Área bajo la curva por extremos izquierdos
Summary
TLDREn este video se explica cómo calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3] utilizando rectángulos por extremos izquierdos. El proceso incluye encontrar la base de los rectángulos, calcular las alturas sustituyendo los valores en la función, y luego sumar las áreas aproximadas de cada rectángulo. Aunque el método es aproximado, proporciona una buena estimación del área total, que en este caso resulta ser 25 unidades cuadradas. Se enfatiza la importancia del enfoque en los extremos izquierdos para lograr el cálculo.
Takeaways
- 📏 El ejercicio pide calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 + 1 en el intervalo de [-3, 3] utilizando rectángulos por extremos izquierdos.
- ✏️ El delta de x, que es la base de los rectángulos, se calcula como (b - a) / n, donde a y b son los límites del intervalo y n es el número de rectángulos.
- 🧮 Para este ejercicio, el intervalo va de -3 a 3, y al dividir entre 6 rectángulos, la base de cada rectángulo es 1.
- 📊 Los valores de x se toman de unidad en unidad, comenzando en -3 y terminando en 3, lo que genera los puntos para construir los rectángulos.
- 🔢 Al sustituir cada valor de x en la función f(x) = x^2 + 1, se obtienen las alturas de los rectángulos.
- 📐 Las alturas correspondientes son: 10 para x = -3, 5 para x = -2, 2 para x = -1, 1 para x = 0, 2 para x = 1, y 5 para x = 2.
- 📉 Los rectángulos se trazan tomando los valores de la izquierda y extendiéndose hacia la derecha hasta el siguiente punto.
- 🔲 La fórmula para calcular el área de cada rectángulo es base por altura, donde la base es siempre 1.
- 🧮 Al sumar las alturas (10 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5) y multiplicarlas por la base de 1, se obtiene un área total aproximada de 25 unidades cuadradas.
- ✅ El resultado final es un área aproximada porque algunas partes de la curva no son consideradas completamente debido a la metodología de rectángulos por extremos izquierdos.
Q & A
¿Qué función se está utilizando en el ejercicio?
-La función utilizada en el ejercicio es f(x) = x^2 + 1.
¿Cuál es el intervalo dado para encontrar el área bajo la curva?
-El intervalo dado es [-3, 3], es decir, desde -3 hasta 3.
¿Qué método se utiliza para aproximar el área bajo la curva?
-Se utiliza el método de aproximación por rectángulos tomando los extremos izquierdos de cada subintervalo.
¿Cómo se calcula la base de cada rectángulo en este método?
-La base de cada rectángulo se calcula dividiendo la longitud del intervalo (b - a) entre el número de rectángulos (n), lo que da como resultado una base de 1 unidad.
¿Cuál es el valor de la altura del primer rectángulo?
-La altura del primer rectángulo, que corresponde al valor en x = -3, es 10, ya que (-3)^2 + 1 = 10.
¿Cómo se determina la altura de cada rectángulo?
-La altura de cada rectángulo se determina evaluando los puntos x de los extremos izquierdos en la función f(x) = x^2 + 1.
¿Qué se puede decir de la exactitud del área obtenida mediante este método?
-El área obtenida es una aproximación porque los rectángulos no coinciden perfectamente con la curva, dejando algunas partes fuera o sin cubrir.
¿Cuál es el área aproximada obtenida para este ejercicio?
-El área aproximada obtenida es de 25 unidades cuadradas.
¿Cómo se calculan las áreas de los rectángulos?
-Las áreas de los rectángulos se calculan multiplicando la base por la altura, donde la base es constante (1 unidad) y las alturas varían según los valores de la función en los extremos izquierdos.
¿Por qué se utilizan unidades cuadradas para el área?
-Se utilizan unidades cuadradas porque el área es una medida bidimensional, que cubre una superficie.
Outlines
📐 Introducción al área bajo la curva por extremos izquierdos
En este párrafo se presenta el objetivo del ejercicio, que es encontrar el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [-3, 3] usando rectángulos por extremos izquierdos. Se explica cómo calcular la base de cada rectángulo utilizando la fórmula de Δx = (b - a) / n, donde a y b son los límites del intervalo y n el número de rectángulos. En este caso, se divide el intervalo en 6 rectángulos, y cada uno tiene una base de una unidad. También se menciona la importancia de los valores de x y su sustitución en la función para obtener las alturas de los rectángulos.
