3.3. Parametrización de superficies
Summary
TLDREl script proporciona una introducción a la parametrización de superficies en geometría diferencial. Se define una superficie paramétrica como una que puede ser representada por una función gamma que mapea un dominio en R^2 a la superficie en R^3. Se discuten las ecuaciones paramétricas y la importancia de las derivadas parciales en un punto dado. Luego, se presentan ejemplos de parametrización para una esfera y un cilindro, y se justifica la elección de los rangos para los parámetros en función de las coordenadas esféricas. Además, se aborda la parametrización de superficies de revolución, destacando cómo se puede obtener a partir de funciones continuas y no negativas. Se ilustra con un ejemplo la parametrización de la parte superior de una esfera centrada en el origen con radio r, utilizando una función escalar. El script es una guía valiosa para comprender conceptos fundamentales en geometría diferencial y su aplicación en la parametrización de figuras geométricas comunes.
Takeaways
- 📐 Una superficie en R³ es paramétrica si existe una función gamma que mapea un dominio en R² a la superficie.
- 🔍 La parametrización de una superficie es análoga a la parametrización de curvas, y generalmente se expresa en las coordenadas x(u, v), y(u, v), z(u, v).
- 🌐 Se puede parametrizar una esfera de radio r centrada en el origen usando la función vectorial r * (seno(theta) * cos(phi), seno(theta) * sin(phi), cos(theta)), con theta y phi variando en intervalos específicos.
- 📏 Las derivadas parciales de gamma son importantes para entender la tangente a la superficie en un punto dado.
- 🛰️ Las coordenadas esféricas son útiles para parametrizar figuras como esferas, donde r representa el radio, theta la longitud y phi la latitud.
- 🔄 Una superficie de revolución se puede generar girando una función continua y no negativa alrededor del eje z.
- 📏 Una parametrización de un cilindro puede ser dada por x(r, theta) = (r * cos(theta), r * sin(theta), s), donde s es la altura y theta varía entre 0 y 2*pi.
- 📈 La superficie generada por un campo escalar en R², como la parte superior de una esfera, puede ser parametrizada usando la gráfica del campo escalar y su dominio.
- 🔧 Las derivadas parciales son fundamentales para calcular la matriz jacobiana, que describe cómo se transforman las áreas locales en la superficie parametrizada.
- 🧮 La parametrización de superficies permite la realización de cálculos en geometría diferencial, incluyendo el cálculo de曲率 (curvatura) y la torsión (torque) de la superficie.
- 🌟 Una parametrización adecuada de una superficie permite visualizar y manipular la superficie de manera más sencilla en aplicaciones como modelado 3D y análisis de superficies.
Q & A
¿Qué es una superficie paramétrica?
-Una superficie paramétrica es una superficie en R³ que se puede describir a través de una función γ que mapea un dominio Ω en R² a la superficie S. Esta función es conocida como parametrización de la superficie.
¿Cómo se definen las ecuaciones paramétricas para una superficie?
-Las ecuaciones paramétricas para una superficie se definen como x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v), donde (u, v) son coordenadas en el dominio de la parametrización y x, y, z son coordenadas en R³.
¿Por qué las derivadas parciales son importantes en la parametrización de superficies?
-Las derivadas parciales son importantes porque nos permiten encontrar los vectores tangentes a la superficie en un punto dado, lo que es fundamental para estudiar propiedades como la curvatura o la inclinación de la superficie en ese punto.
¿Cómo se parametriza una esfera de radio r centrada en el origen?
-Una esfera de radio r centrada en el origen se puede parametrizar usando la función vectorial γ(r, θ, φ) = (r * sen(θ) * cos(φ), r * sen(θ) * sin(φ), r * cos(θ)), donde r varía en el intervalo [0, r], θ en [0, π] y φ en [0, 2π].
¿Cómo se justifica el rango de los parámetros θ y φ para la parametrización de una esfera?
-El rango de los parámetros θ y φ se justifica porque representan ángulos en un sistema de coordenadas esféricas. θ varía de 0 a π para abarcar todos los ángulos desde el polo norte hasta el polo sur, y φ varía de 0 a 2π para abarcar todos los ángulos en el plano horizontal.
¿Cómo se relacionan las coordenadas esféricas con las coordenadas cartesianas en una parametrización?
