* Concepto de función
Summary
TLDREl guion explica conceptos de matemáticas como la función y la relación. Se describe una función como un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento (independiente) no se repite y el segundo (dependiente) puede repetirse. Se utiliza la metáfora de una máquina que fabrica latas de frijoles para ilustrar cómo la entrada (cantidad de frijoles) determina la salida (tamaño de la lata). Además, se discute cómo identificar una función a partir de una gráfica, utilizando la técnica de trazar una línea vertical para ver si hay más de un punto correspondiente a un solo valor de X.
Takeaways
- 📝 Una función se puede entender como un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento (generalmente x) no se repite.
- 💵 Se utiliza la máquina de fabricar latas de frijoles como ejemplo para ilustrar la no repetición del primer elemento y la correspondencia única con el segundo elemento (tamaño de la lata).
- 💲 Aunque el primer elemento de la pareja no se repite, el segundo elemento (en este caso, la lata de frijoles) sí puede repetirse para diferentes valores de entrada.
- 💵 Se diferencian las variables independientes (los frijoles) de las dependientes (la lata), donde la dependiente cambia según el valor de la independiente.
- 💲 Se explica que para cada entrada (kg de frijoles), hay una salida única (tamaño de la lata), y esto se refleja en las parejas ordenadas.
- 💵 Se menciona que en una gráfica, para determinar si una representación corresponde a una función, se debe trazar una línea vertical y verificar si corta un solo punto, lo cual indica que el primer elemento no se repite.
- 💲 Se ilustra cómo la repetición del primer elemento en una gráfica indica que no se está hablando de una función, ya que esto rompe la regla de no repetición del primer elemento de las parejas.
- 💵 Se aclara que la definición dada es básica y que para definir formalmente una función se deben cumplir condiciones de existencia y unicidad.
- 💲 Se menciona que las relaciones son un concepto más amplio que las funciones, pudiendo ser de uno a varios o varios a uno, mientras que las funciones son un caso particular de relación donde es uno a uno.
- 💵 Se resalta que las funciones son un tipo específico de relación donde cada elemento del conjunto de entradas (x) corresponde a exactamente un elemento en el conjunto de salidas (y), y no se repite.
Q & A
¿Qué es una función según el concepto básico explicado en el guión?
-Una función es un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento, generalmente llamado 'x', nunca se repite.
¿Cómo se utiliza la máquina de latas de frijoles para ilustrar la definición de una función?
-La máquina de latas de frijoles se usa para mostrar que para una entrada específica (la cantidad de kilos de frijoles), hay una salida única (la dimensión de la lata), y no se puede obtener la misma lata para diferentes cantidades de kilos de frijoles.
¿Por qué se dice que el primer elemento de una pareja en una función 'nunca se va a repetir'?
-El primer elemento, que representa la entrada en la función, es único para cada pareja, lo que significa que no se repetirá para ninguna otra pareja.
¿Qué es lo que se puede repetir en una función y por qué?
-El segundo elemento de la pareja, que representa la salida, puede repetirse porque la misma salida puede corresponder a diferentes entradas.
¿Cómo se identifican las variables independientes y dependientes en el ejemplo de la máquina de latas de frijoles?
-La variable independiente es la cantidad de kilos de frijoles que se le pone a la máquina, y la variable dependiente es la dimensión de la lata que se obtiene como resultado.
¿Cómo se puede determinar si una gráfica representa una función o no?
-Si para cada valor de 'x' en la gráfica corresponde un único valor de 'y', entonces representa una función. Si un valor de 'x' corresponde a múltiples valores de 'y', entonces no es una función.
¿Qué técnica se utiliza para verificar si una gráfica es una función?
-Se traza una línea vertical y se observa si corta la gráfica en un solo punto para cada valor de 'x'. Si corta en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función.
¿Qué es la relación entre una función y una relación en matemáticas?
-Una función es un tipo especial de relación donde cada elemento del conjunto de entrada (dominio) está asociado con exactamente un elemento del conjunto de salida (imagen). En cambio, una relación puede tener varios elementos de salida para un solo elemento de entrada.
¿Cómo se pueden clasificar las relaciones que no son funciones en matemáticas?
