Physics 68 Lagrangian Mechanics (19 of 32) Oscillating Bar

Summary

En esta conferencia en línea, se analiza el movimiento de una barra articulada en un extremo y sostenida por una resortera en el otro. La barra oscila alrededor de un equilibrio horizontal debido a la interacción entre la fuerza de gravedad y la tensión del resorte. El objetivo es encontrar la ecuación del movimiento utilizando el método de Lagrange, calculando la energía cinética y potencial del sistema. Se resuelve la ecuación de la barra en equilibrio y se sustituye en las expresiones para obtener la ecuación de movimiento final, que describe las oscilaciones de la barra.

Takeaways

• 😀 La clase trata sobre el movimiento de una barra articulada en un extremo y soportada por una muelle en el otro.
• 🔧 La barra puede oscilar alrededor de su posición horizontal de equilibrio tras ser desplazada y soltada.
• 🌀 Se utiliza el método de Lagrange para encontrar la ecuación del movimiento de este sistema mecánico.
• 📚 Se definen las energías cinética y potencial del sistema, que son fundamentales para la aplicación del método de Lagrange.
• 🏋️ La energía cinética del sistema es dada por la mitad del momento de inercia multiplicado por la velocidad angular al cuadrado.
• ⚖️ El momento de inercia de la barra es un tercio de la masa multiplicada por la longitud al cuadrado.
• 📉 La energía potencial incluye la energía almacenada en la muelle y la energía potencial gravitacional perdida por la barra.
• 🔍 Se determina la constante de elongación inicial de la muelle (x_nought) a partir de la condición de equilibrio de torques.
• 📐 La ecuación de movimiento se obtiene tomando derivadas parciales del Lagrangiano con respecto a theta y theta punto (velocidad angular y aceleración angular).
• 🧩 Al final, se simplifica la ecuación para obtener la forma más compacta que describe el movimiento oscilatorio de la barra: θ'' + (3k/m)θ = 0.
• 🤔 El guion sugiere que el proceso de derivación puede ser complejo y requiere atención para evitar errores.

Q & A

¿Qué tipo de sistema se está analizando en la conferencia?

Se está analizando un sistema de una barra que puede girar en un extremo y está soportada por una muelle en el otro extremo.

¿Cuál es la condición inicial de la muelle en el sistema descrito?

Inicialmente, la muelle no alcanza todo el camino hasta la barra, lo que significa que está en su longitud natural.

¿Cómo se define la variable 'x' en el contexto de la conferencia?

La variable 'x' se refiere a la extensión adicional de la muelle cuando se estira más allá de su longitud natural para alcanzar la barra horizontal.

¿Qué variable se utiliza para describir el movimiento de la barra en el sistema?

La variable utilizada para describir el movimiento de la barra es el ángulo theta (θ).

¿Cómo se calcula la energía cinética del sistema?

La energía cinética se calcula como la mitad del momento de inercia multiplicado por la velocidad angular al cuadrado (θ˙²), donde el momento de inercia para una barra en un extremo es un tercio de la masa multiplicada por el cuadrado de la longitud de la barra.

¿Cuál es la fórmula para el momento de inercia de una barra en un extremo?

El momento de inercia de una barra en un extremo es un tercio de la masa (m) multiplicada por el cuadrado de la longitud (l) de la barra.

¿Cómo se determina la energía potencial del sistema?

La energía potencial se determina como la energía potencial almacenada en la muelle más la energía potencial perdida debido a la caída del centro de masa de la barra.

¿Cómo se relaciona la extensión de la muelle con la posición de la barra?

La extensión de la muelle se relaciona con la posición de la barra a través de la suma de la extensión natural 'x' más la extensión adicional 'lθ', donde 'l' es la longitud de la barra y 'θ' es el ángulo de rotación.

¿Cómo se establece el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza de la muelle en la barra horizontal?

El equilibrio se establece cuando la fuerza de gravedad en el centro de masa de la barra es igual y opuesta a la fuerza de la muelle en su estado natural, lo que se expresa como 'kx = mg/2'.

¿Cuál es la ecuación final del movimiento para el sistema de la barra y la muelle?

La ecuación del movimiento final es θ¨ + (3k/m)θ = 0, donde θ¨ representa la aceleración angular y 'k' y 'm' son la constante de la muelle y la masa de la barra, respectivamente.

Outlines

00:00

😀 Introducción a la oscilación de una barra con resorte

El primer párrafo presenta un sistema físico compuesto por una barra que puede girar sobre un extremo y está soportada por un resorte en el otro. Se describe cómo la barra, inicialmente horizontal, se oscila debido al equilibrio entre la fuerza de gravedad y la tensión del resorte. El objetivo es encontrar la ecuación del movimiento de este sistema utilizando la variable ángular theta. Se introduce la constante 'x de no', que representa la extensión adicional del resorte más allá de su longitud natural, y se discuten las fórmulas para la energía cinética y potencial del sistema, utilizando el momento de inercia y la ecuación de la energía potencial del resorte.

