Why do colliding blocks compute pi?

Summary

Dieses Skript präsentiert ein faszinierendes Rätsel, bei dem die Kollisionen zweier idealisierter, gleitender Blöcke die Ziffern von Pi offenbaren. Es wird gezeigt, wie die Erhaltung von Energie und Impuls die Anzahl der Kollisionen bestimmt, die bis zur Umkehr der größeren Masse führen. Durch die Verwendung von Phasenraum-Diagrammen und geometrische Überlegungen wird das Phänomen erklärt, dass die Arc-Längen auf dem Kreis gleichmäßig verteilt sind und die Anzahl der Kollisionen somit die Ziffern von Pi widerspiegelt. Das Skript betont die Bedeutung von Phasenraum für verschiedene mathematische Felder und bietet einen tieferen Einblick in die Dynamik der Kollisionen.

Takeaways

• 🤔 Das Phänomen der Kollisionen zwischen zwei Blöcken mit einem Massenverhältnis, das eine Potenz von 100 ist, zeigt überraschenderweise die Anfangsziffern von Pi.
• 📐 Die Erhaltung von Energie und Impuls wird verwendet, um die Geschwindigkeit der Blöcke nach Kollisionen zu berechnen.
• 🔄 Ein Phasendiagramm, das die Geschwindigkeit der Blöcke darstellt, zeigt die Kollisionen als Punkte auf einem Kreis.
• 📏 Die Linien im Phasendiagramm repräsentieren die Erhaltung des Impulses und führen zu Sprüngen zwischen Punkten auf dem Kreis.
• 🎯 Die Anzahl der Kollisionen hängt von dem Winkel theta ab, der durch den Anstieg der Impulslinie gegeben ist.
• 🧮 Der Wert von theta wird durch den Arkustangens des Verhältnisses der Massen bestimmt, was zu den ersten Ziffern von Pi in der Anzahl der Kollisionen führt.
• ⚙️ Kleine Werte von theta ergeben nahezu exakte Werte, die eng mit der Anzahl der Kollisionen korrelieren.
• 📊 Das Phasendiagramm ermöglicht es, dynamische Probleme in geometrische Fragestellungen zu übersetzen.
• 🔍 Der überraschende Zusammenhang zwischen Kollisionen und Pi ist ein Beispiel für die tiefere Beziehung zwischen Dynamik und Geometrie.
• 📝 Ein alternativer, eleganterer Ansatz, der das Phänomen erklärt, wird in einem nächsten Video vorgestellt.

Q & A

Was ist das Hauptthema des Skripts?

Das Hauptthema des Skripts ist das Auftreten von Pi in einem unerwarteten Kontext, nämlich der Kollision von zwei idealisierten, gleitenden Blöcken, und wie man dieses Phänomen mit Phasenraum-Diagrammen erklärt.

Was bedeutet 'perfekte elastische Kollision'?

Eine perfekte elastische Kollision bedeutet, dass keine Energie verloren geht und sowohl die Energieerhaltung als auch die Impulskonserration bestanden bleibt.

Wie hängt die Anzahl der Kollisionen mit Pi zusammen?

Die Anzahl der Kollisionen hängt mit Pi zusammen, weil bei bestimmten Massenverhältnissen, die Potenzen von 100 sind, die Anzahl der Kollisionen die Anfangsziffern von Pi hat, z.B. 3141 für ein Massenverhältnis von 100:1.

Was ist die Bedeutung von Phasenraum oder Konfigurationsraum?

Der Phasenraum oder Konfigurationsraum ist ein mathematischer Raum, in dem der Zustand eines Systems durch einen Punkt dargestellt wird. Er ermöglicht es, dynamische Fragen in geometrische Fragen umzuwandeln.

Wie verwenden Sie Energie- und Impulskonserration, um die Geschwindigkeit nach einer Kollision zu bestimmen?

