Derivadas algebraicas y concepto preliminar de una diferencial - ROMATH
Summary
TLDREl video trata sobre el concepto de derivadas en cálculo diferencial, explicando cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico. Utilizando la notación de Leibniz y fórmulas básicas de derivación, se ejemplifica el proceso de derivar funciones como x^2 y aplicar la regla de la cadena. Además, se muestra cómo las derivadas permiten determinar ecuaciones de rectas tangentes y se introduce el uso de exponentes fraccionarios para funciones más complejas, destacando la importancia de las derivadas en la geometría analítica y la comprensión de curvas.
Takeaways
- 📐 La función primitiva, como \( f(x) = x^2 \), permite graficar la relación en el plano cartesiano al sustituir valores y calcular puntos.
- 🔍 Para encontrar la función de una recta tangente a una curva, se necesita la pendiente, la cual se puede obtener a partir de la derivada de la función.
- 📘 La derivada es una función que permite calcular la pendiente de cualquier recta tangente a la curva en cualquier punto, usando la notación de Leibniz.
- 🔄 La derivada de una función con respecto a una variable independiente se relaciona con la misma variable independiente, y permite calcular la pendiente de la recta tangente.
- 📐 La derivada de \( x^2 \) es \( 2x \), lo cual se puede obtener aplicando las fórmulas de cálculo diferencial y la notación de Leibniz.
- 📈 La pendiente de la recta tangente en un punto específico de la curva se calcula sustituyendo el valor de \( x \) en la derivada de la función.
- 📊 La ecuación de la recta tangente se obtiene a partir de la pendiente y un punto por donde pasa, usando la fórmula de geometría analítica.
- 🔢 La derivada de una función compleja, como \( x^{5/3} \), se calcula aplicando reglas de derivación y la regla de la cadena, resultando en \( 5x^{2/3} \).
- 📘 La derivada de una función a una fracción de exponente, como la raíz séptima de \( x^4 \), se obtiene aplicando la regla de los exponentes fraccionarios, resultando en \( \frac{4}{7}x^{-3/7} \).
- 🔄 La diferencial de una función, representada como \( dy \), está relacionada con la derivada y se utiliza para calcular las pendientes de las rectas tangentes a la curva.
Q & A
¿Qué es una función primitiva y cómo se relaciona con la derivada?
-Una función primitiva es una función que permite graficar en el plano cartesiano. La relación con la derivada es que esta última permite calcular la pendiente de cualquier recta tangente a la curva de la función primitiva en cualquier punto.
¿Cómo se calcula la derivada de una función usando la notación de Leibniz?
-La derivada de una función usando la notación de Leibniz se calcula utilizando la fórmula 'dy/dx', donde 'dy' es la diferencial de la función y 'dx' es la diferencial de la variable independiente.
¿Qué significa 'f prima' en el contexto de la derivada?
-'f prima' se refiere a la derivada de una función 'f', es decir, la función que permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de 'f' en cualquier punto.
¿Cómo se calcula la derivada de una función con respecto a x si la función está dada como 'x al cuadrado'?
-La derivada de una función 'x al cuadrado' con respecto a x se calcula utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, que es 'n * x^(n-1)'. En este caso, 'n' es 2, por lo que la derivada es '2 * x^(2-1)', que es igual a '2x'.
¿Qué es la derivada de la función 'x al cuadrado' y cómo se utiliza para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico?
-La derivada de la función 'x al cuadrado' es '2x'. Para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico, se evalúa la derivada en el valor de x de ese punto.
¿Cómo se determina la ecuación de una recta tangente a una función dada un punto y la pendiente?
-La ecuación de una recta tangente se determina utilizando la fórmula 'y - y1 = m(x - x1)', donde 'm' es la pendiente y '(x1, y1)' son las coordenadas del punto de tangencia.
¿Qué es la regla de la cadena en el contexto de la derivación y cómo se aplica?
