PCSI - video 3 - SLCI cours asservissements - Partie2 : FT et schema blocs

Summary

Cette vidéo traite de l'utilisation et de la manipulation des schémas blocs dans les systèmes linéaires continus invariants. Après une révision de la transformation de Laplace, les propriétés essentielles sont abordées, telles que la linéarité et les théorèmes de la valeur finale et initiale. Les concepts de modèle de connaissance et modèle de comportement sont distingués, ainsi que l'importance des pôles dans la stabilité des réponses. Enfin, la vidéo explique comment simplifier les calculs en utilisant les fonctions de transfert pour des blocs en série, en parallèle, et pour des systèmes bouclés.

Takeaways

• 🔧 La transformation de Laplace simplifie le calcul des équations différentielles en les transformant en équations polynomiales.
• 📈 Les propriétés de la transformation de Laplace incluent l'unicité, la linéarité, la dérivation (multiplication par p) et l'intégration (division par p).
• 🔑 Les théorèmes des valeurs finales et initiales, ainsi que celui du retard, sont essentiels pour analyser la réponse des systèmes.
• 📉 Les pôles d'une fonction de transfert déterminent la stabilité du système : un pôle réel positif entraîne une instabilité.
• 🧮 Une équation différentielle dans le domaine temporel se transforme en fonction de transfert dans le domaine de Laplace, facilitant le calcul de la sortie.
• 🔄 Les blocs des systèmes linéaires sont modélisés soit par des équations différentielles soit par des fonctions de transfert, dépendant du contexte.
• ⚙️ Dans une association de blocs en série, la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert des blocs.
• ➕ Dans une association de blocs en parallèle, la fonction de transfert globale est la somme des fonctions de transfert des blocs.
• 🔁 Le calcul des systèmes à boucle fermée utilise la formule de Black pour relier les fonctions de transfert en boucle ouverte et fermée.
• 🔀 Il est possible de déplacer des points de jonction et des sommateurs dans les schémas-blocs, en ajustant les équations pour conserver la cohérence du système.

Q & A

Qu'est-ce que la transformation de Laplace permet de simplifier dans l'étude des systèmes linéaires continus ?

La transformation de Laplace permet de simplifier la résolution d'équations différentielles en les transformant en équations polynomiales, ce qui facilite le calcul des réponses des systèmes.

Quelle est la conséquence d'un pôle réel positif dans une fonction de transfert ?

Un pôle réel positif entraîne une réponse instable dans le système, soit sous la forme d'une sinusoïde amplifiée, soit d'une exponentielle amplifiée.

Quels sont les avantages d'utiliser des fonctions de transfert dans l'analyse des systèmes ?

L'utilisation des fonctions de transfert permet de remplacer des équations différentielles complexes par des relations algébriques simples, facilitant ainsi les calculs pour analyser la sortie d'un système.

Comment s'appelle la fonction reliant la sortie et l'entrée d'un système dans le domaine de Laplace ?

Elle s'appelle la fonction de transfert ou transmittance, et elle décrit le rapport entre la sortie et l'entrée dans le domaine de Laplace.

Comment détermine-t-on la fonction de transfert globale dans un système composé de blocs en série ?

La fonction de transfert globale d'un système composé de blocs en série est le produit des fonctions de transfert de chaque bloc.

Quelle est la méthode pour obtenir la fonction de transfert équivalente de blocs en parallèle ?

La fonction de transfert équivalente pour des blocs en parallèle est la somme des fonctions de transfert de chaque bloc.

Quelle est la différence entre un modèle de connaissances et un modèle de comportement dans la modélisation d'un système ?

Un modèle de connaissances est basé sur des équations connues du système réel, tandis qu'un modèle de comportement est issu de l'observation expérimentale d'un système lorsque ses caractéristiques internes sont inconnues.

Qu'est-ce qu'une fonction de transfert en boucle ouverte ?

La fonction de transfert en boucle ouverte est la fonction reliant la sortie du comparateur à son retour, sans prendre en compte la boucle fermée du système.

