0625 Técnicas de conteo: ordenaciones con repetición

Luis Rincón

10 Dec 201305:22

Summary

TLDREn esta sección se explica el concepto de ordenaciones con repetición, donde se supone que se tienen n objetos distinguibles en una urna y se realizan k extracciones al azar con reemplazo. Cada extracción puede ser de cualquier objeto sin restricciones, y se ilustra cómo calcular el número total de posibles muestras usando el principio de multiplicación. Se presenta un ejemplo práctico: calcular la cantidad de contraseñas de 5 caracteres que se pueden formar con un alfabeto de 60 caracteres distintos, demostrando la aplicación de la fórmula n^k.

Takeaways

🔢 **Situación hipotética**: Se plantea una urna con n objetos numerables y se realizan k extracciones al azar con reemplazo.
🎱 **Objetos distinguibles**: Los objetos de la urna pueden ser de diferentes colores o numerados para diferenciación.
♻️ **Reemplazo**: Después de cada extracción, el objeto es registrado y devuelto a la urna.
🔁 **Procedimiento repetitivo**: El proceso de extraer y registrar se repite k veces.
📈 **Posibilidades de extracción**: En la primera extracción hay n posibilidades, y esto se repite para cada una de las k extracciones.
📚 **Principio de multiplicación**: Se usa para calcular el total de posibles extracciones, siendo n multiplicado por k veces (n^k).
🔑 **Ordenaciones con repetición**: Se llama a este proceso de extraer objetos con la posibilidad de repetición.
📐 **Fórmula de cálculo**: La fórmula para calcular estas ordenaciones es n^k, donde n es el número de objetos y k el número de extracciones.
🔑 **Denominación matemática**: A veces se denota como 'ordenaciones con repetición de n objetos, tomados de k en k'.
💡 **Aplicación práctica**: Se da un ejemplo práctico de cómo calcular la cantidad de contraseñas de 5 caracteres posibles con un alfabeto de 60 caracteres.
🔑 **Resultado de la aplicación**: Para contraseñas de 5 caracteres con 60 opciones, la cantidad posible es 60^5.

Q & A

¿Qué es una urna en el contexto de este guion?
-Una urna es un contenedor que se utiliza para simular la selección aleatoria de objetos o bolas, los cuales pueden ser distinguibles por números o colores distintos.
¿Cuál es el proceso que se sigue para extraer una bola de la urna?
-Se extrae una bola al azar de la urna, se registra su número y luego se devuelve a la urna para que pueda ser elegida de nuevo en futuras extracciones.
¿Cuál es la diferencia entre una extracción con reemplazo y sin reemplazo?
-En una extracción con reemplazo, una vez que se registra el objeto, este se devuelve a la urna y puede ser elegido nuevamente. En una extracción sin reemplazo, una vez que se extrae un objeto, no se devuelve a la urna y no puede ser elegido de nuevo.
¿Cuál es el número de extracciones que se realizan en el ejemplo del guion?
-Se realizan K extracciones, donde K representa el número de veces que se repite el proceso de extraer y registrar un objeto de la urna.
¿Cuál es la fórmula para calcular el número de muestras que se pueden obtener con K extracciones de una urna con n objetos?
-La fórmula para calcular el número de muestras es n elevado a la potencia de K, escrita como n^K.
¿Qué se entiende por 'ordenaciones con repetición' en el contexto del guion?
-Las 'ordenaciones con repetición' se refieren a la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar K objetos de una colección de n objetos, permitiendo que los mismos objetos puedan ser seleccionados más de una vez.
¿Cómo se denota matemáticamente el concepto de 'ordenaciones con repetición'?
-El concepto de 'ordenaciones con repetición' se denota a veces por el símbolo n^K, que representa la cantidad de formas en que se pueden seleccionar K objetos de un conjunto de n objetos con la posibilidad de repetición.
¿Cuál es la aplicación práctica que se menciona en el guion para la fórmula de ordenaciones con repetición?
-Se menciona la aplicación de la fórmula para calcular el número de contraseñas o palabras clave de cinco caracteres que se pueden construir con un alfabeto de 60 caracteres diferentes.
Si se tienen 60 caracteres y se desean formar contraseñas de 5 caracteres, ¿cuántas contraseñas son posibles?
-Son posibles 60 elevado a la 5, lo que significa que hay 60 posibilidades para cada uno de los 5 caracteres.
¿Por qué es importante la ordenación en el proceso de selección de objetos de la urna?
-La ordenación es importante porque se asume que la secuencia en la que se seleccionan los objetos es relevante, es decir, la selección de un objeto en un orden específico puede ser diferente a la selección de los mismos objetos en un orden diferente.
¿Cuál es la conclusión del guion sobre la importancia de las ordenaciones con repetición en problemas más elaborados?
-La conclusión del guion es que los elementos de las ordenaciones con repetición son útiles para encontrar soluciones a problemas más complejos, ya que proporcionan una estructura para entender la cantidad de posibilidades en situaciones donde se permiten repeticiones.

