Derivación implícita - Ej. 2

julioprofe
4 Aug 201008:49

Summary

TLDREste ejercicio se centra en la derivación implícita de una expresión algebraica. Se explica paso a paso cómo aplicar la regla del producto y la regla de la cadena, considerando derivadas de términos que involucran a la variable y. A través de varias transformaciones y simplificaciones, se logra despejar la derivada de y con respecto a x. Al final, el proceso concluye con la derivada implícita expresada de manera simplificada. El video guía al espectador a través de cada operación y transformación, facilitando la comprensión de este tipo de derivación.

Takeaways

  • 😀 Se utiliza la derivación implícita para encontrar la derivada de la expresión dada.
  • 😀 El primer paso es reescribir la expresión utilizando exponentes fraccionarios.
  • 😀 Se aplica la regla del producto para derivar el término 3xy con respecto a x.
  • 😀 Cuando se deriva un término que contiene y, se debe multiplicar por y', la derivada de y con respecto a x.
  • 😀 Se utiliza la regla de la cadena para derivar el término (xy)^(1/2).
  • 😀 Se hace un cambio de exponente en la expresión xy^(1/2) para obtener un denominador positivo.
  • 😀 Al derivar (xy)^(1/2), se multiplica por la derivada interna, que se obtiene usando la regla del producto.
  • 😀 La derivada de una constante (como 4) es 0, lo que simplifica el lado derecho de la ecuación.
  • 😀 Se agrupan los términos que contienen y' en el lado izquierdo de la ecuación para poder despejarlos.
  • 😀 Finalmente, se despeja y' (o dy/dx) para obtener la derivada final, que incluye fracciones y raíces cuadradas.

Q & A

  • ¿Qué técnica se utiliza para derivar la expresión en este ejercicio?

    -Se utiliza la derivación implícita, que es adecuada cuando la variable dependiente (y) está implícita en lugar de explícita.

  • ¿Cómo se inicia el proceso de derivación en este ejercicio?

    -Se inicia convirtiendo la expresión en una forma de exponente fraccionario. Esto facilita la aplicación de las reglas de derivación.

  • ¿Cómo se aplica la regla del producto en la derivación de la expresión?

    -Se aplica la regla del producto derivando el primer término (3x) y multiplicándolo por el segundo término sin derivar (y²), luego se suma el primer término sin derivar (3x) multiplicado por la derivada del segundo término (2y), multiplicada por y'.

  • ¿Qué es lo que representa 'y prima' en esta derivación?

    -La 'y prima' (y') es la derivada de y con respecto a x, y se añade cada vez que se deriva un término que involucra y, ya que y depende de x.

  • ¿Qué regla se utiliza para derivar el término que involucra el exponente 1/2?

    -Se utiliza la regla de la cadena, en la cual se baja el exponente (1/2) y se multiplica por la derivada del término dentro del paréntesis, que es el producto xy.

  • ¿Cómo se maneja el término con el exponente negativo en la derivación?

    -El término con el exponente negativo (-1/2) se convierte en una fracción, como 1 sobre xy a la 1/2, lo cual se simplifica a 1 sobre la raíz cuadrada de xy.

  • ¿Cómo se obtiene la expresión final que contiene 'y prima' después de la derivación?

    -Se reagrupan los términos que contienen 'y prima' en el lado izquierdo de la ecuación, mientras que los demás términos se trasladan al lado derecho. Luego, se factoriza 'y prima' y se despeja para obtener su valor.

  • ¿Qué pasa con los términos que no contienen 'y prima' al reordenar la ecuación?

    -Los términos que no contienen 'y prima' se trasladan al lado derecho de la ecuación. En este caso, se suman y restan, dependiendo del signo de cada término.

  • ¿Cómo se resuelve el denominador común en la expresión final?

    -Se identifica el denominador común, que es 2√(xy), y se utiliza para simplificar tanto el numerador como el denominador en la expresión final de la derivada.

  • ¿Cuál es el resultado final de la derivada con respecto a x?

    -El resultado final de la derivada es dy/dx = (10√(xy) - 6y²√(xy) - y) / (12xy√(xy) + x), que es la expresión simplificada obtenida tras aplicar todos los pasos de la derivación implícita.

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