Que se passe-t-il lorsque l'on déplace un point de jonction dans un schéma bloc ?

Lorsque l'on déplace un point de jonction vers l'amont, on multiplie par le bloc déplacé. Lorsqu'on le déplace vers l'aval, on divise par le bloc déplacé.

Quel est l'intérêt de ramener un système bouclé à un système avec un retour unitaire ?

Ramener un système bouclé à un système avec un retour unitaire simplifie l'utilisation d'abaques et de courbes prédéterminées pour l'analyse du système.

Outlines

00:00

📊 Introduction à la transformation de Laplace

Ce paragraphe introduit l'utilisation de la transformation de Laplace pour analyser des systèmes et résoudre des équations différentielles complexes. Il met en avant des notions clés telles que la linéarité, l'unicité, la dérivation, l'intégration, ainsi que les théorèmes des valeurs finales et initiales. Le rôle crucial des pôles dans la stabilité des systèmes est souligné, notamment l'impact de pôles négatifs ou positifs sur la réponse du système.

05:01

⚙️ Bloc diagrammes et fonction de transfert

Ce paragraphe explique la méthode de modélisation des systèmes par schémas blocs, en introduisant la notion de fonction de transfert dans le domaine de Laplace. On y décrit comment les équations différentielles sont simplifiées en équations polynomiales, facilitant ainsi l'analyse des systèmes linéaires continus. Il est également expliqué que le schéma bloc peut être enrichi par les fonctions de transfert des différents composants pour mieux comprendre la relation entre l'entrée et la sortie.

10:01

🔄 Série et parallèles de fonctions de transfert

Dans ce paragraphe, on explique les règles de combinaison des blocs dans un schéma en série ou en parallèle. Les fonctions de transfert des blocs en série se multiplient, tandis que celles des blocs en parallèle s'additionnent. Ces principes permettent de déterminer la fonction de transfert globale du système, utile pour l'analyse de systèmes en boucle fermée. La manipulation de ces schémas est centrale pour comprendre le comportement du système.

15:02

🔁 Manipulation des schémas blocs et points de jonction

Ce dernier paragraphe porte sur la manipulation des points de jonction et des sommateurs dans un schéma bloc. Il décrit comment déplacer ces éléments en amont ou en aval tout en conservant les relations entre les variables. Les équations sont réécrites localement pour vérifier que la modification est correcte. Ce processus est essentiel pour simplifier le schéma et l'adapter aux outils d'analyse disponibles.

Keywords

💡transformée de Laplace

La transformée de Laplace est une méthode mathématique utilisée pour transformer des fonctions du domaine temporel en fonctions du domaine des fréquences complexes. Elle est essentielle pour résoudre des équations différentielles en régime transitoire. Dans le script, elle est utilisée pour passer d'une équation différentielle complexe à une relation polynomiale plus simple à manipuler.

💡fonction de transfert

La fonction de transfert décrit la relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire invariant. Elle est définie par le rapport entre les transformées de Laplace de la sortie et de l'entrée. Dans le script, elle est utilisée pour simplifier l'analyse des systèmes en les réduisant à un gain multiplicatif dans le domaine de la transformée de Laplace.

💡système linéaire

Un système linéaire est un système qui respecte les propriétés de linéarité, c'est-à-dire que la combinaison linéaire des entrées produit la même combinaison linéaire des sorties. Dans le script, l'accent est mis sur la manipulation et l'analyse de tels systèmes à l'aide de la transformée de Laplace.

💡pôles

Les pôles d'une fonction de transfert sont les valeurs qui rendent le dénominateur de cette fonction nul. Ils sont cruciaux pour déterminer la stabilité et le comportement asymptotique d'un système. Dans le script, il est expliqué que les pôles négatifs contribuent à des réponses stables, tandis que les pôles positifs entraînent des réponses instables.

💡schéma bloc

Un schéma bloc est une représentation graphique d'un système composé de plusieurs sous-systèmes. Chaque bloc représente une fonction de transfert ou un opérateur. Dans le script, les schémas blocs sont utilisés pour décrire la composition et l'interaction des différents composants d'un système.

