09 Sistemas lineales y señales

Summary

El script del video ofrece una introducción a los sistemas lineales y señales, destacando cómo las señales son procesadas por sistemas electrónicos. Se describe la función de transferencia como la relación entre la salida y la entrada de un sistema. Se discuten las propiedades de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), como la superposición y la invarianza temporal, y se define la respuesta al impulso y su importancia en el análisis de sistemas. El video también explora conceptos como la estabilidad, la causalidad y la representación de señales periódicas, mostrando cómo la función de transferencia afecta tanto la amplitud como la fase de las señales. Finalmente, se mencionan las simetrías en la función de respuesta en frecuencia y sus implicaciones en el tratamiento de señales.

Takeaways

• 🔍 Los sistemas electrónicos se caracterizan por su función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada.
• 📶 Un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) cumple con la propiedad de superposición, lo que significa que la salida de una combinación lineal de señales es la suma de las salidas individuales.
• ⏲ La invarianza en el tiempo también implica que si la entrada se retrasa, la salida se retrasa de la misma manera, manteniendo la forma de la señal.
• 👉 La respuesta al impulso (htc) es una herramienta fundamental para el análisis de sistemas LTI, y es la respuesta del sistema a un impulso unitario.
• 🌟 La integral de superposición permite obtener la respuesta del sistema a una entrada arbitraria a partir de la respuesta al impulso.
• 🔧 La estabilidad del sistema se define por la condición de que la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.
• 🈶 La causalidad es un principio importante en sistemas físicos, donde la salida no puede anticiparse a la entrada.
• 🔄 La función de transferencia en el dominio de la frecuencia (Hdf) es una representación alternativa del sistema que permite realizar multiplicaciones en lugar de convoluciones.
• 🔄 La simetría de la función de transferencia en frecuencia muestra que la amplitud es una función par y la fase es una función impar de la frecuencia.
• 🔄 La respuesta a señales periódicas revela cómo el sistema afecta tanto en amplitud como en fase a cada componente espectral de la entrada.

Q & A

¿Qué es un sistema lineal y cómo se relaciona con la función de transferencia?

Un sistema lineal es un sistema que mantiene la superposición y es invariante en el tiempo. Se caracteriza por la relación entre su salida y entrada, que se llama función de transferencia, que es una medida de cómo el sistema procesa la señal de entrada.

Explique la propiedad de superposición en sistemas lineales.

La propiedad de superposición en sistemas lineales significa que si dos señales producen dos salidas, la suma de estas señales produce la suma de las salidas correspondientes. Esto se denota como h(αx1 + βx2) = αh(x1) + βh(x2), donde α y β son constantes.

¿Qué es un sistema invariante en el tiempo y cómo se relaciona con la retención de la señal?

Un sistema invariante en el tiempo (TI) es aquel en el cual la respuesta a una señal con retraso en la entrada resulta en una salida con el mismo retraso. Esto implica que si la entrada es x(t-τ), la salida será h(t-τ) siempre que el sistema sea TI.

¿Qué es la respuesta al impulso y cómo se define en un sistema lineal invariante en el tiempo?

La respuesta al impulso (ht) es la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo cuando se le aplica un impulso unitario en el tiempo cero. Es una medida de cómo el sistema responde a una excitación impulsiva.

Explique el concepto de integral de superposición y su importancia en señales y sistemas.

La integral de superposición es una técnica que permite calcular la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo a una entrada arbitraria. Se basa en la idea de que cualquier señal puede ser representada como una suma de impulsos y se utiliza la respuesta al impulso para calcular la salida.

¿Qué es la estabilidad en el contexto de sistemas lineales y cómo se relaciona con la respuesta al impulso?

Un sistema lineal es estable si, para cualquier entrada acotada, la salida también es acotada. Esto se relaciona con la respuesta al impulso, ya que un sistema es estable si la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.

Explique la causalidad en sistemas y su importancia.

La causalidad en sistemas se refiere a que la salida no puede anticiparse a la entrada. Es decir, la respuesta del sistema a un impulso no puede existir antes del impulso mismo. Esto es crucial para garantizar que los sistemas sean físico y realistas.

¿Qué es la función de transferencia en frecuencia y cómo se relaciona con la respuesta al impulso?

La función de transferencia en frecuencia (H(f)) es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso en el tiempo (h(t)). Muestra cómo el sistema afecta a la amplitud y la fase de cada componente de frecuencia en la señal de entrada.

Explique la simetría de la función de respuesta en frecuencia para sistemas causales e invariantes en el tiempo.

Para sistemas causales e invariantes en el tiempo, la función de respuesta en frecuencia tiene simetría real, donde la magnitud es una función par y la fase es una función impar de la frecuencia.

¿Cómo se relaciona la respuesta de un sistema a una señal periódica con la función de transferencia?