Man verwendet die Gleichungen für Energieerhaltung (½ m1 v1² + ½ m2 v2²) und Impulskonserration (m1v1 + m2v2), um die Geschwindigkeiten v1 und v2 nach der Kollision zu berechnen.

Was ist das Ziel, wenn man die Gleichungen für Energie und Impuls in einem Diagramm darstellt?

Das Ziel ist es, die möglichen Geschwindigkeitspaare zu visualisieren, die sowohl die Energie- als auch die Impulskonserration erfüllen, und so die Kollisionsprozesse zu verstehen.

Wie wird die Figur, die die Energiegleichung darstellt, in einem Diagramm visualisiert?

Die Energiegleichung wird als Ellipse visualisiert, die alle Geschwindigkeitspaare darstellt, die die gleiche totale Kinetikenergienrgie haben.

Was ist der Unterschied zwischen der Ellipse und dem Kreis in den Koordinaten des Diagramms?

Der Kreis wird verwendet, um die Werte für x und y zu skalieren, sodass die Energiegleichung in der Form ½ x² + y² = konstant dargestellt wird, was es einfacher macht, die geometrischen Beziehungen zu analysieren.

Was ist die Bedeutung des Winkels theta in dem Skript?

Theta ist der Winkel, der durch die Anwendung des Eingeschriebenen-Winkel-Satzes entsteht und entscheidet, wie viele Radianen ein Hoppen entlang der Kreislinie darstellt, was direkt mit der Anzahl der Kollisionen verbunden ist.

Wie erklärt der Skript-Autor, wie die Anzahl der Kollisionen die Ziffern von Pi widerspiegelt?

Der Autor erklärt, dass, wenn die Arc-Längen zwischen den Punkten auf dem Kreis gleichmäßig verteilt sind, die Anzahl der Kollisionen die Ziffern von Pi widerspiegelt, da die Kollisionen proportional zu diesen Arc-Längen sind.

Was ist der Zusammenhang zwischen der Taylor-Reihe und der Annäherung von Tangenswert und Winkel?

Die Taylor-Reihe zeigt, dass für kleine Winkel die Abweichung zwischen dem Tangenswert und dem Winkel selbst nur einen kubischen Fehler beinhaltet, was die Annäherung für kleine Werte sehr genau macht.

Was ist das finale Ziel des Skripts?

Das finale Ziel ist es, den Leser nicht nur an ein interessantes Pi-Rätsel zu erinnern, sondern die tiefere Beziehung zwischen Dynamik und Geometrie, die durch das Phasenraum-Diagramm veranschaulicht wird, zu verstehen.

Outlines

00:00

🧩 Pi im Spiel des elastischen Kollisionsmodells

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit einem Rätsel aus dem letzten Video, das ein idealisiertes Modell von zwei gleitenden Blöcken mit perfekt elastischen Kollisionen und keiner Friktion verwendet. Es wird gezeigt, dass, wenn das Masse des einen Blocks eine Potenz von 100-mal dem des anderen Blocks ist, die Gesamtzahl der Kollisionen, einschließlich der mit der Wand, die Ziffern von Pi hat. Dies wird durch die Verwendung des Phasenraums oder Konfigurationsraums, um Probleme zu lösen, erläutert. Die Kollisionsgeschwindigkeiten der Blöcke werden durch die Erhaltung der Energie und des Impulses bestimmt, was in einem Diagramm als Kreis und Linie dargestellt wird. Das Ziel ist es, die Anzahl der Kollisionen zu zählen, die notwendig sind, damit der größere Block umgekehrt in die andere Richtung fährt.

