarca todos los números que son racionales o irracionales, y se representa con una 'r' con rayita.
- 👨🏫 Además de los números reales, existen otros tipos de números como los imaginarios y complejos, que se estudian en contextos más avanzados.
Q & A
¿Qué es un conjunto en matemáticas?
-Un conjunto en matemáticas es un grupo de objetos o elementos que comparten ciertas características en común, y se representan generalmente entre llaves.
¿Cuál es la representación simbólica de los números naturales?
-Los números naturales se representan simbólicamente con una 'n' con una rayita extra al inicio, y se escriben entre llaves, como {1, 2, 3, 4, ...}, indicando que continúan indefinidamente hasta el infinito.
¿Incluimos el cero en los números naturales?
-La inclusión del cero en los números naturales depende de la definición que se utilice en diferentes ramas de las matemáticas. En el contexto del vídeo, el cero no se incluye en los números naturales ya que estos se utilizan para contar objetos y el cero no representa una cantidad de objetos.
¿Cómo se definen los números enteros?
-Los números enteros se representan con una 'zeta' con una rayita extra y abarcan tanto los números naturales como sus negativos, incluyendo el cero. Se escriben con los mismos símbolos que los naturales, pero se extienden hacia números negativos, como {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
¿Qué son los números racionales y cómo se representan?
-Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción de dos números enteros, donde el denominador no puede ser cero. Se representan con una 'q' con una rayita extra.
¿Cuál es la diferencia entre un número racional y un número irracional?
-Los números racionales son aquellos que tienen una expansión decimal finita o periódica y se pueden expresar como fracciones de números enteros. Por otro lado, los números irracionales tienen una expansión decimal infinita que no es periódica y no se pueden expresar como fracciones de números enteros.
¿Cómo se definen los números irracionales?
-Los números irracionales son aquellos que no se pueden representar como fracciones de dos números enteros. Tienen una expansión decimal infinita y no periódica, como el número pi (π) o la raíz cuadrada de 2.
¿Qué es la unión en matemáticas y cómo se relaciona con el conjunto de números reales?
-La unión en matemáticas es una operación que une dos o más conjuntos en uno solo, representada por el símbolo '∪'. El conjunto de números reales se define como la unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales.
¿Cuál es la relación entre los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales dentro del conjunto de números reales?
-Los números naturales son un subconjunto de los números enteros, estos últimos son un subconjunto de los números racionales, y tanto los racionales como los irracionales son subconjuntos del conjunto de números reales.
¿Qué son los números imaginarios y cómo se diferencian de los números reales?
-Los números imaginarios son aquellos que se pueden escribir como un número real multiplicado por la raíz cuadrada de -1, y se representan con la letra 'i'. Se diferencian de los números reales porque no son soluciones de una ecuación de grado dos con coeficientes reales.
Outlines
📚 Introducción a los números reales
El primer párrafo introduce el concepto de conjuntos en matemáticas, enfocándose en los conjuntos de números. Se menciona que los conjuntos son grupos de elementos con características comunes y se ilustra con ejemplos como los números pares y primos. El vídeo centra su atención en los números naturales, enteros, racionales e irracionales, culminando con la definición de los números reales como unión de racionales e irracionales. Se discute la representación simbólica de los números naturales y se plantea la cuestión de si el cero es un número natural, concluyendo que, en el contexto del vídeo, se considera que no lo es debido a su incapacidad para representar una cantidad de objetos.
🔢 Explorando los números enteros y racionales
El segundo párrafo profundiza en la definición y representación de los números enteros, que incluyen tanto los números naturales como sus negativos y el cero. Se introduce el conjunto de números racionales, representados como fracciones de números enteros donde el denominador no puede ser cero. Se dan ejemplos de números racionales, incluyendo fracciones y números enteros expresados como fracciones, y se explica cómo los números decimales finitos y periódicos también son racionales. Además, se menciona la representación decimal de algunos números racionales y se establece la diferencia entre números racionales y los que tienen una expansión decimal infinita pero no periódica.
🌀 Comprensión de los números irracionales
El tercer párrafo se centra en los números irracionales, que son aquellos que no se pueden expresar como fracciones de números enteros. Se presentan ejemplos clásicos de números irracionales, como raíces no exactas y el número pi, cuya expansión decimal es infinita y no periódica. También se mencionan otras constantes matemáticas, como el logaritmo natural de 10, y se destaca la diferencia fundamental con los números racionales. Se enfatiza que los irracionales son parte integral del conjunto de números reales.
🔄 Uniendo conjuntos para definir los números reales
El último párrafo explica la operación de unión en matemáticas y cómo se utiliza para definir el conjunto de números reales. Se describe que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales, y se visualiza esta relación en un diagrama. Se aclara que los números naturales, enteros y racionales están contenidos dentro del conjunto de los reales, y se menciona brevemente la existencia de números imaginarios y complejos, que pertenecen a un campo matemático aún más amplio. El vídeo concluye con una invitación a suscriptores y a interactuar a través de los canales de comunicación mencionados.