La respuesta de un sistema a una señal periódica se puede representar como una serie de componentes de Fourier. Cada componente espectral de la entrada es multiplicado por el valor de la función de transferencia correspondiente y se desplaza en fase según la función de desplazamiento de fase del sistema.

¿Qué implica la respuesta al estado estacionario de un sistema lineal fijo a una señal de entrada exponencial compleja?

La respuesta al estado estacionario es una señal exponencial compleja de la misma frecuencia que la entrada, pero con una amplitud modificada por la función de transferencia y una fase desplazada según la función de fase del sistema.

Outlines

00:00

🔌 Introducción a Sistemas Lineales y Señales

El primer párrafo introduce el tema de los sistemas lineales y señales, enfocándose en cómo los sistemas electrónicos procesan señales. Se menciona que cualquier sistema, ya sea un filtro, circuito amplificador o modulador, está caracterizado por su función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada. Se destaca que esta función esencial para entender cómo un sistema maneja una señal en particular. Además, se introduce la idea de que los sistemas lineales tienen propiedades específicas, como la superposición, que se explorarán a lo largo del video.

05:02

🕒 Propiedades de Sistemas Lineales e Invarianza en el Tiempo

En este párrafo, se profundiza en las propiedades de los sistemas lineales, especialmente la invarianza en el tiempo (LTI por sus siglas en inglés). Se describe el Teorema de Superposición, que establece cómo la salida de un sistema lineal responde a la combinación lineal de señales. También se discute cómo la invarianza en el tiempo afecta la respuesta del sistema a una señal retrasa en el tiempo, manteniendo el retardo constante. Se introducen las respuestas al impulso (htc) y la integral de superposición como herramientas fundamentales para analizar sistemas lineales.

10:04

📚 Concepto de Respuesta al Impulso y Integral de Superposición

El tercer párrafo se centra en el concepto de respuesta al impulso (htc), que es la reacción de un sistema a un estímulo muy breve. Se explica que para un sistema lineal invariante en el tiempo, la respuesta al impulso es la misma independientemente del momento en que se aplica el impulso. Además, se discute cómo la integral de superposición permite calcular la respuesta de un sistema a una entrada arbitraria a partir de la respuesta al impulso, utilizando la superposición de impulsos unitarios.

15:05

🔍 Estabilidad y Causalidad de Sistemas Lineales

Este párrafo explora dos conceptos clave: estabilidad y causalidad. Se define que un sistema es estable si, para entradas acotadas, las salidas también son acotadas. Se menciona que la estabilidad se puede verificar a través de la integral de la respuesta al impulso. La causalidad se describe como la condición de que la salida de un sistema no puede anticipar la entrada; es decir, la respuesta no puede ocurrir antes de la causa. Se utiliza un ejemplo de un sistema con una respuesta al impulso dada por una función para ilustrar estos conceptos.

20:08

🔄 Transformada de Fourier y Función de Transferencia

El quinto párrafo se enfoca en la Transformada de Fourier y su relación con la función de transferencia de un sistema. Se discute cómo la función de transferencia en el dominio de la frecuencia (H(f)) se obtiene a partir de la respuesta al impulso en el tiempo (h(t)) y cómo esta transformación permite analizar la respuesta de un sistema a señales periódicas. Además, se menciona la importancia de la causalidad en el dominio de la frecuencia y cómo la función de transferencia en frecuencia debe cumplir ciertas condiciones para que el sistema sea causal.

25:08

🌀 Simetría en las Frecuencias de la Función de Transferencia

Este párrafo explora la simetría en las frecuencias de la función de transferencia de un sistema lineal y tiempo-invariante. Se describe cómo la magnitud de la función de respuesta en frecuencia (H(f)) es una función par, mientras que la fase es una función impar. Esto significa que la respuesta del sistema a una señal en una frecuencia es simétrica con respecto a la frecuencia opuesta. Se discuten las implicaciones de esta simetría en el procesamiento de señales y cómo afecta tanto la amplitud como la fase de las señales.

30:08

🔗 Respuesta a Entradas Periódicas y Espectral

El último párrafo se centra en la respuesta de un sistema lineal a entradas periódicas. Se utiliza la integral de superposición para calcular la salida del sistema cuando se alimenta con una señal exponencial compleja. Se explica que la salida es una señal exponencial compleja de la misma frecuencia, pero con una amplitud modificada por la función de transferencia y una fase desplazada. Se discute cómo la función de transferencia afecta tanto en la amplitud como en la fase de cada componente espectral de la señal de entrada, y cómo esto puede resultar en una respuesta diferente para cada componente dependiendo de la frecuencia.

Keywords

💡Sistemas Lineales

Los sistemas lineales son aquellos que cumplen con las propiedades de la superposición y la homogéneidad, lo que significa que la salida de un sistema lineal ante la suma de dos entradas es igual a la suma de las salidas correspondientes a cada entrada individualmente. En el video, se discute cómo estos sistemas procesan las señales, especialmente en relación con la función de transferencia y la respuesta al impulso, que son conceptos fundamentales para entender cómo reaccionan ante diferentes estímulos.