💡modélisation

La modélisation consiste à créer un modèle qui représente un système réel de manière abstraite. Dans le script, la modélisation est abordée comme un processus qui peut être basé sur des connaissances approfondies du système (modèle de connaissance) ou sur des observations expérimentales (modèle de comportement).

💡équation différentielle

Une équation différentielle est une équation qui contient des dérivées d'une ou plusieurs fonctions. Dans le script, les équations différentielles sont utilisées pour décrire le comportement des systèmes et sont transformées en fonctions de transfert pour faciliter leur résolution.

💡stabilité

La stabilité d'un système se réfère à son capacité à retourner à un état d'équilibre après avoir été perturbé. Dans le script, la stabilité est liée à la position des pôles de la fonction de transfert du système.

💡théorème de Black

Le théorème de Black est une méthode pour déterminer la fonction de transfert d'un système en boucle fermée en utilisant la fonction de transfert du système en boucle ouverte. Dans le script, il est mentionné comme un outil pour analyser les systèmes avec des boucles de rétroaction.

💡sommateur

Un sommateur est un composant électronique ou un bloc dans un schéma qui additionne plusieurs signaux d'entrée pour en produire une seule sortie. Dans le script, il est mentionné dans le contexte de la manipulation des schémas bloc pour déplacer des points de jonction.

Highlights

L'introduction à l'utilisation et la manipulation des schémas en transformée de Laplace.

Importance des propriétés de la transformée de Laplace comme unicité, linéarité, dérivation et intégration.

Explication des théorèmes des valeurs finales et initiales, et du théorème du retard.

La signification des pôles de la transformée de Laplace sur la stabilité des systèmes.

Les types de réponses à un échelon en fonction de la position des pôles.

La conversion d'une équation différentielle en une relation polynomiale grâce à la transformée de Laplace.

Définition de la fonction de transfert et son importance dans l'analyse des systèmes.

La notion de causalité et son impact sur la forme des fonctions de transfert.

Comment simplifier les équations différentielles en utilisant les fonctions de transfert.

L'approche de décomposition de systèmes en blocs pour la modélisation et l'analyse.

La différence entre les modèles de connaissances et les modèles de comportement.

Comment associer des modèles de comportement à des systèmes de type boîte noire.

La manipulation des fonctions de transfert en série et en parallèle pour obtenir la fonction de transfert globale.

La formule de Black pour déterminer la fonction de transfert d'un système en boucle fermée.

La technique de déplacement des points de jonction et des sommateurs dans les schémas de blocs.

L'utilisation des fonctions de transfert pour simplifier les calculs dans les systèmes linéaires continus.