Mindmap
Keywords
💡Conjunto de números reales
💡Números naturales
💡Números enteros
💡Números racionales
💡Números irracionales
💡Unión de conjuntos
💡Expansión decimal
💡Raíz cuadrada
💡Número pi (π)
💡Número e
Highlights
Definición de conjunto en matemáticas como grupo de elementos con características comunes.
Introducción al conjunto de números reales a través de la unión de conjuntos más simples.
Explicación de los números naturales y su representación simbólica con la letra 'n'.
Discusión sobre si el cero es considerado un número natural y la variabilidad en la definición dependiendo de la fuente.
Representación de los números naturales desde el 1 hasta el infinito con puntos suspensivos.
Definición y representación simbólica de los números enteros con la letra 'zeta'.
Inclusión de los números naturales y negativos en el conjunto de números enteros.
Descripción del conjunto de números racionales y su representación con la letra 'q'.
Condición de que los números racionales son fracciones de números enteros con denominador distinto de cero.
Ejemplos de números racionales, incluyendo fracciones y su equivalencia con números enteros.
Explicación de la representación decimal de los números racionales y su expansión finita o periódica.
Introducción al conjunto de números irracionales y su representación con la letra 'i'.
Caracterización de los números irracionales como aquellos que no se pueden escribir como fracciones de números enteros.
Ejemplos de números irracionales, como raíces cuadradas de números no perfectos y el número pi.
Diferenciación entre números racionales e irracionales basada en la expansión decimal periódica o no periódica.
Definición del conjunto de números reales a través de la unión de números racionales e irracionales.
Representación gráfica de la relación jerárquica entre números naturales, enteros, racionales, y reales.
Mención de números imaginarios y complejos como conceptos matemáticos más amplios que los reales.
Invitación a suscribirse, compartir, y activar notificaciones para recibir más contenido educativo en matemáticas.
Transcripts
[Música]
hola hola muy buenas a todos y
bienvenidos a este vídeo en su canal
talks educación en esta ocasión
hablaremos sobre el conjunto de los
números reales y veremos cómo definimos
a este conjunto a partir de la unión de
dos conjuntos relativamente más
sencillos en principio debemos
comprender que es un conjunto e
intuitivamente sabemos que un conjunto
es un grupo de cosas que tienen ciertas
características en común en matemáticas
por supuesto los conjuntos que nos
interesan son los conjuntos de números y
podemos hacer un sinfín de
caracterizaciones de conjuntos de
números por ejemplo los números pares
los números primos etcétera en este
vídeo nos interesa hablar sobre el
conjunto de los números naturales el
conjunto de los números enteros el
conjunto de los números racionales el
conjunto
los números irracionales y finalmente
veremos como el conjunto de los números
reales se define a partir de la unión de
estos dos últimos bien entonces
comenzaremos hablando sobre los números
naturales que son los números naturales
son aquellos que encontramos
ordinariamente en la vida diaria por
ejemplo la cantidad de estudiantes que
hay en un salón de clases la cantidad de
árboles que hay en un huerto la cantidad
de animales que hay en una granja la
cantidad de likes que eventualmente
tendrá este vídeo etcétera entonces
veamos cómo representar simbólicamente a
los números naturales los números
naturales los representamos con una n
que tiene una rayita extra aquí al
inicio entonces en matemáticas a los
conjuntos los escribimos entre llaves
cuáles son estos números cuáles son los
números naturales a partir de los
ejemplos nos damos cuenta de que son
aquellos pues que en surgen con la
ciudad de contar entonces bueno esos
números serían 1 2 3 4 5 6 y tengo que
continuar así indefinidamente hasta
donde en ocasiones decimos que hasta el
infinito o sea cuál sea la definición de
este concepto decimos que podemos
continuar así indefinidamente hasta el
infinito por supuesto como no puede
escribir a todos los números naturales
puedo poner estos puntitos que
representan que seguimos de esta forma
entonces los números naturales son los
que están dentro de estas llaves
cualquier número que esté aquí será un
número natural no sólo estos puede ser
el 35 puede ser 400 puede ser un millón
etcétera cualquier número
natural entonces estará dado de esta
forma uno dos tres cuatro cinco hasta el
infinito de acuerdo y surge una pregunta
de manera general el cero es un número
natural el cero en matemáticas causa
muchos conflictos e incluso desde la
caracterización inicial de los números
naturales el cero nos mete en algunos
problemas será que el cero es un número
natural nosotros diremos que no por los
ejemplos que comentamos los números
naturales nos sirven para contar cosas
cuando tenemos alguna cierta cantidad de
objetos personas animales árboles lo que