💡Señales

Las señales son cambios en alguna magnitud medible que pueden representar información. En el contexto del video, las señales son las entradas que se procesan a través de sistemas lineales, y se analizan en términos de cómo son manipuladas o 'tratada' por estos sistemas, resultando en una salida que puede ser diferente en forma, amplitud o fase.

💡Función de Transferencia

La función de transferencia es una representación matemática que describe cómo un sistema responde a una entrada particular. Es una característica clave de cualquier sistema electrónico y se utiliza para predecir la salida del sistema para cualquier entrada dada. En el video, se menciona que esta función es el operador que relaciona la salida con la entrada en sistemas electrónicos.

💡Superposición

El principio de superposición es una propiedad de los sistemas lineales que permite descomponer una señal compleja en la suma de señales más simples y luego procesar cada una de estas últimas individualmente. En el video, se ilustra cómo la superposición se manifiesta en la salida del sistema cuando se suman señales, cumpliendo con la definición de un sistema lineal.

💡Invariante en el Tiempo

Un sistema invariante en el tiempo, también conocido como TIME-INVARIANT en inglés, es aquel en el cual la respuesta a una entrada determinada no cambia con el tiempo. Esto significa que si se retrasa la entrada, la salida también se retrasará de la misma cantidad, pero la forma de la señal de salida permanecerá sin cambios. En el video, se discute esta propiedad en el contexto de la respuesta al impulso y la integral de superposición.

💡Respuesta al Impulso

La respuesta al impulso, o impulse response, es la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo cuando se le aplica una señal de impulso en el tiempo cero. Es un concepto fundamental en la ingeniería de señales y sistemas, ya que permite determinar la salida del sistema para cualquier entrada dada a través de la integral de superposición. En el video, se describe cómo se calcula y su importancia en el análisis de sistemas.

💡Integral de Superposición

La integral de superposición es un método para calcular la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo a una entrada arbitraria, utilizando la respuesta al impulso del sistema. En el video, se explica cómo se puede utilizar esta técnica para determinar la salida del sistema cuando se le aplica una señal compuesta por una serie de impulsos con diferentes amplitudes y retardos.

💡Estabilidad del Sistema

La estabilidad del sistema se refiere a la capacidad de un sistema para producir una salida finita a partir de una entrada acotada. Es un concepto crucial en el diseño y el análisis de sistemas, ya que un sistema inestable puede resultar en respuestas incontrolables o incluso en daños físicos. En el video, se menciona la condición de estabilidad en términos de la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso.

💡Causalidad

Un sistema causal es aquel que no puede predecir el futuro; es decir, su salida en un momento dado depende únicamente de las entradas en ese momento y en tiempos anteriores, no futuros. Esto se relaciona con la no anticipación de la entrada y es una propiedad esencial de los sistemas físicos reales. En el video, se discute cómo la causalidad se manifiesta en la respuesta al impulso y la función de transferencia en frecuencia.

💡Función de Transferencia en Frecuencia

La función de transferencia en frecuencia, o H(f), es la representación en el dominio de la frecuencia de la relación entre la entrada y la salida de un sistema. Se calcula a través de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso. Esta función es útil para el análisis y diseño de sistemas, ya que permite observar cómo el sistema afecta a las diferentes frecuencias de una señal. En el video, se menciona que la función de transferencia en frecuencia es una buena caracterización del sistema y se relaciona con la estabilidad y la causalidad.

Highlights

Sistemas lineales y señales: se discute cómo los sistemas tratan las señales, especialmente los sistemas lineales.

Función de transferencia: característica de cualquier sistema electrónico que relaciona la salida con la entrada.

Propiedades de los sistemas lineales: se mantiene la superposición, lo cual es un concepto clave en señal y sistema.

EITC (Invariante en el tiempo): un sistema lineal que mantiene su comportamiento a través del tiempo.

Respuesta al impulso (htc): se define como la respuesta de un sistema a un impulso unitario aplicado.

Integral de superposición: técnica para calcular la respuesta de un sistema a una entrada arbitraria.

Estabilidad del sistema: se establece que un sistema es estable si la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.

Causalidad: un sistema causal no anticipa su entrada, es decir, no produce una respuesta antes de recibir la causa.

Transformada de Fourier: se utiliza para analizar señales y sistemas en el dominio de la frecuencia.

Función de transferencia en frecuencia (Hdf): representa al sistema en el dominio de la frecuencia y es crucial para el análisis de estabilidad y respuesta al impulso.

Simetría en la función de transferencia: la magnitud de la función de transferencia es una función par, mientras que la fase es una función impar.

Respuesta a entradas periódicas: se muestra cómo un sistema lineal responde a una señal de entrada periódica.

Componentes espectrales: cada componente de una señal periódica es afectada por el sistema de manera independiente.