-Las relaciones que no son funciones pueden ser de uno a varios, varios a uno o varios a varios, dependiendo de cómo se asocien los elementos de los conjuntos de entrada y salida.
¿Qué es una pareja ordenada y cómo se relaciona con las funciones?
-Una pareja ordenada es un par formado por dos elementos, donde el orden es importante. En las funciones, estas parejas ordenadas se utilizan para representar la relación entre la entrada y la salida, donde el primer elemento (entrada) es único y el segundo (salida) puede no serlo.
Outlines
📦 Concepto de Función y Máquina de Frijoles
El primer párrafo explica el concepto de función como un conjunto de pares ordenados, donde el primer elemento no se repite. Se utiliza la metáfora de una máquina que fabrica latas de frijoles dependiendo de la cantidad de frijoles que se le coloca. Esto ilustra que para cada entrada (kilo de frijoles), hay una salida única (tamaño de la lata). La variable independiente es la cantidad de frijoles y la dependiente es el tamaño de la lata resultante. Se enfatiza que no puede haber dos salidas diferentes para la misma entrada, pero sí que la misma salida puede corresponder a múltiples entradas.
📐 Ejemplos de Función y Tabulación
El segundo párrafo profundiza en la idea de función con un ejemplo de ecuación de primer grado. Se muestra cómo se crea una tabla de valores para una función, sustituyendo valores en la ecuación para obtener el resultado correspondiente. Se explica que para cada valor de x (entrada), hay un único valor de y (salida), formando así pares ordenados. Se menciona que aunque el segundo elemento (y) puede repetirse, siempre debe haber un único resultado para cada entrada, manteniendo así la unicidad de la función.
📈 Identificación de Funciones a través de Gráficas
El tercer párrafo explora cómo identificar si una gráfica representa una función o no. Se sugiere que para determinar si una gráfica es una función, se debe trazar una línea vertical y verificar si corta el gráfico en un solo punto para cada valor de x. Si la línea vertical corta en más de un punto, entonces la gráfica no representa una función. Se contrasta la función con una relación más general, donde un elemento del dominio puede estar asociado con múltiples elementos del rango, a diferencia de una función que tiene una correspondencia de uno a uno o de uno a varios, pero siempre manteniendo la unicidad del resultado para cada entrada.
Mindmap
Keywords
💡Función
💡Pares ordenados
💡Variable independiente
💡Variable dependiente
💡Repetición
💡Gráfica de una función
💡Relación
💡Inyectiva
💡Tabulación
💡Ecuación de primer grado
Highlights
La función se puede ver como un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento no se repite.
Se utiliza la pareja xy para representar la función, pero también se pueden usar otras letras o símbolos.
Se explica la función a través de una máquina que fabrica latas de frijoles, donde la entrada (frjoles) determina la salida (lata de frijoles).
La no repetición del primer elemento de la pareja en una función se ilustra con la máquina de latas de frijoles.
El segundo elemento de la pareja en una función puede repetirse, como se muestra con la lata de frijoles que se repite con diferentes cantidades de frijoles.
Se introduce la variable independiente (frjoles) y la variable dependiente (lata de frijoles) en el contexto de una función.
Se menciona que la relación entre la entrada y la salida en una función es de una a una, pero el segundo elemento puede corresponder a varios primeros elementos.
Se explica que para una entrada dada (por ejemplo, 1 kg de frijoles), solo hay una salida posible (lata de 1 kg).
Se da un ejemplo de cómo no es posible obtener la misma salida (lata de frijoles) con diferentes entradas (diferentes cantidades de frijoles).
Se aclaran los conceptos de función y variable, donde la variable independiente es la entrada y la variable dependiente es la salida.
Se menciona que la ecuación de primer grado es un ejemplo típico de función, donde x es la entrada y y es la salida.
Se describe el proceso de tabular valores para una función, donde se sustituyen valores en la ecuación para obtener parejas ordenadas.
Se explica que en una tabla de valores, no se puede repetir el primer elemento (variable independiente), pero el segundo elemento (variable dependiente) puede repetirse.
Se da un ejemplo de cómo se pueden generar parejas ordenadas a partir de una ecuación de primer grado.
Se menciona que la definición de función dada es básica y que para una definición más formal se deben cumplir condiciones de existencia y unicidad.