sea entonces para contar nos necesitamos
a los números naturales entonces cómo
vamos a contar el cero no lo vamos a
incluir nosotros no incluiremos al cero
en los números naturales la pregunta
siempre es el
pero es un número natural pues la
respuesta es depende depende del autor o
depende de la rama de las matemáticas en
la que estemos trabajando por el momento
nosotros dejaremos a los números
naturales a partir del 1 una vez que ya
tenemos a los números naturales podemos
hablar ahora del conjunto de los números
enteros este conjunto se representa con
una zeta que también tiene una rayita
extra en este caso atravesada aquí bien
ya sabemos que representan estos
puntitos entonces comenzará aquí
justamente con estos puntitos porque los
números enteros incluyen a todos los
números naturales pero también a sus
negativos y además ahora si entra el 0
podemos decir entonces que estos números
vienen así desde por allá digamos desde
menos infinito y tendríamos menos 3 - 2
- 1 0 1 2 3 y evidentemente no puede
escribirlos todos entonces nos apoyamos
de esta anotación
es conveniente insistir en que los
números naturales están aquí en los
números enteros o sea los números
enteros también engloban a los números
natural
de acuerdo
pasemos al siguiente conjunto que nos
interesa y es el conjunto de los números
racionales este se representa por una q
también con una rayita por ahí pero ya
no los escribimos de esta forma
los números racionales son aquellos que
podemos representar como una fracción
una fracción pero no cualquiera digamos
una fracción por ejemplo a / b donde
tanto a como b deben de ser elementos de
los números enteros
es decir representamos con este símbolo
es como una c con una rayita aquí este
representa que tanto a como b pertenecen
a los números enteros de acuerdo pero
además hay que hacer otra aclaración
porque si tenemos una división la
división entre 0 no está definida que
entonces
o sea el denominador de esta fracción no
puede ser 0 es decir los números
racionales los definiremos como
cualquier fracción de números enteros
donde el denominador no puede ser 0 de
acuerdo por supuesto conviene que
escribamos algunos ejemplos de números
racionales para comprenderlos de mejor
forma se nos ocurre por ejemplo escribir
5 entre 8 es decir la división de dos
números enteros que específicamente en
este caso serían dos números naturales
de acuerdo
otro ejemplo puede ser menos 14 novenos
estoy haciendo la división la fracción
de menos 14 un número entero entre otro
número entero en este caso en ocasiones
lo mejor es escribir a toda la fracción
negativa estoy haciendo menos 14 entre
un valor positivo menos entre más es
menos y podemos escribir menos 14 9
pero insistimos la importancia aquí es
que estamos haciendo la división de un
número entero entre otro por lo cual
este también sería un número racional de
acuerdo consideremos otro ejemplo podría
ser el 13 12 a 2 bien tenemos más
ejemplos se nos ocurre ahora escribir
por acá a un número muy sencillo por
ejemplo al 2 atención el 2 puede
escribirse también como un número
racional puede escribirse en términos de
una fracción porque si yo escribo 2
entre 1 entonces estamos dándonos cuenta
aquí de que el 2 puede escribirse como
una fracción de dos números enteros y
entonces el 2 al ser un número natural
que también es un número entero puede
englobarse también en los números
racionales por supuesto lo mismo pasa
con un número negativo pensemos en el -6
este menos 6 también tiene una
representación en forma de fracción
6 / 1 porque simplemente estamos
haciendo una división una fracción de un
número entero entre otros de acuerdo
bien nos fijamos ahora en lo siguiente
vale la pena hacer este comentario cinco
octavos
este número fraccionario tiene una
representación decimal en este caso dada
por 0.625 de acuerdo veamos qué sucede
ahora en el caso de menos 14 novenos en
este caso esto puedes que esto puede
escribirse como 1.555 5 es decir 1.5
periódico y de manera equivalente esta
fracción también puede escribirse en
términos de un número decimal en este
caso dada por 1.083 333 etcétera
entonces voy a quitar esto porque lo que
nos interesa ahora es observar lo
siguiente
así tenemos números decimales con una
expansión decimal finita o sea que llega
hasta un cierto punto entonces ese
número puede representarse como una
fracción de dos números enteros y por lo
tanto es racional entonces un número que
tiene una expansión decimal finita es un
número racional de acuerdo de manera
similar ahora analizamos este ejemplo
que tenemos aquí tenemos menos 1.5
periódico si lo extendemos un poquito es
menos 1.555 y así deberíamos de
continuar de acuerdo que es lo que
estamos observando que ahora la
expansión decimal es infinita pero es
periódica de acuerdo si tenemos una
expansión infinita periódica también
puede representarse como una fracción de
dos números enteros y por lo tanto todos
los números que sean periódicos también
son números
finalmente en este caso tenemos una
