20201-CTI212 -KALKILUS 2 - 13 (SURYANI) ***
Summary
TLDRIn this lecture, Professor Suryani discusses Taylor and Maclaurin series in Calculus 2. She explains the definitions, formulas, and processes to derive Taylor series for different functions, such as f(x) = x, f(x) = 1 + x, and f(x) = sin(x). Additionally, she introduces Maclaurin series, which are Taylor series centered at x = 0, and provides examples like f(x) = cos(x) and f(x) = e^x. Detailed explanations and step-by-step calculations are given to help students understand and apply these concepts.
Takeaways
- đ The lecture introduces the concept of Taylor and Maclaurin series, which are mathematical tools used to represent functions as an infinite sum of terms calculated from the derivatives of the function at a single point.
- đ The Taylor series is defined for a function 'f(x)' that has derivatives of all orders at a point 'a', and it is represented as a sum of terms involving the derivatives of 'f' evaluated at 'a', each term multiplied by a power of '(x-a)' and divided by the factorial of the power.
- đ The Maclaurin series is a special case of the Taylor series where the function is expanded around 'x=0', which simplifies the series since all odd powers of 'x' will have a derivative of zero at 'x=0'.
- đą The script explains the process of finding the Taylor series for a function 'f(x)', starting from finding the first derivative to higher order derivatives, and then substituting these into the Taylor series formula.
- đ The factorial function is highlighted as an essential part of the Taylor series formula, where each term involves the factorial of the power of '(x-a)'.
- đ The concept of 'remainder' or 'sisa' in the script refers to the difference between the function and its Taylor series approximation, which includes the higher order terms that are not included in the approximation.
- đ Specific examples are given to illustrate the process of finding the Taylor series for functions such as 'f(x) = x' at 'x = 2', 'f(x) = sin(x)' at 'x = Ï/2', and 'f(x) = cos(x)'.
- đ The importance of correctly calculating the derivatives and substituting the values of 'a' is emphasized to ensure the accuracy of the Taylor series approximation.
- đ The script also discusses the Maclaurin series for functions like 'f(x) = cos(x)', where all derivatives are calculated at 'x = 0' and the series is simplified due to the properties of the cosine function.
- đ The lecturer encourages students to engage in discussions with their peers if they have any doubts or do not understand certain concepts, promoting collaborative learning.
Q & A
What is the main topic discussed in the script?
-The main topic discussed in the script is Taylor and Maclaurin series, which are mathematical concepts used to approximate functions using their derivatives at a given point.
What is the definition of a Taylor series according to the script?
-The Taylor series is defined as an infinite sum of terms calculated from the derivatives of a function evaluated at a single point, divided by the factorial of the order of the derivative, multiplied by the power of the variable.
What is the factorial function mentioned in the script?
-The factorial function, denoted as '!', is the product of all positive integers up to a given number, e.g., 5! = 5 Ă 4 Ă 3 Ă 2 Ă 1.
How is the remainder term in a Taylor series described in the script?
-The remainder term in a Taylor series is referred to as the 'suku sisa' in the script, which represents the error term or the difference between the function and its Taylor series approximation.
What is the difference between a Taylor series and a Maclaurin series as explained in the script?
-The difference between a Taylor series and a Maclaurin series is that a Maclaurin series is a special case of a Taylor series where the function is expanded around the point x = 0.
What is the process for finding the Taylor series of a function according to the script?
-The process involves finding the derivatives of the function up to the desired order, evaluating them at the point 'a', and then substituting these values into the Taylor series formula.
What is the significance of the point 'a' in the Taylor series formula?
-The point 'a' is the center around which the function is expanded in the Taylor series. It is the value at which the derivatives are evaluated.
How does the script describe the calculation of the nth derivative of a function?
-The script describes the calculation of the nth derivative by repeatedly differentiating the function until the nth order and then simplifying the result.
What is the example given in the script for finding the Taylor series of the function f(x) = sin(x) at x = Ï/2?
-The script provides an example of finding the Taylor series of the sine function at Ï/2 by calculating its derivatives and substituting the values into the Taylor series formula, taking into account the values of sine and cosine at Ï/2.
What is the importance of simplifying the factorial terms in the Taylor series calculation as mentioned in the script?
-Simplifying the factorial terms is important to reduce the complexity of the calculation and to avoid potential errors in the computation process.