-Las coordenadas esféricas (r, θ, φ) se relacionan con las coordenadas cartesianas (x, y, z) a través de las ecuaciones x = r * sen(θ) * cos(φ), y = r * sen(θ) * sin(φ), z = r * cos(θ).
¿Cómo se parametriza un cilindro acostado sobre el eje de las z?
-Un cilindro acostado sobre el eje de las z se puede parametrizar usando la función γ(r, φ, s) = (r * cos(φ), r * sin(φ), s), donde r es el radio del cilindro, φ varía en [0, 2π] para representar la circunferencia transversal y s varía en un intervalo [0, h] que representa la altura en el cilindro.
¿Cómo se parametriza una superficie de revolución generada por una función continua y no negativa?
-Una superficie de revolución generada por una función continua y no negativa se parametriza variando el radio de las circunferencias transversales según la evaluación de la función en cada punto. La parametrización general es de la forma γ(s, φ) = (f(s) * cos(φ), f(s) * sin(φ), s), donde s es la coordenada longitudinal y φ varía en [0, 2π] para la circunferencia.
¿Cómo se relaciona la parametrización de una superficie de revolución con la gráfica de un campo escalar en R²?
-La parametrización de una superficie de revolución está relacionada con la gráfica de un campo escalar en R² porque la superficie de revolución se obtiene girando la gráfica del campo escalar alrededor de un eje. El dominio de la parametrización corresponde a la región en el plano R² que proyecta la sombra de la gráfica sobre el eje de rotación.
¿Cómo se parametriza la parte superior de una esfera de radio r centrada en el origen?
-La parte superior de una esfera de radio r se parametriza usando la función γ(s, φ) = (sqrt(r^2 - s^2) * cos(φ), sqrt(r^2 - s^2) * sin(φ), s), donde s varía en el intervalo [0, r] y φ varía en [0, 2π].
¿Cómo se determina el dominio de la parametrización para la parte superior de una esfera?
-El dominio de la parametrización para la parte superior de una esfera se determina como el conjunto de pares ordenados (s, φ) tales que s^2 + φ^2 ≤ r^2, lo que corresponde a la sombra proyectada de la parte superior de la esfera en el plano.
Outlines
😀 Introducción a la Parametrización de Superficies
Este primer párrafo introduce la parametrización de superficies en el espacio tridimensional. Se define una superficie paramétrica como una función gamma que mapea un dominio en el plano R^2 a la superficie en R^3. La parametrización es esencial para el estudio de curvas en R^3 y se utiliza para representar la superficie de objetos geométricos complejos como esferas y cilindros. Se proporciona un ejemplo de parametrización de una esfera, usando funciones vectoriales y mostrando cómo las ecuaciones paramétricas se relacionan con la ecuación de una esfera de radio r.
📐 Parametrización de un Cilindro y Superficies de Revolución
El segundo párrafo se enfoca en la parametrización de un cilindro yacída sobre el eje de las zetas. Se describe cómo se puede parametrizar una circunferencia en un corte transversal del cilindro y cómo las coordenadas de la parametrización representan diferentes partes del cilindro. Además, se explora la parametrización de superficies de revolución generadas por una función continua y no negativa, y se da un ejemplo de cómo parametrizar una esfera usando una función que involucra la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de las coordenadas x e y.
🌐 Parametrización de una Superficie de Revolución
Este párrafo profundiza en la parametrización de superficies de revolución, que son superficies generadas por la rotación de una curva en torno a un eje. Se discute cómo las circunferencias generadas por los cortes transversales varían en tamaño dependiendo de la posición en el eje. Se proporciona una parametrización detallada para una superficie de revolución, incluyendo la forma en que se eligen los parámetros para representar las coordenadas en el espacio tridimensional. Se utiliza como ejemplo la parametrización de la parte superior de una esfera, mostrando cómo se puede obtener a partir de una función escalar y su dominio de definición.
🔍 Parametrización de la Parte Superior de una Esfera
El cuarto y último párrafo se centra en la parametrización específica de la parte superior de una esfera centrada en el origen con un radio dado. Se describe el proceso de generación de la superficie a partir de la gráfica de un campo escalar, y cómo se puede obtener la parte superior de la esfera tomando el signo positivo de la función escalar. Se proporciona una fórmula de parametrización para esta superficie, incluyendo el rango de valores que toman los parámetros y cómo se relacionan con el dominio de la función escalar en el plano xy.