05:03

🎯 Dynamik in Geometrie umgewandelt

In diesem Abschnitt wird erläutert, wie die Phasendiagramme, die die Geschwindigkeiten der Blöcke als Punkte in einem abstrakten Raum darstellen, dazu verwendet werden, Fragen der Dynamik in Fragen der Geometrie umzuwandeln. Die Erhaltung der Energie entspricht der geometrischen Idee eines Kreises, während die Anzahl der Kollisionen die Anzahl der Sprünge entlang Linien zählt. Die Diskussion konzentriert sich darauf, wie die Länge der Bogen zwischen den Punkten auf dem Kreis gleichmäßig verteilt ist und wie die Inkreiswinkeltheorem zur Berechnung der Anzahl der Kollisionen verwendet wird, indem man die Summe der Arc-Längen berechnet, die notwendig sind, um den gesamten Kreis zu überschreiten.

10:06

📚 Phasenraumanalyse und Pi-Entdeckung

Dieses Kapitel fasst die vorherigen Diskussionen zusammen und betont die Bedeutung der Phasenraumanalyse, die Probleme der Dynamik in Probleme der Geometrie umsetzt. Es wird erklärt, dass die Erhaltung der Energie die Grundlage für die Entdeckung von Pi in der Kollisionsanzahl bildet. Die Verwendung des Inkreiswinkeltheorems und die lineare Approximation der Tangentenfunktion für kleine Winkel werden zur Berechnung des Winkels theta verwendet, der die Anzahl der Kollisionen bestimmt. Die Erklärung zeigt, wie die Massenverhältnisse, die Potenzen von 100 sind, zu einer Anzahl der Kollisionen führen, die den Anfangszahlen von Pi entspricht. Schließlich wird die Erwartung geäußert, dass ein nächstes Video eine alternative Perspektive auf dieses Phänomen präsentieren wird, die noch eleganter ist.

Keywords

💡Kollision

Eine Kollision ist ein physikalischer Prozess, bei dem zwei Objekte aufeinanderprallen und ihre Bewegungsenergie austauschen. Im Video wird das Konzept von elastischen Kollisionen erläutert, bei denen keine Energie verloren geht. Die Kollisionen der beiden Blöcke sind der Schlüssel zum Verständnis, warum die Anzahl der Kollisionen mit den Ziffern von Pi übereinstimmt.

💡Erhaltungssätze

Erhaltungssätze sind grundlegende Prinzipien in der Physik, die besagen, dass bestimmte Größen in einem geschlossenen System konstant bleiben. Im Video werden insbesondere die Erhaltung von Energie und Impuls besprochen, die die Grundlage für die Berechnung der Geschwindigkeit der Blöcke nach jeder Kollision bilden.

💡Elastische Kollision

Bei einer elastischen Kollision wird keine kinetische Energie in andere Energieformen umgewandelt, was bedeutet, dass die Gesamtenergie des Systems vor und nach der Kollision gleich bleibt. Diese Art der Kollision ist zentral für das Verständnis der beschriebenen Physik, da die Blöcke in einem idealisierten Raum ohne Energieverlust agieren.

💡Phasenraum

Der Phasenraum, auch Konfigurationsraum genannt, ist eine abstrakte mathematische Darstellung, in der der Zustand eines dynamischen Systems als Punkt dargestellt wird. Im Video wird der Phasenraum verwendet, um die Dynamik der Blockkollisionen als geometrisches Problem darzustellen, bei dem die Erhaltungsgesetze durch Kreise und Linien im Phasenraum visualisiert werden.

💡Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand eines Objekts gegen Drehbewegungen. Im Zusammenhang mit den Blockkollisionen beschreibt das Video, wie die Masseverhältnisse zwischen den Blöcken das Verhalten der Kollisionen beeinflussen, wobei das größere Trägheitsmoment des größeren Blocks eine wichtige Rolle spielt.

💡Pi

Pi (π) ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser beschreibt. Überraschenderweise tauchen die ersten Ziffern von Pi in der Gesamtanzahl der Kollisionen auf, wenn das Massenverhältnis der Blöcke eine Potenz von 100 beträgt. Dies zeigt die tiefere Verbindung zwischen Geometrie und Physik in diesem Szenario.