Transcripts

aujourd'hui nous allons nous intéresser

après avoir vu l'outil transformé de la

place nous allons nous intéresser à son

utilisation et la manipulation des

schémas bloque donc on

on pourra ensuite étudié les réponses

temporel alors un petit point sur ce

qu'il faut savoir de la transformer de

la place comme on l'a dit dans la vidéo

précédente

les relations les propriétés d'unicité

de linéarité la dérivation et

l'intégration quand on dérive on

multiplie par p quand on intègre ondes

et on divise par p sous réserve de

conditions initiales nul très important

les théorèmes des valeurs finale et

initiale le théorème du retard à avoir

osé prendre sa tête savoir ce que c'est

qu'un dira qu' un échelon et puis

connaître les transformer de la place

usuelle des échelons rampe exponentielle

et d'irak

on rappelle donc ce que l'on ce sur quoi

on s'est quittés sur la dernière vidéo

que le pôle d'un élément

deux fonctions de transfert en réponse à

un d'irak va nour est très important

dans le sens où si l'on à un pôle à

partir et est négative la réponse va

converger

elle sera soit une exponentielle

amortissent il n'y a pas de partie

complexe soit une sinusoïde avec une

enveloppe amortissent il ya une partie

complexe tandis que ce que l'on ne

souhaitera pas c'est avoir un pôle réel

positif dès qu'on a un pôle réel positif

l'an réponse à un échelon la sortie va

être instable soit sinusoïde soit

constante soit exponentielle amplifié et

dans la plupart des cas pour un complexe

quelconque une sinusoïde amplifié donc

le la partie du plan que l'on s'autorise

c'est d'avoir des pôles à partir est

elle négative alors on repart de la

caractéristique d'un bloc d'un blog la

chaîne à bloc

régis par une équation de comportement

donc le comportement des systèmes mono

variable linéaire continue invariants et

peut être représentée par une équation

différentielle de ce type là on l'a déjà

dit et donc la loi entre la relation

entre l'entrée et la sortie est régi par

cette équation différentielle résoudre

une équation différentielle c'est pas

facile d'autant plus si l'ordre des

dérivés sur la sortie et l'entrée est

grand et vous ne savez pas faire en

revanche si l'autre passe cette équation

temporelle dans le domaine de la place

sous réserve des conditions initiales

nul sur l'entrée et la sortie et leurs

relais et leurs dérivés relatif on

arrive à une relation polynomiale en

effet à 0 s de thé devient à 0 s2p à un

dérivé de s devient à 1 p x s est ainsi

de suite jusqu'à la dérive et des iem à

des dérives et des iem le temporel égale

adp puissance des fois s de la même

manière qu'au côté de l'entrée des 0,1 c

0e est un dérivé temporel 2e devient

dans le domaine de la place p 1 p 3e et

ainsi de suite jusqu'à cette dérive et

énième bn dérivés énième 2e c'est bnp

puissance n x e

tout ceci mi temps mis en facteurs nous

permet d'avoir une équation polynomiale

et travaille avec des polynômes vous

allez le voir c'est beaucoup plus facile

qu'avec des dérivés temporel ensuite à

partir de cette équation

on va pouvoir définir le rapport sorti

sur entrée que l'on appelle fonction de

transfert ou transmittance aussi appelé

transmittance nous utiliserons la

plupart du temps le la dénomination

fonction de transfert

la dénomination transmittance et bien

souvent beaucoup plus adapté aux parce

que aux études que vous ferez en

physique et en particulier en

électronique

donc suite à cette équation on trouve

facilement cette fonction de transfert

sortie sur entrée et donc un rapport de

paulino toujours n inférieur à des

imposés par le principe de causalité

donc on aura un polynôme donc plus élevé

au dénominateur que numérateur ainsi

notre le système qui était décrit par

une équation différentielle devient donc

simplement maintenant définie par une

fonction de transfert alors les

notations sont largement allégé vous en

être convaincu et l'intérêt c'est que

pour calculer la sortie dans le domaine

de la place il n'y a qu'à faire la

multiplication de la fonction de

transfert fois l'entrée de par la

définition de la fonction de transfert

tandis que dans le domaine temporel

balle équations différentielles on

savait pas la résoudre

alors une fois dit ceci et bien on

reprend la démarche initiée dans le

premier cours et dans l'illustration sur

le régulateur de vitesse on a décomposé

notre système en différents blocs et

pour chacun des blocs une équation de

comportement nous a permis d'avoir une