Mindmap
Keywords
💡Parametrización
💡Superficie paramétrica
💡Ecuaciones paramétricas
💡Esfera
💡Cilindro
💡Superficie de revolución
💡Campo escalar
💡Coordenadas esféricas
💡Derivadas parciales
💡Dominio
💡Rectángulo en el plano
Highlights
Definición de una superficie paramétrica como una función gamma que mapea un dominio en R^2 a la superficie S en R^3.
La parametrización de la superficie S es análoga a la parametrización de curvas en geometría diferencial.
Las ecuaciones paramétricas generales para una superficie en R^3 son x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
La existencia de derivadas parciales de x, y, z es fundamental para la parametrización de superficies.
Ejemplo de parametrización de una esfera con radio r centrada en el origen usando funciones trigonométricas.
Las ecuaciones paramétricas para la esfera son x = r * sin(θ) * cos(φ), y = r * sin(θ) * sin(φ), z = r * cos(θ).
La elección del dominio para la parametrización de la esfera está relacionada con las coordenadas esféricas.
La parametrización de un cilindro yaciendo sobre el eje z usando dos parámetros, uno para la altura y otro para la circunferencia.
La superficie de revolución se puede parametrizar a partir de una función definida en un intervalo cerrado.
La parametrización de una superficie de revolución involucra dos parámetros y una coordenada adicional para la circunferencia.
Ejemplo de parametrización de la parte superior de una esfera a través de una función escalar en R^2.
La esfera puede ser vista como una superficie de revolución generada por la gráfica de una función escalar.
La parametrización de la superficie superior de una esfera implica la elección de un campo escalar y su dominio apropiados.
La parametrización de una superficie de revolución puede ser utilizada para representar tanto la parte superior como la inferior de una esfera.
La parametrización de una superficie de revolución es una herramienta poderosa para estudiar propiedades de superficies complejas.
La parametrización permite la transformación de coordenadas rectangulares en coordenadas esféricas para superficies como cilindros y esferas.
La elección del dominio omega es crucial para la parametrización adecuada de superficies de revolución.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos hoy vamos a ver
parametrización de superficies vamos a
comenzar con una definición una
superficie s en r3 es una superficie
paramétrica si existe una función gamma
en este caso va de una región o mega de
r2 r3 tal que su imagen es justo mi
superficie se sale aquí tengo un dominio
mega y cada punto que doy en omega la
imagen va a un punto sobre mi superficie
s a la función gamma se le llama
parametrización de la superficie y la
función parametrizar la superficie s
sale es lo análogo a la parametrización
de curvas
podemos suponer que mi parametrizaciones
de la forma x de rdc coma y en rs coma z
de rs donde rs está en omega en el
dominio de mi parametrización y x 17
entonces sería un campo escalar en r2
vale la ecuación x igual a equis de rc
con malla igual adr s
7 igual a zeta de rss les llama
ecuaciones paramétricas no sé si las
derivadas parciales de x y z existen en
un punto r 0 s 0 en el abierto de omega
recuerden que no considera una frontera
de mí en mi región
entonces las derivadas parciales la
derivada parcial de gamma con respecto a
r en el punto de cero este 0 se define
así y la derivada parcial de gamma con
respecto a ese en el punto de reserva
ese 0 se define de esta forma ojos son
vectores en r3 salen
entonces vamos a ver una un ejemplo de
una parametrización vemos una
parametrización de la esfera x cuadrada
más de cuadrada más de está cuadra igual
erre cuadrada vale aquí está mi
superficie entonces la función
yo voy a probar que esta función
vectorial
r por seno de r chiquita coseno de ese
ere por seno de chiquita seno de ese ere
por coseno de r donde rs toma valores en
el rectángulo dado por el producto
cartesiano de los intervalos esté
cerrado 0 y 0 2 p
es una parametrización de mi esfera sale
con el que serían las ecuaciones
paramétricas pues en este caso x sería r
por seno de chiquita coseno de ese 10
sería r por seno de r chiquita seno de
