Clase 11: Problema de péndulo físico con un disco.

Summary

El guion trata sobre el cálculo del período de un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia 'l' desde su centro de masa. Se busca el valor de 'l' para lograr un período de 1.7 segundos y el valor de 'l' que minimiza el período. Se discute la fórmula del período para un péndulo físico, incluyendo el momento de inercia respecto al centro de masa y la distancia 'l'. Se resuelven ecuaciones para encontrar los valores de 'l' que satisfacen las condiciones dadas y se calcula el valor de 'l' para el período mínimo.

Takeaways

• 📏 Se analiza un problema de un péndulo físico con un disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia \( l \) desde el centro de masa.
• ⏲️ El objetivo es encontrar los valores de \( l \) para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos, y además determinar \( l \) para que el período sea mínimo.
• 📐 La fórmula del período para un péndulo físico es \( T = 2\pi \sqrt{\frac{I + ml^2}{mgl}} \), donde \( I \) es el momento de inercia del disco respecto al centro de masa.
• 🧮 El momento de inercia de un disco respecto a su centro de masa es \( I = \frac{1}{2} m r^2 \), donde \( r \) es el radio del disco (0.5 metros).
• 📝 El período \( T \) en función de \( l \) se simplifica a \( T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}r^2 + l^2}{gl}} \).
• 📊 Se describe que la gráfica del período en función de \( l \) tiene un mínimo, y existen dos valores de \( l \) para los cuales el período es 1.7 segundos.
• 🔎 Para encontrar los valores de \( l \) cuando \( T = 1.7 \) segundos, se resuelve la ecuación cuadrática resultante, obteniendo \( l_1 = 0.30 \) metros y \( l_2 = 0.42 \) metros.
• 🧮 Para encontrar el valor de \( l \) que minimiza el período, se utiliza la derivada de la expresión del período respecto a \( l \), estableciendo \( \frac{dT}{dl} = 0 \).
• 📏 El valor de \( l \) que minimiza el período es \( l = \frac{r}{\sqrt{2}} \), lo que resulta en \( l \approx 0.35 \) metros.
• 🎯 En resumen, los valores de \( l \) para un período de 1.7 segundos son aproximadamente 0.30 y 0.42 metros, y el valor que minimiza el período es aproximadamente 0.35 metros.

Q & A

¿Cuál es el problema 8 mencionado en el guion?

El problema 8 trata sobre un péndulo físico en forma de disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a cierta distancia 'l' desde su centro de masa, y se busca encontrar la longitud 'l' para que el período sea de 1.7 segundos.

¿Qué es un péndulo físico?

Un péndulo físico es un objeto que puede oscilar libremente alrededor de un punto fijo, generalmente en un movimiento armónico simple, y se caracteriza por su período, que es el tiempo que toma para completar un ciclo de oscilación.

¿Cómo se relaciona el período de un péndulo con la distancia 'l' desde el clavo al centro de masa?

El período de un péndulo físico está dado por la fórmula T = 2π√(I/m*l), donde 'I' es el momento de inercia respecto al eje de rotación, 'm' es la masa y 'l' es la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa.

¿Cuál es el momento de inercia 'I' de un disco de radio 'r' respecto al eje que pasa por su centro?

El momento de inercia 'I' de un disco respecto al eje que pasa por su centro es I = 1/2 * m * r^2.

¿Cómo se calcula el momento de inercia 'I' del disco dado en el guion?

El momento de inercia 'I' del disco se calcula como 1/2 * m * (0.5)^2, ya que el diámetro es de 1 metro y por lo tanto el radio 'r' es de 0.5 metros.

¿Cuál es la fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos?

La fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos es T = 2π√(I/m*l) = 1.7, y al sustituir I y reorganizar la ecuación, se obtiene una ecuación que se resuelve para encontrar los valores de 'l'.

¿Cuál es la longitud 'l' que hace que el período sea mínimo?

La longitud 'l' que hace que el período sea mínimo se encuentra cuando la derivada de la fórmula del período con respecto a 'l' es igual a cero, lo que da como resultado l = sqrt(r^2/2).

¿Cuál es el valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo?

El valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo es aproximadamente 0.35 metros, basado en el radio 'r' de 0.5 metros.

¿Cómo se determina si el período de un péndulo es el mínimo?

Se determina si el período de un péndulo es el mínimo al analizar la derivada de la fórmula del período con respecto a la longitud 'l'. Si la derivada es cero, se alcanza un punto crítico que indica un mínimo local.

¿Cuál es la importancia de conocer el período mínimo de un péndulo?

El conocimiento del período mínimo de un péndulo es importante en física para comprender las propiedades del movimiento armónico y en aplicaciones prácticas donde se requiere un movimiento oscilatorio regular y predecible.