loi reliant l'entrée et la sortie d'un

bloc soit très simple on a obtenu un

gain la sortie est un gain linéaire un

coefficient fois l'entré soi avec un

travail comme on vient de le préciser

précédemment on a modélisé par une

équation différentielle son comportement

l'entrée et la sortie et on arrive dans

le domaine de la place à une fonction de

transfert qui caractérise le transfert

entre sorties sur entrée et donc ceci

pour tous les blogs que l'on a étudié on

peut mener ces études là on obtient donc

un schéma bloc qui ne sera plus

uniquement un schéma bloc de principe

avec le nom des constituants qui ne sera

pas un schéma bloc de principe avec les

équations différentielles à l'intérieur

des blocs temporel mais un schéma bloc

dans le domaine de la place les grandes

heures des changes entre les blocs sur

les liens seront donc exprimé dans le

domaine de la place et dans les blocs

ont l'indiquent les fonctions de

transfert des constituants dans le

domaine de la place petit retour sur la

notion de modélisation pour modéliser un

système technique il faut et c'est ce

qu'on a fait dans l'introduction

intuitive mais du coup on le redit la en

cours on isole de façon globale le

système on le découpe en sous système

alors bien évidemment grâce aux outils

diagramme ci saml bdd et ib dès le

passage de schémas bloc est facilité

puis disposant du schéma bloc bas on

associer à chacun des soucis c'est un

modèle de connaissance ou un modèle de

comportement un modèle on va ici donc

faire le point sur modèle de

connaissances et modèles de comportement

donc tout ceci c'est ce que je viens de

dire aussi précédemment

l'idée ici c'est de distinguer un modèle

de connaissance d'un modèle que deux

comportements

alors si le système réel et très très

bien connu est modélisé par des modèles

très classique très simples comme ici un

circuit

rl eh bien on peut proposer un modèle de

connaissance il ya la connaissance que

l'on a du système réel par un ensemble

d'équations de systèmes d'équations que

l'on transposera dans le domaine de la

place très facilement comme c'est le cas

ici

pour ceux-ci l'url en revanche si notre

système est du type boîte noire c'est à

dire que l'on ne connaît pas ce qu'il ya

à l'intérieur on ne va pas pouvoir

proposer modèle de connaissances pour

modéliser un tel système

c'est ce que l'on fera en tp on va

proposer une entrée on va imposer une

entrée à ce système

par exemple ici un échelon et on va

identifier travailler sur la mesure de

la sortie que l'on va en fait suite à

une connaissance

issu du comportement on va pouvoir

modéliser le système etc on appelle sans

que ceux-ci un modèle de comportement un

modèle issu du comportement expérimental

observé donc voilà la différence entre

modèles de connaissances je connais le

système j'ai un système d'équations je

peux proposer un modèle est un modèle de

comportement issus de l'observation d'un

comportement expérimental

donc revenons à nos schémas bloc dans

chacun des blocs on a donc un modèle de

connaissances ou de comportement issu de

la modélisation que l'on fait et de ce

que l'on peut connaître sur le système

pour pouvoir utiliser ces blocs il faut

un petit point sur le calcul le calcul

lorsqu'on a des associations du bloc

alors lorsqu'on a des associations de

blocs en série ici x un tronçon

transfert h1 des knicks depuis fonction

transfert age ii d'onyx trois pistes

fonction de transfert h32 y la fonction

de transfert qui permet le transfert

global entre x1 et y donc est

représentée ici en pointillés va être le

produit de h1 h2 h3 en effet si on

l'écrit y égale h 3 x 3 or x3 égal h2x 2

or x2 et ganache un x1 si on combine ces

trois équations n'aura bien y égale h 3

x h deux fois à chaque fois x1 donc

fonction de transfert h en série produit

des fonctions de transfert des blocs en

série lorsque les blogs sont en

parallèle

bien évidemment on va en faire la somme

donc si j'ai une entrée x chi x h un dan

y ait un barrage de john y de parage 3

donne y 3,6 ensuite j'additionne c3 y y

pour avoir y est bien la fonction de

transfert équivalente h permettant le

transfert depuis x jusqu'à y va bien

évidemment être à jeun plus sage de plus

h 3 en effet y égale la somme des h 10

or chacun des d y est pardon or chacun d

y y

voa chi x x donc y égale h un poids x

plus h 2 x x + hb 3 x x donc le bloc

équivalent h égale y 1h un pardon plus h

2 + h3 lorsque les blogs sont en

parallèle on some les fonctions de

transfert