ese 60 sería el seno de erc los voy a
probar que x cuadrado más y cuadrado más
que está cuadrado satisface la ecuación
de la esfera de radio r
vale entonces si yo leo al cuadrado
tengo x cuadrada cécere cuadradas en un
cuadrado de chiquita coseno cuadrado de
s y el cuadrado es r cuadrados en el
cuadrado de chiquita externo cuadrado de
ese bajista y se está cuadrado s
recuadrado coseno cuadrado de reig y
quita
aquí puedo factorizar seno cuadrado r
cuadrado seno cuadrado factor hizo y me
queda coseno cuadrado de s materno
cuadrado de ese es uno esto simplemente
me queda el recuadro por seno cuadrado
de r aquí lo tengo más r cuadrado por
coseno cuadrado de r vuelva a ser lo
mismo factor hizo re cuadrada y me queda
r cuadrado por seno al cuadrado de
chiquita más coseno cuadrado de chiquita
y me da r cuadrado justo esa satisface
la ecuación de la esfera entonces por lo
tanto esta función vectorial es una
parametrización de la esfera de radio r
centrada en el origen ok
ahorita vamos a justificar por qué el
paro ordenado que recomendó se toma
valores en este rectángulo porque les
era pi y porque este rd va de 0 a pi y
ese va de 0 a 2 pi
vale
coordenadas esféricas consideremos el
conjunto de todas las ternas x y z en r3
tales que su norma es igual a r
mayúscula este conjunto me va a generar
una esfera centrada en el origen de
radio r si yo me tomo un punto en ese
conjunto de tal forma que su tercera
coordenada de cero es como si estuviera
yo considerando ese punto en r3 sobre el
plano x
voy a suponer que ese punto tiene norma
igual la r2 vale y voy a llamar a ese el
ángulo comprendido entre el eje x y el
vector xy es cero a ese lo voy a variar
de 0 2 p
dale
entonces
como estoy en el plano xy yo puedo yo sé
que las coordenadas polares de este
punto x y he estado por r 2 coseno d
he estado por r20 desde donde se
establecen a los pi y que ahora quiero
saber cuánto vale r2
entonces me regreso al punto x y z
ok y voy a considerar el triángulo
formado o generado por los puntos 0 0 x
y z y 00 cet sale entonces si eres en
ángulo formado por el vector xz y el eje
de las setas
cuánto vale seno de r seno de rescate tu
puesto halle sobre hipotenusa pero
cuanto más el cateto puesto fíjense el
cateto opuesto vale exactamente r2
entonces es r2 sobre ere y cuánto vale
con cero desde chiquita cateto de agente
que zeta sobre ere ere grandota a esta
de chiquita la voy a hacer variar de
cero y si yo hago variar de chiquita de
cero y ese de 0-2 y entonces el conjunto
de todos los puntos haciendo variar esos
dos parámetros también me genera una
esfera centra en el origen de radio r
mayúscula
a ver entonces
dijimos que seno de r es rr2 sobre r
mayúscula y con seno de la chiquita
igual a z sobre mayúscula le habíamos
dicho bueno entonces siguió despejó de
r2 aquí pues se reduce es el seno de r
chiquita iceta es igual a r coseno de
chiquita sabemos que x sr2 coseno de
sub-20 en ese entonces sustituyendo
tengo que xe ser externo de r chiquita
coseno de ese 10 igual a
r seno de r chiquita seno de s
y se te dijimos que era recosté nobel
donde r dijimos que va a ser va a variar
de cero y ese va a variar de 0 a 2 mil
vale lo que estamos haciendo es
transformar coordenadas rectangulares en
r3 en coordenadas esféricas punto sobre
la esfera central en el origen de radio
r sale y esto automáticamente como vimos
en el ejemplo anterior me genera una
parametrización de la esfera
ahora vamos a parametrizar un cilindro
cilindro acostado sobre el eje de las
setas como para podemos parametrizar
este este tipo de shilin a ver fíjense
este cilindro tiene base r
lo que voy a hacer es fijar una altura
una altura s recuerde que en una
parametrización yo tengo dos parámetros
erreyes vale entonces tengo la libertad
de elegir cómo se va a mover r y cómo se
va a mover de saleh voy a suponer que
ese me va a medir la altura en la que
estoy en el cilindro una altura s si yo
hago un corte transversal me va a
generar una circunferencia de radio la
base de mi cilindro de radio r mayúscula
si yo fijo otra altura y hago un corte
transversal le va a generar otra
circunferencia pero que creen del mismo
radio entonces si fijo yo altura y hago
corte transversal
siempre me va a generar una
