🌟 ¿CUALES? NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Summary

En este video se explica la evolución de los números desde los naturales hasta los irracionales. Se comienza con los números naturales utilizados para contar, luego se introducen los enteros, incluyendo el cero y los negativos. Después, se presentan los números racionales, que se pueden expresar como fracciones y decimales, y se diferencian de los irracionales, cuyos decimales son infinitos y no tienen periodo, como el número pi. Finalmente, se clasifica a todos estos números dentro del conjunto de los números reales, que abarcan naturales, enteros, racionales e irracionales.

Takeaways

• 🧮 Los números naturales son los primeros que usamos para contar, como el 1, 2, 3, y así sucesivamente.
• ➖ Después se descubrieron el 0 y los números negativos, lo que amplió el conjunto a los números enteros.
• 🍊 Los números racionales incluyen fracciones y decimales, como la mitad de una naranja, que es 1/2 o 0.5.
• 📏 Un número racional se puede escribir como una fracción (a/b), con la condición de que b no sea 0.
• 🧑‍🏫 Los números racionales pueden representarse como fracciones, decimales o números enteros, dependiendo de la fracción.
• ♾️ Algunos decimales se repiten infinitamente (decimales periódicos), mientras que otros terminan (decimales exactos).
• 🔄 Los decimales periódicos puros repiten el mismo número, mientras que los decimales periódicos mixtos repiten varios dígitos.
• 💡 Los números irracionales son aquellos que tienen decimales infinitos sin ningún periodo, como π o la raíz de 3.
• 📐 No es posible representar los números irracionales como fracciones, a diferencia de los racionales.
• 🔢 El conjunto de los números reales incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Q & A

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los más básicos que utilizamos para contar, como el 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente.

¿Qué sucedió después del descubrimiento de los números naturales?

Se descubrió que también existía el número cero y los números negativos, lo que amplió el conjunto de números a los números enteros.

¿Qué son los números racionales?

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracciones, es decir, en la forma de a sobre b, donde 'a' y 'b' son números enteros y 'b' no puede ser cero.

¿Qué diferencia a los números enteros de los números racionales?

Los números enteros incluyen los números positivos, negativos y el cero, mientras que los números racionales incluyen fracciones que pueden representar números decimales.

¿Cómo se identifica un número racional?

Un número racional se identifica con la letra 'Q' mayúscula, que viene de la palabra inglesa 'quotient'.

¿Qué ocurre si se intenta dividir un número entre cero?

Dividir un número entre cero no tiene sentido, ya que no es posible dividir algo entre nada.

¿Qué son los decimales periódicos puros?

Son decimales en los que un número se repite infinitamente, como el caso de 7/3, que equivale a 2.3333... con un 3 que se repite infinitamente.

¿Qué son los números irracionales?

Los números irracionales son aquellos que no se pueden representar como fracciones y cuyos decimales son infinitos sin que se repita ningún patrón, como el número pi (π).

¿Qué diferencia a los números irracionales de los racionales?

La diferencia es que los números irracionales tienen decimales infinitos sin ningún periodo que se repita, mientras que los racionales sí pueden representarse como fracciones y a menudo tienen decimales periódicos.

¿Qué conjunto abarca a los números naturales, enteros, racionales e irracionales?

Todos estos números pertenecen al conjunto de los números reales, que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Outlines

00:00

🧮 Introducción a los números naturales y enteros

El video comienza explicando los números naturales, que son los primeros que el ser humano descubrió, usados para contar: 1, 2, 3, etc. Luego se menciona la incorporación del número cero y los números negativos, lo que amplió el conjunto de números. Estos nuevos números, incluyendo los negativos y el cero, formaron el conjunto de los números enteros.

05:00

🍊 Descubrimiento de los números racionales

A medida que el ser humano dividía objetos como naranjas o barras de chocolate, surgió la necesidad de representar fracciones, lo que llevó al descubrimiento de los números racionales. Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracciones (a/b), donde b es diferente de cero. Estos números incluyen tanto decimales exactos como fracciones equivalentes.

10:01

🧮 Fracciones y decimales en los números racionales

Los números racionales permiten equivalencias entre fracciones y números decimales. Por ejemplo, 3/2 equivale a 1.5, y -9/5 equivale a -1.8. Además, algunos números racionales dan como resultado decimales periódicos, que pueden ser periódicos puros, como 2.444..., o periódicos mixtos, donde solo una parte del decimal se repite.

🔄 Representaciones múltiples de números racionales

Un número racional puede tener varias representaciones. Por ejemplo, el número 4 puede representarse como una fracción (16/4 o 8/2), o incluso como una raíz cuadrada (√16). Estas distintas formas no cambian el hecho de que el número sigue siendo racional.