-La regla de la cadena es una técnica de derivación utilizada cuando se tiene una función compuesta de dos o más funciones. Se aplica derivando la función exterior y luego multiplicando por la derivada de la función interior.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene una raíz y una potencia, como 'x^(4/7)'?
-Para calcular la derivada de una función como 'x^(4/7)', se utiliza la regla de las potencias y la regla de la cadena. La derivada es '(4/7) * x^(4/7 - 1)', que simplifica a '(4/7) * x^(-3/7)'.
¿Qué significa 'diferencial' en el contexto de la derivada y cómo se relaciona con la pendiente de la recta tangente?
-El diferencial en el contexto de la derivada es una medida de la variación de una función con respecto a una variación en la variable independiente. Se relaciona con la pendiente de la recta tangente porque la derivada, que es el coeficiente del diferencial, representa la pendiente de la tangente en un punto específico.
¿Cómo se utiliza la derivada para encontrar la recta tangente a una curva dada una función y un punto?
-Para encontrar la recta tangente a una curva dada una función y un punto, se calcula la derivada de la función para obtener la pendiente en el punto de interés y luego se utiliza la fórmula de la recta para determinar la ecuación de la tangente.
Outlines
📚 Introducción a las Funciones Primitivas y Derivadas
Este párrafo introduce la idea de una función primitiva, como f(x) = x^2, y cómo se relaciona con el plano cartesiano. Se explica que la función se puede graficar sustituyendo valores de x para calcular y, y se menciona el punto en la fase 4 del plano cartesiano. A continuación, se discute cómo determinar la función de una recta tangente a la curva de la función primitiva. Para esto, se necesita calcular la pendiente de la recta, lo cual se hace derivando la función. Se utiliza la notación de Leibniz para declarar derivadas y se explica que la derivada permite calcular la pendiente de cualquier recta tangente en cualquier punto. Se muestra el proceso de derivación de f(x) = x^2, obteniendo f'(x) = 2x, y se utiliza esta derivada para calcular la pendiente de la recta tangente en un punto específico. Finalmente, se usa la pendiente y un punto para encontrar la ecuación de la recta tangente y se describe cómo se puede graficar en el plano cartesiano.
🔍 Análisis de la Derivada de Funciones Elevadas a Potencias
En este párrafo se profundiza en el proceso de derivación de funciones más complejas, como aquellas elevadas a una potencia. Se utiliza como ejemplo una función de la forma y = x^(5/3). Se explica que la derivada de una función con respecto a x de una potencia es calculada usando la fórmula de la derivada de una potencia, que es el exponente multiplicado por la función elevada a la potencia menos uno. Se sigue el proceso paso a paso, aplicando la regla de la cadena y se llega a la derivada f'(x) = 5x^(2/3). Se discute cómo esta derivada permite calcular las pendientes de las rectas tangentes a la curva en diferentes puntos, lo cual es fundamental para entender la variación de la función y su comportamiento en el plano cartesiano.
🌟 Derivación de la Raíz Séptima de x Elevada a la Cuarta
Este párrafo presenta la derivación de una función más compleja, específicamente la raíz séptima de x elevada a la cuarta, y = (x^4)^(1/7). Se recuerda la regla de los exponentes para las raíces, que indica que (x^m)^(1/n) es igual a x^(m/n). Se aplica la nomenclatura de Leibniz para la derivada y se sigue el proceso de derivación, utilizando la fórmula de la derivada de una potencia fraccionaria. Se resuelve el exponente fraccionario y se obtiene la derivada f'(x) = (4/7)x^(-3/7). Se explica que esta derivada se utiliza para calcular las pendientes de las rectas tangentes a la curva en puntos específicos, lo que es crucial para entender la inclinación y la dirección de cambio de la función en el plano cartesiano.
Mindmap
Keywords
💡Función primitiva
💡Relación biunívoca
💡Derivada
💡Anotación de Leibniz
💡Pendiente
💡Recta tangente
💡Cálculo diferencial
💡Regla de la cadena
💡Diferencial
💡Función de la recta
Highlights
Se discute cómo la función primitiva f(x) = x^2 permite graficar en el plano cartesiano y calcular la pendiente de rectas tangentes a la curva.