Outlines
đ Introduction to Taylor and Maclaurin Series
The first paragraph introduces the concept of Taylor and Maclaurin series in calculus. The speaker, identified as Suryani, a lecturer, begins by explaining the definition of Taylor series, which is a representation of a function as an infinite sum of terms calculated from the derivatives of the function at a single point. The paragraph delves into the mathematical formulation of the series, including the factorial and the sigma notation used in the series expansion. The lecturer also provides an example of finding the Taylor series for the function f(x) = x at x = 2, highlighting the process of calculating the necessary derivatives and substituting them into the series formula.
đ Derivation and Application of Taylor Series
The second paragraph continues the discussion on Taylor series by illustrating the process of deriving and applying the series to different functions. The lecturer explains how to calculate the derivatives of a function and substitute these into the Taylor series formula, taking care to include the factorial terms. An example is given for the function f(x) = sin(x) at x = Ï/2, where the derivatives of the sine function are calculated up to the sixth derivative. The importance of simplifying the series by substituting the values of the derivatives at the specified point is emphasized, and the concept of the remainder term in the series is briefly touched upon.
đ Maclaurin Series and Special Cases
The third paragraph focuses on the Maclaurin series, a special case of the Taylor series where the expansion is centered around x = 0. The lecturer clarifies that the Maclaurin series is simply the Taylor series with all terms evaluated at zero. An example is provided for the cosine function, where the derivatives up to the eighth order are calculated and substituted into the Maclaurin series formula. The paragraph also discusses the simplification of the series by recognizing that odd powers of x will have zero derivatives, thus simplifying the series. The lecturer concludes with a reminder to discuss any unclear points with peers, ending the session with a traditional greeting.
Mindmap
Keywords
đĄTaylor Series
đĄDerivative
đĄFactorial
đĄMaclaurin Series
đĄFunction
đĄInterval
đĄRemainder Term
đĄTrigonometric Functions
đĄExponential Function
đĄPower Function
Highlights
Introduction to the topic of Taylor and Maclaurin series by Suryani, a lecturer for Calculus 2.
Definition of Taylor series, including its mathematical representation with derivatives up to an infinite order.
Explanation of the factorial function and its role in the Taylor series formula.
The concept of the remainder term in Taylor series and its significance in the approximation of functions.
Derivation of the Taylor series for a function f(x) at a point x=a.
Example calculation of the Taylor series for a function f(x) = x at x = 2.
Step-by-step process of finding derivatives and substituting them into the Taylor series formula.
Importance of considering the factorial in the calculation of each term of the series.
Discussion on the remainder terms and their impact on the accuracy of the series approximation.
Application of the Taylor series to the function f(x) = sin(x) at x = Ï/2.
Explanation of the periodic nature of trigonometric functions and its effect on their derivatives.
Calculation of the Maclaurin series, a special case of the Taylor series at x = 0.
Derivation of the Maclaurin series for the cosine function, cos(x).
Clarification on the difference between odd and even powers in the Maclaurin series and their derivatives.
Example of deriving the Maclaurin series for a function f(x) = x^x, highlighting the complexity of higher-order derivatives.
Emphasis on the practical applications of Taylor and Maclaurin series in various mathematical and scientific fields.
Encouragement for students to discuss any unclear concepts with their professors for further understanding.
Closing remarks with well-wishes and a reminder of the importance of the material covered.
