Derivadas de orden superior - Ej. 2

Summary

En este video, se explica detalladamente cómo encontrar la segunda derivada de una función racional. Se utiliza la regla del cociente para derivar paso a paso, comenzando con la primera derivada y aplicando la propiedad distributiva para simplificar el numerador. A continuación, se aplica nuevamente la regla del cociente para derivar la expresión obtenida, junto con la regla de la cadena para derivadas de potencias. Finalmente, se realiza una simplificación algebraica y se llega a la segunda derivada, proporcionando una comprensión clara del proceso de derivación y simplificación en funciones racionales.

Takeaways

• 😀 La primera derivada de una función racional se obtiene aplicando la regla del cociente.
• 😀 La derivada de un cociente se construye como: (derivada del numerador * denominador) - (numerador * derivada del denominador) / (denominador)^2.
• 😀 Para derivar correctamente, es importante aplicar la propiedad distributiva y tener cuidado con los signos.
• 😀 En el caso de la función proporcionada, se simplifican términos semejantes en el numerador para llegar a la primera derivada: 4x / (x^3 + 1)^2.
• 😀 Para encontrar la segunda derivada, se debe aplicar nuevamente la regla del cociente sobre la primera derivada obtenida.
• 😀 La segunda derivada se calcula utilizando la regla del cociente, y la derivada del denominador requiere la aplicación de la regla de la cadena.
• 😀 La regla de la cadena se aplica cuando se deriva una potencia, donde el exponente baja a multiplicar y luego se multiplica por la derivada de la base.
• 😀 Después de calcular la segunda derivada, se simplifica el numerador extrayendo factor común y resolviendo operaciones algebraicas.
• 😀 La expresión final para la segunda derivada de la función es 4 * (1 - 3x^2) / (x^3 + 1)^3.
• 😀 Es importante reconocer la simplificación de términos semejantes y aplicar correctamente las reglas algebraicas y de derivación para obtener la forma más sencilla de la derivada.
• 😀 El proceso de derivación en este tipo de ejercicios requiere un enfoque paso a paso, prestando atención a los detalles en cada operación algebraica y de derivación.

Q & A

¿Cuál es el objetivo principal del ejercicio que se está resolviendo en el video?

El objetivo principal es encontrar la segunda derivada de una función racional utilizando la regla del cociente para derivar.

¿Qué regla se utiliza para calcular la primera derivada de la función?

Se utiliza la regla del cociente, que se aplica a una fracción de dos expresiones, donde se derivan el numerador y el denominador de manera específica.

¿Cómo se aplica la regla del cociente en el cálculo de la primera derivada?

Se aplica tomando la derivada del numerador multiplicada por el denominador sin derivar, y restando el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador, todo sobre el denominador elevado al cuadrado.

¿Qué ocurre con los términos semejantes en el numerador después de aplicar la propiedad distributiva?

Los términos semejantes se cancelan entre sí. Por ejemplo, los términos 2x * x³ y -2x * x³ se eliminan porque son opuestos, lo que simplifica la expresión.

¿Cuál es la forma final de la primera derivada que se obtiene?

La primera derivada resulta ser 4x sobre (x³ + 1)².

¿Qué regla se utiliza para calcular la segunda derivada?

Se vuelve a utilizar la regla del cociente para calcular la segunda derivada, aplicando la regla de la cadena para derivar el denominador.

¿Cómo se utiliza la regla de la cadena para derivar el denominador en la segunda derivada?

La regla de la cadena se aplica bajando el exponente del denominador, multiplicando por la derivada interna (derivada de la base del denominador), y luego simplificando la expresión.

¿Qué sucede con el denominador al aplicar la propiedad de potencia de una potencia?

Al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia, los exponentes se multiplican, lo que lleva a que el denominador se eleve a la cuarta potencia.

¿Qué se hace con los términos semejantes dentro del corchete en la segunda derivada?

Se realizan operaciones con los términos semejantes. Por ejemplo, el término positivo y negativo con x² se suman, simplificando la expresión.

¿Cómo queda la forma final de la segunda derivada?

La segunda derivada queda como 4 * (1 - 3x³) / (x³ + 1)³.