Función Racional - Ejercicios Nivel 3 - Aplicaciones
Summary
TLDREn este video, Jorge de Mate Móvil aborda el tema de funciones racionales a través de un ejercicio práctico. Se presenta un caso de administración de medicamentos, donde la concentración de un fármaco en la sangre se modela mediante una función racional del tiempo. Jorge explica cómo la concentración aumenta hasta un punto y luego disminuye debido a la absorción y eliminación corporal. Se resuelve un problema específico, donde se calcula cuánto tiempo tarda la concentración en alcanzar los 2 miligramos por litro, utilizando técnicas analíticas y se compara con una gráfica para verificar la precisión del resultado. Además, se ofrece un reto para que el espectador practique sus habilidades y esté listo para un examen, destacando la importancia de prestar atención a las curvas y tendencias en las gráficas de funciones.
Takeaways
- 💡 Jorge de Mate Móvil presenta un videotutorial sobre ejercicios de funciones racionales.
- 📚 Se revisan ejercicios del tercer nivel de la guía de ejercicios, enfocándose en la aplicación práctica.
- 💊 El problema 11 de la guía involucra la administración de un medicamento y su concentración en la sangre en función del tiempo.
- ⏱ La concentración del medicamento se describe mediante una función racional que depende del tiempo transcurrido desde su administración.
- 📈 Se pide analizar la gráfica de la concentración del medicamento y responder a dos preguntas: qué ocurre con la concentración después de muchas horas y cuánto tarda en llegar a 2 miligramos por litro.
- 🔍 Se observa que la concentración del medicamento aumenta hasta un máximo y luego disminuye a medida que el cuerpo lo metaboliza y elimina.
- 🧮 Se demuestra matemáticamente que la concentración tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, utilizando conceptos de álgebra para encontrar asientos horizontales.
- 🔢 Se resuelve analíticamente cuánto tarda la concentración en llegar a 2 miligramos por litro, reemplazando la concentración en la función y resolviendo para el tiempo.
- 📐 Se utiliza la factorización para simplificar y resolver la ecuación que representa la concentración a lo largo del tiempo.
- ⏲ Se concluye que la concentración alcanza los 2 miligramos por litro después de una hora, lo cual se verifica con la ayuda de una gráfica.
- 📊 Se destaca la importancia de la gráfica para visualizar y verificar los resultados analíticos, asegurando la precisión de las respuestas.
- 🚀 Se invita al espectador a practicar con un reto adicional para prepararse para un examen, presentando una gráfica para identificar la función correcta.
Q & A
¿Qué se discute en el tercer nivel de los ejercicios resueltos de la función racional?
-Se discute la aplicación de funciones racionales para resolver problemas prácticos, como el análisis de la concentración de un medicamento en la sangre en función del tiempo.
¿Cómo se expresa la concentración de medicamento en la sangre en función del tiempo según el problema 11 de la guía de ejercicios?
-La concentración de medicamento en la sangre se expresa como 4 veces el tiempo dividido entre el tiempo al cuadrado más 1, en miligramos por litro.
¿Qué sucede con la concentración de medicamento en la sangre después de muchas horas?
-Después de muchas horas, la concentración del medicamento en la sangre tiende a cero, ya que el cuerpo absorbe y elimina el medicamento con el tiempo.
¿Cómo se demuestra matemáticamente que la concentración del medicamento tiende a cero después de mucho tiempo?
-Se utiliza el concepto de asientos horizontales en funciones racionales. Dado que el grado del numerador (1) es menor que el grado del denominador (2), se concluye que hay un asiento horizontal en la concentración igual a cero.
¿Cuánto tarda la concentración en llegar a 2 miligramos por litro?
-La concentración tarda una hora en llegar a 2 miligramos por litro, lo cual se demuestra al resolver la ecuación de la función racional con la concentración fija en 2.
¿Cómo se resuelve analíticamente el tiempo que tarda la concentración en llegar a 2 miligramos por litro?
-Se reemplaza la concentración por 2 en la función racional y se resuelve la ecuación resultante, que lleva a una expresión que se factoriza y se resuelve para encontrar el tiempo (t = 1 hora).
¿Qué es el producto notable que se utiliza para factorizar la expresión t^2 - 2at + b^2?
-El producto notable que se utiliza es (a - b)(a + b), el cual es derivado de la fórmula (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
¿Cómo se relaciona el grado del numerador y del denominador en una función racional para determinar el asiento horizontal?
-Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se puede decir que hay un asiento horizontal en la gráfica de la función racional.
¿Cuál es la importancia de analizar gráficamente la función racional en el contexto del problema?
