MÉTODO DE ARQUÍMEDES PARA CALCULAR EL ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Summary
TLDREn este video, se explora el estudio de la integral definida y las sumas de Riemann, iniciando con los antecedentes históricos de Arquímedes, quien en el siglo 3 a.C. calculó áreas y superficies, contribuyendo significativamente al concepto de pi y el área de una circunferencia. Se ilustra el método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia utilizando rectángulos inscritos y circunscritos, comparándolo con la fórmula actual de pi multiplicado por el radio al cuadrado. El resultado del método empírico de Arquímedes se aproxima notablemente al valor obtenido por la fórmula matemática.
Takeaways
- 📚 La clase trata sobre el estudio de la integral definida y las sumas de Riemann.
- 👨🔬 Arquímedes, en el siglo 3 a.C., fue el primero en calcular áreas y superficies, contribuyendo significativamente a la física y las matemáticas.
- 🔍 Arquímedes introdujo el concepto de pi y el cálculo del área de una circunferencia, lo cual fue fundamental para futuras investigaciones.
- 🌐 Newton, Leibniz, Barrow y Riemann son matemáticos posteriores que continuaron el trabajo iniciado por Arquímedes.
- 📐 El problema inicial de Arquímedes era calcular el área de figuras geométricas, comenzando con la circunferencia.
- 📏 Se trazaron dos circunferencias con el mismo radio de 5 centímetros para ilustrar el método de Arquímedes.
- 🔶 Se utilizaron rectángulos inscritos y circunscritos para estimar el área de las circunferencias.
- 📏 Los rectángulos tienen una base de 1 centímetro y alturas variables, dependiendo de su posición en relación con la circunferencia.
- 📊 Se calculó el área de cada rectángulo inscrito y circunscrito, sumando un total de 69 cm² para los inscritos y 83,6 cm² para los circunscritos.
- 🧮 El método de Arquímedes propone calcular el área de la circunferencia como la suma de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos dividida entre 2, obteniendo así aproximadamente 76,3 cm².
- 📌 Se comparó el resultado del método de Arquímedes con la fórmula exacta de pi (pi × radio²), obteniendo un área de 78,54 cm², lo que muestra la proximidad del método empírico a la solución exacta.
Q & A
¿Quién fue la primera persona en calcular áreas o superficies matemáticamente?
-La primera persona en calcular áreas o superficies matemáticamente fue Arquímedes en el siglo 3 antes de nuestra era.
¿Qué aportó Arquímedes a las matemáticas además de su método de cálculo de áreas?
-Además de su método de cálculo de áreas, Arquímedes aportó dos términos importantes a las matemáticas: el concepto de pi y el cálculo del área de una circunferencia.
¿Qué es el método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia?
-El método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia consiste en inscribir y circunscribir rectángulos dentro y fuera de la circunferencia y calcular el área de cada uno. Luego, se suman las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos y se dividen entre 2 para obtener el área de la circunferencia.
¿Cuál es el significado de 'inscritos' y 'circunscritos' en el contexto del método de Arquímedes?
-En el contexto del método de Arquímedes, 'inscritos' se refiere a los rectángulos que están dentro de la circunferencia, mientras que 'circunscritos' se refiere a los rectángulos que están tocando la parte exterior de la circunferencia.
¿Cómo se determinó la base de los rectángulos en el ejemplo del script?
-En el ejemplo del script, la base de los rectángulos se determinó arbitrariamente como un centímetro, tanto para los rectángulos inscritos como para los circunscritos.
¿Cuántos rectángulos inscritos y circunscritos se utilizaron en el ejemplo del script para calcular el área de la circunferencia?
-En el ejemplo del script, se utilizaron nueve rectángulos inscritos y diez rectángulos circunscritos para calcular el área de la circunferencia.
¿Cuál fue el resultado del cálculo empírico del área de la circunferencia utilizando el método de Arquímedes en el ejemplo del script?
-El resultado del cálculo empírico del área de la circunferencia utilizando el método de Arquímedes en el ejemplo del script fue de 76.3 centímetros cuadrados.
¿Cuál es la fórmula teórica para calcular el área de una circunferencia y cuál fue el resultado en el ejemplo del script?