05:01

🔍 Análisis de la energía cinética y potencial del sistema

En el segundo párrafo, se profundiza en el cálculo de la energía cinética y potencial del sistema. Se establece que la energía cinética es proporcional al momento de inercia, que para una barra en rotación es uno tercero de la masa multiplicada por el cuadrado de la longitud. La energía potencial se compone de la energía almacenada en el resorte, que es proporcional al cuadrado de su extensión, y la pérdida de energía potencial debido a la caída del centro de masa de la barra. Se resuelve la constante 'x de no' utilizando el equilibrio de torques y se sustituye en la fórmula de energía potencial para obtener expresiones en términos de variables conocidas.

10:02

📚 Aplicación del método de Lagrange para hallar la ecuación del movimiento

El tercer párrafo detalla el uso del método de Lagrange para derivar la ecuación del movimiento de la barra. Se calcula el Lagrangiano como la diferencia entre la energía cinética y potencial, y se derivan parcialmente con respecto a theta y theta punto para encontrar las ecuaciones de movimiento. Se simplifica la expresión para obtener una ecuación de segunda orden en términos de theta doble punto, que representa la aceleración angular de la barra. Finalmente, se presenta la ecuación del movimiento en su forma más compacta, mostrando que es una oscilación armónica con una frecuencia determinada por las constantes del sistema.

Keywords

💡Lectura

La 'lectura' se refiere a la acción de analizar y comprender el contenido de un texto, en este caso, el guion del video. Es fundamental para identificar y extraer los conceptos clave que son esenciales para entender el tema y el contenido del video sobre la mecánica de un barro oscilante.

💡Palabra clave

Las 'palabras clave' son términos seleccionados que representan los conceptos centrales en un texto. En el guion, se destacan como la base para entender el tema de la lección, que es el movimiento de un barro con un resorte en un extremo.

💡Barra articulada

Una 'barra articulada' es un objeto que puede girar alrededor de un punto fijo, como se describe en el guion, donde una de las extremidades está fija y la otra está conectada a un resorte. Es central para el estudio de la oscilación del sistema.

💡Resorte

El 'resorte' es un elemento elástico que se extiende o contrae para generer fuerza. En el video, el resorte es el soporte en un extremo de la barra y es crucial para el equilibrio y el movimiento oscilatorio de la barra.

💡Equilibrio

El 'equilibrio' se refiere a un estado en que las fuerzas actuando sobre un objeto son iguales y opuestas, evitando así el movimiento. En el guion, se menciona que el barro alcanza un equilibrio horizontal cuando las fuerzas de gravedad y la tensión del resorte son iguales.

💡Oscilación

La 'oscilación' es un movimiento repetitivo de un objeto alrededor de una posición de equilibrio. En el guion, la oscilación se refiere al movimiento del barro después de ser desplazado y soltado.

💡Ecuación del movimiento

La 'ecuación del movimiento' describe matemáticamente el comportamiento del movimiento de un objeto. En el guion, se busca encontrar esta ecuación para el sistema de la barra y el resorte utilizando el método de Lagrange.

💡Lagrangiano

El 'Lagrangiano' (denominado como 'l' en el guion) es una función utilizada en la mecánica para derivar las ecuaciones del movimiento de un sistema. Se define como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema.

💡Energía cinética

La 'energía cinética' es la energía que un objeto posee debido a su movimiento. En el guion, se calcula la energía cinética de la barra en movimiento rotativo, considerando su momento de inercia y la velocidad angular (theta dot squared).

💡Energía potencial

La 'energía potencial' es la energía que un objeto posee debido a su posición en un campo de fuerza, como la gravedad. En el guion, se discute cómo calcular la energía potencial del sistema, incluida la energía elástica del resorte y la pérdida de altura del centro de masa de la barra.

💡Momento de inercia

El 'momento de inercia' es una medida de la resistancia de un objeto a la rotación. Para una barra articulada en un extremo, como se describe en el guion, el momento de inercia es un tercio de la masa del objeto multiplicado por el cuadrado de la longitud de la barra.

💡Derivada parcial

Una 'derivada parcial' es una generalización de la derivada estándar que se utiliza cuando se tiene una función de varias variables. En el guion, se utilizan derivadas parciales para encontrar las relaciones entre las variables del sistema y derivar la ecuación del movimiento usando el Lagrangiano.

💡Torque

El 'torque' (momento de fuerza) es la tendencia de una fuerza a causar una rotación alrededor de un eje. En el guion, se analiza el torque causado por la fuerza de gravedad y el resorte para entender el equilibrio y el movimiento de la barra.