circunferencia de radio r mayúscula
entonces lo que voy a hacer mi
parametrización tengo tres coordenadas
dos parámetros la tercera coordenada va
a fijar la altura en el cilindro en
donde estoy en el cilindro y las otras
dos me va a dar una parte quiero que me
paramétrica la circunferencia el corte
transversal sale entonces si gama drs es
una parametrización entonces la voy a
definir de la forma fíjense tercera
coordenada dss s va a ir de 0 a h h la
altura de mi cilindro sale y las
primeras dos coordenadas nueva a
parametrizar el corte transversal que va
a ser una circunferencia r coseno de
reig y quita r seno de chiquita sale y
era chiquita va a ir de 0 a 2 pi
sale y estoy parametrizado un cilindro
un cilindro acostado sobre el eje de las
zetas si ese cilindro está acostado
sobre el eje de la x ala y se lo pongo
en la coordenada x sin mi cilindro está
acostado sobre el eje de las 10 entonces
se lo pongo en la coordenada y sale no
está tan complicado
ahora consideremos este una superficie
revolución lo voy a considerar a efe una
función negativa y continua definida en
un intervalo cerrado
lo que queremos es parametrizar la
superficie revolución generada o la
gráfica de la función ojo todo corte
transversal que haga yo sobre la
superficie revolución que creen también
me va a generar una circunferencia esta
circunferencia vive en el plano 10 eta
sale entonces como paramétrico recuerden
y parametrización consta de tres
coordenadas y yo tengo dos parámetros
voy a decir que voy a agarrar a ese es
lo voy a variar desde a ave me voy a
fijar en qué punto voy a estar en el eje
de las equis y las otras dos b va a
generar la circunferencia sobre el plano
y el set pero de que el radio
ahora las circunferencias ir en radios
distintos depende del punto es en el que
yo me localicé pero qué radio va a tener
pues va a ser la evaluación de mi
función en ese punto
vale entonces una parametrización de la
superficie revolución estado por
recuerden s es ésta en el corre en la
coordenada x entonces va a estar en la
primera coordenada de parametrización
las otras dos me parametrizar la
circunferencia sale y cuál es la
parametrización es fs que es el radio
jose madre y luego fs se modere s de
donde donde va dijimos que va de ave y r
chiquita va a ir de 0 a 2 pida las
vueltas completas cierto entonces
estamos dando una parametrización a
cualquier superficie de revolución
generada por una función continua y no
negativa sale chico no está tan
complicado a ver como ejemplo vemos una
parametrización de la esfera centra en
el origen de radio r éste es una sola
puede generar mediante una función es
decir la esfera
es una superficie de revolución que
funciones que hago ct igual a cero y
despejó ye y me tomo la función fx igual
a raíz cuadrada de re cuadrada - x
cuadrada y x va a ir de menos cerrar la
superficie revolución generada por la
gráfica y me representa la esfera centre
en el origen de radio era entonces una
parametrización de la superficie
revolución dijimos todo de la forma
primera coordenada es ese
la segunda coordenada es fs y raíz
cuadrada de re cuadrada menos s cuadrada
por coseno de r chiquita y fs por seno
de r chiquita r va a ir de 0 a 2 pi y
ese va a ir de menos r r ya le estamos
dando otra parametrización de la esfera
central el número origen de radio r
estoy pensando que mi esfera es una
superficie revolución vamos a parar
la superficie generada por un campo
escalar en r2 la esfera por ejemplo no
es la gráfica de un campo escala de
terrenos pero si la parte superior o la
parte inferior de mis fuera puede ser la
gráfica de un campo escalar en r2 29
consideraron una un campo escala de nr 2
definidos sobre una región o mega vale
si esta es mi superficie la sombra que
me genera la superficie es mi región o
mega sale a tomar a ese como la gráfica
de f
el conjunto de las parejas ordenadas x f
x tales que x está en omega pero
recuerden que x es un vector en r 2 por
lo tanto por lo tanto perdón tengo tres
coordenadas es una superficie de tres y
lo que quieres para mí utilizar a ese
pero es muy fácil es lo análogo a
parametrizar
gráficas de funciones fíjense una
helisuperficie pues es de la forma
r coma s coma efe rc ahora cuál es el