Atenuação y amplificación de componentes espectrales: la función de transferencia determina si se atenúa o amplifica cada componente espectral.

Desplazamiento de fase: cada componente espectral experimenta un desplazamiento de fase dependiendo de la función de desplazamiento de fase del sistema.

Diferenciación entre sistemas lineales y no lineales: se destaca la importancia de los sistemas lineales en el tratamiento de señales.

Transcripts

hola en este vídeo vamos a ver un tema

nuevo que ves que es el tema de sistemas

lineales y señales como las señales son

tratadas por los diversos sistemas

especialmente los temas lineales algunas

de las propiedades de estas y vamos a

empezar con esto ok

entonces sistemas lineales y señales

cualquier sistema electrónico es

caracterizado por la relación salida

entrada algo que se llama función de

transferencia cualquier sistema llámese

un filtro me llames un circuito

amplificador llámese un modulador lo que

sea va a estar relacionado va a estar

caracterizado en función de que le estoy

metiendo ese circuito y que ese circuito

me está dando a la salida la relación

salida con respecto a la entrada es

decir como me la está tratando yo lo voy

a llamar con función de transferencia

cualquier circuito electrónico sea el

que sea que tenga que dar salida puedo

yo caracterizar los mediante o lo voy a

caracterizar más bien dicho mediante lo

que se llama función de transferencia

matemáticamente la podemos usar como

aquí y rts la realidad que tengo aquí es

igual a la operación h que la función de

transferencia la operación que está

haciendo mi circuito

y señal x de entonces esta operación h

esta operación que esté haciendo le esté

filtrando le simplificando lo que le sea

es igual a la relación que tengo yo a la

salida con respecto a lo que tengo yo

al entrar ok esta función h es el

operador que produce la salida y a

partir de la entrada a partir de lo que

yo tenga en la entrada

el operador h me va a dar una respectiva

salida ok eso es mi función de

transferencia y así es como funcionan

los sistemas electrónicos de dos puertos

bueno entrada salida

ok vamos a tener la primera

característica un sistema lineal

invariante en el tiempo en inglés el

eitc lineal time en varias formas y los

se traducen si un sistema es lineal la

superposición se mantiene algo que ya

han de haber visto esto es si x1 la

señal x1 resulta en una salida y 1 dt y

una señal x2 dt resulta en una salida de

2 dt entonces si la salida de vida a

alfa 1 x 1 es decir la multiplicación de

alfa 1 del factor alfa 1 x 1 la

multiplica por un factor alfa 1 más una

señal x2 x un factor f alfa 2

entonces donde alfa 1 y alfa 2 son

constantes me van a dar lo siguiente a

la salida yo voy a tener 7

el producto o la mayor la función por lo

que me va a producir la función h que es

sobre la sobre alfa 1 x 1 + alfa 2 x 2 d

te puedo yo descomponerlo y tener

simplemente quiere es igual alfa 1

la operación h sobre x1 dt sacar he

sacado aquí el fa uno más alfa 2 igual

él ha sacado x dt y esto quedamos hace

ratito que era lleno 1 y extranjeros es

decir 10 27 es igual a 1 alfa 11 dt más

alfa dos dedos dt porque esto

matemáticamente

hablando un poquito christi de otra

manera

visto de igual x 1 yo tengo mi sistema

con una función de transferencia h si a

este sistema

yo le me introduzco una señal x1 dt me

vas a producir una salida de 1 de temp

si ese mismo sistema yo le introduzco

una señal x2 dt me voy a tener entonces

la salida una señal x2 de t

obviamente entonces aquí no hay ningún

problema partamos de esto entonces

qué es lo que sigue qué pasa si yo a mi

señal x1 dt la multiplicó por un factor

x 1 que va a ser un factor constante y

la meta nuevamente a mi sistema con una

función de transferencia h entonces voy

a tener a la salida esa misma señal y

uno de t bueno la señal y una botella

producida por el h multiplicada por alfa

17 es decir esto me da esto que si

nuevamente ahora mi señal x2 dt lo

multiplicó por un factor alfa 2 dt y la

meto a mi sistema con función de

transferencia h entonces la salida va a

tener una señal de 2 dt multiplicada por

un factor alfa 2

por lo tanto si a mi sistema elemento

una señal x1 dt multiplicada por un

factor alfa 1 y un más una señal x2 dt

multiplicada por un factor alfa 2

entonces la salida

tengo una señal y 1 dt x x 1 y una señal

10 2 dt multiplicada por alfa 2 esto es

la superposición

esto es teorema de superposición es

decir se cumple la superposición en el

sistema y por lo tanto puedo decir que

estoy hablando de sistemas lineales

ahora bien si el sistema es invariante

en el tiempo la entrada con retablos x

menos de 0 da a la salida un retardo que

dos de tres es decir si está la entrada

ahora tiene un pequeño retardo de se

ahogan retardo deseo un retardo de valor

tensión entonces la salida de mi sistema

que tiene una función de clase d ch va a

tener una salida ye igual retardada en

tiempo x el tiempo deseo el tiempo de

