¿Qué son realmente los NÚMEROS REALES?
Summary
TLDREste script de video ofrece una introducción a los números reales, desentrañando su definición y propiedades. Comienza con los números naturales, enteros y racionales, y luego revela la existencia de los irracionales, como la raíz cuadrada de 2. Explica cómo los números reales son un cuerpo ordenado completo, cumpliendo con la propiedad de la mínima cota superior. Presenta la construcción de los reales a través de 'cortaduras', una idea que incluye tanto racionales como irracionales, y resalta la importancia de esta definición en el cálculo y el análisis matemático.
Takeaways
- 📚 Los números reales son un concepto fundamental en matemáticas y comprenden tanto números racionales como irracionales.
- 🔢 Los números naturales son los primeros que aprendemos y se refieren a los números de conteo, como uno, dos, tres, etc.
- 🔄 Los números enteros incluyen tanto los naturales como sus equivalentes negativos y el cero.
- 🔢 Los números racionales son fracciones que pueden expresarse como la división de dos enteros, y son infinitos.
- ∞ Los números irracionales, como la raíz cuadrada de 2, pi (π) o e, tienen decimales que no siguen un patrón y son infinitos.
- 🤔 Los números racionales son más sencillos que los enteros, y su suma, multiplicación, resta y división son operaciones directas.
- 🚫 Los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior, lo que indica la necesidad de números reales.
- 🧩 La construcción de los números reales implica un conjunto de propiedades que incluyen ser un cuerpo ordenado completo.
- 🛠️ La definición de los números reales como el conjunto de todas las 'cortaduras' de Cantor es una forma de abarcar tanto racionales como irracionales.
- 🔑 La propiedad de la mínima cota superior es clave para definir los números reales, ya que garantiza que siempre existe un número más pequeño que sea la cota superior mínima de un subconjunto acotado.
- 📈 La representación de los números reales en el plano numérico es continua y permite la suma, multiplicación y ordenación de todos los elementos del conjunto.
Q & A
¿Qué se entiende por 'números reales' y por qué son importantes en las matemáticas?
-Los números reales son un conjunto que incluye tanto los números racionales como los irracionales, y son importantes porque forman la base del cálculo y el análisis matemático. Verifican una serie de propiedades que los hacen un cuerpo ordenado completo.
¿Cuáles son los 'números naturales' y cómo se relacionan con los 'números enteros'?
-Los números naturales son los números de contar, como uno, dos, tres, etc. Los números enteros son los números naturales junto con sus equivalentes negativos y el cero. Ambos conjuntos se relacionan en que los enteros amplían el concepto de los naturales para incluir valores negativos y el cero.
¿Qué son los 'números racionales' y cómo se forman?
-Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como la división de dos enteros, donde uno se llama numerador y el otro denominador. Son infinitos y se pueden sumar, multiplicar, restar y dividir sin problemas.
¿Cómo se definen los 'números irracionales' y cuáles son algunos ejemplos?
-Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como fracciones y tienen decimales que no siguen un patrón periódico. Ejemplos comunes incluyen la raíz cuadrada de 2, pi (π) y e (la base de los logaritmos naturales).
¿Qué es la 'propiedad de la mínima cota superior' y por qué es crucial para definir los números reales?
-La propiedad de la mínima cota superior es un axioma que establece que para cualquier subconjunto acotado por arriba, existe una mínima cota superior, es decir, un número que es más pequeño que cualquier otro número que sea mayor que todos los elementos del subconjunto. Esta propiedad es crucial para definir los números reales, ya que garantiza la existencia de límites superiores en conjuntos acotados.
¿Qué es una 'cortadura' y cómo se relaciona con la definición de los números reales?
-Una 'cortadura' es un concepto utilizado para definir los números reales. Es un conjunto de números racionales que cumple con ciertas condiciones, como no estar vacío, no ser todo los racionales y no tener un elemento máximo. La definición de los números reales se basa en el conjunto de todas las cortaduras, lo que permite incluir tanto números racionales como irracionales.
¿Por qué los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior?
-Los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior porque no siempre es posible encontrar un número racional que sea la mínima cota superior de un subconjunto acotado por arriba. Por ejemplo, el conjunto de los racionales cuya SQUARE es menor que 2 no tiene una mínima cota superior racional.
¿Qué es un 'cuerpo' en matemáticas y cómo se relaciona con los números reales?