ceci nous permet donc de

de revenir et de déterminer la fonction

transfert d'un système en boucle fermée

grâce à ses petits calculs à un système

avec une entrée une sortie une chaîne

direct un retour qu'à boucler donc on

considère éventuellement qu'ici bas

c'est la fonction de transfert associé à

un capteur la fonction de transfert et

qui bat équivalentes j'ai faisant le

lien entre l'entrée et la sortie s va

être exprimées par la fonction de

transfert en chaîne direct h / un plus

la fonction de transfert en boucle

ouverte h k en effet il faudra mener un

petit calcul et ça nous le ferons en

classe de petits calculs pour démontrer

cette formule de black que je vient

d'illustrer nous en reparlerons en

classe la fonction de transfert en

boucle ouverte par définition c'est la

fonction de transfert

lorsque l'on ouvre la boucle est donc

c'est la fonction de transfert reliant

la sortie du comparateur à son retour

aux comparateurs j'ouvre la boucle et je

fais le lien de comparateurs à

comparateur la fonction de transfert en

boucle ouverte

on va noter souvent ft bo est ici h x

cas on en reparlera en classe entière

pour parler de la formule de black

dernier dernier point technique sur la

manipulation des schémas bloc il est

possible de déplacer des points de

jonction ou des sommateurs alors sur la

première ligne là on a trois schémas

bloc équivalent un schéma de départ pour

lequel s et galbées x v v égal à foix eu

w égal c'est v si je veux des place et

ce point de jonction vers l'amont donc

le mettre en amont et le maître ici eh

bien il va

que deviennent les blocs alors il me

faut toujours avoir les relations que

l'on a on viens de dire est que vous

avez écrite s et galbées à une et puis w

galles c'est à lui donc comme et ses

galbes et a pu

il nous faut le garder s et galbées à la

question et que devient ce bloc là si je

déplace le point ici

alors il me faut toujours w égal c'est a

pu comme je prends un point de fonctions

directement sur rue il me faut à fois

c'est dans ce bloc si je veux déplacer

dans l'aval le maître ici je veux

toujours avoir s et galbées a eu je ne

change pas cette chaîne direct par

contre il me faut w égal à ces put donc

w égal à c ur

il faut / b x c'est dans ce bloc là donc

c'est sûr b le raisonnement que l'on

vient de mener

il est il ne prend pas beaucoup de temps

à être menées régulièrement si on a

besoin de déplacer des blocs

vous pouvez néanmoins retenir que quand

on déplace vers l'amont on va multiplier

par le blog dont le retour là et quand

on déplace vers l'aval eh bien on va

diviser par le bloc que l'on

que l'on passe même chose linux ou pour

les sommateurs si j'ai ce schéma de

départ s et galbées fois epsilon or

epsilon égale v - m

avec v égal à u n égale cw vous pouvez

l'écrire ça nous donne s et galbées

parenthèse à une - cw si je veux des

place et le sommateurs vers l'amont

premier première proposition là que

faut-il mettre ici eh bien je vérifie

que la proposition propres indiqué juste

j'ai bien s et galbées à une - bcw c'est

bien la même chose que la s et galbées a

pu - bcw quand on développe le facteur

que l'on a cité tout à l'heure de la

même manière si je veux des place et le

le sommateurs vers l'aval je vais donc

avoir besoin toujours d'avoir s égale b

a eu donc ici me faut mettre il faut

sortir le bloc b et le mettre là et puis

la même manière sortir le bloc b et le

maître ici s et galp et a eu moins bcw

donc de la même manière quand on a un

déplacement si nécessaire deux blocs de

point de jonction ou de sommateurs on

n'hésite pas à réécrire localement les

petite équation reliant les variables

pour s'assurer que la solution qu'on

propose est bien juste

on peut donc dans tous les cas à partir

du système bouclé précédent le ramener à

un système bouclé avec un retour unis

d'un ski aura certains avantages en

particulier pour utiliser des abaques

des courts près des courbes prédéterminé

comme on le verra par la suite

ainsi le schéma précédent où on avait h

dans la chaîne direct et cas dans la

chaîne de retour si jamais je veux un

retour

enchaîne direct je vais donc mettre ici

qu'à x h qui reste la boucle ouverte la

boucle ouverte n'a pas changé la chaîne

du comparateur aux comparateurs et

toujours car x h et pour pouvoir bien

m'en sortir

et bien je vous invite à vérifier que en

mettant un sur cas ici on a bien les

mêmes relations reliant l'entrée et la

sortie

voilà pour la fin de ce point sur les

systèmes linéaires continuer