♾️ Decimales periódicos y mixtos en fracciones

Algunos números racionales generan decimales infinitos que se repiten. Estos decimales pueden ser periódicos puros, donde solo un número se repite, o periódicos mixtos, donde una secuencia de varios números se repite infinitamente. Se dan varios ejemplos, como 7/3 que resulta en 2.333... y 245/198 que genera 1.23737... periódicamente.

🌀 Diferencias entre números racionales e irracionales

Los números irracionales, como el número pi, no pueden representarse como fracciones y tienen decimales infinitos sin periodo repetitivo. Se comparan con los racionales, que sí se pueden expresar como fracciones, y se introducen ejemplos de números irracionales como √3 y el número áureo.

🔢 Clasificación de los números reales

El video concluye mostrando la clasificación de los números reales, que incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Todos estos números forman parte del conjunto de los números reales, y se hace una revisión rápida de cada tipo, explicando cómo están relacionados.

Keywords

💡Números naturales

Los números naturales son los más básicos y los primeros que se utilizan para contar. En el video, se menciona que son los números como el 1, el 2, el 3, y así sucesivamente. Representan la primera categoría de números descubiertos por el ser humano y son fundamentales en matemáticas para operaciones sencillas de conteo.

💡Números enteros

Los números enteros incluyen tanto los números naturales como el cero y los números negativos. En el video, se describe cómo el ser humano descubrió que no solo era necesario contar hacia adelante (números positivos), sino también hacia atrás (números negativos) con el cero como punto intermedio.

💡Números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como fracción, es decir, como cociente de dos números enteros (a/b, donde b es diferente de cero). En el video, se explica cómo los números racionales permiten representar fracciones, como la mitad de una naranja (1/2), que equivale a 0.5.

💡Fracción

Una fracción es una forma de representar la división de un todo en partes. En el video, se utilizan ejemplos como la división de una barra de chocolate en tres partes, donde dos partes de tres se representan como 2/3. Las fracciones permiten expresar números racionales y su relación con decimales.

💡Decimales

Los decimales son la representación numérica de una fracción en forma de un número con coma, como 0.5 o 1.25. En el video, se explica que algunos decimales son exactos, mientras que otros, como 2.333..., son periódicos y se repiten infinitamente.

💡Decimal periódico

Un decimal periódico es un número decimal en el que una secuencia de dígitos se repite infinitamente. En el video, se muestra el ejemplo de 7/3, cuyo decimal equivalente es 2.333... con un '3' que se repite sin fin. Los decimales periódicos pueden ser puros o mixtos, dependiendo de cuántos dígitos se repitan.

💡Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como fracción y cuyos decimales no tienen ningún patrón repetitivo. Ejemplos en el video incluyen el número pi (3.1415...) y la raíz cuadrada de 3. Estos números no tienen decimales periódicos y se extienden infinitamente sin repetición.

💡Número pi

El número pi es un ejemplo clásico de número irracional, ya que sus decimales (3.1415...) nunca terminan ni siguen un patrón repetitivo. En el video, se menciona como uno de los ejemplos más conocidos de números irracionales y se resalta su importancia en la clasificación de los números reales.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es una operación matemática que consiste en encontrar un número que, multiplicado por sí mismo, da como resultado otro número. En el video, se utiliza el ejemplo de la raíz cuadrada de 16, que es 4, para mostrar una forma diferente de representar un número racional.

💡Números reales

Los números reales incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales. En el video, se explica cómo todos los números mencionados (naturales, enteros, racionales, e irracionales) pertenecen al conjunto de los números reales, que abarcan todas las formas posibles de números que podemos encontrar en matemáticas.

Highlights

Los números naturales son los más básicos y se utilizan para contar: 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente.

El ser humano descubrió el número cero y los números negativos, ampliando el campo de las matemáticas.

Los números enteros incluyen los números positivos, negativos y el cero.

Para dividir números enteros, se descubrieron los números racionales que se pueden escribir en forma de fracción.

Un número racional se escribe en la forma a/b, donde b debe ser diferente de 0.

Los números racionales incluyen fracciones y decimales, como tres medios que equivale a 1.5.

Las fracciones pueden representar números enteros, como 8/4 que es igual a 2.

Un número racional tiene diferentes formas de representación, como 4 que se puede escribir como 16/4, 8/2 o raíz cuadrada de 16.

Algunos números decimales terminan, como 0.5, mientras que otros son periódicos, como 7/3, que equivale a 2.333 con repetición infinita.

Los decimales periódicos puros repiten el mismo número infinitamente, como 2.444 en 22/9.

Los decimales periódicos mixtos tienen más de un número en la repetición, como 0.74 en 22/27.

Los números racionales pueden representarse en forma de fracción, como 19/10 que equivale a 1.9.

Los números irracionales tienen decimales infinitos sin ningún período, como la raíz cuadrada de 3 y el número pi.