-La fórmula teórica para calcular el área de una circunferencia es pi multiplicado por el radio al cuadrado. En el ejemplo del script, el resultado utilizando esta fórmula fue de 78.54 centímetros cuadrados.
¿Cómo se compara el resultado del método empírico de Arquímedes con la fórmula teórica para el área de una circunferencia?
-El resultado del método empírico de Arquímedes (76.3 cm²) se compara con la fórmula teórica (78.54 cm²) para observar la similitud y la precisión del método antiguo en comparación con la fórmula moderna.
¿Quiénn investigadores y matemáticos posteriores se mencionan en el script como continuadores del trabajo de Arquímedes?
-En el script se mencionan a Newton, Leibniz, Barrow y Riemann como investigadores y matemáticos posteriores que continuaron el trabajo de Arquímedes.
¿Cuál es la relevancia de los sumatorios (suma griega sigma) en el método de Arquímedes para calcular áreas?
-La relevancia de los sumatorios en el método de Arquímedes es para agregar todas las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos, lo cual es fundamental para estimar el área de la circunferencia.
Outlines
📚 Estudiando Integrales Definidas y Sumas de Riemann
El primer párrafo introduce el tema de la integral definida y las sumas de Riemann, explicando su representación gráfica. Se menciona a Arquímedes como pionero en el cálculo de áreas y superficies en el siglo III a.C., destacando su contribución al concepto de pi y el área de una circunferencia. El script describe el método de Arquímedes para calcular áreas mediante rectángulos inscritos y circunscritos dentro de dos círculos de radio 5 centímetros, utilizando un base de 1 centímetro para los rectángulos. Se calculan las áreas de estos rectángulos y se suman para estimar el área de la circunferencia, obteniendo un resultado de 76.3 centímetros cuadrados, que se compara con la fórmula exacta de pi multiplicado por el radio al cuadrado.
🔍 Comparativo entre el Método de Arquímedes y la Fórmula Exacta
El segundo párrafo presenta un comparativo entre el resultado empírico obtenido por el método de Arquímedes y el cálculo exacto de la fórmula de la circunferencia. El script compara el área estimada de 76.3 centímetros cuadrados con el resultado de la fórmula pi * radio^2, que da como resultado 78.54 centímetros cuadrados. Esto demuestra la proximidad y utilidad del método de Arquímedes, a pesar de ser una aproximación, al resultado teórico exacto.
Mindmap
Keywords
💡Integral definida
💡Sumas de Riemann
💡Arquímedes
💡Circunferencia
💡Rectángulos inscritos y circunscritos
💡Base y altura
💡Sumatoria
💡Promedio
💡Número pi (π)
💡Área
Highlights
Estudio de integrales definidas y sumas de Riemann
Arquímedes, el primer matemático que calculó áreas y superficies en el siglo 3 a.C.
Contribuciones de Arquímedes al concepto de pi y al cálculo de áreas en fin elementos
Influencia de Arquímedes en investigadores posteriores como Newton, Leibniz, Barrow y Riemann
Método de Arquímedes para calcular el área de una circunferencia
Traza de dos circunferencias del mismo radio para comparar áreas
Rectángulos inscritos y circunscritos utilizados en el método de Arquímedes
La base de los rectángulos en el método de Arquímedes es constante
Diferencia entre rectángulos inscritos y circunscritos en términos de su posición relativa a la circunferencia
Cálculo del área de los rectángulos inscritos y circunscritos
Sumatoria de las áreas de los nueve rectángulos inscritos
Sumatoria de las áreas de los diez rectángulos circunscritos
El método de Arquímedes sugiere que el área de la circunferencia es la media de las sumas de áreas inscritas y circunscritas
Resultado del cálculo de la circunferencia usando el método de Arquímedes: 76.3 centímetros cuadrados
Comparación del resultado del método de Arquímedes con la fórmula actual (pi x radio al cuadrado)
Resultado de la fórmula actual para el área de la circunferencia: 78.54 centímetros cuadrados
La similitud entre el método empírico de Arquímedes y la fórmula matemática actual
Transcripts
hola en esta ocasión vamos a estudiar la
integral definida y las sumas de riman
vamos a estudiar de modo gráfico las