-El análisis gráfico permite visualizar la tendencia de la concentración del medicamento con el tiempo y verificar la precisión de los cálculos analíticos, como por ejemplo, confirmar que la concentración llega a 2 miligramos por litro después de una hora.
¿Qué tipo de desafío se presenta al final del video para los espectadores?
-Se presenta un desafío para identificar cuál de las gráficas propuestas corresponde a la función f(x) = (x + b) / (x^2 - 1), lo que requiere atención a las características gráficas de las funciones racionales.
¿Por qué es importante prestar atención a las cintas en el desafío del video?
-Las cintas en las gráficas de funciones racionales representan los asientos horizontales y son cruciales para identificar correctamente la gráfica que corresponde a la función dada.
¿Cómo se puede mejorar la comprensión de funciones racionales y sus aplicaciones prácticas?
-A través del estudio de ejercicios resueltos y desafíos prácticos, como los presentados en el video, se puede mejorar la comprensión de cómo las funciones racionales modelan fenómenos del mundo real, como la concentración de medicamentos en la sangre.
Outlines
😀 Análisis de la función racional en el tiempo
Este párrafo aborda el análisis de una función racional que representa la concentración de un medicamento en la sangre en función del tiempo. Se describe cómo la concentración aumenta hasta un máximo y luego disminuye a medida que el cuerpo metaboliza y elimina el medicamento. Se destaca la importancia de entender este proceso para administrar medicamentos de manera efectiva y segura. Además, se plantean dos preguntas: qué ocurre con la concentración después de muchas horas y cuánto tiempo tarda la concentración en llegar a dos miligramos por litro. Se resuelve la primera pregunta matemáticamente, mostrando que la concentración tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, y se utiliza la gráfica para responder a la segunda pregunta.
🧐 Cálculo analítico de la concentración a 2 miligramos por litro
En este párrafo, se aborda el cálculo analítico para determinar el tiempo que tarda la concentración en llegar a 2 miligramos por litro. Se utiliza la ecuación de la concentración en función del tiempo y se resuelve algebraicamente para encontrar el tiempo. Se describe el proceso de factorización y resolución de una ecuación cuadrática para encontrar el valor del tiempo. Al final, se concluye que la concentración llega a 2 miligramos por litro en una hora, lo cual se verifica con la ayuda de una gráfica para confirmar la precisión del cálculo.
📈 Desafío de gráficas para la función racional
Este párrafo presenta un desafío para el espectador, donde se les pide identificar cuál de las gráficas propuestas corresponde a la función f(x) = (x + b) / (x^2 - 1). Se advierte que el problema es un poco complicado y se sugiere prestar mucha atención a las gráficas para resolverlo. Se indica que la respuesta del desafío se encuentra en la información del vídeo y se anima a los espectadores a suscribirse al canal para obtener más contenido sobre funciones y problemas similares.
Mindmap
Keywords
💡Concentración de medicamento
💡Función racional
💡Tiempo
💡Gráfica
💡Límite
💡Grado del numerador y denominador
💡Horizontal asymptote
💡Factorización
💡Raíz cuadrada
💡Despeje de variable
💡Desafío
Highlights
Hoy revisaremos el tercer nivel de los ejercicios resueltos de función racional.
Se presentan ejercicios de aplicación para prácticar y estar listo para un examen.
Problema 11 de la guía de ejercicios involucra la administración de un medicamento y su concentración en la sangre.
La concentración del medicamento es modelada por una función racional del tiempo.
Después de muchas horas, la concentración del medicamento tiende a cero.
Se utiliza la gráfica para entender cómo la concentración del medicamento cambia con el tiempo.
La concentración del medicamento alcanza un máximo y luego disminuye.
Se demuestra matemáticamente que la concentración tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
Se calcula que la concentración del medicamento llega a 2 miligramos por litro en una hora.
Se utiliza el análisis algebraico para determinar el tiempo que tarda la concentración en alcanzar un nivel específico.
Se factoriza la ecuación para encontrar el tiempo en que la concentración es de 2 miligramos por litro.
Se confirma la solución teórica con una gráfica para verificar la concentración a la hora específica.
El reto final consiste en identificar la gráfica correcta de una función dada.
Se proporciona una pista para el reto, enfocándose en las cintas de la gráfica.
Se invita a los espectadores a suscribirse al canal para ver más contenido de funciones.
Se desea suerte a los espectadores en su preparación para los exámenes.