💡Eingeschriebener Winkelsatz

Der eingeschriebene Winkelsatz besagt, dass ein Winkel, der von drei Punkten auf einem Kreis gebildet wird, genau die Hälfte des Winkels ist, der von den gleichen Punkten mit dem Kreismittelpunkt gebildet wird. Im Video wird dieser Satz verwendet, um die Abstände zwischen den Kollisionspunkten auf dem Kreis zu erklären, was letztendlich zur Berechnung der Gesamtzahl der Kollisionen führt.

💡Taylor-Reihe

Die Taylor-Reihe ist eine mathematische Methode zur Annäherung von Funktionen durch unendliche Summen. Im Video wird die Taylor-Reihe verwendet, um zu zeigen, wie nahe der Arcustangens einer kleinen Zahl dieser Zahl selbst ist, was bei der Berechnung der Kollisionsanzahl hilft.

💡Massendurchschnitt

Der Massendurchschnitt beschreibt das Verhältnis der Massen der beiden Blöcke, das entscheidend für das Verhalten des Systems ist. Im Video wird erläutert, wie ein Verhältnis von 100 zu 1 oder eine Million zu 1 die Anzahl der Kollisionen beeinflusst und warum dies zur Übereinstimmung mit den Ziffern von Pi führt.

💡Geometrie der Dynamik

Die Geometrie der Dynamik ist ein Konzept, das dynamische Probleme als geometrische Probleme darstellt. Im Video wird gezeigt, wie die Bewegungen und Kollisionen der Blöcke durch Kreise und Linien im Phasenraum dargestellt werden können, was die komplexen dynamischen Prozesse verständlicher macht.

Highlights

Ein Puzzle aus dem letzten Video, bei dem zwei gleitende Blöcke in einer idealisierten Welt ohne Reibung und mit perfekt elastischen Kollisionen interagieren.

Ein Block mit einer Masse, die eine Potenz von 100-mal der des anderen Blocks ist, führt zu einer überraschenden Tatsache: Die Anzahl der Kollisionen hat die gleichen Anfangszahlen wie Pi.

Die Phasenraum-Darstellung, auch bekannt als Konfigurationsraum, ist ein Kerninstrument in vielen anderen Feldern der Mathematik.

Die Erhaltung der Energie und der Impuls wird verwendet, um die Geschwindigkeiten der Blöcke nach einer Kollision zu bestimmen.

Die Darstellung der Energiegleichung als Ellipse im Phasenraum.

Die Transformation der Koordinaten, um die Energiegleichung in die Form eines Kreises zu bringen.

Die Anwendung des Impulserhaltungssatzes, der eine Gerade im Phasenraum definiert.

Die Beschreibung der Kollisionen als Sprung entlang einer Geraden mit einer bestimmten Steigung.

Die Reflexion des zweiten Blocks an der Wand und die damit verbundene Änderung der y-Koordinate im Diagramm.

Die Phasendiagramme als mächtige Idee in der Mathematik, die dynamische Fragen in geometrische Probleme übersetzt.

Die Verwendung des Eingeschriebenenwinkelsatzes, um die Länge der Bogenstrecke zwischen den Punkten auf dem Kreis zu bestimmen.

Die Beziehung zwischen der Anzahl der Kollisionen und der Summe von 2-Theta-Bogenlängen, die das gesamte Kreismaß überschreiten.

Die Berechnung des Winkels Theta als arctan des Verhältnisses der Wurzeln der Massen.

Die Annäherung des arctan für kleine Werte an den Wert selbst und die daraus resultierende Genauigkeit in der Anzahl der Kollisionen.

Die Erklärung der Tatsache, dass die Tangente für kleine Winkel annähernd dem Wert des Winkels selbst entspricht.

Die Zusammenfassung der Lösung, die zeigt, wie die Phasenraum-Darstellung Probleme der Dynamik in geometrische Probleme übersetzt.