Se describe la relación biunívoca de conjuntos y cómo una variable independiente se relaciona con otra variable a través de una función.
Se explica que la derivada es una función que permite calcular la pendiente de cualquier recta tangente a la curva en cualquier punto.
Se utiliza la anotación de Leibniz para declarar derivadas, destacando su importancia en el cálculo diferencial.
Se menciona que la derivada de una función con respecto a otra función tiene la misma variable independiente.
Se describe el proceso de derivación de la función f(x) = x^2, mostrando cómo se calcula la derivada f'(x) = 2x.
Se calcula la pendiente de una recta tangente en un punto específico de la función f(x) = x^2 utilizando la derivada.
Se explica cómo se obtiene la ecuación de una recta a partir de un punto y la pendiente calculada con la derivada.
Se discute cómo la derivada de una función primitiva se utiliza para encontrar la función de una recta tangente a la curva.
Se describe el proceso de graficar la recta tangente a partir de un punto y la pendiente obtenida a través de la derivada.
Se menciona la importancia de la derivada para calcular pendientes y encontrar la función de la recta tangente.
Se explica el uso de la nomenclatura de Leibniz y las fórmulas de cálculo diferencial en el proceso de derivación.
Se discute la derivación de funciones más complejas, como f(x) = x^(5/3), utilizando la regla de los exponentes y la derivada de potencias.
Se describe el proceso de derivación de funciones con variables dentro de otras funciones, utilizando la regla de la cadena.
Se calcula la derivada de una función compleja, mostrando el paso a paso de la aplicación de las reglas de derivación.
Se discute cómo la derivada de una función compleja se utiliza para calcular las pendientes de rectas tangentes a la curva correspondiente.
Se explica el concepto de diferencial y su aplicación en el cálculo de pendientes y derivadas.
Se resume la importancia de la derivada en el análisis de funciones y la obtención de rectas tangentes.
Transcripts
ah
cuando tenemos una función primitiva
como fx igual a x al cuadrado
debemos estar pensando en que tenemos
una relación biunívoca de conjuntos hay
una variable independiente y una
variable independiente esa función se
puede graficar en el plano cartesiano a
partir de bien sustituyendo valores
dándole valores a x para calcular los
valores de por ejemplo el punto efectivo
en la fase 4 tenemos un punto en el
plano cartesiano por ese punto pasa una
recta que están gente a la curva la
recta que está de color azul
cómo podemos saber cuál es la función de
esta recta que es tan gente en la
función pues necesitamos un pendiente
como la luz no se puede sacar con la
función primitiva la vamos a tener que
derivar la derivada es una función que
permite calcular la pendiente de
cualquier recta que sea tangente a la
curva en cualquiera de sus puntos como
vamos a derivar vamos a utilizar en este
caso particular la anotación de leibniz
leer min se utiliza una anotación para
declarar derivadas por ejemplo la
derivada con respecto a la variable
independiente que es una función que es
f prima d
qué quiere decir esto que la derivada de
la función con respecto a la función
primitiva
tienen relación las dos tienen la misma
variable independiente las dos son
funciones la función primitiva permite
graficar la función en el plano
cartesiano y la derivada permite
calcular la pendiente de cualquier recta
que sea tangente en la forma por
cualquier punto entonces si yo teníamos
la primitiva voy a utilizar las fórmulas
de cálculo diferencial en este caso voy
a utilizar la derivada con respecto a x
de x haga en estas fórmulas ya se ha
manejado un cálculo diferencial la
fórmula dice que la derivada es n x x
alain 21 quien es m el exponente vamos a
proceder a derivar con la anotación de
ley min
la derivada con respecto a x de x al