📊 Cálculo gráfico y aproximación del área
Este párrafo describe cómo se grafican los puntos calculados de la función en los rectángulos por extremos izquierdos. Se grafican los puntos correspondientes a los valores de x sustituidos en la función para determinar las alturas. Se resalta que la base es constante y las alturas varían para cada rectángulo. Finalmente, se explica que la fórmula para el área de un rectángulo es base por altura, y que el área total es aproximada debido a las limitaciones inherentes al uso de rectángulos que no cubren completamente el área bajo la curva. El área aproximada calculada para este ejercicio es de 25 unidades cuadradas.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo la curva
💡Rectángulos por extremos izquierdos
💡Intervalo cerrado
💡Delta de x (Δx)
💡Función cuadrática
💡Altura de los rectángulos
💡Aproximación
💡Integral definida
💡Base de los rectángulos
💡Parábola
Highlights
Introducción a la técnica de calcular el área bajo la curva usando rectángulos por extremos izquierdos.
Descripción de la función f(x) = x² + 1 y del intervalo cerrado [-3, 3].
Explicación de cómo encontrar el valor de la base de los rectángulos (delta x) usando la fórmula (b - a) / n.
Cálculo de la base de los rectángulos, que resulta ser 1 unidad.
Paso a paso del cálculo de los valores de x (desde -3 hasta 3) y cómo se sustituyen en la función f(x).
Determinación de los valores de f(x) para x = -3, -2, -1, 0, 1, 2 y 3.
Representación gráfica de los puntos en una parábola basada en la función cuadrática.
Construcción de rectángulos basados en los puntos de la izquierda, destacando que es una aproximación.
Cálculo del área total aproximada usando la suma de las áreas de los rectángulos.
Explicación de la fórmula del área del rectángulo: base por altura.
Justificación de por qué el método de extremos izquierdos ofrece un valor aproximado.
Cálculo de las alturas de los rectángulos para cada uno de los puntos en el intervalo [-3, 3].
Suma de las alturas: 10 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5, obteniendo un área total aproximada de 25 unidades cuadradas.
Conclusión sobre la importancia de trabajar con áreas aproximadas y su aplicación práctica en problemas de cálculo.
Resumen del proceso completo, desde la selección de los puntos hasta el cálculo final del área bajo la curva.
Transcripts
hola buenas tardes el día de hoy vamos a
abrir área bajo la curva por extremos
izquierdos
nos dice el ejercicio encuentra el área
bajo la curva fx igual a equis cuadrada
más uno en el intervalo cerrado menos 3
a 3 con ser rectángulos por extremos
izquierdas bueno
para eso primero
les sugiero que encuentren
lo que le vamos a llevar del tav x que
van a ser la base de los
bueno nos dice que son ser rectángulos
vamos a ver cuánto tiene que medir cada
una de estas bases que colocamos aquí la
gráfica que ahorita voy a explicar cómo
se encontró esta gráfica web delta de x
lo vamos a encontrar por medio d
la fórmula venosa / n donde el intervalo
cerrado este valor sería a este valor
sería b y el número de rectángulos es el
valor de n de acuerdo entonces
para saber cuánto va a medir la base de
cada uno de estos rectángulos voy a
restar el último valor menos el primero
y lo dividimos entre el número de
rectángulos y de esa manera yo voy a
encontrar cuánto mide la base de cada
uno de ellos
entonces sería 3 - menos 3
entre 6 - x menos más
y esto nos da 6
entre 6 y esto es igual a 1
ya sé entonces que la base de nuestros
rectángulos va a ser equivalente a una
unidad recuerdo quiere decir que este
rectángulo tiene una unidad de base una
unidad una unidad una unidad así
sucesivamente para cada uno de ellos o
para cada uno de los seis rectángulos
bien
ahora
lo que vamos a hacer
hablar voy a poner por acá delta de
equis igual a la base y ya lo calculamos
que fue igual a 1
ahora vamos a caminar
este es x y recuerden que es una función
que depende de x que en este caso es x
cuadrada más 1