Se explica cómo determinar si una gráfica representa una función o no, utilizando la técnica de trazar una línea vertical para ver si corta en más de un punto.
Se menciona que una relación es un concepto más general que la función, donde no necesariamente se cumple la condición de que el primer elemento no se repite.
Transcripts
concepto de función básicamente lo
podemos ver como un conjunto de pares
ordenados por lo general utilizamos la
pareja xy pero pueden utilizar cualquier
otra letra o símbolo donde el primer
elemento de esta pareja nunca se va a
repetir es decir si tú pones algo aquí
te pueden salir varias cosas acá pero no
se va a repetir nunca lo que pongas aquí
para entender esto un poco vamos a
explicar esta máquina que está dibujada
Aquí vamos a suponer que es una máquina
que fabrica latas de frijoles que
dependiendo lo que le pones aquí a la
máquina lo que le eches Ahora sí decirlo
va a reproducir una lata de frijol
supongamos que le pones 1 kg y sale una
lata de de este
tamaño Esta es la de 1 kil y pues
obviamente le echas más frijoles y va a
salir una lata más grande supongamos
no y ahora le echas medio kilo de frijol
Y pues está hac una lata más
chiquita Okay entonces te das cuenta que
para una entrada que le pones vamos a
llamarle x le corresponde una salida o
sea no es posible
que tú le eches 1 kg y te salga una lata
así tú ya sabes la que vas a esperar y
no es posible que le pongas 1 kg y te
salga una lata diferente no en esta esta
máquina como se dan cuenta tú le pones y
te sale una salida no es posible que le
pongas el la misma entrada y te salga
una lata diferente no a eso básicamente
se le llama función le corresponde a una
entrada le corresponde una salida sin
embargo en una pareja ordenada según la
definición este elemento nunca se va a
repetir Pero qué tal el segundo el
segundo no menciona nada así que quiere
decir que sí se puede repetir existe la
posibilidad en este ejemplo de la
máquina vamos a poner que estás
utilizando la misma lata que está aquí
se está repitiendo la lata pero ahora no
le va a corresponder a un uno le puede
corresponder otro número supongamos que
en lugar de usarle 1 kg usaste pun 7 kg
O sea casi uno y utilizaste la misma
lata Simplemente no Entonces cuando
pongas este tipo de lata estas dimensión
de lata le puede tocar este o le puede
tocar este elemento No necesariamente le
va a tocar el uno de acá para acá pero
si observan de aquí para acá sí le
corresponde una sola cosa en conclusión
tenemos que tú cuando le pongas algo a
esta máquina de frijoles tú sabes la
lata que vas a esperar le pones más
kilos y te va a salir una lata más
grande y no es posible que le pongas 3
kg y te salga una lata chiquitita no tú
ya sabes que si sale 3 kg te va a salir
esta lata no vas a esperar otro
resultado sin embargo sí se puede que la
misma lata la utilices para varios
frijol eh kilogramos de frijol o sea
puedes que esta la utilices para uno y
para para la de punto o vamos a
poner entonces aquí sí se puede repetir
acá no una función se utiliza una
variable que se llama independiente y se
utiliza otra que es la dependiente en
este caso los frijoles es la
variable
independiente
independiente y en este caso dependiendo
la cantidad de frijoles que le ponga me
va a reproducir un resultado Así que
esta variable que va la máquina o el
resultado la lata final es
dependiente Por qué
depende porque depende ahora sí que De
cuántos frijoles le vas a poner va a
salir la dimensión de la lata Así que
como habíamos mencionado aquí supongamos
que
tienes 1 kg pues te va a salir esta lata
le pones 5 kg pues una lata muy grande
estamos que es la de cinco est la lta de
uno si le pusiéramos 11 Kg de frijol más
ahí la lata que le corresponde a los 11
Kg de frijol Y una vez que tenemos una
correspondencia entre los grupos puedes
ordenarlos de estos dos sacaríamos que
para 1 kg le corresponde esta lata de 1
kg para la de cinco le corresponde la
lata de
cinco para la de 11 le corresponde la
lata de 11 que es una más grande y así
entonces de esta comparación sacas
parejas ordenadas dondee te das cuenta
que el primer elemento no se va a