cuadrado es igual a m que es 2 por x a
la n 1
esta era la sustituyó por el 2 y me
queda la derivada con respecto a x de x
al cuadrado es igual a 2 x ésta es la
derivada de la función primitivas es
decir es re prima de x
igual a 2x
con esta función nueva que es la
derivada que se ve prima de x puedo
calcular la pendiente de esta recta por
ejemplo para ese punto más
la pendiente de esa recta cuando x vale
2
es igual a dos por dos
4 esa recta tiene una pendiente igual a
4 ya tengo la pendiente de la recta que
vale 4 y ya tengo un punto por donde
ella pasa puedo calcular su función o su
ecuación puedo calcular su ecuación por
ejemplo la fórmula de geometría
analítica para una recta es 10 menos de
uno es igual a la pendiente por x x 1
donde x1 y 1 son las coordenadas de un
punto por donde pasa la función
primitiva entonces calculemos que menos
de uno que es 4
y juega la pendiente que calculé con la
derivada de la función que es 4 x x
menos x 1 que es la x del punto por el
de paso de esa recta también t que en
este caso la de 2
ya tengo sustituida toda la función para
calcular la ecuación de la recta
simplificó y digo
m 24 igual a 4 x menos 8
despejó y es igual a 4 x 8 y estos 4 que
son negativos pasan del otro lado como
positivos más 4 simplificando que igual
a 4 x 4
esta es la función siempre se termina en
el plano cartesiano la actuación de la
recta a partir de un punto por donde
pasa y con la pendiente calculada en la
derivada de la función primitiva
con esta función también puedo graficar
a la recta la ordenada el origen vale
menos 4 si yo conozco la recta hasta acá
hasta que corta el eje de la y la voy a
cortar aquí este fruto de la ordenada al
origen y vale cuanto menos 4 sea la
distancia que va de aquí hasta acá
equivale a un valor de menos 4 porque la
ordenada el origen y la pendiente vale 4
con esta recta gráfico la curva
que en este caso es una recta tangente a
la curva primitiva y entonces para que
me está sirviendo la pendiente digo la
derivada de la función primitiva para
calcular una pendiente
y encontrar por ejemplo la función de la
recta tangente a la curva
esta es una función primordial principal
esta función tiene dos miembros miembro
izquierdo miembro derecho un signo de
igualdad una variable independiente que
es x la variable independiente que es
porque debemos recordar que la función
que depende de x es vamos a derivar la
utilizando la nomenclatura de leibniz y
las fórmulas de cálculo diferencial
observen esta función primero debemos
utilizar la siguiente fórmula
la derivada con respecto a x de una
función elevada a la n es igual a ese
exponente m por la función elevada a la
n 1 por la derivada con respecto a x de
esa vez es la vez lo que está dentro del
paréntesis
tienes n 5
voy a seguir esta fórmula para empezar a
derivar aquí voy a recordar que fedex es
por lo tanto me quedara derivada con
respecto a x de 10 es igual
a la derivada con respecto a x
kubica -4 a la tunda solamente estoy
marcando las terminadas si derivó del
lado izquierdo de ivo del lado derecho
para conservar la igualdad
derivada con respecto a x de y es igual
esto es ver a la n cuanto vale m 55 aquí
siguiendo esta fórmula 5 por ver pero
que tienes
kubica -4 a la n 1 quedaría 4 porque 5
menos unos 4
por la derivada con respecto a que de
todo lo que está adentro que es x ubica
menos 4 se provoca la regla de la cadena
se van enlazando las derivadas
ahora debo atacar esa derivada cómo voy
a tener esta derivada con esta fórmula
derivada con respecto a x d
más de menos w por ejemplo aquí es igual
a la derivada con respecto a x de humana
de nada con respecto a y se ve - la
derivada con respecto a kiss de w
derivó esta idea llevó a ésta y cómo voy
a derivar de esta derivada con respecto
a xx adn es igual a m por x a la m1
y como de vuelta la derivada con
respecto a este es una constante es
igual a cero
procedente de llevar
derivada de la función primitiva con