-Un 'cuerpo' en matemáticas es un conjunto de elementos con dos operaciones binarias (suma y multiplicación) que cumplen con ciertas propiedades, como la asociatividad, la distributividad y la existencia de elementos neutros. Los números reales forman un cuerpo porque se pueden sumar, multiplicar, restar y dividir cualquier par de elementos, y el resultado sigue siendo un número real.
¿Cómo se puede demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es racional?
-Se puede demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es racional utilizando el método de contradicción. Suponiendo que la raíz cuadrada de 2 es racional, se llega a una contradicción que implica que la hipótesis inicial es falsa, por lo que la raíz cuadrada de 2 debe ser irracional.
¿Cuál es la relación entre las 'sucesiones de Cauchy' y la definición de los números reales?
-Las sucesiones de Cauchy son una herramienta utilizada por Georg Cantor para construir y definir los números reales. Son sucesiones de racionales que convergen a un límite, y este límite puede ser un número real, incluso si no se puede expresar como una fracción.
Outlines
📚 Introducción a los números reales
El primer párrafo presenta una introducción a los números reales, destacando su importancia en la matemática desde el nivel escolar hasta la universidad. Se menciona que, aunque son familiares, definirlos no es sencillo. El video está patrocinado por la Universidad Politécnica de València y se adentra en los fundamentos matemáticos, comenzando con los números naturales y enteros, y luego introduciendo las fracciones racionales. Se destaca la complejidad de los números racionales y la infinitud de sus formas, como los decimales periódicos y no periódicos, y cómo estos pueden ser sumados, multiplicados, restados y divididos con facilidad.
🔍 Características de los números reales
El segundo párrafo se enfoca en las propiedades que definen a los números reales como un cuerpo ordenado completo. Se describe que un cuerpo es un conjunto con operaciones que cumplen ciertas propiedades, como la existencia de elementos neutros y la posibilidad de realizar operaciones entre cualquier par de elementos. Además, se menciona la importancia de que el conjunto esté totalmente ordenado y cómo los números racionales, aunque cumplen con ser un cuerpo y estar ordenados, no tienen la propiedad de la mínima cota superior. Se introduce la idea de las 'cortaduras' como una forma de construir los números reales, cumpliendo con todas las propiedades requeridas, y se hace referencia a diferentes matemáticos que contribuyeron a la definición de los números reales, incluyendo a Cantor y Dedekind.
Mindmap
Keywords
💡Números reales
💡Cuerpo ordenado completo
💡Números naturales
💡Números enteros
💡Fracciones
💡Números racionales
💡Números irracionales
💡Propiedad de la mínima cota superior
💡Cortaduras
💡Construcción de los números reales
💡Raíz cuadrada
Highlights
Los números reales son fundamentales en matemáticas y comprenden tanto números racionales como irracionales.
Los números naturales, enteros y fracciones (racionales) son subconjuntos de los números reales.
Los números irracionales, como la raíz cuadrada de 2, son infinitos y no siguen un patrón en sus decimales.
La definición de números reales como un cuerpo ordenado completo es crucial para el cálculo y el análisis matemático.
Los números reales verifican propiedades como ser un cuerpo, estar ordenados y cumplir con la propiedad de la mínima cota superior.
Los números racionales, a pesar de ser un cuerpo ordenado, no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior.
La construcción de los números reales incluye conceptos como las sucesiones de Cauchy y las cortaduras de Dedekind.
Las cortaduras de Dedekind son conjuntos de números racionales que no están vacíos, no contienen a todos los racionales y cumplen con ciertas condiciones.
Cada número real, sea racional o irracional, corresponde a una cortadura única.
La cortadura que contiene todos los racionales menores que la mitad de la raíz cuadrada de 2 corresponde a la raíz cuadrada de 2.
La universidad politécnica de Valencia patrocina este vídeo, que explora los fundamentos matemáticos de los números reales.
Los números reales son la base para entender conceptos matemáticos más avanzados y para el desarrollo de teorías matemáticas.
La música y la presentación en el vídeo ayudan a hacer la explicación de los números reales más amena y accesible.
El vídeo aborda el concepto de infinito en relación con los números naturales y cómo se extiende a otros tipos de números.
Se explica la diferencia entre números racionales y irracionales, y cómo estos últimos desafían la definición de los racionales.
La importancia de la propiedad de la mínima cota superior para completar los números racionales y formar los números reales se destaca.