Transcripts
hai hai
Hai assalamualaikum warahmatullahi
wabarakatuh perkenalkan nama saya
Suryani saya salah satu dosen untuk
matakuliah kalkulus 2 Pada kesempatan
kali ini saya akan membahas mengenai
deret Taylor dan mclaurin definisi dari
deret Taylor itu adalah misalkan Saya
punya suatu fungsi fx gimana FX ini
mempunyai turun ke n artinya dia punya
turunan pertama kuliah turunan kedua
ketiga keempat kelima keenam dan
seterusnya gitu ya sampai dia mempunyai
turunan di suku ke tak hingga dimana
kita mendefinisikan ini pada suatu
interval bukan yang memuat aja dia itu
terdapat di interval buka maka deret
pangkat dari suatu efektif
Hai itu dituliskan seperti ini ya jadi
speak makanya dari nol sampai Infinite
dimana turunan fungsi f purna ke Kak Ya
turun ke Kak dari fungsi f bayi2 bagi
dengan K factory Al seperti itu bacanya
nah kemudian akan faktorial itu
faktorial itu rumusnya adalah qadhi kali
kami satu dikalikan mint dua kali kami 3
dan seterusnya sampai dikali tiga kali
dua kali satu nah itu definisi dari Kak
faktorial Ya dari harusnya di kali sama
x-men ap4k ya Jadi ada esmina ^ tagnya
kemudian kalau seandainya sigmanya saya
Uraikan bentuknya akan seperti ini jadi
Eva dikali F aksen afr-1 faktorial
dikali X min a&d tambah turunan kedua
dititik ar2 faktorial dikali X Mira
faktorial begitu
Nia sampai kita melewatkan turunan ke-n
dari fungsi f dititik a dan seterusnya
jadi masih ada titik-titik ke
belakangnya nah biasanya ini maaf aku
saya deret ini kita sebut dengan deret
Taylor yang dibangkitkan oleh fungsi f
dititik x = a gitu ya Nah untuk
suku-suku yang rendah tarik suku-suku
yang tinggi jadi misalkan turunan ke 8 9
10 itu kita sebut dengan suku sisa ya
jadi suku yang adtu runan yaitu sudah
turunan tinggi udah turun pangkat tinggi
itu kita sebut dengan suku sisa ya Nah
contohnya Tentukan deret Taylor dari
fungsi fx = x di X = 2 ya karena tadi
deret Taylor itu ada unsur turunan
pertama turunan kedua ketiga keempat dan
seterusnya maka saya cari terlebih dulu
turun pertamanya
Hai Natuna pertama dari super X itu
adalah ekspresi tukang batu x pangkat
min 1 ya berarti turunnya pertamanya min
1 per x pangkat 2 atau min x pangkat
minus 2 gitu nah saya tool seperti ini
in 1 x pangkat 2 nah kemudian turunan
kedua itu diperoleh dari turunan pertama
yang kalian turunkan lagi gitu Ini kan
bentuk dari min 1 per x kuadrat itu
adalah x pangkat min 2 min x pangkat min
2 nabati turunannya Min kali min 2 2x
pangkat kurangnya satu batu jadinya mym3
nah saya kulit seperti ini dua per x
pangkat 3 nah begitu juga dengan suruh
pangkat tiga itu diperoleh dari turunan
^ 2-nya turun keduanya kalian turunkan
lagi ya kemudian turunan ke 4 nya Kalau
turun keempat itu hati-hati ya di sini
harus ada kurangnya gitu nah ini kalau
ada kurung dengan tidak ada kurung itu
beda makna jadi kalau ada turun kurung
itu berarti dia adalah turunan ke 4 dari
fungsi fx Kalau tidak ada kurungnya
berarti itu adalah x ^ 4x itu hati-hati
ya Nah kemudian karena tadi kita punya
aa nya itu adalah dua maka Kalian cari
f2f aksen dua F12 N2 begitu seterusnya
ya artinya semua es yang ada di sini
kamu ganti sama2 kemudian disitu Ya
seperti ini nah begitu disini saya
selesaikan sampai turunan ke 4 kalian
boleh menghitung ini sampai Ternate 5
keenam ketujuh gitu nah sisanya itu
adalah suku sisanya ya seperti itu Nah
kita tahu tadi deret Taylor itu kan
bentuknya seperti ini ya Nah kalian
ganti semua XD sama2 eh sorry semuanya
ya semuanya sama2 nah kemudian kalian
subtitusikan nilai yang tadi jadi kita
kan tadi udah punya nilai f2f aksen 2R
13 N2 begitu seterusnya kemudian
dihitung dengan hati-hati di sini ada
faktorialnya ada satu faktorial 2
faktorial tiga faktorial Nah ketika
kalian sudah hitung nah ini adalah
hasilnya jadi setengah dikurangi
seperempat x218 dikali X min 2 kuadrat
Iya begitu seterusnya ditambah
titik-titik ini dimana titik-titik ini
adalah suku sisanya ya Jadi nanti
conditional Kalian mau mengerjakannya
sampai turunan keberapa ya Kemudian yang