Die Andeutung einer alternativen Perspektive zur Erklärung dieses Phänomens, die in einem zukünftigen Video präsentiert werden soll.

Transcripts

Last video I left you with a puzzle.

The setup involves two sliding blocks in a perfectly idealized world where there's

no friction and all collisions are perfectly elastic, meaning no energy is lost.

One block is sent towards another smaller one,

which starts off stationary and there's a wall behind it,

so that the smaller block bounces back and forth until it redirects the big block's

momentum enough to fully turn around, sailing away from the wall.

If that first block has a mass which is a power of 100 times the mass of the second,

for example a million times as much, an insanely surprising fact popped out.

The total number of collisions, including those between the second mass and the wall,

has the same starting digits as pi.

In this example that's 3141 collisions.

If that first block was a trillion times the mass,

it would be 3,141,592 collisions before this happens.

Almost all of which happen in one huge unrealistic burst.

And speaking of unexpectedly big bursts, in the short time since that video went out,

lots of people have been sharing solutions and attempts and simulations, which is awesome.

So why does this happen?

Why should pi show up in such an unexpected place and in such an unexpected manner?

Foremost this is a lesson about using phase space,

also commonly called configuration space, to solve problems.

So rest assured that you're not just learning about some esoteric algorithm for pi,

this tactic here is core to many other fields, and is a useful tool to keep in your belt.

To start, when one block hits another, how do you

figure out the velocity of each one after the collision?

The key is to use the conservation of energy together with the conservation of momentum.

Let's call their masses m1 and m2, and their velocities v1 and v2,

which will be the variables changing throughout the process.

At any given point, the total kinetic energy is ½ m1 v1² plus ½ m2 v2².

So even though v1 and v2 will be changing as the blocks get bumped around,

the value of this expression must remain constant.

The total momentum of the two blocks is m1v1 plus m2v2.

This also has to remain constant when the blocks hit each other,

but it can change as the second block bounces off the wall.

In reality, the second block would transfer its momentum to the wall during

this collision, and again we're being idealistic,

say thinking of that wall as having infinite mass,

so such a momentum transfer won't actually move the wall.

So here we have two equations and two unknowns.

To put these to use, try drawing a picture to represent the equations.

You might start by focusing on the energy equation.

Since v1 and v2 are changing, maybe you think to represent the equation

on a coordinate plane where x is equal to v1 and y is equal to v2.

So individual points on this plane encode the pair of velocities of our block.

In that case, the energy equation represents an ellipse,

where each point of this ellipse gives you a pair of velocities,

all of which correspond to the same total kinetic energy.

In fact, let's change our coordinates a little bit to make this a perfect circle,

since we know we're on a hunt for pi.

Instead of having the x-coordinate represent v1,

let it be the square root of m1 times v1, which for this example stretches the figure in

the x-direction by the square root of 10.

Likewise, have the y-coordinate represent square root of m2 times v2.

That way, when you look at the conservation of energy equation,

what it's saying is ½ x2 plus y2 equals some constant,

which is the equation for a circle, which specific circle depends on the total energy,

but that doesn't matter for our problem.

At the beginning, when the first block is sliding to the left and

the second one is stationary, we're at the leftmost point on the circle,

where the x-coordinate is negative and the y-coordinate is zero.

What about right after the collision?

How do we know what happens?

Conservation of energy tells us that we must jump to some other point of the circle,

but which one?

Use the conservation of momentum.

This tells us that before and after the collision,

the value of m1 times v1 plus m2 times v2 must stay constant.

In our rescaled coordinates, that looks like saying square root

of m1 times x plus square root of m2 times y equals some constant.

And that's the equation for a line, specifically a

line with a slope of negative square root of m1 over m2.

You might ask which specific line, and that depends on what the constant momentum is,

but we know that it must pass through our first point, and that locks us into one choice.

So just to be clear about what all this is saying,

all other pairs of velocities which would give the same momentum live on this line,

in just the same way that all other pairs of velocities that give the same energy

live on this circle.