El número pi es un ejemplo famoso de número irracional, con decimales infinitos que nunca se repiten.

La clasificación de números reales incluye naturales, enteros, racionales e irracionales.

Transcripts

[Música]

hola vamos a hacer un resumen rapidito

ya vimos que los números naturales son

los más básicos podría decirse que son

los primeros que se descubrieron pues

son los que utilizamos para contar el 1

el 2 el 3 el 4 y así sucesivamente no

después del ser humano en aquel entonces

cuando estaban descubriendo esto vio que

había un número cero y números negativos

entonces ya no nada más se contaba a

partir del 1 hacia delante sino que ya

había un 0 y se contaba hacia el lado

contrario nuevos números negativos

entonces ampliaron el campo de las

matemáticas ya este conjunto le llamaron

números enteros

saleh después que pasó bueno ya no

bastaban nada más con números enteros a

positivos negativos y ceros sino que

había que dividirlos y había raciones

entonces de aquí vienen ya los números

racionales

por ejemplo imagínate que en aquel

entonces tienen una naranja no esto pues

es una una naranja y pertenece por

ejemplo al número a los números

naturales que es 1 o números enteros

positivos pero qué pasa si dividieron en

aquel entonces la naranja y dijeron chin

qué número es no

bueno pues ahora ahí para eso

descubrieron los números racionales que

se pueden escribir en forma de fracción

básicamente las fracciones son esto la

mitad de una naranja es un medio y un

medio equivale a 0.5 y así podemos hacer

con cualquier otra cosa por ejemplo

imagínate una barra de chocolate la

divide en tres partes entonces tomas una

de las partes que parte del chocolate te

queda bueno pues te queda dos partes de

tres que se dividieron osea dos tercios

de la barra del chocolate entonces

imagínate primero descubren los números

así sencillitos después agrega números

negativos de cero y después ven que se

pueden dividir y vienen las fracciones y

vienen los números decimales entonces el

cero es el ser humano poco a poco fue

descubriendo más números mira vamos a

ver ahora precisamente más acerca de los

números racionales

bueno los números racionales se

identifican con la letra q mayúscula la

q viene de una palabra en inglés scott

cousins y significa cociente un número

racional se escribe de la forma a sobre

b a esto también se le conoce como una

fracción común sale bueno mira

y ve dentro del formalismo vamos a decir

que pertenecen al conjunto de zeta

es decir de los números enteros que

quiere decir esto que tanto en a como b

puedes poner cualquier número de los

enteros o sea ya sean negativos en

positivos pero hay una excepción esta

que ve sea diferente de 0 esa es la

única condición tanto a como puede ser

cualquier número de los enteros pero b

tiene que ser diferente de 0 mira vamos

a ver por qué una fracción muy común es

un medio con este no hay problema pero

qué pasa si quiere dividir 3 entre 0

bueno no tiene dividir si tienes 3 si lo

quiere dividir entre 0 no tiene sentido

porque lo estás dividiendo entre nada

entonces no tiene sentido la división

que estás realizando

básicamente entonces los números

racionales son fracciones como estos

ejemplos que tenemos aquí y los números

racionales nos dan equivalencias en

números decimales o números enteros

depende de la fracción que tengamos por

ejemplo esta tres medios equivale a 1.5

y es un número decimal no esta fracción

de menos 9 quintos equivale a menos 1.8

bien entonces tenemos decimales no pero

por ejemplo esta 8 cuartos o sea 8 entre

4 es igual a 2 entonces vemos que este

resultado es un número entero también

entonces los números racionales abarcan

lo que son números decimales fracciones

números enteros como por ejemplo el 2 a

su vez también es un número natural no

[Música]

ahora vamos a ver de cuántas formas

podemos representar un número racional

por ejemplo el 4

de qué otra forma es poder presentar

bueno una fracción de 16 entre 4 es el

resultado de 4 es básicamente lo mismo

no los dos son cuatro

su valor absoluto otra forma sería ocho

medios ocho entre dos cuánto es cuatro

no entonces esa es otra forma en una más

raíz cuadrada de 16 porque raíz cuadrada

de 16

bueno pues 4 x 4 es 16 entonces esta es

otra otra forma de representar el número

4 entonces como vemos todos estos formas

de representar se quiere no quiere decir

que sean distintos números al final

todos son racionales en los números

racionales podemos encontrar sus

equivalencias en decimales por ejemplo

un medio equivale a 0.5 y el decimal

termina hasta ahí no

a esto se le conoce como decimal exacto

porque ya no hay más por ejemplo tres

quintos 0.6 y hasta ahí nueve cuartos

equivale a las 2.25 y hasta ahí porque

me refiero a esto que hasta ahí y bueno

porque hay diferentes resultados por

ejemplo siete tercios en esta fracción

equivale a un número con un decimal que

se repite infinitamente por ejemplo eso

tiene estar linea arriba lo que nos dice

que se va a repetir infinitamente por

ejemplo entonces ahora 2.333 3 y así

hasta el infinito entonces mirar en otro

ejemplo de la fracción 22 sobre 9

nuestro resultado de 2.444 44 y así

hasta el infinito

entonces estos decimales se le conoce

como decimal periódico puro porque es un

número sólo un número que se repite a sí

mismo infinitamente a diferencia de

éstos

[Música]