respecto a x igual a 5 por quien hay que
hacerle nada
x ubican menos 4 a la cuarta que tampoco
aceleraba la derivada de x kubica es n
que es 3x al n menos uno que es 2
y 0 la derivada de una constante
este coeficiente debe ser simplificado
con este coeficiente porque se están
multiplicando
conviene trasladar x al cuadrado al
principio es la propiedad conmutativa
del producto por quedaría derivada de la
función ye con respecto a x igual a 5 x
3
15 x al cuadrado 5 por 3 15 x cuadrada
lo trasladó al principio paréntesis x
ubica menos 4
a la 4ª
ya ve
esta es la derivada de la función está
también sf prima de x es la derivada de
la función primitiva que es jeff y esta
expresión que es 15 x al cuadrado por x
cúbica menos 4 a la cuarta que calcula
calcula pendientes pendientes de quienes
de rectas de que rectas rectas tangentes
a quien a la curva cual curva a curva
principal
la curva no sabemos ahorita como nos de
tal vez no sea así esta curva es siempre
de equis
escogemos un punto este punto tiene un
valor aquí en x0 allí en x0 hay un 10 0
en este punto paso en la recta que es
que la gente a la curva si yo le doy x0
a este cálculo la pendiente m 0
y con él es el y este punto calculó la
función de la recta
una recta que esté tangente tangente a
quien a la curva principal
[Música]
vamos a suponer que tenemos esta función
primitiva que le iguala la raíz séptima
de x 4 wow
una función diferente como la vamos a
derivar primero tenemos que recordar de
álgebra que hay una regla de los
exponentes que dice la raíz en encima de
a la m es igual a la propia elevada a un
exponente fraccionario m sobre n la voy
a aplicar aquí en la productiva de igual
a x a la 4 céntimos estas dos son la
misma son equivalentes son iguales y son
primitivas
ahora tengo x alain como derivó con la
nomenclatura de ladies para derivadas
derivada con respecto a x de x a la m
que es igual a m por x a la n 1 voy a
aplicar los derechos directamente
derivaba con respecto a él
es igual a la derivada con respecto a x
de x sanar 4 céntimos del nivel del lado
izquierdo de nivel del lado derecho aquí
quiero la derivada de la destino
profesora y eso la pero del lado derecho
falta derivar y cómo voy a derivar con x
a la n aplicando la fórmula en es el
exponente de la x que en este caso son 4
séptimos procedo
derivada con respecto a x de y igual a
n4 séptimos eso valen x x a la n 1
4 séptimos - 1 aplicando esta regla
ahora voy a pelear con este quebrado
derivada con respecto a x de y igual a 4
séptimos de x a las 4 séptimos menos 7
séptimo más casos un entero son 7
séptimos ahora hago las restas de
séptimos y se acabó
derivada de con respecto a x es igual a
4 séptimos de x al menos 3 séptimos 4
séptimos positivos menos 7 séptimos
positivos menos 7 de los tres séptimos
negativos
pero estamos hablando ahora de las
diferencias de la función
lo único que hay que hacer es utilizar
la nomenclatura de la ley 16 la derivada
de una función con respecto a x es
siempre prima del histórico o de
derivada con respecto de la función es
igual a jr prima como ustedes lo quieren
ver es lo mismo
lewis se utiliza la diferencial de x
como si estuviera como denominador
algebraico pero no es así pero se
entiende
como si estuviera dividiendo y lo pasara
del otro lado multiplicando vemos que
voy a hacer
esta que está aquí es la derivada de la
función
del ibarra
de la función de que función
de la productiva
de la primitiva que calcular pendientes
de las tangentes a la curva la
diferencial está como denominador la
pasó del otro lado como si pasara
multiplicando aunque no sea así y queda
de lado izquierdo diferencial de y igual
a 4 séptimos de x al menos 3 séptimos
diferencial de
solamente pase la definición de x a la
derecha
y esto nuevo que tengo aquí
ya no es la derivada ya es la
diferencial de la función
este las diferenciales
de la función
gracias
[Música]
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