So notice, this gives us one and only one other point that we could jump to.

And it should make sense that it's something where the x-coordinate gets a little less

negative and the y-coordinate becomes negative, since that corresponds to the big block,

which is slowing down a little, while the little block zooms off towards the wall.

From here it's quite fun to see how things play out.

When the second block bounces off the wall, its speed stays the same,

but it goes from negative to positive, right?

So in this diagram, that corresponds to reflecting about the x-axis,

since the y-coordinate gets multiplied by negative 1.

Then once more, the next collision corresponds to a jump along a line

with slope negative square root of m1 over m2,

since staying on such a line is what conservation of momentum looks like in this diagram.

And from here you can fill in the rest for how the block collisions

correspond to hopping around the circle in our picture, where we keep going like this,

until the velocity of that smaller block is both positive and smaller than

the velocity of the big one, meaning they'll never touch again.

That corresponds to this triangular region in the upper right of the diagram,

so in our process we keep bouncing until we land in that region.

What we've drawn here is called a phase diagram,

which is a simple but powerful idea in math where you encode the state of some system,

in this case the velocities of our sliding blocks,

as a single point in some abstract space.

What's powerful here is that it turns questions

about dynamics into questions about geometry.

In this case, the dynamical idea of all possible pairs of velocities

that conserve energy corresponds to the geometric idea of a circle,

and counting the total number of collisions turns into counting the

total number of hops along these lines, alternating between vertical and diagonal.

But our question remains, why is it that when that mass ratio is a power of 100,

the total number of steps shows the digits of pi?

Well, if you stare at this picture, maybe, just maybe,

you'd notice that all the arc lengths between the points on this circle seem

to be about the same.

It's not immediately obvious that this should be true, but if it is,

it means that computing the value of one such arc length should be enough

to figure out how many total collisions it takes to get us into that end zone.

The key here is to use the ever-helpful inscribed angle theorem,

which says that whenever you're forming an angle using three points on a circle, P1,

P2, and P3, like this, it will be exactly half of the angle formed by P1,

the circle's center, and P3.

P2 can be anywhere on this circle, anywhere except between P1 and P3,

and this lovely little fact will be true.

So now look back at our phase space, and focus specifically on three points, like these.

Remember that first vertical hop corresponds to the second block bouncing off the wall,

and that second hop, along a slope of negative square root of m1 over m2,

corresponds to a momentum-conserving block collision.

Let's call the angle between this momentum line and the vertical line theta,

and now maybe you see it using the inscribed angle theorem,

this arc length between those two bottom points, measured in radians, will be 2 theta.

And importantly, since the momentum line has the same slope for all

of those jumps from the top of the circle to the bottom,

the same reasoning means that all of these arc lengths must also be 2 theta.

So for each hop, if we drop down a new arc, like so,

then after each collision we cover another 2 theta radians of the circle.

We stop once we're in the end zone on the right,

which remember corresponds to both blocks moving to the right with the

smaller one going slower.

But you can also think of this as stopping at the point when

adding one more arc of 2 theta would overlap with the previous one.

In other words, how many times do you have to add 2 theta to itself

before it covers more than the whole circle, more than 2 pi radians?

The answer to this will be the same as the number of collisions between our blocks.

Or to say the same thing more compactly, what's the

largest integer multiple of theta that doesn't surpass pi?

For example, if theta was 0.01 radians, then multiplying it by as much as 314

would keep you below pi, but multiplying by 315 would bring you over that value.

So the answer would be 314, meaning if our mass ratio was one such that the

angle theta in our diagram was 0.01, then the blocks would collide 314 times.

So now you know what we need to do.

Let's go ahead and actually compute the value theta, say when the mass ratio is 100 to 1.

Remember, this rise over run slope of that constant momentum line was the

negative square root of m1 over m2, which in this example is negative 10.