integrales que hemos pasado ya hasta
este momento y han sido integrales
indefinidas bueno para ello voy a los
antecedentes históricos de la primera
persona que se encarga de estudiar esto
calculando áreas o superficies fue
arquímedes en el siglo 3 antes de
nuestra era
él fue un investigador en su tiempo un
matemático un físico muy notable debido
a que hizo por suponer la física y para
las matemáticas aportó dos términos como
el concepto de pi y el área de una
circunferencia el cálculo de áreas en
fin elementos fueron de base para
investigadores y matemáticos posteriores
como newton y leibniz barrow y riman al
que vamos a tratar hoy
en ese sentido yo tengo aquí ya la nota
que elabore para que sea esto más ágil
observemos
el problema inicial de arquímedes era
calcular áreas
empezó calculando área de la
circunferencia yo aquí lo que voy a
hacer es trazar dos circunferencias del
mismo radio
en este caso son radio igual a 5
centímetros cada una de ellas
posteriormente al trazo de las
circunferencias
se realizó el trazo de rectángulos
inscritos en la primera de ellas
recordemos que la palabra inscrito
significa al interior
y en la otra circunferencia se trazaron
rectángulos circunscritos circunscritos
quiere decir que están tocando
ligeramente la parte de afuera de la
misma circunferencia para ello el método
de arquímedes de cálculo de áreas que
estamos observando indica que la base de
los rectángulos tiene que ser siempre la
misma yo aquí decidí que fuera un
centímetro de base
ambas circunferencias van a ser
este trazadas con rectángulos inscritos
y rectángulos circunscritos como
observamos antes se dan cuenta que
siempre la base para mi caso yo así lo
decidí fuera un centímetro de base puede
ser medio centímetro puede ser dos en
fin pero siempre mis rectángulos
inscritos y circunscritos están muy
cercanos al bordes de la circunferencia
se den cuenta ahora bien ya que tenemos
trazado ellos a ellos yo
coloque aquí un color para hacer la
distinción de unos con respecto a los
secos
y luego entonces
este método de arquímedes propone lo
siguiente vamos a calcular el área de
cada uno de los rectángulos tanto
inscritos como circunscritos veamos el
área del rectángulo es base por altura
en mi caso es un centímetro de base por
la altura que es cuatro centímetros aquí
tendría yo uno por cuatro me da cuatro
centímetros cuadrados
para este caso el área es un centímetro
de base y coincidentemente la altura
corresponde a cuatro centímetros me da
cuatro centímetros cuadrados
de este modo yo voy a calcular todas las
áreas de los rectángulos inscritos y
también todas las áreas de los
rectángulos circunscritos observemos lo
siguiente ahora
he hecho un recuento de nueve
rectángulos inscritos y diez rectángulos
circunscritos es normal que el número
sea mayor debido a que el queda
ligeramente fuera la circunferencia
voy a hacer una sumatoria que aparece el
signo de sumatoria que es la letra
griega sigma de todas las áreas de los
inscritos
yo ya he realizado una
aquí estoy incorporando las nueve áreas
y las sumo dándome un total de 69
centímetros cuadrados si yo sumo el área
de los rectángulos circunscritos me va a
dar un total de 83 puntos 6 centímetros
cuadrados el método de arquímedes dice
el área tu circunferencia es igual a la
suma de las 2 sumatorias de áreas
inscritas y circunscritas dividido entre
2 es decir obtenemos un promedio yo aquí
somos el 69 centímetros cuadrados más el
83 puntos 6 centímetros cuadrados
dividido entre 2 y me da un total de que
el cálculo de esa circunferencia el
cálculo del área de esa circunferencia
es igual a 76.3 centímetros cuadrados en
base al método de arquímedes finalmente
voy a establecer un comparativo esto es
lo que me dio por el método de
arquímedes recordemos decía que también
hizo el aporte del número pi y el aporte
de esta fórmula si yo multiplico pi por
radio al cuadrado me va a dar el área de
la circunferencia al hacer mi operación
encuentro que es igual a 78 puntos 54
centímetros cuadrados entonces notan
ustedes que el método empírico que
arquímedes se establece es muy semejante
al de la fórmula
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