[SER222] Asymptotics (3/5): Lower Bounds

Summary

El vídeo explica el concepto de límite inferior en términos de análisis de algoritmos, donde una función g(n) es menor que otra función f(n). Se usa el símbolo omega (Ω) para representar esta relación, indicando que f(n) es siempre mayor que un múltiplo constante de g(n) para valores de n suficientemente grandes. Aunque los límites inferiores son difíciles de derivar y generalmente no son tan útiles como los límites superiores, son cruciales para entender los límites de eficiencia de un problema, como en el caso de la búsqueda, donde el límite inferior es omega(log n).

Takeaways

• 🔵 La idea de una 'cota inferior' se discute en detalle en el video.
• 📊 Una 'cota inferior' es una función que siempre es menor que otra función, similar a una 'cota superior' pero al revés.
• 📐 Se usa la notación omega (Ω) para representar una 'cota inferior', indicando que f(n) es una 'cota inferior' de g(n).
• 🔢 La definición matemática de 'cota inferior' es la inversa de la definición de Big-Oh, donde f(n) debe ser siempre mayor que un múltiplo constante de g(n).
• 🔄 La lógica detrás de las 'cotas inferiores' es similar a la de las 'cotas superiores', pero con la relación de desigualdad invertida.
• ✏️ Para escribir una 'cota inferior' a partir de una función de crecimiento, se puede establecer un valor constante y partir de ahí.
• 🚫 Las 'cotas inferiores' generalmente no son útiles para los algoritmos, ya que a menudo se reducen a un valor constante.
• 🔍 Las 'cotas inferiores' son útiles en el caso especial donde se puede escribir una 'cota inferior' para un problema en sí, como en el caso de la búsqueda.
• 🔑 En el ámbito de la búsqueda, la 'cota inferior' se vería como omega de log n, lo cual indica el mínimo trabajo necesario para encontrar un elemento en una colección.
• ⏱️ Las 'cotas superiores' son más útiles para los algoritmos, ya que proporcionan una garantía de que el programa no tomará más tiempo del que se especifica.

Q & A

¿Qué es un límite inferior en informática?

Un límite inferior, también conocido como una función de límite inferior, es una función que siempre es menor que otra función dada, representando así un tipo de 'costo mínimo' para realizar una operación.

¿Cómo se denota la relación de límite inferior entre dos funciones?

Se usa el símbolo omega (Ω) para denotar la relación de límite inferior. Si f(n) es una función de límite inferior de g(n), se escribe como f(n) = Ω(g(n)).

¿Cuál es la definición matemática de una función de límite inferior?

f(n) es denotada como Ω(g(n)) si y solo si existe una constante c > 0 y un valor n0, tal que para todo n > n0, f(n) > c * g(n).

¿Qué es la notación Big-Oh y cómo se relaciona con los límites inferiores?

La notación Big-Oh (O) se usa para describir límites superiores. La definición de Big-Oh es similar a la de límite inferior, pero con la relación de desigualdad invertida: f(n) = O(g(n)) si y solo si f(n) < c * g(n) para n suficientemente grande.

¿Por qué son difíciles de derivar los límites inferiores en la práctica?

Los límites inferiores son difíciles de derivar porque a menudo requieren demostrar que una función siempre será por debajo de otra, lo cual puede ser complicado debido a la naturaleza variable de las funciones.

¿En qué casos son útiles los límites inferiores?

Los límites inferiores son útiles cuando se trata de entender el problema en sí, como en el caso de búsqueda, donde pueden ayudar a determinar cuál es la cantidad mínima de trabajo que cualquier algoritmo podría hacer.

¿Cuál es el límite inferior para una operación de búsqueda?

El límite inferior para una operación de búsqueda es Ω(log n), lo que significa que cualquier algoritmo de búsqueda debe realizar al menos esa cantidad de trabajo para determinar si un elemento está en una colección.

¿Por qué los límites superiores (Big-Oh) generalmente son más útiles que los límites inferiores?

Los límites superiores son más útiles porque proporcionan una garantía de que un programa no tomará más que un tiempo específico, lo cual es crucial para la eficiencia y el rendimiento de los algoritmos.

¿Cómo se pueden derivar límites inferiores a partir de una función de crecimiento?

Para derivar un límite inferior a partir de una función de crecimiento, se puede establecer n=0 para encontrar la constante que quede y utilizarla como la función de límite inferior.

¿Qué se debe tener en cuenta al usar el símbolo omega en la documentación de algoritmos?