That would mean that the tangent of this angle theta, opposite over adjacent,

is the run over the negative rise, so to speak, which is 1 divided by 10 in this example.

So theta is going to be the arctan of 1 tenth.

Speaking more generally, it'll be the inverse tangent of the

square root of the small mass over the square root of the big mass.

If you plug these into a calculator, what you'd notice is that the inverse

tangent of such a small value is actually quite close to the value itself.

For example, arctan of 1 over 100, corresponding to a big mass of 10,000 kg,

is extremely close to 0.01.

In fact, it's so close that for the sake of our central question,

it might as well be 0.01.

What I mean by that is, analogous to what we saw a moment ago,

adding this to itself as many as 314 times won't surpass pi, but the 315th time would.

Remember, unraveling why we're doing all this,

that's a way of counting how many jumps on the phase diagram gets us into the end zone,

which in turn is a way of counting how many times the blocks collide until they're

sailing off to never touch again.

So that, my friends, is why a mass ratio of 10,000 gives 314 collisions.

Likewise, a mass ratio of a million to one will give an

angle theta equals the inverse tangent of 1 over 1000.

This is extremely close to 0.001.

And again, if we ask about the largest integer multiple of this angle that doesn't

surpass pi, it's the same as it would be for a precise value of 0.001, namely 3141.

These are the first four digits of pi because that is,

by definition, what digits of a number mean.

This explains why when the mass ratio is a million, the number of collisions is 3141.

And you might notice that all of this relies on the hope that the inverse tangent

of a small value is sufficiently close to the value itself,

which is another way of saying that the tangent of a small value is approximately

that value itself.

Intuitively, there's a really nice reason this is true.

If you look at a unit circle, the tangent of any given angle is

the height of this little triangle I've drawn divided by its width.

And when that angle is really small, the width is basically 1,

the radius of your circle, and the height is basically the same as

the arc length along that circle, and by definition that arc length is theta.

To be more precise about it, the Taylor series expansion of tangent of

theta shows that this approximation will have only a cubic error term.

So for example, the tangent of 1 one hundredth differs from 1

one hundredth itself by something on the order of 1 one millionth.

So even if we were to consider 314 steps with this angle,

the error between the actual value of arc tan 1 over 100 and the approximation

of 0.01 just won't have a chance to accumulate high enough to be as big as an integer.

So let's zoom out and sum up.

When blocks collide, you can figure out their new velocities

by slicing a line through a circle in a velocity phase diagram,

where each of these curves represents a conservation law.

Most notably, the conservation of energy is what plants that circular

seed that ultimately blossoms into the pi that we find in the final count.

Specifically, due to some inscribed angle geometry,

the points that we hit of this circle are spaced out evenly,

separated by an angle we were calling 2 theta.

This lets us rephrase the question of counting collisions,

as instead asking how many times must we add 2 theta to itself before it surpasses 2 pi.

If theta looks something like 0.001, the answer to that question has the

same first digits as pi, and when the mass ratio is some power of 100,

because arc tan of x is so well approximated by x for small values,

theta is sufficiently close to this value that it gives the same final count.

I'll emphasize again what this phase space allowed us to do,

because as I said, this is a lesson useful for all sorts of math,

like differential equations, chaos theory, and other flavors of dynamics.

By representing the relevant state of your system as a single point in an abstract space,

it lets you translate problems of dynamics into problems of geometry.

I repeat myself because I don't want you to come away just remembering a

neat puzzle where pi shows up unexpectedly, I want you to remember this

surprise appearance as a distilled remnant of the deeper relationship at play.

And if this solution leaves you feeling satisfied, it shouldn't,

because there is another perspective, more clever and pretty than this one,

due to Galperin and his original paper on this phenomenon,

which invites us to draw a striking parallel between the dynamics of these blocks

and that of a beam of light bouncing between two mirrors.

Trust me, I've saved the best for last on this topic,

so I hope to see you again in the next video.