cuál es mi primer valor menos 3
y así me voy a ir hasta llegar al número
3 positivo
como sé de cuántos encuentros números la
voy a escribir me lo va a indicar mi
base me dice que como la base de cada
uno de los rectángulos es equivalente a
1 entonces voy a ir de unidad en unidad
recuerdo entonces sería menos 3
de los 2 unos 10
2
muy bien de menos 3 a 3 porque si me lo
indica un intervalo cerrado y cada uno
de estos valores los voy a sustituir en
la función original que es fx igual a
equis cuadrada
asumo el primer valor que es menos 3 lo
sustituyó y nos queda menos 3 al
cuadrado más 1 esto es 9 +1 y esto es
equivalente a
es por eso que el primer punto lo estoy
colocando en -3 y
recuerdo
el segundo valor es equivalente a menos
2 entonces lo sustituyó la función nos
queda menos 12 al cuadrado más 1 esto es
4 más 15 yo coloco de este lado
entonces -2 y busco el punto número 5 y
colocó el punto así que voy a hacer para
cada uno de los valores que va a ser un
poquito más rápido entonces quedaría uno
más uno son dos los colocó aquí
cuando exista el valor de 0 sería cero
en cuadrado más uno esto es 1
cuando la función
ahora toma el valor de 1
es 1 al cuadrado más 1 esto es 2
cuando tome el valor de 2 positivo 2 al
cuadrado más uno es equivalente de 5
y cuando toma el valor de 33 al cuadrado
más 1
esto es 10 y bueno estos puntos ya vimos
cómo los calculamos
son los que vamos a graficar la
coordenada x recuerden nada y el eje de
las x surge de las abscisas y de las 10
surge de las ordenadas buenos 3 10 en
los 25 menos 120 112
2 5 y 3 días
esta es nuestra palabra sabemos que como
es una función de segundo grado nos
quedaría una parábola y nos pide que
encontremos el área que se forma desde
el -3 hasta el tres
como nos piden por extremos izquierdos
formamos ya los dibuje aquí en color
rojo vamos a tomar los puntos desde la
izquierda y vamos a trazar un rectángulo
por ejemplo este comienzo desde la
izquierda tras un rectángulo y hacia el
siguiente valor siguiente punto de la
izquierda a la derecha tras el
rectángulo de izquierda a derecha de
izquierda a derecha de izquierda a
derecha y de izquierda a derecha de
acuerdo
entonces ahora
recordemos entonces cuál es el área
o cuál es la fórmula para calcular el
área
de un rectángulo recuerden que es base
por la altura la base ya la tenemos ya
la calculamos al principio es
equivalente a 1 y las alturas de cada
uno de los rectángulos
por ejemplo para el primer rectángulo es
equivalente a
y es entonces el área total aproximada
recuerden que por extremos izquierdos
sus derechos lo que calculamos es un
área aproximada porque es aproximada
bueno porque hay unas las partes en la
curva que nos estamos incluso saliendo
de ella o hay algunas partes en la curva
que no la estamos considerando por eso
es aproximada
entonces como la base va a ser la misma
para cada uno de los rectángulos
únicamente vamos a tomar en cuenta
nuestras alturas
entonces en las alturas para el primer
valor sería menos 3
la altura de este rectángulo de menos 3
a 2 es equivalente a 10
más
a la altura del siguiente rectángulo
entonces aquí la altura es equivalente a
5 más la altura del siguiente rectángulo
es 2
más la altura del siguiente rectángulo
es equivalente a 1
más la altura del siguiente rectángulo 2
nuevamente
más la altura del último rectángulo es 5
vean este es el rectángulo número uno
aquí les marqué rectángulo 1 2 3 4 5 y 6
va a ser por altura base por altura base
por altura y así de cada uno de los
rectángulos de acuerdo lo único que hice
fue actualizarlo dejar fuera el valor de
la misma y en todos los rectángulos
si hacemos la operación
nos quedaría el 15 17 18 25
por una unidad que mide la base son 25
unidades cuadradas
recuerden que colocamos unidades
cuadradas porque estamos hablando de
áreas y de esta manera que vamos a
encontrar el área por extremos
izquierdos de esta función x cuadrada
más 1
les deseo mucho éxito
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