repetir habíamos mencionado un ejemplo
que esta lata de uno la podríamos
utilizar en el de vamos a suponer punto
si no así que dentro de las parejas que
tenemos aquí para punto si podemos
utilizar la lata del uno entonces se dan
cuenta que aquí aquí ya repetimos un
elemento pero está del otro lado de aquí
no hemos repetido ninguno Entonces
cuando ustedes observen parejas de
elementos si ven que el primero nunca se
repite
pueden considerar que se está hablando
de una función y si ven algún elemento
que se repite en el segundo Pues también
es una función no se preocupen un
ejemplo típico de función sería esta
ecuación de primer grado se dan cuenta
que aquí está x o sea es la entrada que
le vas a dar y dependiendo la entrada
que le des te va a salir un resultado
Así que esta es mi variable
independiente y esta es mi variable
dependiente porque Depende de lo que le
ponga a x Cómo obtenemos ahora sí que
las parejas x y tenemos que hacer una
tabla esta tabla buen a poner acá
Normalmente se llama tabulación o vamos
a
tabular tabular simplemente
es pones la variable x y y som las que
estamos hablando aquí independiente y
dependiente y le propones valores AX
para empezar a hacer ahora sí que para
trabajar la
máquina y supongamos aquí le ponemos un
-3 un 0 y un do nada más por poner
valores aleatorios
para tabular tienes que hacer trabajar
la máquina Así que en lugar donde dice X
vas a poner este valor aquí sería Y
cuánto vale si 5 por en lugar de poner x
voy a poner
-3 Aquí tienen que saber sustituir en
lugar de poner x voy a poner -3 y si
multiplican estos dos Recuerden que este
es un término y Este es otro Así que
multipliquen esto les Sale -15 este lo
bajamos igual y est es una suma de
negativos Así que para esta máquina Por
así decirlo si le pones un -3 la máquina
te da como resultado un -18 aquí estamos
formando una pareja
xy y vamos a ponerle otros valores a
esta
máquina
cer aquí Este por este da 0 -3 Y pues
finalmente -3 va y con el
Do aquí sale 10 - 3 sale 7 es un ejemplo
de algunos valores ustedes pueden poner
más si
quieren de aquí de esta tabla sacamos
las parejas ordenadas aquí para los que
tengo aquí sería -3 me sale
-18 0 me sale -3 y para un dos me sale
siete así podría generar más parejas
ordenadas ustedes se dan cuenta aquí que
no es posible que yo ponga un cero aquí
y me salga otro número no yo si le pongo
cer0 ya veo que me va a salir un -3 no
me puedes salir otro número aquí y esto
es un ejemplo de que esta tabla es por
medio de eh provino de una
función y este es un ejemplo que esta
tabla Se generó a través de una función
Este ejemplo tenemos otra función Aquí
vamos a apreciar mejor esta definición
de parejas donde el primero nunca se
repite pero el segundo sí se puede
repetir supongamos que le pongo aquí
-3 0 y 3 por poner simplemente valores
aleatorios Cuando quiera conocer el
valor nada más tengo que empezar a
evaluar Así que donde dice X en lugar de
poner la x voy a poner el valor x que
propongo entonces aquí pongo -3 cuando
eleves -3 * -3 te va a dar
+9 miren -3 * -3 menos por menos es más
y 3 * 3 da 9 así que me da 9 cuando
elevas 0 * 0 te da 0 y cuando elevas 3 *
3 te da 9 te das cuenta que aquí Se
repitió el nueve a pesar de que aquí
pusiste números diferentes entonces aquí
repetimos el segundo elemento y sin
embargo esto es una función los pares
ordenados que me salen Aquí de esta
tabla es -3 me da 9 0 me da 0 y para un
tres me dio un nueve miren aquí Se
repitió en el segundo elemento pero el
primero Hasta ahorita no he repetido
nada y por lo tanto este conjunto de
pares es una función hay que aclarar que
esta definición que está aquí es básica
no quiere decir que ustedes que cuando
vean estas parejas ya pueden definir que
esto es función si lo quieren hacer más
formalmente se tienen que ir a la
definición real de función la cual es
tiene que cumplir condiciones una
condición de existencia o la condición
de
unicidad aquí simplemente lo estamos
viendo de manera básica y hasta ahí
tampoco vamos a manejar su clasificación
que puede ser inyectiva vieca y creo que
faltan otras dos porque no es el
propósito de este video simplemente es
