Derivadas de orden superior - Ej. 2

julioprofe
23 Jan 201310:48

Summary

TLDREn este video, se explica detalladamente cómo encontrar la segunda derivada de una función racional. Se utiliza la regla del cociente para derivar paso a paso, comenzando con la primera derivada y aplicando la propiedad distributiva para simplificar el numerador. A continuación, se aplica nuevamente la regla del cociente para derivar la expresión obtenida, junto con la regla de la cadena para derivadas de potencias. Finalmente, se realiza una simplificación algebraica y se llega a la segunda derivada, proporcionando una comprensión clara del proceso de derivación y simplificación en funciones racionales.

Takeaways

  • 😀 La primera derivada de una función racional se obtiene aplicando la regla del cociente.
  • 😀 La derivada de un cociente se construye como: (derivada del numerador * denominador) - (numerador * derivada del denominador) / (denominador)^2.
  • 😀 Para derivar correctamente, es importante aplicar la propiedad distributiva y tener cuidado con los signos.
  • 😀 En el caso de la función proporcionada, se simplifican términos semejantes en el numerador para llegar a la primera derivada: 4x / (x^3 + 1)^2.
  • 😀 Para encontrar la segunda derivada, se debe aplicar nuevamente la regla del cociente sobre la primera derivada obtenida.
  • 😀 La segunda derivada se calcula utilizando la regla del cociente, y la derivada del denominador requiere la aplicación de la regla de la cadena.
  • 😀 La regla de la cadena se aplica cuando se deriva una potencia, donde el exponente baja a multiplicar y luego se multiplica por la derivada de la base.
  • 😀 Después de calcular la segunda derivada, se simplifica el numerador extrayendo factor común y resolviendo operaciones algebraicas.
  • 😀 La expresión final para la segunda derivada de la función es 4 * (1 - 3x^2) / (x^3 + 1)^3.
  • 😀 Es importante reconocer la simplificación de términos semejantes y aplicar correctamente las reglas algebraicas y de derivación para obtener la forma más sencilla de la derivada.
  • 😀 El proceso de derivación en este tipo de ejercicios requiere un enfoque paso a paso, prestando atención a los detalles en cada operación algebraica y de derivación.

Q & A

  • ¿Cuál es el objetivo principal del ejercicio que se está resolviendo en el video?

    -El objetivo principal es encontrar la segunda derivada de una función racional utilizando la regla del cociente para derivar.

  • ¿Qué regla se utiliza para calcular la primera derivada de la función?

    -Se utiliza la regla del cociente, que se aplica a una fracción de dos expresiones, donde se derivan el numerador y el denominador de manera específica.

  • ¿Cómo se aplica la regla del cociente en el cálculo de la primera derivada?

    -Se aplica tomando la derivada del numerador multiplicada por el denominador sin derivar, y restando el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador, todo sobre el denominador elevado al cuadrado.

  • ¿Qué ocurre con los términos semejantes en el numerador después de aplicar la propiedad distributiva?

    -Los términos semejantes se cancelan entre sí. Por ejemplo, los términos 2x * x³ y -2x * x³ se eliminan porque son opuestos, lo que simplifica la expresión.

  • ¿Cuál es la forma final de la primera derivada que se obtiene?

    -La primera derivada resulta ser 4x sobre (x³ + 1)².

  • ¿Qué regla se utiliza para calcular la segunda derivada?

    -Se vuelve a utilizar la regla del cociente para calcular la segunda derivada, aplicando la regla de la cadena para derivar el denominador.

  • ¿Cómo se utiliza la regla de la cadena para derivar el denominador en la segunda derivada?

    -La regla de la cadena se aplica bajando el exponente del denominador, multiplicando por la derivada interna (derivada de la base del denominador), y luego simplificando la expresión.

  • ¿Qué sucede con el denominador al aplicar la propiedad de potencia de una potencia?

    -Al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia, los exponentes se multiplican, lo que lleva a que el denominador se eleve a la cuarta potencia.

  • ¿Qué se hace con los términos semejantes dentro del corchete en la segunda derivada?

    -Se realizan operaciones con los términos semejantes. Por ejemplo, el término positivo y negativo con x² se suman, simplificando la expresión.

  • ¿Cómo queda la forma final de la segunda derivada?

    -La segunda derivada queda como 4 * (1 - 3x³) / (x³ + 1)³.

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