12. Integrales Triples ejercicios
Summary
TLDREl video ofrece una guía detallada sobre cómo resolver una integral triple, que representa una densidad en un contexto físico. Comienza resolviendo la integral más interna con respecto a 'x', asumiendo otras variables como constantes. El proceso implica integrar funciones y evaluar límites, lo que resulta en una expresión que luego se integra con respecto a 'y' y finalmente a 'z'. La resolución se lleva a cabo paso a paso, evaluando y simplificando las expresiones obtenidas en cada integración. El video destaca la importancia de la precisión en cada paso y la necesidad de manejar adecuadamente las variables y límites de integración. El resultado final, expresado en términos de 'tercios', es un ejemplo de cómo la integral triple puede proporcionar información valiosa en el análisis de fenómenos densitativos.
Takeaways
- 📚 Primero, se resuelve la integral triple de manera analítica, comenzando por la integral más interna con respecto a x.
- 🔍 Se asume que las variables no involucradas en la integración son constantes, lo que simplifica el proceso.
- 🧮 Se evalúa la integral más interna en sus límites, tomando en cuenta que las variables restantes son constantes.
- ✅ Se realiza la integración de x al cuadrado, resultando en x al cubo sobre 3, y luego se evalúa en los límites.
- 📈 Se continua con la integración del resultado con respecto a i, teniendo en cuenta las variables restantes como constantes.
- 📉 Al integrar con respecto a i, se obtiene una expresión que luego se integra con respecto a zeta.
- 🧷 Se evalúa la integral con respecto a zeta en sus límites, lo que proporciona un resultado intermedio.
- 🔢 Se lleva a cabo la integración final con respecto a z, lo que concluye en la resolución de la integral triple.
- 📝 Se destaca la importancia de evaluar cada paso en sus límites correspondientes para obtener el resultado correcto.
- 🔁 La resolución de la integral triple implica un proceso iterativo de integración y evaluación en secuencia.
- 🧘♂️ Se aclara que el proceso puede ser complejo, pero seguir los pasos ordenados y hacer las evaluaciones adecuadas conduce al resultado correcto.
Q & A
¿Qué tipo de integral se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una integral triple en el vídeo.
¿Cómo se empieza a resolver una integral triple?
-Se empieza resolviendo la integral más interna, en este caso, la que está con respecto a x.
¿Cómo se evalúa la primera integral con respecto a x?
-Se evalúa desde -1 hasta 1, y se asumen las demás variables como constantes al integrar.
¿Cuál es el resultado de la primera integral evaluada en los límites de x?
-El resultado es una expresión en función de i y zeta, evaluada en los límites superior e inferior de x.
¿Cómo se resuelve la siguiente integral en el proceso?
-Se resuelve integrando con respecto a y, y se evalúa en los límites de integración correspondientes.
¿Cuál es el resultado final de la integral triple una vez resuelta?
-El resultado final es -16 + 115/32 + 47/47 tercios.
¿Qué estrategia se utiliza para manejar variables adicionales durante la integración?
-Se manejan las variables adicionales asumiéndolas como constantes durante la integración.
¿Por qué es importante el orden en el que se resuelven las integrales en una integral triple?
-Es importante porque cada integral interna es una función de la siguiente variable de integración, y el resultado se utiliza para la integral externa.
¿Cómo se evalúa el límite superior e inferior en la integral con respecto a z?
-Se evalúa la expresión resultante en el límite superior (2) y se resta la evaluación en el límetro inferior (-1).
¿Qué sucede con los términos que contienen zeta al cuadrado en la integral con respecto a z?
-Los términos con zeta al cuadrado son tratados como constantes durante la integración con respecto a z.
¿Cómo se simplifica el resultado final de la integral triple?
-Se simplifica el resultado final al cancelar términos y factores comunes, lo que lleva a una expresión más compacta y manejable.
¿Por qué es útil visualizar el proceso de integración como se describe en el script?