Transcripts
ah
hola chicos yo soy jorge de mate móvil y
el día de hoy vamos a revisar nuestro
tercer nivel de los ejercicios resueltos
de función racional vienen ahora los
ejercicios de aplicación mucha atención
veamos primero este problema y luego
viene un pequeño reto para que pueda
practicar y estar listo para tu examen
problema 11 de la guía de ejercicios si
administra un medicamento a un paciente
y se vigila la concentración de dicho
medicamento en la sangre en el tiempo de
mayor igual a cero el tiempo está
expresado en horas horas desde que se
aplicó el medicamento la concentración
expresada en miligramos por litros está
dada por la siguiente función una
función racional concentración en
función del tiempo es igual a 4 veces el
tiempo dividido entre el tiempo al
cuadrado más me piden además tomar en
cuenta la gráfica y me preguntan dos
cosas apartado a qué ocurre con la
concentración después de muchas horas y
apartado ver cuánto tarda la
concentración en llegar a dos miligramos
por litro lo que sucede aquí es que
tenemos un paciente al cual se le
inyecta un medicamento
en el tiempo está expresada en horas y a
partir de que empieza a correr el tiempo
la concentración del medicamento va
aumentando hasta que llega a un tope
luego de ese tope la concentración del
medicamento empieza a bajar a bajar a
bajar y baja cada vez más con el
transcurso ardiente esto es bastante
lógico verdad cuando nos tomamos una
pastilla la pastilla tarda no sea una
pastilla para el dolor de cabeza tarda
media hora en hacer efecto y a partir de
ahí ya te hace efecto pero luego de un
tiempo ya el efecto de la pastilla
disminuyen disminuye disminuir por eso
más adelante seguramente que otra vez
volver a tomar una pastilla para el
dolor de cabeza lo mismo sucede con los
medicamentos en la sangre cuando se
inyecta un medicamento la concentración
del medicamento aumenta aumenta aumenta
en la sangre hasta que llega a un tope
de la concentración pero a partir de ahí
el cuerpo transforma este medicamento en
otras sustancias lo va absorbiendo y
también eliminando y por ello la
concentración empieza a bajar a bajar a
bajar a bajar a bajar y baja cada vez
más
este medicamento en la sangre en el
apartado me preguntan qué ocurre no la
concentración después de muchas horas
bueno después de muchas horas
lógicamente ya el medicamento se va
eliminando del cuerpo y con el
transcurso de las horas la concentración
del medicamento tiende a ser cero esto
lo vamos a expresar matemáticamente de
la siguiente manera si es que el tiempo
tiende a infinito positivo es decir a
valores muy grandes después de muchas
horas después de mucho tiempo si el
tiempo tiende al infinito positivo
entonces qué es lo que ocurre con la
concentración la concentración tiende a
cero
la concentración se acerca a cero cuando
transcurren mucho tiempo será que
podemos demostrar esto con los conceptos
que hemos aprendido concentración tiende
a cero si la concentración tiene hacer
puede que hay un asiento t horizontal en
concentración igual a cero como podemos
calcular las internas horizontal es muy
sencillito lo habíamos aprendido para
calcular las asientos horizontales
necesitamos el grado del número
denominado muy bien grado de el
numerador a cuánto es igual en este caso
vamos a ver que aquí en el numerador
tenemos solamente aten y éste está
elevado a la 1 mayor exponente del
tiempo ojo ahora tiempo reemplaza a
nuestra variable x así que el grado el
numerador mayor exponente del tiempo es
igual a 1 y por otro lado necesitamos
también el grado del denominador ojo
ahora en respecto al tiempo ya no hay xx
ya xy desaparecieron
ahora en el denominador a quien tenemos
tenemos a 1 y ante al cuadrado cuál es
el exponente más grande del tiempo ss2
muy bien y ahora el grado el numerador
es igual a 1 y el grado del denominador
es igual a 2 por lo tanto el grado de el
numerador va a ser menor que el grado
del denominador y cuando eso ocurre que
es lo que sucede con las asientos dos
horizontales cuando eso ocurre podemos
decir que hay una éxito está horizontal
en donde te acuerdas cuando se cumplía
esta condición si el grado el numerador
era menor que el grado el denominador
decimos que haya sido horizontal en
dónde
e
pero en este caso quienes lleguen en el
eje y tenemos ahora en la concentración
en concentración igual hacer en esto ahí
demostramos nuestra asín total
horizontal así que nos quedó exactamente
el mismo resultado si hay una cinta
horizontal en concentración igual a cero
significa que a medida que avanza el
tiempo la concentración tiende a ser
cero y con eso tenemos el apartado a que
interesante de verdad apartado ve cuánto
tarda la concentración en llegar a dos
miligramos por litro si tuviéramos un