Al usar el símbolo omega, es importante recordar que se trata de una representación de un límite inferior y que su uso indica que la función en cuestión siempre será mayor o igual que la función de límite inferior mencionada.

Outlines

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📐 Concepto de Límite Inferior

En este vídeo se aborda el concepto de límite inferior con más detalle. Se menciona que mientras los límites superiores se han discutido anteriormente, los límites inferiores son igualmente importantes pero más difíciles de derivar en la práctica. Se ilustra la idea con una función g(n) que siempre es menor que otra función f(n), representando así un costo mínimo. Se introduce la notación omega (Ω) para representar límites inferiores, donde f(n) es Ω(g(n)) si f(n) es mayor que un múltiplo constante de g(n) para n mayor que un cierto valor. Aunque los límites inferiores no son tan útiles para describir el rendimiento de un algoritmo específico, son valiosos para entender los límites de un problema en sí, como en el caso de la búsqueda, donde el límite inferior es Omega(log n).

Keywords

💡lower bound

Una 'lower bound' en informática se refiere a una función que está siempre por debajo de otra función, indicando que nunca supera a la otra en términos de complejidad. Esencial en el análisis de algoritmos para establecer el mínimo número de operaciones que un algoritmo debe realizar para resolver un problema. En el vídeo, se discute cómo el rojo (g(n)) actúa como una lower bound para el azul (f(n)), lo que significa que f(n) siempre es mayor que g(n), proporcionando un límite inferior para el rendimiento del algoritmo.

💡upper bounds

Los 'upper bounds' son las funciones que están por encima de otra en términos de complejidad y representan el peor caso de un algoritmo. Aunque el vídeo se centra en lower bounds, los upper bounds son igualmente importantes para entender los límites superiores de un algoritmo. Se menciona que ya se han discutido en profundidad en el vídeo anterior.

💡omega symbol

El símbolo 'omega' (Ω) en notación asintótica se utiliza para describir una lower bound. Se dice que f(n) es 'omega' de g(n), escrita como f(n) = Ω(g(n)), si f(n) crece más rápidamente o igual que g(n). Esto indica que g(n) es una lower bound para f(n). En el vídeo, se usa este símbolo para expresar la relación entre f(n) y g(n).

💡Big-Oh

Big-Oh (O) es una notación asintótica utilizada para describir una upper bound de una función. Aunque no es el foco del vídeo, se menciona en comparación con omega para enfatizar la diferencia entre upper y lower bounds. Big-Oh se usa para decir que una función f(n) está acotada por encima por otra función g(n), lo que significa que f(n) crece más lentamente o igual que g(n).

💡asymptotic notation

La 'notación asintótica' es una forma de describir la complejidad de un algoritmo en términos de su crecimiento con el tamaño de la entrada. Es fundamental para el análisis de algoritmos y se usa en el vídeo para discutir tanto lower bounds como upper bounds.

💡constant

Una 'constante' en el contexto del vídeo se refiere a un valor que no cambia con el tamaño de la entrada. Es crucial en la definición de omega, donde f(n) debe ser mayor que una constante veces g(n) para n mayor que una constante. Esto establece la relación de crecimiento entre las funciones.

💡searching

El 'búsqueda' es un problema de algoritmia que se menciona como un ejemplo de cómo se pueden aplicar lower bounds. En el vídeo, se discute cómo encontrar el omega de un problema, como la búsqueda, para entender el mínimo trabajo que cualquier algoritmo debe realizar para resolverlo.

💡algorithm

Un 'algoritmo' es una serie de pasos definidos para resolver un problema. En el vídeo, se aborda cómo los lower bounds son menos útiles para un algoritmo específico, ya que generalmente indican un mínimo de trabajo, mientras que los upper bounds son más útiles ya que proporcionan una garantía de que el algoritmo no tomará más tiempo del que se indica.

💡minimum cost

El 'costo mínimo' es una representación de la lower bound en términos de operaciones necesarias para realizar una tarea. En el vídeo, se menciona que la lower bound (g(n)) actúa como un costo mínimo, indicando que siempre se necesitan al menos esa cantidad de operaciones.

💡syntax

La 'sintaxis' en el contexto del vídeo se refiere a la forma en que se escribe la relación entre funciones usando notación asintótica. Se menciona que para expresar que f(n) está acotado por debajo por g(n), se usa la sintaxis f(n) = Ω(g(n)).