dominio de mi parametrización pues es el
dominio del campo escalar sale los
ejemplos anteriores el dominio era un
rectángulo
ahora ya no ya una es una región o mega
que se obtiene al proyectar la sombra
sobre el plano x de mi superficie sale a
ver cómo ejemplo vemos una
parametrización de la esfera se entra en
el origen de radio r este es una la
puedo generar mediante una función es
decir la esfera es una superficie de
revolución que funcione es la que me la
que hago girar de tal forma que me
genere esta esfera pues simplemente hago
7 igual a 0 y despejó ye y me tomo la
función fx igual a raíz cuadrada de re
cuadrada - x cuadrada y x va a ir de
menos cerrar sales y yo hago igual a 0 7
igual a cero
x tomar los valores de menos ser más
bien toma el valor de menos r&r tal y
como lo estoy haciendo variar pues va a
estar dado en este intervalo ok la
superficie revolución generada por la
gráfica me representa la esfera centre
en el origen de radio era entonces una
parametrización de la superficie
revolución dijimos todo de la forma
primera coordenada es ese la segunda
coordenada es fs y raíz cuadrada de re
cuadrada menos s cuadrada por coseno de
r chiquita y fs por seno de r chiquita r
va a ir de 0 a 2 pi y ese va a ir de crf
ya le estamos dando otra parametrización
de la esfera central el nuevo origen de
radio r estoy pensando que mi esfera es
una superficie revolución ahora vamos a
ver
la superficie generada por un campo
escalar en r2 la esfera por ejemplo no
es la gráfica de un campo escala de
renos pero si la parte superior o la
parte inferior de mi esfera puede ser la
gráfica de un campo escalar en r2 estos
nueve consideraron una un campo escala
de r2 definidos sobre una región o mega
vale si esta es mi superficie la sombra
que me genera en la superficie es mi
región o mega sale tomará s como la
gráfica de f el conjunto de las parejas
ordenadas x f x tales que x está en
omega pero recuerden que x es un vector
en r 2 por lo tanto por lo tanto perdón
tengo tres coordenadas es una superficie
de tres y lo que quieres para mí
utilizar a ese pero es muy fácil en lo
análogo a parametrizar
gráficas de funciones fíjense una
superficie pues es de la forma
r coma ese coma efe rc ahora cuál es el
dominio de mi parametrización pues es el
dominio del campo escalar sale los
ejemplos anteriores el dominio era un
rectángulo
ahora ya no ya una es una región omega
que me es es este que se obtiene al
proyectar la sombra sobre el plano x de
mi superficie
vamos a parametrizar la parte superior
de la esfera de la esfera central en el
origen de radio ver la parte superior o
la parte inferior recuerden que me
representa la gráfica de un campus canal
en enredos pero no toda la esfera vale
entonces cuál sería el campo escalar
cuyo
cuya superficie me genera el casquete
superior por ejemplo pues lo que hacen
es despejar acepta y tomar el signo
positivo los cfd x coma y aquí esto me
ganó bar chicos perdón es la raíz
cuadrada de re cuadrado - x cuadrado
menos y cuadra ese va a ser mi campo mi
campo escalar y cuál es el dominio omega
aquí debería de ser omega chicos aquí se
lo fuere omega es la sombra que me
proyectan en las sombras un disco
conjunto de parejas ordenadas tales que
x cuadrado más y cuadrado es menor o
igual a erre cuadrada vale entonces la
superficie revolución generada por este
campo es cadena de dos nueva generar la
parte superior
está mal
a ver demos un ejemplo vamos a
parametrizar la parte superior de la
esfera centrar en el origen de radio r
está este casquete superior no puedo
generar mediante la gráfica del campo
escalar raíz cuadrada de re cuadrada
menos x para menos de cuadrada vale lo
que hago es despejar acepta y tomar el
signo positivo
aquí las la el dominio de mi función en
la sombra generada por el casquete
superior que me da un disco el conjunto
de los padres ordenados x ye tales que x
cuadrada más y cuadrada es menor o igual
a r cuadrado ese va a ser mi dominio
omega de mi función entonces una forma
media
por a r s coma
frs raíz cuadrada de re cuadrada - r
cuadrada menos s cuadrado donde r y s
toma valores en omega que es el dominio
de mi campo escalar en r 2 sale
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