El vídeo invita a los espectadores a reflexionar sobre la definición de los números reales y a cuestionar las nociones aprendidas.
Transcripts
hola cerebros matemáticos en el colegio
en la secundaria en el instituto en la
universidad todo el mundo habla de los
números reales y les ponen una r rara ok
todos estamos familiarizados con ellos
pero alguien sabe definirlos es más se
pueden definir realmente vamos a echar
un vistazo a los números reales y ya os
aviso que no va a ser sencillo quién
dijo miedo
[Música]
hola amigos este vídeo está patrocinado
por la universidad politécnica de
valència
vamos a meternos un poco en los
fundamentos de las matemáticas y eso
siempre resulta rarito pero es necesario
amigos no podemos quedarnos entender las
cosas vamos a empezar con cosas muy
sencillas y llegaremos a otras bastante
complicadas
detente cuando sientas que tu cabeza va
a estallar en por precaución
conocemos los números de contar el uno
el dos el tres y así infinitos números
la primera vez que venimos a hablar de
eso del infinito no explicamos bastante
y le decimos a mamá que la queremos
infinito y mil cosas así que ya luego
alguien nos dice que además de esos
números de contar que resulta que se
llaman naturales hay unos iguales pero
negativos y todos ellos juntos incluido
el cero se llaman números enteros se
pueden sumar restar multiplicar sin
dificultad es una fiesta vaya
más adelante parece que a alguien se le
ocurrió que era buena idea dibujar una
rayita poner un número entero arriba y
llamarlo numerador poner otro debajo
llamarlo denominador y que todo eso sea
un número que llamamos fracción y que
equivale al resultado de dividir el
numerador entre el denominador y eso
casi nunca son número entero y esos
números se llaman racionales muy loco
y ahí es donde empieza el lío los
números racionales son un lío no para
empezar algunos que parecen distintos
resulta que son iguales como tres
cuartos y seis octavos encima está todo
eso de los decimales los principales
periódicos y tal por supuesto los
racionales también son infinitos claro
igual que los naturales o los enteros y
encima estos números también se pueden
sumar multiplicar restar y dividir sin
problemas bueno sin problemas en
problemas que se lo preguntan a la gente
que está aprendiendo ahora suma las
fracciones con eso del mínimo común
múltiplo
parece que esos racionales valen para
todos ya podemos descansar tenemos unos
números que sirven para cosas tan
grandes como queramos y tan pequeñas
como queramos y son más o menos
sencillos de hecho para los ángeles
estás los racionales son bastante más
sencillos que los enteros por razones
que quizá os expliqué otro día cuando
estáis preparados
bien bueno pues el caso es que un día el
profe o la profe de matemáticas viene
todas happy diciendo que existen números
que no se pueden poner como infecciones
que hay números que no son racionales se
les llama ir nacionales pero este vacile
que es se acabó la paz si encima tiene
el propio la profe un día bueno se pone
a demostrar que por ejemplo la raíz
cuadrada de 2 no es nacional presentados
y ésta resulta que los números
irracionales no son unos pocos son
muchísimos hay infinitos de ellos de
hecho hay muchísimos más que racionales
más infinitos que hay infinitos los hay
muy famosos como pi o como eje pero es
que además cada uno de esos bichos tiene
infinitos decimales que no sigue ningún
patrón ya sabéis cómo le pasa
y esto no es nada especial es la verdad
en fin que para ese momento ya estamos
en la secundaria y el profe o la profe
te dice que a los irracionales ya los
racionales los juntamos todos en un
conjunto y a ese conjunto lo llamamos
los números reales y le ponemos una erre
rara
para un poco en serio a ver que yo ya sé
que los profes hacen esto para que nadie
llore a nadie les sangre en los ojos o
le entren ganas de llamar a su mamá en
clase pero esa definición de números
reales te deja un poco insatisfecho
vamos a tratar de definirlos en
condiciones
a trabajar decimos que los números
reales son un conjunto que verifica una
serie de propiedades que los hacen un
cuerpo ordenado completo y eso convierte
a los reales en la base del cálculo del
análisis matemático tranqui que aunque
esto es una muy muy muy raro sin embargo
no lo es tanto vamos a tratar de
explicarlo poquito a poco para empezar
partimos de un conjunto de elementos
esos van a ser los números reales y un