kedua aturan dari Thailand dari fungsi
fx = 61 plus X nah ini di X = 1 jadi
prosedur ini sama seperti tadi Kalian
cari dulu Land satu prosesnya cari
turunan pertama turunan pertama dari lem
satu + F1 adalah satu persatu + F
kemudian cari turunan kedua dengan cara
kalian turunkan turunan pertamanya Aa
berarti jadinya minus yah minus 1
R1 + X dikuadrat in kalau turunan
ketiganya berarti dua ya dua persatu + x
^ 3 turunan keempatnya berarti min 6 ya
Nah kita dan disini juga saya
mengerjakannya sampai turunan ke 4
kemudian karena tadi hanya satu maka
ganti semua ST sama satu nah gitu kalian
tinggal ganti semua es teh sama satu nah
kemudian kalau sudah dapatkan nilai R1 F
aksen satu f12e 1 dan seterusnya tinggal
dimasukkan ke ekspansi deret Taylor nya
ya seperti ini nah jangan lupa nanti
dihitung ya di sini ada satu faktorial 2
faktorial tiga faktorial kemudian hasil
akhirnya adalah ini Ok saya lanjutkan
contoh yang ketiga itu adalah the ini
masih tetap deret Taylor Ya tentukan
deret Taylor dari fungsi fx = Sin X DX =
phi per 2
Hai Nah berarti kalian harus cari dulu
turunan pertamanya turunan dari steam
itu adalah tokoh turunan kedua berarti
turunan dari cos Min Sin turunan ketiga
berarti turunan dari bensin X tadi
turunan Sin adalah kos ya berarti Min
cos X turunan ke 4 berarti turunan dari
Min cos X turunan dari cos itu adalah
Min Sin X televisinet balik lagi ya ke
sini ya udah berarti Toure kalimatnya
cos X turunan keenamnya Min Sin X
turunan ketujuhnya Min cos X jadi ya Oh
saya sampai 6 ternyata disini kita jadi
kalau kalian mau menyelesaikan sampai
delapan yang enggak ada masalah lihat
dilanjutkan saja karena tadi esnya itu
saya ambil kiper2 diperbaiki 90° ya jadi
sin90 itu adalah satu cos90 itu adalah
nol ya Jadi tinggal di subtitusikan aja
keturunan pertamanya nah seperti
Ndah kalau kalian sudah memperoleh semua
nilainya tinggal kalian masukkan ke
deret trailernya ekspansi nya ya Nah
seperti itu jangan lupa di Sederhanakan
yah nilai dari satu faktorial 2
faktorial tiga faktorial dan seterusnya
Oke selanjutnya adalah tentang deret
maclaurin Nah jadi deret maclaurin itu
adalah deret Taylor tapi dimana dia itu
dibangkitkan oleh fungsi f DX = 0 jadi
esnya itu spesial x = 0 Jadi kalau ST =
nol dia adalah deret maclaurin ya
seperti itu Nah sehingga ekspansi
deretnya itu ya Nah disini tidak ada
ekstenal lagi karena hanya nol hanya ada
f x kuadrat x ^ 3 begitu seterusnya ya
Nah contohnya Tentukan deret maclaurin
dari fungsi fx = cos X Nah berarti sama
persis ketika kalian mengerjakan deret
Taylor jadi cari dulu turun
Hai pertamanya kedua ketiga keempat
begitu seterusnya Griya turunan dari cos
Min Sin Sunandar istirnya adalag Oh
berarti ada minus ditulis ulang jurnal
dari kos adalah mesin ada minusnya
berarti Sin X turunan Sin adalah chord
nah begitu seterusnya nah ini saya
selesaikan sampai turunan ke-8 karena
disini perintahnya Tentukan deret
maclaurin Berarti semua esnya itu harus
kamu ganti sama nol ya ganti semua x = 0
kemudian kalian hitung itu ya Nah
seperti ini baru kalian substitusikan ke
deret maclaurin ya nah begitu ya Nah
tinggal di substitusikan nilai f0f
Arsenal FC absen nolnya ini nilai yang
sudah dicegah anak Andri hanya sisa suku
ke kenapa kenapa ya jadi x ^ 2x makan 4x
^ X ^
Hai Karena untuk yang ^ ganjil
turunannya itu nilainya nol ya kemudian
contoh berikutnya Tentukan direktori
dari fungsi fx = x ^ x gitu ya Sama
persis Kalian cari turunan pertama kedua
ketiga dan seterusnya kebetulan turun
naik pangkat x itu adalah air pangkat x
turunkan lagi Eh pangkat x lagi gitu ya
ingat karena dia directory kalian ganti
semua X sama ya jadi ketika
disubstitusikan ke deret maclaurin nya
Nah ini adalah hasilnya ya oke demikian
Apa yang dapat saya sampaikan pada
kesempatan kali ini semoga bermanfaat
untuk kalian semua Jika masih ada
hal-hal yang belum kalian pahami silakan
kalian diskusikan dengan dokter
masing-masing ya Sekian dari saya semoga
salamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
hai hai
5.0 / 5 (0 votes)