💡Elongación

La 'elongación' se refiere a la extensión de un resorte desde su longitud natural hasta su longitud estirada. En el guion, la elongación del resorte es un factor clave en la energía potencial almacenada y en la ecuación del movimiento del sistema.

Highlights

Introduction to a lecture on the dynamics of a hinged bar supported by a spring.

Description of the bar's initial state and the natural length of the spring.

Explanation of the equilibrium state when the bar is horizontal.

Introduction of the variable 'x' representing the extra extension of the spring.

Use of the bar's length 'l' and angle 'theta' to calculate the spring's elongation.

Introduction of the Lagrangian method to solve the system's equation of motion.

Calculation of the kinetic energy of the system considering rotational motion.

Derivation of the moment of inertia for the bar and its relation to mass and length.

Expression of the kinetic energy in terms of variable 'theta'.

Complex calculation of the system's potential energy involving spring force and gravitational potential.

Identification of the constant 'x_not' and its relation to the spring's natural length.

Derivation of the torque balance equation at the equilibrium state.

Calculation of 'x_not' using the torque balance and given constants.

Substitution of 'x_not' into the potential energy equation.

Formulation of the Lagrangian with kinetic and potential energy components.

Differentiation of the Lagrangian to find the equation of motion.

Final equation of motion for the oscillating bar and spring system.

Verification of the derived equation and its significance in understanding the system's dynamics.