Outlines

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🔢 Ordenaciones con repetición

El primer párrafo explica el concepto de ordenaciones con repetición en un escenario hipotético donde se tienen n objetos en una urna y se realizan k extracciones al azar, registrando y devolviendo el objeto cada vez. Se describe que cada extracción tiene n posibilidades, independientemente de cuántas se hayan realizado previamente. El ejemplo específico es el de construir contraseñas de cinco caracteres con un alfabeto de 60 caracteres distintos, lo cual implica que hay 60 posibilidades para cada carácter, resultando en un total de 60 elevado a la 5 contraseñas posibles.

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🔑 Aplicación de la fórmula de ordenaciones con repetición

El segundo párrafo enfatiza la simplicidad pero utilidad de los conceptos explicados en el primer párrafo para resolver problemas más complejos. Se menciona que estos elementos son fundamentales para entender y aplicar la fórmula de ordenaciones con repetición, concluyendo así la sección sobre este tema.

Mindmap

Keywords

💡Urna

En el contexto del video, la 'urna' se refiere a un contenedor que alberga objetos o bolas distinguibles, los cuales son extraídos al azar en el ejemplo dado. Es un elemento central para entender el proceso de muestreo con reemplazo, ya que representa el total de elementos disponibles para la selección.

💡Objetos distinguibles

Los 'objetos distinguibles' son elementos dentro de la urna que se pueden identificar de forma única, ya sea por un número o por un color diferente. Son fundamentales para el tema del video, ya que la distinción entre ellos permite realizar extracciones aleatorias y contar las variaciones posibles.

💡Extracción al azar

La 'extracción al azar' es el proceso de seleccionar un objeto de la urna sin ningún criterio específico, simplemente por suerte. Es clave para el video, ya que es la acción que se repite y forma la base para calcular las combinaciones posibles.

💡Procedimiento repetido

El 'procedimiento repetido' hace referencia a la acción de extraer un objeto, registrar su número y devolverlo a la urna, que se realiza K veces. Es un concepto importante en el video, ya que la repetición es lo que permite obtener diferentes muestras de las mismas características.

💡Muestras

Las 'muestras' son los conjuntos de objetos extraídos en el proceso descrito. El video se centra en cuántas muestras de características similares se pueden obtener, lo que es fundamental para entender la variedad de resultados posibles en un experimento de este tipo.

💡Valores naturales

Los 'valores naturales' se refieren a los números enteros positivos que pueden tomar tanto n como K en el escenario presentado. Son importantes porque definen la escala y la magnitud de las posibles combinaciones en el proceso de extracción.

💡Principio de multiplicación

El 'principio de multiplicación' es una técnica utilizada en probabilidad y combinatoria para calcular la cantidad de resultados posibles cuando hay varias decisiones independientes. En el video, se usa para calcular el número total de muestras posibles al elevar la cantidad de posibilidades por la cantidad de extracciones.

💡Ordenaciones con repetición

Las 'ordenaciones con repetición' son un tipo de combinación donde se toman muestras de tamaño k de un conjunto de n objetos, permitiendo la repetición de elementos. El video explica cómo calcular estas, que son esenciales para entender la cantidad de variaciones posibles en un conjunto dado.

💡Símbolo de notación

El 'símbolo de notación' se refiere a la forma en que se representa matemáticamente el concepto de ordenaciones con repetición, que es n^k en este caso. Es importante en el video porque permite una representación clara y concisa del cálculo que se está realizando.

💡Palabras clave o contraseñas

En el ejemplo del video, las 'palabras clave o contraseñas' son una aplicación práctica del concepto de ordenaciones con repetición. Se calcula cuántas combinaciones de cinco caracteres se pueden formar con un alfabeto de 60 caracteres, mostrando cómo se aplica el tema central del video a un problema real.

Highlights

Suponemos una situación con una urna y n objetos numerados o de colores distintos.

Se extrae al azar una bola, se registra su número y se regresa a la urna.

Este procedimiento se repite K veces.

Se pueden obtener diferentes muestras de estas características.

La primera extracción tiene n posibilidades.

Cada extracción subsiguiente también tiene n posibilidades.

Hay K factores en total para las K extracciones.

Se usa el principio de multiplicación para calcular el número de muestras.

La cantidad se llama ordenaciones con repetición de n objetos en muestras de tamaño k.

La notación de estas ordenaciones es n^k.

Las ordenaciones con repetición se refieren a la selección de objetos con orden.

Se presenta un ejemplo de aplicación de la fórmula.

El ejemplo trata de construir palabras clave o contraseñas de cinco caracteres con un alfabeto de 60 caracteres.

Se asume una urna con 60 caracteres diferentes y se hacen cinco extracciones con repetición.

Para cada carácter, hay 60 posibilidades.

El total de palabras clave que se pueden construir es 60^5.

Este ejemplo es sencillo pero útil para resolver problemas más elaborados.

Se concluye la breve sección sobre ordenaciones con repetición.