gráfico muy certero pues simplemente lo
podríamos usar gráficamente pero en un
ratito más lo vemos en el gráfico por
ahora vamos a hacerlo matemáticamente
analíticamente cuánto tarda la
concentración en llegar a 2 miligramos
por litro aquí tenemos la concentración
en función del tiempo así que qué te
parece si reemplazamos concentración por
2 y averiguamos el tiempo que se
necesita para llegar a dicha
concentración lo vamos a comparar con
nuestro gráfico a ver qué tan acertado
estamos concentración en función del
tiempo es igual a 4
/ t al cuadrado tiempo al cuadrado más 1
la concentración cuánto vale la
concentración va lento aquí está para
este caso es 2 va a ser igual a cuánto 4
veces el tiempo dividido entre el tiempo
al cuadrado más 1 lo que tenemos que
calcular ahora es el tiempo así que
vamos a despejar esa variable mira este
tema cuadrado más uno que está aquí
dividían en el segundo miembro lo voy a
pasar el primer miembro realizando la
operación contraria es decir
multiplicando y me va a quedar t al
cuadrado más uno va a quedar arriba en
el numerador aquí vamos a tener un 4 t y
este 2 que está arriba en el numerador
lo pasamos al denominador del segundo
miembro aquí podemos reducir algo claro
que si vamos a tener que t al cuadrado
más uno va a ser igual a cuanto mitad de
2 1 mitad de 42 me quedaría que t al
cuadrado más uno es igual a cuanto dos
veces esté en dos veces este ojo
4 se simplifica a 2 no vayas a colocarte
cuadrados
dos veces este ok y ese uno nos
olvidamos por ahora este dos te lo vamos
a pasar a restar al primer miembro y me
va a quedar t cuadrado menos dos más uno
igual a cero
voy a colocarlo por el t al cuadrado
menos dos más uno igual a cero
podemos factorizar esta expresión que
esté en el primer miembro se pueda no se
puede vamos a acordarnos de un cachito
de factorización que era al cuadrado
menos dos veces a por b más ve al
cuadrado esto factor izado de dónde
viene de dónde viene esta expresión
bueno esta expresión viene de al menos
20 al cuadrado si uno de nuestros
productos notables más importantes
binomio al cuadrado a menos b al
cuadrado es igual al cuadrado menos 2
abel más bay cuadrado
aquí tenemos exactamente lo mismo porque
aquí este 2 pero si quieres lo colocó
como dos por uno por t
solamente para darle esta forma
exactamente igual y éste uno lo puede
al cuadrado y ahora ya factor izado
cuánto nos quedarían nos quedaría el
primer término menos ese mundo elevado
al cuadrado el primer término aquí este
y el segundo es uno elevado al cuadrado
y esto va a ser igual a cero ahora
simplemente nos queda despejar el tiempo
t
para ello este 1 este cuadrado lo voy a
pasar el segundo miembro como raíz de la
siguiente manera de menos 1 va a ser
igual a cuánto va a ser igual a más
menos la raíz cuadrada de 0 ya sabemos
que la raíz cuadrada solamente de cero
es 0 el más menos ya no tiene sentido no
tiene sentido ponerle más menos al cero
porque es lo mismo por lo tanto te me va
a quedar igualan 0 1 y tiempo sería
entonces igual a 1 el tiempo está
expresado en horas así que voy a
colocarme por aquí una hora y ese sería
el valor del tiempo cuánto tarda la
concentración en llegar al 2 miligramos
por litro la respuesta sería tarda una
hora tarda una hora y lo vamos a ver
aquí en nuestro gráfico
es cierto en una hora la concentración
debería llegar a 2 miligramos por litro
aquí tenemos una hora a ver vamos a
tapar y si ahí están más o menos a
cuando el tiempo vale 1 voy a taparlo
por aquí cuando el tiempo vale 1 la
concentración está aquí en 2 miligramos
por litro voy a poner ahora la gráfica
de mi gráfica d'or que es muchísimo más
exacta y allí podemos ver claramente que
cuando el tiempo es igual a una hora la
concentración es igual a 2 miligramos
por litro
este problema está bastante interesante
y es de aplicación vas a encontrar
seguramente algún otro problema de
aplicación en nuestra guía de ejercicios
viene ahora el momento del reto para que
puedas demostrar si estás listo para tu
examen no te preocupes voy a dejar la
respuesta del reto bajito en la
información de este vídeo vamos con el
problema el reto dice lo siguiente cuál
de las siguientes gráficas corresponde
la función f x y mi función f dx es
igual a x más b todo ello dividido entre
x al cuadrado menos 1 este problema está
un poquito complicado así que vamos a
dar una pista
esta es la siguiente hay que centrarse y
prestarle mucha atención a las cintas y
listo hasta aquí vamos a llegar por
ahora recuerda que tiene la solución del
reto abajito en la información de este
vídeo no olvides suscribirte al canal
que tenemos muchísimos vídeos de
funciones con un montón de problemas nos
vemos en el siguiente tema un saludo y
suerte
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