-Visualizar el proceso ayuda a comprender mejor los pasos y la lógica detrás de la resolución de una integral triple, lo que mejora la comprensión conceptual y la capacidad para resolver otros problemas similares.
Outlines
📐 Cálculo de una integral triple paso a paso
Este segmento introduce la resolución de una integral triple que representa una función de densidad. El proceso comienza con la integración respecto a la variable 'x', evaluando desde los límites -1 hasta 2. A continuación, se detalla cómo integrar otras variables que no son 'x' como constantes, y se procede con la evaluación del resultado entre los límites 0 y 1. El ejemplo avanza evaluando primero el diferencial de x, seguido por los diferenciales de las otras variables, demostrando un proceso metodológico para resolver integrales complejas.
🔢 Avanzando en la resolución de la integral triple
Este segundo párrafo profundiza en la resolución de la integral triple, empezando por la integración respecto a 'z'. Se explica cómo proceder con la evaluación desde -1 hasta 1, incorporando operaciones como la suma de términos y la evaluación en límites específicos para z. La discusión se extiende a cómo seguir integrando con respecto a 'y', realizando más operaciones de evaluación y finalmente proporcionando el resultado detallado de la integral. Este enfoque paso a paso enfatiza la complejidad y el método estructurado necesario para resolver integrales múltiples.
🧮 Conclusiones y resultado final de la integral triple
El tercer párrafo concluye el problema de la integral triple, realizando las últimas evaluaciones y simplificaciones matemáticas. Se discute cómo simplificar términos y realizar integraciones finales respecto a 'y', culminando en la evaluación final desde 0 hasta 2 para obtener el resultado final. Se menciona cómo ciertos términos se cancelan y se simplifican, permitiendo alcanzar el resultado final de 47 tercios. Este párrafo resalta la meticulosidad necesaria para llegar a la solución precisa de integrales triples complejas.
Mindmap
Keywords
💡integrales triples
💡densidad
💡diferencial
💡integración analítica
💡variables constantes
💡límites de integración
💡evaluación de límites
💡volumen
💡propagación de errores
💡función
💡potencias y exponentes
Highlights
Introducción a la resolución de integrales triples, con énfasis en la función que representa la densidad.
Explicación detallada del proceso analítico para resolver la integral triple.
Importancia de resolver las integrales internas primero y cómo afecta el resto del proceso.
Técnica para integrar funciones con respecto a una variable, considerando a las demás como constantes.
Procedimiento para integrar la función dada en el intervalo de -1 a 2 con respecto a x.
Evaluación de límites superior e inferior para la integral interna con respecto a x.
Integración del resultado con respecto a y, dentro de los límites de integración de -1 a 1.
Método para manejar y simplificar la expresión resultante antes de la siguiente integración.
Integración del resultado con respecto a z, evaluando desde 0 hasta 2.
Solución del cálculo de la integral triple, destacando la importancia de cada paso analítico.
Estrategia para manejar términos complejos y su integración con respecto a z.
Evaluación de la integral triple completa, destacando el resultado final.
Importancia de la precisión en la evaluación de límites y su impacto en la integral triple.
Uso de técnicas de integración para funciones que contienen múltiples variables y cómo manejarlas.
Demostración de la integración de funciones con exponentes y coeficientes complejos.
Análisis de la integración de funciones que varían con el cubo y el cuadrado de la variable de integración.
Proceso de integración y evaluación de límites para la variable zeta en la integral triple.
Resultado final de la integral triple, resaltando la precisión y el valor de la integral.
Reflexión sobre la importancia de la integral triple en física y su aplicación en problemas de densidad.