Transcripts

welcome to our lecture online

the examples are beginning to be more

and more interesting here so what we

have here is a bar

which can hinge on one end

and it's supported by spring on the

other end

now initially the spring would not reach

all the way down to the bar this would

be the natural length of the spring so

when you attach

the spring to the bar

the weight of the bar will pull the bar

will pull the spring until the force of

gravity on the bar causing it well

actually the torque on the bar and the

torque caused by the spring until those

are at equilibrium and supposedly there

will be equilibrium when the bar is

horizontal so normally if you place the

bar in the horizontal state attached to

the spring then nothing would move we

would just sit there and then of course

once you pull it down and you let go the

bar would oscillate back and forth and

we're trying to find the equation of

motion of this particular system

let's call the distance from where the

unstretched spring reaches to where the

bar is horizontal that extra extension

of the spring where we pull it down then

let's call that x of not that's not a

variable that is actually a constant

value

and we don't know yet what that is

and then the additional distance of

spring is elongated notice we can use

l the length of the bar times the angle

theta to get that additional distance

right there so it looks like

the variable that we're working with

will be the variable theta

now what we need to do to solve this

using the lagrangian we'll need to find

the kinetic energy and the potential

energy of the system and so let's start

with the kinetic energy of the system

the kinetic energy

will be equal to and now notice that the

bar will only swing back and forth like

this attached to one end so we're

looking at rotational motion of the bar

so the kinetic energy will be one half

the moment of inertia times omega

squared

well the moment of inertia of a bar

that's attached to one end is one-third

the length times

well we also need the mass let me put

the mass it would be one-third the mass

times the length squared so this becomes

equal to one-half times one-third the

mass times the length squared and we'll

we'll write the l as a little l to that

to differentiate it from the big l for

the lagrangian so that's the moment of

inertia and then omega well omega that

would be theta dot so we'll write as

theta dot squared

and that means that the kinetic energy

then becomes 1 6

m

l squared

theta dot squared and so that will then

be the kinetic energy in terms of the

only variable in the system theta and

that's why we're only looking for a

single equation of motion

now we need the potential energy and

that's a little bit more tricky here

okay let's try it

so the potential energy

is equal to well first of all it'll be

the potential energy of the

spring

and that means it's going to be one half

k

times the elongation squared and the

elongation will be the sum of x sub

naught plus

the l theta quantity squared

that will be the potential energy stored

in the spring and then minus because the

bar loses height now the center mass

will be at the middle so the distance

that the middle drops would be

half of this so the drop in potential

energy will be m times g times half of l

theta so l theta over 2

and that will then give us the potential

energy

but notice we're stuck with this x sub

naught we know it's a constant but what

is that constant equal to

well notice that we said in the

beginning that if everything is just in

a constant stationary mode in a static

mode with the bar horizontal the weight

of the bar will be canceled out by the

force on the spring keeping the bar

horizontal which means that the sum of

the torques about this point must add up

to zero so the sum

of the torques add up to zero and so

what does that equal to well we have the

mg and let me use a different color

so we have this torque right here that

mg and notice that gives us a clockwise

torque which is a negative torque that

would be minus

m

g

times the distance and that distance

here well since the angles are very

small we can simply call that that

distance half l so it would be l over 2

l over 2

and that would be the force times the

perpendicular distance from the point of

rotation to the line of action the force

it's negative because it gives you a

clockwise torque and then minus

the force of the spring

and let's see here the force of the

spring that would be in its natural

unstretched state well stretch because

the spring and natural length is this

but without pulling it down any further

from its equilibrium point and so that

would be kx

so kx

sub naught times l

because we have to multiply the force

times the perpendicular distance and so

we get l

all right so now this balances out so we

have the torque caused by the weight of

the beam

through the center mass counterbalance

oh uh let's see here that would be plus

i'm sorry that would be a plus because

this acts in a counterclockwise

clockwise direction so it's plus

the force on the spring kx times the

distance from where this force acts to

the point of rotation

and since that's equal to zero that

means that the l's cancel out

like this

which means that we can write this as kx

sub naught

is equal to when we move the other side

mg over 2 and i'm moving the k down here

so x sub naught equals

m g over 2 k

which means we we can replace except not

by mg over 2k and substitute that in

here so the potential energy

is equal to one-half k

times

mg

over

2k

plus

l theta quantity squared minus

mg

l over 2. oh l theta over 2.

all right so now we have the kinetic

energy

and we have the potential energy of the

system

and we've replaced x sub not which is a

constant by

variables or constants that we know we

know m g and k supposedly they gave

those to us

now we're ready to find this equation so

first we find the potential the partial

derivative

of l well

before i do that i should write what l

is equal to right so l is equal to the

kinetic energy minus the potential

energy so this is equal to the kinetic

energy of 1 6

m

l squared

theta dot squared

minus this so that becomes minus one

half k

times

mg

over 2k

plus

l theta quantity squared

and then minus times a minus gives us a

plus

mg

l theta over 2. all right so now we have

the lagrangian and now we can find the

partial of the lagrangian with respect

to

theta dot

x equal to notice there's no theta dot

over this part only over here so we have

2 times 1 6 which is 1 3

ml squared

times

theta

dot

okay and now we're going to take the

time derivative of this so now we take

the d dt

of the partial of the lagrange with

respect to theta dot

and so that simply gives us 1 3

m l squared theta double dot or the

acceleration of that

so

there we have this part of the

equation now we need to find the partial

value with respect to x oh

well in this case of course it's going

to be theta right so we find the partial

value with respect to theta

and that means that this becomes zero

this part becomes zero but here's the

theta in there and there's a theta as

well all right

so

the partial of l with respect to theta

is equal to

so we have minus one half k times oh

wait a minute this thing here is squared

hmm

well you know what

to make it easier we may want to just

multiply all that out

well let's try that let's try that so

i'm going to repeat l over here but

multiply this part out here that just

makes it easier to see otherwise it may

be too too easy to make a mistake so

let's try that so we write l is equal to

1 6

m

l squared theta dot squared

minus one half k

times

the first quantity squared so we get m

g over 2k quantity squared that's just a

constant squared

plus twice the product of what's inside

so plus

2 times the product that will cancel out

this 2 right here so we end up mgk l

theta mg over kl theta mg over k

times l times theta

so twice the product of those two that

gets rid of the two and this squared so

plus

l squared theta squared

and notice that's multiplied by times

the minus one half k

into those terms and then at the end we

still have a plus

m g

l theta over two and now when we do this

it makes it a lot easier to take care of

that so that goes to zero the first term

is a constant that goes to zero here we

have a theta in there so it is minus one

half k times this the k's cancel out we

end up with uh

well we still have the minus don't we we

still have the minus so minus

the k's cancel

mgl

over 2.

and then here

we end up with

2 times a half that twos the twos cancel

we have a minus so we have minus

we have k

l squared

theta to the first power

the 2 is gone all right

and then we take the partial of this

or the partial of this with respect to

theta so we end up with a minus or plus

i should say mgl

over 2.

well notice this i have a minus mgl over

2 and a plus mgl over 2 so that cancels

out

that's always nice when we can do that

and we're left with a minus kl squared

theta

for the partial of the lagrangian with

respect to theta and now finally

when we want to find the equation of

motion we take the first part which is

this so we end up with 1 3

m

l squared theta double dot

minus

the partial value with respect to in

this case theta which is minus this that

becomes plus

k l squared theta and that equals zero

and of course you could

rewrite it where you have theta double

dot in the front

so that means oh well wait a minute here

we can't simplify the l squared cancels

out so that makes it nice l squared

cancels out

we multiply everything by 3 and divide

everything by m so essentially what we

can write this as theta double dot

plus 3k

over m

theta equals zero and maybe that's a

more compact form to write the final

answer and that's then the equation of

motion of that oscillating bar attach

that spring and that

is how it's done

i think you fell asleep

let's see if i got this right

yeah

you