par de operaciones entre ellos la suma y
la multiplicación la resta y la división
viven de regalo con ellas
si lo primero que tiene que cumplir ese
conjunto con esas operaciones es que
tiene que ser un cuerpo eso qué quiere
decir pues básicamente que podemos sumar
multiplicar restar o dividir cualquier
par de elementos y el resultado seguirá
dentro del conjunto también tiene que
haber elemento neutro identidad etcétera
pero no quiero hacerlo largo mira por
ejemplo los enteros no forman un cuerpo
porque si yo divido 3 entre 2
el resultado no es me entero esos no
valen los racionales sí porque coja a
los dos que coja si individuo o sumo
multiplicó o lo que sea el resultado es
otro racional vale ser un cuerpo es lo
primero pero no basta
lo segundo es que tiene que ser un
conjunto totalmente ordenado o sea que
dados los elementos o son iguales o uno
es mayor que el otro o viceversa además
ese orden tiene que ser compatible con
la suma y el producto bien eso es fácil
eso lo cumplen los nacionales también
incluso los enteros lo cumplen pero no
basta
hay una propiedad más que se debe
cumplir atentos ahora que aquí viene la
clave y es lo que se llama la propiedad
de la mínima cota superior el nombre
asusta pero no es para tanto lo que
quiere decir es que si tomo un
subconjunto cualquiera de elementos que
se ha acotado por arriba o sea que hay
algún número más grande que todos los de
ese conjunto
eso se llama una cota superior entonces
existe una cota superior mínima es decir
hay un número más grande que todos los
del subconjunto a ese que sea el más
pequeño que tiene esa propiedad y eso
tiene que pasar siempre para todo el
conjunto acotado y ocurre que eso los
racionales no lo cumplen os pongo un
ejemplo ya estoy viendo gente babeando
en posición fetal vamos a tomemos el
conjunto de todos los racionales p tales
que p elevado al cuadrado es menor que 2
el 1 pertenece es conjunto 1 al cuadrado
es menor que 2 en un medio también pero
por ejemplo tres medios ya no porque
tres medios al cuadrado es nueve cuartos
y eso es mayor que 2
tres medios es mayor que cualquier
elemento de ese conjunto es una cota
superior vamos que el subconjunto de s
está acotado y sin embargo no hay una
cota superior mínima para ese conjunto
es un poco largo de demostrar ahora pero
es sencillo vale los racionales son un
cuerpo y son ordenados pero no tienen el
axioma s de la mínima cota superior
tiene que haber algo más allá de los
racionales
si logramos construir un cuerpo ordenado
y con ese axioma raro tenemos los reales
y se puede se puede de hecho hay varias
construcciones equivalentes cada una con
sus ventajas e inconvenientes una la
hizo el gran cantor usando unas cosas
llamadas sucesiones de koch y otra muy
buena la hizo de de 15 con una idea
llamada cortadura desde de que si os
atrevéis os la cuenta y así podéis
vacilar de que sabéis lo que son las
cortaduras desde hace aquí
franquis que os doy una versión
simplificada si habéis llegado hasta
aquí es que sois valientes de the king
definir una cortadura llamémosle ere
como cualquier conjunto de los
nacionales que cumple que r no está
vacío r no es todo
racionales para canal número del
conjunto r todos los que son más
pequeños que ese número también están en
el conjunto aéreo y r no tiene un
elemento máximo bueno pues desde que
indefinido los reales como el conjunto
de todas las cortaduras r recordar que
cada cortadura es un conjunto bueno pues
sentido definido como sumar esos
conjuntos como multiplicarlos como
ordenarlos y todo funciona como
queríamos
incluso cumplen lo de la mínima cota
superior o sea las cortaduras forman un
cuerpo ordenado completo es bastante
alucinante que cada número entero cada
número racional y cada número irracional
corresponde con una cortadura distinta y
se suman se multiplican etcétera
igualito igualito a como estamos
acostumbrados por ejemplo la cortadura
formada por todos los racionales menores
que tres medios corresponde al número
tres medios que es un racional y la
cortadura formada por todos los números
racionales que o bien son menores que 0
o bien elevados al cuadrado son menores
que 2 corresponde al irracional
raíz cuadrada de los éxitos de quien era
un genio la verdad gracias a él los
reales están bien definidos y si queréis
ver su dar a el profe decirle un día en
clase que definan los reales nos vemos
en el próximo portero
[Música]
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