Transcripts
hola bienvenidos a un nuevo vídeo de
integrales triples en esta ocasión vamos
a resolver ver cómo se resuelve esta
integral triple pues aquí hay una
función que puede representar una
densidad pues la vamos a resolver
analíticamente vamos a ver la forma en
cómo se resuelve esta integral siempre
se empieza resolviendo las integrales
que están internas fíjense que vamos a
resolver esta integral de aquí y esta
integral la vamos a resolver en función
de x del diferencial de x y luego el
resultado en función del diferencial de
i y finalmente el resultado de esta
integral en función del diferencial de 0
vamos a empezar con este ejercicio y
vamos a resolver desde
el diferencial de x
la integral que está más interna desde
menos 1 hasta 10 hasta 2 y vamos a
integrar con respecto de x esta función
y si nosotros integramos con respecto de
x todas las funciones o las partes de
las funciones que éste
la variable x la integramos normalmente
donde se encuentre otras variables
simplemente las asumimos como si fueran
una constante un número como 5 o 6 e
integramos eso teniendo en cuenta que
las asumimos como constantes entonces
vamos x al cuadrado como esta con
respecto de x sería x al cubo sobre 3
y al cuadrado es una variable diferente
este diferencial así que lo tomamos como
una constante entonces nos quedaría la
integral x x al cuadrado y finalmente x
por zeta al cuadrado y esto evaluado
desde 0 hasta 1 donde vamos a evaluar
vamos a evaluar en la variable con
respecto a la cual diferencia hicimos la
integración con respecto a de x sea la
variable x vamos a evaluar el límite
superior como el límite inferior
entonces esta integral sería desde menos
1 hasta 1 del 0 a 2 y vamos a hacer esta
evaluación si evaluamos aquí sería
uno elevado al cubo sobre tres más uno
por pie al cuadrado más
111 está al cuadrado y menos la
evaluación en 0 que se anularía nos
quedaría solamente ya diferencial de iu
y el diferencial de zeta este resultado
lo tenemos que integrar con respecto de
ley en estos límites de integración
entonces vamos a continuar esta integral
desde menos 1 hasta 1 vamos a poner el
resultado
si bien sería un tercio
y al cuadrado más z al cuadrado esto
evaluado esto y con respecto de ella
vamos a
integrar entonces esta integral sería
vamos a continuar acá barco desde menos
1 hasta 1
y aquí ya podemos integrar
con respecto de qué sería
un tercio
más que al cubo sobre tres y más bien
que multiplica al set al cuadrado esta
integración está ésta es la integración
con respecto de y evaluado desde cero
hasta 2
y finalmente vamos a evaluar en la
variable y estos valores entonces nos
quedaría que esto sería igual a un
tercio vamos a ver la integral de cero
de menos vamos a ponerla toda completa
esta integral desde menos 1 hasta 1
de un tercio
más
2 al cubo sobre 3
+ 2 z al cuadrado
está finalmente
con respecto de z
podemos seguir integrando vamos a ver
sería dos tercios más 20 y 2 por 248
tercios dos tercios más ocho tercios
sería diez tercios
+ 2 z al cuadrado de zeta
ahora ya tenemos esta expresión que la
podemos integrar en función de de z si
integramos esto en función de z nos
quedaría 10 tercios z + 2 z al cubo
sobre 3 evaluado desde menos 1 hasta 1
esta evaluación la podemos hacer acá en
la parte superior
la vamos a borrar esta parte que no
necesitamos
y esta evaluación nos quedaría diez
tercios
por uno ya que estamos evaluando en la
variable zeta el límite superior primero
2 1 al cubo sobre 3 y todo esto menos
este es el resultado ya la evaluación de
esto
y es tercios evaluado en menos 1 + 2 - 1
al cubo sobre 3 finalmente tenemos
fíjense 10 tercios
más dos tercios aquí menos por menos
daría más diez tercios
y aquí en menos por menos sería más dos
tercios
tienen el mínimo estrés y tenemos 24
tercios que esto sería igual a 8 tenemos
8
el resultado de esta integral fíjense
muy importante