expansión no del todo
infinita porque tenemos 1.08 y el
periodo empieza a partir del 3 a estos
números solemos llamarles semi
periódicos porque a partir de un momento
la expansión se vuelve infinita pero
periódica entonces los números que
tengan también una expansión infinita
semi periódica también los englobar
hemos en el caso de los números
racionales de acuerdo
una vez que ya entendimos cuál es el
conjunto de los números naturales el
conjunto de los números enteros y el
conjunto de los números racionales y a
su vez entendemos que el conjunto de los
números naturales está contenido en el
conjunto de los números enteros y a su
vez éste está contenido en el conjunto
de los números racionales tenemos que
hablar ahora del conjunto de los números
irracionales se representa con una y
también con una rayita extra y lo único
que decimos es que los números
irracionales son aquellos que no pueden
representarse como números racionales es
decir que no pueden representarse como
una fracción de dos números enteros de
acuerdo podemos pensar en muchos
ejemplos los clásicos son decir el
número de algunas raíces cuadradas
aunque tenemos que descartar el caso de
las raíces cuadradas o cualquier raíz
pero que sea exacta por ejemplo la raíz
cúbica
27 estrés la raíz cuadrada de 16 es 4 y
esas raíces las englobar y amos entonces
como números naturales de acuerdo pero
en general el resto de las raíces no son
exactas pensemos también entonces ahora
en su expansión decimal
si tenemos por aquí al número pi sabemos
que su representación decimal es 3.14 15
9 etcétera una infinidad de decimales
pero a diferencia del caso de los
números racionales
ahora tenemos una expansión decimal
infinita no periódica
esa es una clara diferencia entre un
número irracional y un número racional
pensemos también por ejemplo en el
número que habíamos comentado su valor
decimal aproximadamente sería de 2
puntos 71 82 etcétera
obtiene una expansión decimal infinita
periódica o semi periódica es decir su
expansión decimal es infinita pero no
tiene un periodo entonces este número
también es irracional comentábamos por
ejemplo también la raíz de 2 la raíz de
2 cuya representación decimal es 1.41 42
etcétera la raíz cuadrada por ejemplo de
3 que en este caso tendríamos 1.732 0 5
etcétera estos son ejemplos que se
comentan de forma común cuando hablamos
de números irracionales pero más
adelante veremos otros conceptos se me
ocurre comentar ahora el seno del ángulo
de 50 grados por ejemplo
que esta expresión que está aquí también
tendrá una expansión decimal infinita no
periódica y este también será un número
irracional un ejemplo más se me ocurre
el logaritmo natural de 10 correcto
entonces podemos decir un sinfín de
ejemplos de números irracionales pero lo
que debemos entender es que los números
irracionales son aquellos que no podemos
escribir como una fracción de dos
números enteros correcto
dicho lo anterior debemos mencionar una
operación matemática que utilizamos
cuando trabajamos con conjuntos esta
operación se llama unión se representa
como con una uva y significa que vamos a
unir
juntar dos o más conjuntos el propio
nombre lo indica de acuerdo entonces
ahora sí por fin podemos definir a
partir de lo que hemos dicho al conjunto
de los números reales y el conjunto de
los números reales que representamos con
una r también con una rayita extra pues
no será otra cosa más que la unión del
conjunto de los números racionales y el
conjunto de los números irracionales
así es como definimos al conjunto de los
números reales esto también podemos
verlo en un pequeño diagrama imaginemos
que aquí está el universo de todos los
números reales entonces si tenemos un
número real no tiene más que dos
opciones o es un número racional o es un
número irracional correcto aunque si es
un
racional pudiera ser que ese número
también fuera un entero y si fuera
entero pudiera darse el caso también de
que dicho número fuera natural
recordemos entonces que los naturales
están contenidos dentro de los enteros
los enteros a su vez dentro de los
racionales y los racionales dentro de
los reales y también los irracionales
pertenecen a los reales de acuerdo
no todos los números que usamos son
números reales y podemos mencionar un
ejemplo muy rápido que trabajaremos en
algún otro momento por ejemplo cuando
tenemos la raíz cuadrada de menos 1 esto
finalmente se puede escribir como este
número y de acuerdo definiremos al
número y como la raíz cuadrada de un
número negativo por supuesto esto queda
fuera del alcance de lo que necesitamos
comentar en este vídeo pero tenemos
otros números estos números son los
imaginarios o bien los complejos que
representamos en un campo más amplio con
una letra c también con una rayita
atravesada de acuerdo
pero por el momento seguiremos
trabajando únicamente con números reales
muchas gracias por su atención para más
vídeos con ejercicios y problemas de
matemáticas resueltos suscriban se
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