💡mathematical definition

La 'definición matemática' se refiere a la forma formal de describir una relación asintótica entre funciones. En el vídeo, se proporciona la definición matemática de omega, explicando que f(n) es omega de g(n) si f(n) es siempre mayor que una constante veces g(n) para n suficientemente grande.

Highlights

Discussion of the concept of lower bounds in algorithm analysis.

Explanation of the relationship between lower bounds and upper bounds.

Introduction to the practical difficulty of deriving lower bounds.

Visual representation with the blue function (f of n) and the red function (g of n).

Definition of g of n as a lower bound for f of n.

Explanation of lower bounds as a minimum cost or operation count.

Introduction to the notation for lower bounds using the omega symbol.

Definition of f of n being omega of g of n.

Mathematical definition of lower bounds compared to Big-Oh notation.

Explanation of the algebraic steps to prove a lower bound.

The process of deriving an omega from a growth function.

The limited usefulness of lower bounds in practice for specific algorithms.

The special case where omega is useful: establishing a lower bound for a problem itself.

Example of a lower bound for the problem of searching.

The importance of characterizing a problem to understand its lower bound.

Comparison of the usefulness of upper bounds versus lower bounds in algorithm analysis.

General reminder to keep the omega symbol in mind for lower bounds.

Transcripts

- In this video, I wanna discuss,

in a little bit more detail,

the idea of a lower bound.

So we've already seen kind of the general

intuition before lower and upper bounds, right?

And we've discussed upper bounds in depth.

Kind of on the flip side is lower bounds,

a function that's always less than another function.

These are kind of nice to have,

but they're actually hard to derive in practice.

We won't spend all that much time on them.

So here is our picture.

This time I'll label it a little bit differently.

Let's say, right, that this blue is my f of n.

And this red here is my g of n.

Now, from the name, lower bound,

you could say okay, yeah, this red function,

g of n, is gonna be my lower bound for f of n,

is a function that will always be less than f of n.

So it's kind of like a minimum cost.

It will always take me this number of operations

to do something.

So that's fine.

Now when we actually go to write these things,

we're gonna have special notation

like we did for upper bounds.

So when we have a lower bound,

we will use the omega symbol.

So we'll say that basically,

f of n is omega of g of n, right?

F of n is lower-bounded by g of n.

Just kind of the standard syntax and nomenclature

is to call that omega, my lower bound.

So here we have the definition, again,

the mathematical definition.

And it's basically just flipped from the definition

we had for Big-Oh.

So in this case, we'll say right,

well here is kind of our first overview syntax,

our f of n omega of g of n,

that's how we say that f of n is lower-bounded by g of n.

We write it like that.

But now we have our definition which says,

okay f of n is omega of g of n,

if and only if,

f of n is greater than some constant times g of n.

For n greater than sum x sub zero,

where x sub zero is a constant.

So this is basically identical to the Big-Oh definition

we talked about in the last video,

except that this little equality symbol

has been now flipped.

Instead of it being less than, it's now greater than.

So now we're saying that f of n

must always be greater than g of n.

Pretty much all the logic that we talked about

for big n will still hold here.

So if I wanna do something like figure out,

or prove a bound, right,

I can follow the same algebraic steps.

Now, if I wanna write an omega from a growth function,

things are maybe a little bit tricky.

Basically you can go and say oh,

maybe I set n to zero,

figure out what exactly is the constant

that's left over, and that will be my function.

So it would be relatively easy to do.

Now, the problem is that in general,

lower bounds aren't too useful for us

because a lot of times

they end up being the ones we can write

through some constant value.

It's really not all that useful

to know that oh hey,

we won't always have to do 10 operations.

That's not always useful,

at least for a specific algorithm.

Where omegas really are useful

is the special case

where we can write a lower bound for a problem itself.

So something like searching.

We already had a discussion in a previous section

about this idea of all these different ways

to solve that one problem,

what is the fastest way I could possibly do that?

Well one thing people actually do do

is say okay, for that problem, for example searching,

try to find the omega of that.

What is the lower bound for it?

What is the least amount of work

any algorithm could possibly do

for this particular problem?

So for searching, the lower bounds

gonna look something like omega of login, right?

You need to do at least that much work

to find out if an element is in a collection.

So that's kind of useful right,

if we can characterize or try to understand

a problem itself.

Now in terms of an algorithm,

it's not always useful because it's just saying hey

it's gonna take at least this much time.

Really upper bounds are more useful,

because then we have a guarantee that this program

will never take more than this amount of time.

So in general, just keep in mind the omega symbol.

We'll use it a couple of times.

But not too much.