retardo que va a tener es el mismo

siempre y cuando mi sistema sea

invariante en el tiempo si no es así

este valor puede llegar a cambiar

matemáticamente y en la salida de menos

de 0 es igual a lo que me produce la

operación h de ex sobre la señal x menos

de cero ok bueno esta es una

característica importante una definición

importante de los temas un sistema

lineal invariante en el tiempo ya vimos

los dos que sea lineal invariante del

último

otra característica de los sistemas que

vamos a ver es su respuesta al impulso y

su integral de superposición la

respuesta al impulso que vamos a

denominar como htc a partir de hábitat

todos lo vemos hdt es quiere decir

respuesta al impulso de un sistema el dt

no existe al sistema lineal invariante

del tiempo se define como la respuesta

del sistema a un impulso aplicado entre

igual a cero esto es por definición la

respuesta al impulso es igual a la

operación que va a ser realizarla en mi

sistema a un impulso unitario ok por la

propiedad invariante en el tiempo del

sistema la respuesta a un impulso

aplicado en cualquier tiempo de cero es

esta que tengo yo aquí es decir si hace

ratito utilizando la misma propiedad que

usamos aquí vamos a verla aquí para el

impulso así ahora el impulso yo lo

aplicó en un rincón tiene con un retardo

de cero pues entonces la salida también

voy a tener mi respuesta un impulso htm

en usted cero y la respuesta a la

combinación lineal de impulsos alfa 1 x

un impulso con un retardo t 2 más alfa 2

x un impulso conectarlo alfa 2 va a ser

simplemente lo que tengo aquí

alfa 1 h mi respuesta al impulso con el

restaurante 1 más

alfa 2 h 2 esté con mi respuesta al

impulso con un retardo de dos esta es

una generalización o más bien una

aplicación de lo que vimos hace ratito

de las respuestas que vimos hace un

momento

ok nada más que con respuestas al

impulso sea una particularización por lo

tanto la respuesta a la entrada de una

señal que está compuesta por una serie

de impulsos definidas simplemente de

manera matemática como la sumatoria

desde n igual con 1 hasta n de xn por n

cantidad de impulsos de tener con cierto

retardo tn entonces la respuesta a esta

entrada es esta que yo tengo aquí esto

tengo a la entrada

esto tengo a la entrada esto de aquí a

la salida

voy a tener esto que yo tengo aquí igual

una sumatoria de impulsos multiplicadas

por su factor alfa n y sus respuestas al

impulso con un cierto retardo cada una

de ellas le repito es ésta una

particularización de lo que ya vimos que

esta expresión esta expresión la que

tengo yo aquí

asteriscos es usada para obtener lo que

vamos a llamar como integral de

superposición la cual expresa la

respuesta de un sistema lineal

invariante en el tiempo a una entrada

arbitraria en términos de la respuesta

al impulso de un sistema es decir con

esto

yo puedo obtener la respuesta a entradas

de cualquier tipo que sea arbitraria o

se aumenta la cuenta de la que sea ok

por eso es tan importante es la

respuesta al impulso consideramos una

señal de entrada arbitraria x dt ésta

puede ser representada como lo vemos

aquí en esta señal xd t como la integral

de menos infinito infinito multiplicada

por la señal x en irlanda multiplicada

por un impulso en un con un ser total

holanda diferencial de la na

por la propiedad de desplazamiento del

impulso unitario

aproximando la integral anterior como

una suma se obtiene es decir esta esta

señal también la puedo expresar

de una manera diferente en donde lugares

de 90 la puedo tener como una sumatoria

y xd viene dada como las materias de n

igual a n1 n2

multiplica de la señal en ciertos

instantes de tiempo con incrementos por

los impulsos unitarios en ciertos

valores siempre y cuando del tate sea

mucho menor a 1 donde este valor de 1 ya

lo voy a transformar lo discreta y set

de una manera de decirlo n 1 es el

tiempo inicial de la señal y t2 es el

tiempo final de la ciudad que es n 220 y

que uno es lo vamos a ver n 11

click

la salida

usando la expresión que vimos que nadie

dt como la sumatoria de impulsos

multiplicada por un factor y su

respuesta al impulso la salida con alfa

dna ahora de este valor alfa en ese

valor que multiplica vamos va a ser

igual a x en el n multiplica porque

pequeños incrementos tiempo por otros

del tate y donde tiene va a ser

simplemente nt es esta la salida a

partir de utilizando las expresiones

anteriores viene dando esto que tengo yo

aquí es lo mismo que vamos atrás que

habíamos visto pero ahora expresado de

manera discreta en pequeños instantes de

tiempo delta de ok en el límite mientras

delta te tiende a cero y delta y n del

tate se aproxime a una variable continua

lambda

la suma se convierte nuevamente en la

integral es decir a la salida tengo yo

esto que tengo yo aquí menos infinito

infinito de x de lambda h

dt - delanteros a la función de impulso

cada x

de entrada porque haciendo la

sustitución nada más