muy importante este el resultado
y vamos con un próximo ejercicio
vamos a seguir con este nuevo ejercicio
fíjense que para resolver vamos a
empezar a resolver esta integral triple
con la integral que está interna que
está con respecto de x fíjense primero
esta integral luego el resultado cuando
integramos con respecto de z y
finalmente el resultado final lo
integramos con respecto de ya vamos a
empezar pues generalmente está aquí hay
una función que representa una densidad
puede ser físicamente y nosotros con
esta propuesta integral triple
conseguimos una más
vamos a resolver la primera integral
sería integral desde 0 hasta 2
integral desde -1 hasta aquí y aquí
hasta allí al cuadrado vamos a resolver
esta integral con respecto de x
entonces estas dos variables se
convierten en constante entonces de
integral sería x y el zeta evaluado
desde menos 1 hasta
nosotros podemos hacer esta evaluación
muy importante la podemos evaluar aquí
desde 0 hasta 2 integral desde menos 1
hasta allí al cuadrado y esta integral
zeta la vamos a evaluar en x sería zeta
al cuadrado
y menos
y menos uno que evaluamos en x 10 y
fíjense que menos por menos nos daría
más y esto con respecto de z vamos a
integrar
esta integral sería desde 0 hasta 2 ya
podemos integrar estas funciones con
respecto de z sería z al cubo sobre 3
aquí menos porque no sería más
[Música]
y es que multiplica al zeta al cuadrado
sobre 2 y esto evaluado desde menos 1
hasta que al cuadrado fíjense ya tenemos
otra función en la integrada con
respecto de zeta
y esta la vamos a evaluar tanto en el
límite superior menos la evaluación en
el límite inferior
vamos a evaluar ahora esta integral
desde 0 hasta 2 va a ser igual a la
evaluación a la integral de la
evaluación de esto con respecto de jay
finalmente entonces sería ya al cuadrado
miren elevado al cubo sobre 3 porque más
bien porque al cuadrado elevado al
cuadrado
está donde está la seta sobre dos y todo
esto - la evaluación de menos 1 al cubo
- 1 al jugo sobre 3 porque
todo esto evaluamos en cierta verdad
más
ya que multiplica a menos 1 elevado al
cuadrado sobre 2 y todo esto pues con
respecto de velle vamos aquí a poner el
resultado
esto sería 2 por 36 y sumado 1 sería a
la séptima sobre tres más aquí 2 por 24
más 15 llega a la quinta sobre 2
sobre 2
aquí - 1 al cubo sería menos 1 al cubo
menos 1 y el menos aquí sería más
y es sobre 3
tendríamos 10 sobre 2 y este menos sería
menos y sobre 2 y esto tenemos que
integrar con respecto de y dice aquí
también podemos hacer una suma un tercio
menos un medio nos quedaría pues mínimo
6 aquí podemos hacer también podemos
hacer más compacto esta parte de aquí
y la séptima sobre tres más bien a la
quinta sobre dos aquí
vamos a ver el minuto 6
seis para tres a dos y seis para dos a
tres serían dos menos tres sería menos
uno
o sea menos 1 porque a la sexta y esto
con respecto de ella no podemos integrar
vamos a integrar esto con respecto de y
nos quedaría allí a la octava sobre 24
más que a la sexta sobre 12
y más y menos finalmente aquí menos
- y al cuadrado sobre 12
esto evaluado desde 0 hasta 2 vamos a
evaluar esto nos quedaría miren 2 a la
octava
sobre 24
este 24
+ 2 a la sexta
sobre 12 y menos 2 al cuadrado sobre 12
y la evaluación en cero pues daría cero
vamos a ver qué resulta de aquí aquí hay
cómo hacer más simplificaciones
fíjense que aquí dos a la octava y abajo
24 sería 2 a la tercera por 3 miren
+ 2 a la sexta y 12 sería
prácticamente 12 sería 2 al cuadrado por
3
y dos al cuadrado con dos al cuadrado
por tres siguen si se cancela dos al
cuadrado aquí
cancelamos
este valor de aquí nos queda la 4a
cancelamos este valor nos queda a la
quinta y fíjense que finalmente tenemos
tenemos este resultado aquí es menos
negativo
en este resultado
16 - 115
15 32 47 47 tercios los 47 tercios es el
resultado de esta integral triple
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