una explicación el concepto gráfico de
función ya sabemos que son conjuntos de
pares ordenados donde el primer elemento
no se repite Pero qué pasa en ciertas
gráficas Cómo puedes con simplemente
observar una gráfica saber que es una
función o no miren aquí en este dibujo
vamos a suponer que eliges un punto de X
supongamos que es tres entonces lo
levantas y este va a corresponderle un
valor a y vamos a suponer que este es
dos así que este punto que está aquí
cuando colocas su coordenada te vas a
dar cuenta que es 3 en x y 2 en y okay Y
te vas a dar cuenta que para cada x
corresponde un único y así que Cuando
agarres todas las parejas te vas a dar
cuenta que el primer elemento nunca se
repite por lo tanto es una función Pero
qué pasa con figuras como esta te das
cuenta que si agarras un valor en x aquí
supongamos que es el dos va le va a
corresponder un punto en
y para arriba y un punto en y para abajo
vamos a suponer que aquí para 2 en x
esta coordenada tiene 2 en x y te
levantaste 4 en y y vamos a suponer que
está de abajo te moviste 2 en x y te
bajaste 2 en
y 2 en x y -2 en y pero te das cuenta
que esta figura tiene dos puntos una con
dos en x y otro con dos también así que
esta figura No puede ser una función
porque porque tiene dos parejas donde el
primer elemento se repite en pocas
palabras para saber qué gráfica es
función ustedes le van a trazar una
línea vertical y si corten dos puntos
quiere decir que va a existir para un
solo valor de X va a existir dos de y Y
eso es lo que no queremos así que de las
siguientes gráficas vamos a clasificar
Cuál es función y cuál No la que
tracemos una línea vertical o paralela
al eje y y corta en un punto es función
la que corte el más de un punto ya no es
función miren Aquí vamos a tomar una
línea vertical Bueno aquí me salió no
muy derechita se dan cuenta que para
este le correspondió este valor en y
vamos a suponer que esta vale 3 en x y
cuánto me tuve que bajar para ubicar
este punto que está aquí a este que está
ahí vamos a poner que es -1 Ahí está
este punto tiene esa coordenada Qué pasa
aquí miren si ustedes TR hac una línea
vertical se dan cuenta que que aquí para
este punto en x le sale 2 en y vamos a
suponer que este de arriba tiene
coordenadas qué les gusta que esto valga
un dos y para arriba valga un cinco
entonces qué coordenadas tiene esta 2 en
x y 5 en y y esta de abajo que cómo les
gusta pues te tuviese que mover también
2 en x y bajarte vamos a suponer que -3
pero se dan cuenta que esta figura o
esta gráfica en la tiene dos parejas de
la cual el primer elemento se está
repitiendo que es el dos Así que como
aquí cortó en dos puntos Esta no es
función y acá pues va a pasar lo mismo
miren trasen una se han dar cuenta que
para este valor de X les está dando 2s
en
y proponiendo valores vamos a suponer
que este es uno y te levantas 4 1 4 y
aquí te mueves 1 y
-3 y de la misma manera que acá Tiene
parejas donde el primer elemento se está
repitiendo Entonces esta gráfica no es
una función Aprovechando que estamos en
el concepto de función vamos a mencionar
que es una relación y compararla con
función en este caso la función ya
sabemos que son parejas ordenadas donde
de aquí puedes agarrar un elemento que
le corresponde acá va en este sentido de
aquí para acá de aquí para acá de aquí
para acá pero también se vale que uno de
aquí puede tener varios de
acá Okay entonces de aquí para acá es
uno a uno y de aquí para acá puede ser
de uno a varios eso estamos limitado y
acá no aquí son correspondencia entre
los dos elementos pero tiene cualquier
sentido que te imagines o sea puede ser
aquí para acá o este para acá o uno con
varios y de aquí con varios a todos esto
es más grande y aquí son ciertos casos
nada más de aquí para acá y de aquí con
todos Así que como se pueden dar cuenta
este es el caso general aquí puedes
hacer todas las parejas que quieras y
aquí solo son algunas que cumplan estas
condiciones Así que este es el gner
y la función sería un caso particular de
relación o viéndola de otra manera lo
que no sea una función se considera que
es relación
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