ahora vamos a llamar a sigma igual a t

menos lambda se obtiene un resultado

equivalente esta expresión que tengo yo

aquí abajo es igualita a esta nada más

que en lugar obviamente como os digo que

vamos sigma en lugar de ok

debido a que estas ecuaciones 1 y 2 las

que tengo yo aquí fueron obtenidas por

superposición de un número de respuestas

elementales a cada impulso individual

estas se llaman integrales de

superposición y como bien está dada por

una serie de impulsos en diferentes

centros de tiempo para que me va a

servir esto para poder representar una

señal

acuérdense que estábamos hablando de una

señal xp que podíamos depositar la de

esa manera y que la salida podríamos

tenerla de otra manera ok entonces tengo

una señal x 7 como la que veo aquí ya

esa señal yo puedo representarla a

través de una serie de impulsos

unitarios cada uno separados un cierto

valor n del cadete y es decir tengo su

señal

xd y su aproximación mediante una

secuencia de impulsos esto luego nos va

a quedar más claro en temas posteriores

otro concepto de sistemas es la

estabilidad del sistema un sistema

lineal fijo es de entrada acotada salida

acotada así lo traduje en inglés es vivo

donde tipo de wounded o por introducción

fue la que escucha ese ratito si cada

entrada acotada resulta de una salida

contada es decir un sistema es estable

vivo

y sólo si la integral de menos infinita

infinito del valor absoluto de la

respuesta el impulso es menor que

infinito es decir tiene un valor finito

otra función de transferencia aplicando

el teorema de convolución de la

transformada de fourier a 7 o sea las

dos señales que tuvimos esa suerte de

menos infinito infinito de x de lambda

por la respuesta al impulso en lambda y

ésta que tengo aquí en valores de sigma

tenemos que llegar a la salida y

simplemente hdf x df es decir la salida

simplemente la multiplicación de la

función de transferencia por la entrada

que yo tengo pero tienen que estar ambas

en el dominio de la frecuencia ok en el

dominio del tiempo son convolución es en

el dominio de la frecuencia puede ser

una simple multiplicación así como la

que vemos aquí donde x df como vemos es

la función o más bien la transformada de

fourier de x dt es decir esa señal x dt

en función del tiempo las transformamos

a función de la frecuencia de f

nuevamente la transformada de fourier de

la señal de la salir ayer este pero

en el dominio de la frecuencia por qué

y bueno podemos hacerlo de esta manera

la función de transferencia es igual a

la transforma la función de

transferencia en tu medio de la

frecuencia va a ser igual a transformada

de fourier de la respuesta al impulso

donde está definida de esta manera la

respuesta al impulso multiplicados es

simplemente toda la definición la

transformada de fourier y la respuesta

al impulso en el dominio del tiempo la

re función de transferencia va a ser

igual a

la transformada inversa de fui el bhd

efe y es esto que tengo yo aquí hdf la

que tengo aquí es conocida como la

función de transferencia en frecuencia

son cosas muy diferentes cuando la van

en tiempo o en frecuencia y a lo mejor

los otros cursos las van a van a ver en

otros dominios del sistema hd efe o hdt

son una buena caracterización del

sistema mediante una transformada

inversa de fourier sobre esta señal que

tengo aquí y edf es igual a hdf x

efectuadas en el dominio de la

frecuencia entonces la salida se

convierte para pasar a esta salida del

dominio del tiempo al dominio de la

frecuencia simplemente tengo que hacer

las integral de menos infinito infinito

de x en el dominio la frecuencia en la

multiplicación de hf tengo aquí

simplemente como ven esto la

transformada inversa de furia

otro concepto sobre sistemas lineales

causalidad

un sistema es causal si no se anticipa a

su entrada todos los sistemas físicos

reales son causales algo tiene que

producir

una respuesta yo a que es causa y efecto

no puedo tener un efecto sin tener una

causa si descubren algo así ya estoy

ganando un premio nobel

en términos de la respuesta al impulso y

revolucionaron la física por completo

resulta que para un sistema causal

invariante en el tiempo es decir su

respuesta al impulso debe ser cero para

tiempos menores a cero en lo que estaba

diciendo un sistema es causal si no se

anticipa su entrada por lo tanto para

tiempos menores a cero o antes de que yo

meta el impulso por su respuesta debe

ser igual a cero

no puedo anticiparme a eso cuando la

causalidad es vista desde el punto de

vista de la función de respuesta en

frecuencia del sistema vamos a tener

problemas nuestro cuerpo este perdón por

la improvisación winner hampa ley

establece que la integral de menos

infinita infinito del valor absoluto de

la respuesta al impulso elevado al

cuadrado es igual a la integral de menos

infinito infinito de la función de

transferencia

en función de la frecuencia o la

respuesta al impulso en función en

función de la frecuencia elevada al

