Discrete Math - 8.1.1 Modeling with Recurrence Relations

Takeaways

• 😀 La relation de récurrence permet de modéliser des séquences de valeurs où chaque terme dépend d'un ou plusieurs termes précédents.
• 😀 Les conditions initiales sont essentielles pour déterminer les valeurs avant que la récurrence ne prenne effet.
• 😀 Exemple d'une colonie de bactéries : la population double chaque heure, et la récurrence est définie par 'a_n = 2 * a_{n-1}', avec a_0 = 5.
• 😀 Une fonction explicite permet de trouver directement la valeur d'un terme sans dépendre des termes précédents, par exemple, 'a_n = 5 * 2^n'.
• 😀 La suite de Fibonacci a été modélisée avec des paires de lapins se reproduisant selon des règles spécifiques, aboutissant à une récurrence 'F_n = F_{n-1} + F_{n-2}'.
• 😀 Dans la récurrence de Fibonacci, les conditions initiales sont F_1 = 1 et F_2 = 1.
• 😀 Le puzzle des tours de Hanoi peut être modélisé avec une récurrence, où le nombre de mouvements pour n disques est donné par 'H_n = 2 * H_{n-1} + 1'.
• 😀 La formule explicite pour les tours de Hanoi est 'H_n = 2^n - 1', ce qui permet de calculer rapidement le nombre de mouvements nécessaires.
• 😀 Pour déterminer le nombre de chaînes binaires de longueur n sans deux zéros consécutifs, on utilise la récurrence 'a_n = a_{n-1} + a_{n-2}'.
• 😀 En utilisant les chaînes binaires, on voit que la récurrence fonctionne parce que chaque nouvelle chaîne est construite en ajoutant un '1' ou un '10' à celles de longueur n-1 ou n-2.

Highlights

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