terminan en uno solo por ejemplo 0.6 y

hasta ahí por otra parte miren vamos a

ver otro tipo de infracciones que es por

ejemplo 22 entre 27 equivale a 0.74 pero

vemos aquí que por ejemplo la línea está

sobre el decimal de los tres números

quiere decir que se va a repetir el 074

infinitamente 0 74 07 40 74 sale este

tipo de decimales es conocido como

periódica mixta porque pues bueno tiene

distintos o distintos números en sus en

su decimal por ejemplo 0 7 cual son 3 y

3 números a diferencia de estos que se

repiten infinitamente no por ejemplo 245

entre 198

equivale a 1.2 el 2 se mantiene pero la

línea que marca al 3 y el 7 es el que se

repite dos puntos 1.2 37 37 37 y así

hasta el infinito el 37 se va a repetir

entonces se conforma por un número y

otras dos cifras que se van a repetir

infinitamente o sea ya no va a cambiar

en resumen los números racionales son

los que pueden representarse de la forma

aso breve como fracción por ejemplo 1.9

porque es racional porque se puede

representar en forma de fracción es

decir si tú divides 19 entre 10 tu

resultado pues va a ser de 1.9 entonces

1.9 de 19 sobre 10 es lo mismo el 2 por

ejemplo el 2 porque es racional pues

puede representarse como 12 en 36 por

ejemplo 12 entre 62 equivale a 2

entonces por eso es racional el decimal

1.25 con decimales infinitos que es 25

25 mil 55 puede representarse en

fracción dividiendo 124 entre 99 y vamos

a obtener el resultado es 1.25 en 55

los números que pueden representarse

como a sobre b pues son números

racionales pero qué pasa si tenemos por

ejemplo números con decimales como esté

1.41 42 13 50 y 62 ok que podemos

encontrar aquí que no hay ningún periodo

no hay ningún número que se repite

es decir por ejemplo cómo en este 95 25

25 se repiten por ejemplo aquí 1.9 y

hasta ahí llega no pero aquí en este

caso tenemos números así al azar que se

van mezclando no hoy infinitamente vamos

a poder encontrar números que son así a

este tipo de números se les conoce como

números irracionales la característica

de los números racionales es que son

decimales infinitos que no tienen ningún

periodo estos por ejemplo el número pi

que equivalente tiene tiene 3.14

15 92 6 54 y así los decimales de pi

nunca nunca terminan pero no hay ningún

periodo como aquí entonces este tipo de

números no hay forma de que se puede

representar en fracción a diferencia de

los números racionales

por eso son irracionales los números

irracionales no tienen una letra

especial para designarlos nosotros vamos

a utilizar la y mayúscula que está

totalmente aceptada pero también existe

otra forma de representar los que es la

q prima esta comida que le ponemos aquí

nos diferencia de los que son los

racionales

así identificamos irracionales pero

vamos a ocupar nosotros la i mayúscula

es importante no confundir esta y con el

conjunto de números imaginarios que ya

vamos a ver más adelante pero bueno los

números irracionales entonces son

números con decimales infinitos y que no

tengan no tienen ningún periodo vale por

ejemplo raíz cuadrada de 3 nos da un

número irracional que es 1 puntos 73 20

50

a 8 y así esto continúa infinito e

infinito sin ningún tipo de periodo sale

otro número que ya habíamos visto es el

número pi que sabemos que sus números

son infinitos y no hay ningún tipo de

periodo otro número irracional famoso es

el número pi o el número áureo que nos

da resultado como 1.61 80 33 48 así así

continúa importante los números

irracionales no pueden representarse en

forma de fracción y es así como

construimos nuestra clasificación de

números reales

vamos a ver empezamos con los números

naturales que son los más básicos los

que utilizamos para contar y los

primeros que descubrimos después

descubrimos que había números negativos

y había un número cero y después vimos

que estos números se podían representar

en formas de fracciones y obteníamos

decimales ya sea de distintos tipos y

estos son racionales y a los decimales

que no podían representarse en forma de

fracción como los que acabamos de ver ya

los llamamos a estos irracionales no

entonces a todo este conjunto de números

pues estos son los números reales que

decir que todos éstos sean natural sea

entero sea racional sea irracional es un

número real

[Música]

[Música]

y

[Música]

[Música]