cuadrado desde s es menor

infinito es decir este valor es finito

cuando con la respuesta al impulso por

definición es igual a cero para ti es

menor o igual a cero es entonces

necesario que se cumpla esta integral

que tengo aquí no voy a hacer todo al

análisis no es este parte evitar el

objetivo el objetivo es que si se

aprendan esto que está aquí cuando un

sistema es causal debe de cumplir esto

que tengo aquí y que no puedo tener

sistemas no vamos algún ejemplo

ejemplo mostrar que el sistema con

respuesta al impulso es decir yo tengo

un sistema que quiero ser lo mejor un

filtro como dudaba de que sea le metí un

impulso a mi sistema y su respuesta al

impulso viene dada por esta función a la

menos 2 dt coseno de 10 pide tener un dt

por escalón unitario

es estable vive es causa primero vamos a

ver si es estable

considerando la integral que vamos a ver

tras ser restrictivos exactitud si la

integral de menos infinito infinito del

valor absoluto de la función respuesta

al impulso es menor que lo infinito aquí

tengo mi condición de estabilidad

entonces vamos a hacer la subscribir la

integral de menos infinita infinito de

mi respuesta el impulso es igual a la

mente al menos infinito infinito de mi

respuesta que es todo lo que vemos aquí

era la menos 2 dt coseno de 10 pide t de

t diferencial de términos dado que tengo

aquí en mi escala unitario y está

definido a partir de cero entonces mi

integral ya no necesita ir de menos

infinito a infinito puede ser desde cero

a infinito y cesc y ésta se transforma

en esto que tengo aquí es real a menudo

este valor absoluto del coseno de 10 y

10 pide este diferencial éter el dt éste

lo saqué del valor absoluto dado que es

un valor

este puramente real sin embargo el coche

no permanece adentro porque sabemos que

el coche no es igual a un medio de la

cuota de ala menos cuota de t es decir

esto pues podría llegar a expresarlo

como un número complejo

y a partir de la definición de valor

absoluto

sabemos que el valor absoluto de un

número complejo bueno un número complejo

lo podemos expresar el sabio olvidado

como

este que su magnitud y un ángulo donde

entonces la valor absoluto de dicho

número

es simplemente esta enriqueció tengo

aquí y entonces bueno esto nada más la

razón de por qué no lo saqué de de los

de las barritas sabemos que el valor

coseno va a variar de variables de menos

1 a 1 y su valor absoluto obviamente va

a ser menor o igual a 1

eso para simplemente simplificar me la

la existencia facultad no me interesa

realmente saber el valor

entonces esto lo podemos sustituir aquí

y entonces

la integral de menos infinita infinito

de hdt va a ser menor o igual a la

integral de marcelo a infinito de al

menos 2 desde si es una argucia

matemática la que hicimos aquí pero

sobre tal vamos a entonces esto es igual

a menos uno entre dos cuando resolvieron

la integral por él a menudo usted deseo

infinito y esto es igual a menos un

medio lo que voy a obtener de este valor

como quedamos aquí

a partir de esto pues va a ser menor o

igual a un medio con eso simplemente ya

se me da la condición de estabilidad

porque va a ser va a tener un valor

finito por lo tanto se cumple el sistema

estable eso lo que me importa va a saber

el sistema eso no es estable si está

integral

si toda esta integral había dado algún

valor infinito y entonces si ahí tengo

yo un

este no es estable y si yo hubiera hecho

directamente con cocina que se puede

resolver cuando yo sustituya los límites

en el infinito obviamente no me iba a

resultar se me iba a indeterminado a lo

mejor si el vasco de esta manera

utilizando las identidades geométricas

ya me da un resultado como numérico no

infinito no se determina pero decidí

hacerlo así que también viene el sistema

es causa ya que hdt bueno a su vez el

sistema es causal ya que la respuesta al

impulso es igual a cero parte menor

igual que cero

es decir si yo sustituyó el valor de

tres menores a lo mejor aquí si me da un

valor pero recuerden que el impulso

unitario simplemente me va a estar

definiendo me va a estar

acotando de que nada más desde cero

hacia los valores positivos de t por lo

tanto si se cumple que mi sistema se

causal y mi sistema esté estable que era

lo que impedía el ejercicio unas últimas

definiciones de bueno propiedades de

simetrías de la función de transferencia

la función de respuesta en frecuencia hf

también las consumos conjuntos de

transferencia de un sistema lineal y

variante en el tiempo es en general una

cantidad compleja por lo tanto puede

escribirse de esta manera es decir ese

valor a es una cantidad completa puede

ser como lo que vimos una magnitud valor

absoluto y su ángulo

tengo aquí donde este valor absoluto es

la amplitud o magnitud de la función

respuesta y esto que tengo aquí es la

tasa o es la fase perdón es la fase de

la función respuesta al sistema

es decir esto va a ser muy importante

porque la función a otra respuesta el

impulso

dominó la frecuencia tiene dos

componentes me puede afectar a mi

entrada tanto en amplitud como en fase

no vamos vamos bien 2h df es la

transformada de fourier de una función

real en tiempo o de una función del

tiempo en respuesta al impulso hdt por

lo tanto hdf el valor absoluto es igual

su magnitud es igual a esta categoría y

sus ángulos también los puedo expresar

yo

de esta manera

la amplitud la respuesta de un sistema

con respuesta al impulso de valores

reales es una función par

como vemos aquí es una función si no lo

había notado es una función par de la

frecuencia y la fase de la respuesta es

una función y par de la frecuencia

una función para la función para función

y para ok tienes que declarar

qué otro concepto respuesta a entradas

periódicas consideremos la respuesta al

estado estacionario de un sistema lineal

fijo a una señal de entrada exponencial

compleja como la que hemos hecho

ok usando la integral de superposición

tenemos la siguiente de cerezas y lo

vamos a llamar es en función de t es

igual a la salida tendrán que dar

nuestra infinita infinito hombre la

respuesta del impulso de lambda de señal

a la entrada que tengo aquí

de cada por términos de crf 00 hacemos

la integral la sacamos las partes que

podemos integrar las que no sacamos todo

esto de la integral hacemos esto y esto

simplemente es hd efe deseo esto que

tengo aquí expuesta el impulso en el

dominio de la frecuencia multiplicada

por este factor que yo tengo aquí que

quiere decir esta expresión

la salida es una señal exponencial

compleja

de la misma frecuencia pero la amplitud

de escalonar hdf y desplazada en fase

por un valor en frecuencia relativas a

la amplitud de la fase y de la entrada

que quiere decir por ejemplo si yo estoy

metiendo en tantas estas tengo mi

sistema y yo meto una señal x esa señal

a la salida va a estar multiplicada por

un cierto factor un factor h df nada va

a modificar en su actitud pero también

vamos a modificar su fase de dicho señal

en qué valor pues dependerá de cómo esté

caracterizado de cuáles sean los

elementos que tenga capacitores

inductores transistores lo logrado no lo

van a ver

van a ver incluso en el control con

polos y demás cosas

ok pero entonces mi sistema se ve

afectado tanto en la amplitud o más bien

mi señal se ve afectada por el sistema

tanto en amplitud como en la fase usando

superposición se concluye que la salida

de estado estacionario debido a una

entrada periódica arbitraria está

representada por la serie de forma

exponencial compleja que estamos aquí y

esta que tenemos aquí expresada de otra

manera simplemente como los componentes

de x de en el gas buenos recuerde que es

una quedamos que da una información

periódica pues entonces por

multiplicadas por este factor y también

va a tener sus ángulos de las

componentes y los ángulos la función de

transferencia y la podemos ok entonces

eso aquí es para una entrada periódica

la magnitud de cada componente espectral

de la entrada es atenuada o amplificada

por la función respuesta actitud es

decir que estoy multiplicando

o amplificando dependiendo este valor

este valor puede ser mayor puede ser

menor si podría estar hablando de

filtros obviamente no va a atenuar

ciertas frecuencias

o de algún sistema con pérdidas el

embate de un amplificador obviamente

hasta entonces esto se refiere a la

ganancia que depende del sistema ok eso

quiere decir para una entrada periódica

la magnitud de cada componente espectral

de la entrada es atenuada o amplificada

por la función respuesta a la actitud de

frecuencia de la componente espectral

particular y la fase de cada componente

espectral es desplazada por el valor de

función desplazamiento de fase del

sistema a la frecuencia de la componente

espectral particular porque estamos

hablando entonces vimos ya sabemos que

existen diferentes componentes en una

señal periódica que puede ser

descompuesta enseguida fui el que para

tener componentes cada uno de sus

componentes va a actuar el sistema puede

actuar de manera diferente dependiendo

de la frecuencia se ha demostrado

descomponer sobre una frecuencia de

segundo una frecuencia f 12 efectos etc

etc entonces el sistema

va a aceptar de manera diferente cada

componente espectral

dependiendo de la frecuencia

dice la fase de cada componente

espectral es desplazada por el valor de

la función de desplazamiento de fase del

sistema a la frecuencia de la componente

espectral particular a diferentes

valores de frecuencia 2 va a tratar de

diferentes maneras o puede tratarlos de

todos igual va a depender de la

característica del sistema ok y las va a

desplazar de la misma manera no va a

desplazar de la misma manera a f1 a f2 a

f3 no va a multiplicar la va a atenuar

de la misma manera f 1 que hace 2 que

afecte lo puede ser de manera totalmente

diferentes

vamos a hablar luego un poquito más en

esto dolomitas es todo y nos vemos en

nuestro símil